2 Grundlagen aus der Mathematik

2
Grundlagen aus der Mathematik
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Logische und relationale Operatoren
Mengen
(Grund-)Rechenarten
Einführung in die Matrixalgebra
Funktionen
Kombinatorik
In diesem Kapitel werden einige elementare mathematische Kenntnisse wiederholt. Sie bilden
mit einigen Ausnahmen (insbesondere hinsichtlich einer kurzen Einführung in den Umgang mit
Matrizen) einen Teil des für die mittlere Reife geforderten Wissens. Diese Kenntnisse reichen
zumeist für das Verständnis der in den weiteren Kapiteln behandelten Probleme.
2.1 Logische und relationale Operatoren
Die Sprache der Mathematik verwendet Symbole, z. B. Buchstaben oder andere Zeichen, um bestimmte Sachverhalte präzise und kurz darzustellen. Zahlen werden in der Algebra im allgemeinen
mit kleinen lateinischen Buchstaben (a, b, c, d, ...) oder, wenn sehr viele unterschieden werden sollen, mit a1 , a2 , a3 , ..., an bezeichnet.
Für die Darstellung bestimmter Sachverhalte in den Definitionen, Gesetzmäßigkeiten und Beispielen werden Symbole zu den Beziehungen (relationale Operatoren, Relationen) zwischen zwei
Zahlen verwendet, die in Tabelle 2.1 zusammengestellt sind.
Tabelle 2.1: Relationen in der Mathematik
Beziehung
a=b
a<b
a>b
a≤b
a≥b
ab
a≈b
a = b
Bedeutung
a ist gleich b
a ist kleiner als b
a ist größer als b
a ist gleich oder kleiner als b
a ist gleich oder größer als b
a ist angenähert, nahezu
gleich, ungefähr gleich b
a ist nicht gleich b
Beispiel
8=12-4
4<5
6 > 5; - 5 > - 6
Verdienst a beträgt höchstens b Euro
Verdienst a beträgt mindestens b Euro
109,8 110
109,8 ≈ 110
4= 6
Für „x ist größer als a und kleiner oder gleich b“ schreibt man: a < x ≤ b
Für „x ist wesentlich größer als a“ schreibt man: x >> a
Aus der Ungleichung a > b folgt −a < −b und (für b > 0) 1/a < 1/b.
Logische Operatoren werden verwendet, um Zusammenhänge und logische Aussagen kurz und
prägnant in mathematischen Darstellungen und Abhandlungen wiedergeben zu können. Eine Zusammenstellung der wichtigsten logischen Symbole enthält Tabelle 2.2.
J. Hedderich, L. Sachs, Angewandte Statistik,
DOI 10.1007/978-3-662-45691-0_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
2.2 Mengen
29
Tabelle 2.2: Logische Operatoren in der Mathematik
Operator
A, B, C
⊥
∧
∨
¬
⇒
⇔
∀
∃
Bedeutung
Aussagen können ausführlich formuliert und symbolisch abgekürzt werden
zeigt an, dass eine Aussage „wahr“ ist (vgl. engl. True)
zeigt an, dass eine Aussage „falsch“ ist
Verknüpfung von Aussagen mit „und“ - Konjunktion (geklammert)
Verknüpfung von Aussagen mit „oder“ - Disjunktion (getrennt)
verneinen einer Aussage mit „nicht“ - Negation
Folgerung einer neuen Aussage - „Implikation“
Gleichheit zweier Aussagen - „Äquivalenz“
steht „für alle“ (Allquantor)
steht für „es gibt ein“ (Existenzquantor)
2.2 Mengen
• Begriffsbildung
• Mengenoperationen
2.2.1 Begriffsbildung
Das gedankliche Modell einer Menge ist eines der wichtigsten Voraussetzungen zum Verständnis
der ’neuen’ Mathematik, die sich im frühen 20. Jahrhundert entwickelte. Es ermöglicht einerseits
eine neue Sicht auf die Eigenschaften der Zahlen (Zahlenmengen wie natürliche Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen) sowie Zuordnungen (Funktionen) zwischen Zahlenmengen. Anderseits
eröffnet dieses Modell neue Möglichkeiten in der Darstellung und Behandlung komplexer und
abstrakter Zusammenhänge, zum Beispiel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Ereignismengen).
