Workshop über Zahlen

Prof. Dr. E. Viehmann
SS 2015
Workshop über Zahlen
Ziel des Workshops: In diesem Workshop werden wir uns mit verschiedenen Fragen rund um
das Thema Zahlen beschftigen. Wir beginnen damit, die charakterisierenden Eigenschaften der
natrlichen Zahlen zu untersuchen, kommen dann zu rationalen/irrationalen, und transzendenten
Zahlen. Ein weiteres Thema werden Krper mit endlich vielen Elementen sein. Zwischen allgemeiner
Theorie werden wir konkrete Beispiele, wie die Zahl π, untersuchen.
Literatur: Die Grundlage des Seminars bilden für die ersten zwei Drittel das Buch [E] von Ebbinghaus et. al., für mengentheoretische überlegungen das Buch von Kaplansky. Die historischen
Anmerkungen sollten stark gekürzt oder weggelassen werden.
Organisatorisches: Der Workshop findet in der ersten Woche des Sommersemesters statt. Jeder
der Teilnehmer hält einen Vortrag von 20-25 Minuten Länge (inklusive Antworten auf Zwischenfragen des Publikums). Die Vorträge sollten an der Tafel gehalten werden. Im Anschluss an den
Vortrag findet eine kurze Diskussion statt. Neben inhaltlichen Fragen sollen vor allem die anderen Teilnehmer in einem kurzen Feedback Lob und Verbesserungsvorschlge äußern. Im Workshop
ist Anwesenheitspflicht, nicht nur bei Ihrem eigenen Vortrag (es sei denn, Sie haben eine Entschuldigung). Zur Vorbereitung Ihres Vortrags wird es ca. eine Woche vor dem Workshop eine
Sprechstunde geben (genauer Termin wird noch bekanntgegeben), in die Sie kommen sollten, auch
wenn Sie glauben, alles verstanden zu haben. Wir klären hier Fragen, und Sie sollten eine erste
Version des Manuskripts mitbringen, so dass wir den groben Ablauf besprechen knnen.
Für grundsätzliche Fragen zum Halten eines Seminarvortrags (die sich auch auf Workshop-Vorträge
beziehen) siehe auch die folgende Anleitung von A. Werner.
http://www.uni-frankfurt.de/fb/fb12/mathematik/ag/personen/werner/skripte/anleitungvortrag.pdf
1. Die natürlichen Zahlen 1. (M. Schmahl) Peano-Axiome: Definieren Sie die natürlichen Zahlen
durch die Peanoschen Axiome und die äquivalenten Axiome aus [E],1.2.1, zeigen Sie anhand von
Beispielen, dass man keines der Axiome weglassen kann. ([E],1.2.1+4, die Beispiele sollten Sie sich
als Übungsaufgabe selbst überlegen)
2. Die natürlichen Zahlen 2. (M. Bolay) Wir gehen noch einmal ausführlicher auf grundlegende
Eigenschaften der natürlichen Zahlen ein, Rekursionssatz (nur mit Beweisidee) und Einzigkeitssatz
(mit Beweis), und die Definition von Addition und Multiplikation ([E], 1.2.2+3)
3. Ganze Zahlen. (V. Steffan) Definition und grundlegende Eigenschaften der ganzen Zahlen. ([E],
1.3, die klein gedruckten Teile und historischen Anmerkungen nur bei genügend Zeit)
4. Körper, rationale Zahlen. (S. Bayer) Definition der rationalen Zahlen, Addition und Multiplikation, Anordnung ([E], 1.4.2+3).
5. Rationale Zahlen sind abzählbar. (M. Vogel) Definieren Sie Abzählbarkeit, und zeigen Sie, dass
die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist. ([K], Kap. 2, Theorem 1-3)
6/7. Reelle Zahlen 1,2. (D. Mai, A. Müller) Axiome für die reellen
√ Zahlen, Definition als Menge
der Cauchyfolgen modulo Nullfolgen, Beispiele: rationale Zahlen, 2 als irrationale Zahl ([E], 2.3)
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8. Irrationale Zahlen. (T. Vogl) Zeigen Sie, dass die Menge der reellen Zahlen (und damit die
Menge der irrationalen Zahlen) nicht abzählbar ist ([K], Kap. 2, Theorem 5 oder Exercise 9, Sie
dürfen wählen. Im ersten Fall sollten Sie etwas über die Darstellung reeller Zahlen als Dezimalbrche
sagen). Damit gibt es “mehr” irrationale als rationale Zahlen.
9. Definition von π. (B. Hauner) Definition von π über die Länge von Kreisbögen, als Integral,
und mit Hilfe von Sinus- oder Cosinus-Funktion. (eine Auswahl aus [E], 5.1.1, 5.1.5)
10. Irrationalität von π. (K. Schmidt) Beweisen Sie, dass π und sogar π 2 irrational ist. ([E], 5.4.6)
Dieser Vortrag besteht aus einem längeren Beweis.
11. Transzendente Zahlen. (M. Hess) Definieren Sie algebraische und transzendente Zahlen. Zeigen
Sie, dass die Menge der algebraischen Zahlen abzählbar ist ([K], Kap. 2, Theorem 4). Folgern Sie:
Es gibt transzendente Zahlen, und sogar: es gibt “mehr” transzendente als algebraische Zahlen.
Geben Sie (natürlich ohne Beweis) an, dass π transzendent ist.
12. Fp . (M. Spielvogel) Sei m > 1 eine ganze Zahl. Zeigen Sie: Der Quotient Z/mZ ist ein Ring,
und genau dann ein Körper, falls m = p eine Primzahl ist. (z.B. [F], 1.3.1-1.3.2) Diesen Körper
bezeichnet man dann als Fp .
14. Endliche Körper. (K. Althaus) Es gibt noch weitere endliche Körper. Konstruieren Sie als Beispiel den Körper mit 4 Elementen wie folgt: Definieren Sie auf F22 (mit einer Basis, die wir schon mit
1, y bezeichnen), eine Multiplikation (mit 1 · x = x für alle x). Stellen Sie zunächst eine Multiplikationstabelle auf, und geben Sie dann an, was y 2 ist. Dies ist in Analogie zu den komplexen Zahlen:
Die komplexen Zahlen sind ein zwei-dimensionaler R-Vektorraum mit Basis 1, i, in dem man eine
Multiplikation durch 1 · x = x und i · i = −1 definiert. (Dieser Vortrag ist eine Übungsaufgabe.)
Achtung: Der Körper mit 4 Elementen ist nicht der Ring Z/4Z!
Literatur
[B] S. Bosch, Algebra, 8. Auflage, Springer, 2013.
[E] H.-D. Ebbinghaus et. al., Zahlen, 2. Auflage, Springer, 1988.
[F] G. Fischer, Lineare Algebra, 16. Auflage, vieweg studium, 2008.
[K] I.Kaplansky, Set theory and metric spaces
[S] A. Schmidt, Einführung in die algebraische Zahlentheorie, Springer, 2007.
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