4 Rationale Zahlen ( ) ( )

Mathematik
PM
4
Rationale Zahlen
4.1
Einführung
Die Gleichung 3 · x = 9 hat die Lösung 3.
3Z
Die Gleichung 3 · x = 1 hat die Lösung
Rationale Zahlen
3x  9
9
x 3
3
1
.
3
3x  1
1
x
3
1
Z
3
Definition
Die Gleichung b · x = a, mit a, b  Z und b  0, hat die Lösung:
bx  a
a
x   ab
b
Ist a kein Vielfaches von b, so entsteht eine neue Zahl, Bruch oder rationale Zahl genannt. Sie bilden die Menge Q.
Dividend Zähler 
Divisor Nenner 

a
b
Quotient
(Bruch)

a b
a  Z ; b  Z \ {0, 1}
Quotient
(Bruch)
Spezialfälle
a
0
0
0
a
denn 0 · a = 0
a
1
a
denn a = a · 1
ist nicht erlaubt
Vorzeichen
Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Deshalb gelten sinngemäss die gleichen Vorzeichenregeln
wie für die Multiplikation.
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Mathematik
PM
Rationale Zahlen
Brucharten
Stammbrüche:
z.B.
1
;
3
1
;
5
1
12
Echte Brüche:
z.B.
3
;
4
4
;
9
11
13
Unechte Brüche:
z.B.
10
;
9
Scheinbrüche:
z.B.
5
;
1
15
;
3
4
2
Reziproke bzw. inverse Brüche:
z.B.
2
3
und
3
;
2
Dezimalbrüche:
z.B. 0,1; 0,37; 0,6
Gleichnamige Brüche:
z.B.
3
;
7
4
;
7
6
7
Ungleichnamige Brüche:
z.B.
3
;
7
3
;
4
4
5
4.2
12
;
8
17
7
5
7
und
7
5
Erweitern und Kürzen
Brüche kann man Erweitern und Kürzen. Ihr Wert verändert sich dabei nicht.
Solche Brüche nennt man gleichwertig.
Erweitern heisst:
Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl ( 0) multiplizieren.
z.B.
Kürzen heisst:
2 24
8


3 3  4 12
Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl ( 0) dividieren.
z.B.
10 10  5 2


15 15  5 3
Man kürzt nur, wenn beide Divisionen ganze Zahlen ergeben.
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Mathematik
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Rationale Zahlen
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen (eine Primzahl ist nur durch sich selbst oder durch
1 teilbar) schreiben, lässt sich also in Primfaktoren zerlegen. Zur Bestimmung des kgV stellt man jede Zahl als
Produkt ihrer Primzahlen dar. Tritt dabei eine Primzahl öfter auf, so benutzt man die Potenzschreibweise.
Beispiel 1
Geg: 9, 15, 21
Ges: kgV
Lösung:
3
5
9
15
21
32
3
3
·
·
5
kgV
32
·
5
7
7
·
7
=
28
=
315
Beispiel 2
Geg: 4, 7, 28
Ges: kgV
Lösung:
2
7
4
7
28
22
22
·
7
7
kgV
22
·
7
Beispiel 3
Geg: 8ab, 12bx, 14ax
Ges: kgV
Lösung:
2
3
7
·
7
7
8ab
12bx
14ax
23
22
2
·
·
·
3
kgV
23
·
3
·
a
b
a
·
·
a
·
·
a
·
x
b
b
·
x
x
b
·
x
=
168abx
Merke
Das kgV von Zahlen ist das Produkt der höchsten auftretenden Primzahlenpotenzen dieser Zahlen.
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Mathematik
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Rationale Zahlen
Grösster gemeinsamer Teiler (ggT)
Wird ein Bruch durch den grössten gemeinsamen Teiler, den ggT, gekürzt, so ist er nicht weiter zu kürzen.
Beispiel 1
Geg: 48, 84, 120
Ges: ggT
Lösung:
2
3
48
84
120
2 · 2 · 2 · 2 ·3
2·2·
3·
2·2·2·
3·
ggT
2·2·
5
7
7
5
3
=
12
Beispiel 2
Geg: 54aby, 45by, 63ab
Ges: ggT
Lösung:
54aby
45by
63ab
2
3
5
2·
3·3·3·
3·3·
3·3·
5·
ggT
7
7·
a
b
y
a·
b·
b·
b
y
y
a·
3·3·
b
=
9b
Beispiel 3
Geg: 60abcx, 120ax, 140abx
Ges: ggT
Lösung:
2
60abcx
120ax
140abx
ggT
3
5
2·2·
3·
2 · 2 · 2 ·3 ·
2·2·
5·
5·
5·
2·2·
5·
7
a
b
c
x
b·
c·
7·
a·
a·
a·
x
x
x
b·
a·
x
=
20ax
Merke
Der ggT von Zahlen ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren dieser Zahlen.
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Mathematik
4.3
PM
Rationale Zahlen
Übungen
Berechnen Sie das kgV mit Hilfe eines Schemas:
1.
3
17
51
102
2.
16
24
49
56
3.
66
396
714
924
4.
6x
8x
5xz
12x
108xy
5.
4mn
6mp
8np
10m
24p
6.
4x + 2y
6x + 3y
8x + 4y
Berechnen Sie den ggT mit Hilfe eines Schemas:
7.
180
210
270
300
8.
28abx
112acx
224adx
336ax
9.
4b + 2c
8b + 4c
12b + 6c
10.
36ax - 24ay
48bx - 32by
72abx - 48aby
11.
306xyz
170yz
136xz
204z
12.
3ax + 6cx
9ax + 18cx
12ax + 24cx
39abd  12acd
3a
15.
6a  2a  8x
 4ax
18.
25ab  5az
15bx  3xz  5ab  az
21.
2ab  3ay  2bx  3xy
2bc  3cy  2bx  3xy
Kürzen von Bruchtermen:
13.
8ac  4adx  2a
2a
14.
16.
14ab  7ac  42ab
70ab  14ac  7ab
17.
19.
3ab  6ac
 6cx  3bx
20.
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
b2
2b
2ax  2cx  5ay  5cy
3a  3c
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Mathematik
PM
4.4
Addition und Subtraktion
a)
von gleichnamigen Brüchen
a
c

b
c

d
c

Rationale Zahlen
abd
c
Gleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Zähler der Brüche bei unverändertem
Nenner addiert bzw. subtrahiert.
Beispiele:
1)
5a a 3a 5a  a  3a 7a




12 12 12
12
12
2)
n  x n  x n  x  n  x 2n n




4
4
4
4
2
3)
a  b a  b  c a  b  a  b  c  a  b  a  b  c 2b  c




a
a
a
a
a
b)
von ungleichnamigen Brüchen
5
6

3
4

1
2

10
12

9
12

6
12

10  9  6
12

13
12

1
1
12
Ungleichnamige Brüche muss man vor dem Addieren und Subtrahieren gleichnamig machen. Der Hauptnenner
ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Einzelnenner.
Beispiele:
1)
a 3a 5a 4a  9a  10a 3a a





3 4
6
12
12 4
2)
mx
m  x  3m 4m  x
m 

3
3
3
3)
2b 7b 11b 3b 16b  21b  22b  18b 35b
11





1 b
3
8
12
4
24
24
24
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Mathematik
PM
4.5
Multiplikation und Division
a)
Multiplikation
a
b

c
d

Rationale Zahlen
ac
bd
Brüche werden multipliziert indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
Beispiele:
1)
a 3b 3ab


x 2 x 2x 2
2)
5
3)
1 2 a x 2ax ax
  


2 3 b b3 6b 4 3b 4
4)
2b 
18a 12 ab
18a 4ab 18ax  4ab
 6a  


 2 

  3    
2
3x 
x
x
x 
x2 
3x
 x  

1
3a 5 3a 15a
 

2b 1 2b
2b
4
je nach Aufgabenstellung, wenn z. B. verlangt wird: Schreiben Sie als einen Bruch!
5)
4a 3x 2
 2a
  3x 2  6ax 4a 3x 2
 1  
 


 x



6a 15 2a 5
15 2a 5
 3
  2a 5 
6)
3 2a 8a 2a 16a 2
1 a



5 3b
5 3b
15b
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Mathematik
b)
PM
Rationale Zahlen
Division
a
b

c
d

a
b

d
c

ad
bc
Brüche werden dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert.
Beispiele:
1)
a
a c a 1 a
c     
b
b 1 b c bc
2)
2 4 2 5 10 5
   

3 5 3 4 12 6
3)
3x 2a 3x 3b
9bx




5a 3b 5a 2a 10a 2
4)
2x x 5 2x a 3 6ax 6a
  
  

y a 3
y x 5 5xy 5y
5)
ax  bx
x a  b  a  b x a  b  1
x a  b 
x
 a  b  





a b
a b
1
a  b a  b a  b a  b a  b
6)
2
2
1  1

  m  2m  1   1  m   m  1m  1   m  m  1

1   2     1  

   1 m   m

m2
m2
 m m  m  
 

  m  
Achtung: Wenn möglich Summen in Faktoren zerlegen und kürzen!
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Mathematik
c)
PM
Rationale Zahlen
Doppelbrüche (gewöhnlicher)
6m
5a
18n
10a

6m
5a

18n
10a

6m
5a

10a
18n

60am
90an

2m
3n
Sind Zähler und Nenner eines Bruches wieder Brüche, so spricht man von einem Doppelbruch. Dabei kann der
Hauptbruchstrich durch einen Doppelpunkt ersetzt werden.
Der Hauptbruchstrich befindet sich auf der Höhe des Gleichheitszeichen (Operationszeichen).
Beispiele:
1)
m
a  ma  m
n
a n n
a
2)
b
ab
a  a  ab  b  b
a
ba
a
ab a
1
b
b
3)
18ab
25xy 18ab 5y 2a



9b
25xy 9b 5 x
5y
1
4)
d
ac  d
ac  d
a
ac  d
a  a



d
ac  d
a
ac  d ac  d
c
a
a
5)
1

x
1

x
c
1 yx
x  y xy  x  y
y
xy


1 y  x xy y  x  y  x
y
xy
3
14  3
11
11 5
55
7 
7
 7 

7
7  20
27 7  27 189
4
5
5
5
2
6)
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Mathematik
4.6
Übungen
1.
4x
3x

4c  3d 3a  4b
2.
5x
3y
4x
8y x




a  b cd a  b cd cd
3.
2x  5 5x  3 2x  1,5


4x  4 6x  6 2x  2
4.
4a  2 8a  7
2a  5


2a  4 6a  12 10a  20
5.
12a 1 15x
9 b
5b
3 14a
6.
 15ab   4 x  
3 
 
   
    7 y
5 
 76xy   5b  
7.
5x  15
 x  y 
x 2  y2
8.
a3
 3a  12
3  a 2  16
9.
 1 1
  
a b
10.
 3u 5 x 



 4 v 6y 
11.
6x  3y 12ax  6ay

4a  4b 7ax  7bx
12.
 2x 1  x 
     4a

 4 3  5 
13.
 3ax 6ad  18x



 4bc 8c  2b
14.
 3  a  1 5  1  a  
1

 






a

x

1
a

x

1
15

1 x 



PM
Rationale Zahlen
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
2
2
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Mathematik
15.
1
y
x
1
y
x
16.
a x

b y
a x

b y
17.
 2x  8y   3 y   2x  5y 
18.
18a    3a  5b  c   5a  2b
19.
a  b  2a  b
20.
a  b  a 2  ab  b2 
21.
x
22.
2c
23.
4a 16a 2
:
5b 10b
24.
PM
Rationale Zahlen
FP
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
 8x  7 : x  7 
2
3

 18c 2  33c  35 : c  7 

14 a 2  b 2
21a  21b
ab

25.
1
1

x 1 2
26.
4
3

x  1 1 x
27.
m n2  2n  1

m  1 mn  m
28.
2a
a

a3 a4
a  11
a 2  a  12
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