Der Mathematiker Georg Cantor (1845-1918) definierte eine Menge als eine Zusammenfassung
von wohlunterscheidbaren Objekten (Elementen) zu einem Ganzen. Die Unterscheidbarkeit
garantiert, dass für jedes Element zu entscheiden ist, ob es zu einer Menge gehört oder nicht. In
einer Menge gibt es somit keine identischen Elemente. Die Mächtigkeit einer Menge n = |A|
bezeichnet die Zahl der Elemente in der Menge. Diese ist nicht notwendig endlich. Beispiele zu
Mengen sind:
A = {a, b, c, d, e, f }
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}
G = {x | x ∈ N , x ist durch 2 teilbar}
(2.1)
Der griechische Buchstabe Epsilon ∈ wird verwendet, um die Zugehörigkeit von einzelnen Elementen zu einer Menge zu kennzeichnen: 5 ∈ N oder d ∈ A aber 5 ∈ A.
Eine Menge C ist in A enthalten (C ⊆ A), wenn jedes Element von C auch in A enthalten ist.
A = B ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B
C ⊆ A ⇔ ∀x ∈ C ⇒ x ∈ A
und
∀y ∈ B ⇒ y ∈ A
(2.2)
Damit ist jede Menge in sich selbst enthalten. D ist eine echte Teilmenge von A (D ⊂ A, vgl.
Abb. 2.1), wenn es Elemente in A gibt, die nicht zu D gehören. Die Analogie zu den Relationen zwischen Zahlen hinsichtlich kleiner (<) bzw. kleiner oder gleich () ist offensichtlich. Zwei
30
2 Grundlagen aus der Mathematik
Abbildung 2.1: Venn-Diagramm: Teilmenge einer Menge (D ⊂ A)
Mengen A und B sind gleich (A = B), wenn jedes Element von A in B enthalten ist und umgekehrt.
Ein Sonderfall, der in dieser Terminologie nicht leicht einsehbar ist, ist die leere Menge (∅ oder
{}), eine Menge, die keine Elemente enthält. Die leere Menge ist insbesondere eine Teilmenge
jeder anderen Menge!
Ein weiterer Sonderfall ist die dem sicheren Ereignis entsprechende Gesamtmenge (S). Sie setzt
den Rahmen für alle weiteren Betrachtungen, d.h. jede Menge wird als eine Teilmenge der Gesamtmenge gesehen.
Die Menge aller Teilmengen einer Menge A wird Potenzmenge genannt. Die Mächtigkeit der
Potenzmenge PA einer Menge A mit n Elementen ist |PA | = 2n . Sei zu Beispiel A = {a, b, c},
dann ist PA = {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, {}}. Diese hat die Mächtigkeit 23 =
8; dabei ist nicht zu vergessen, dass jede Menge in sich selbst als Teilmenge aufgefasst werden
kann und auch die leere Menge Teilmenge einer jeden anderen Menge ist.
2.2.2 Mengenoperationen
Für das Rechnen mit Mengen werden Mengenoperationen definiert.
Die Vereinigung zweier Mengen A und B enthält die Elemente, die in A oder in B oder in
beiden Mengen enthalten sind. Dabei ist das mathematische “oder“ gemeint, das in diesem Sinn
nicht ausschließlich zu verwenden ist.
C = A ∪ B = {x|x ∈ A
oder
x ∈ B}
(2.3)
Abbildung 2.2: Venn-Diagramm: Vereinigungsmenge zweier Mengen (A ∪ B)
Der Operator ∪ erinnert dabei an ein U (für das Wort Union, Vereinigung). Zu beachten ist insbesondere, dass
A ∪ A = A und B ⊂ A ⇒ B ∪ A = A
(2.4)
Die Schnittmenge zweier Mengen A und B enthält die Elemente, die in A und in B enthalten
sind. Das Wort “und“ wird hier im Sinn von „sowohl als auch“ verwendet.
2.2 Mengen
31
Abbildung 2.3: Venn-Diagramm: Schnittmenge zweier Mengen (A ∩ B)
D = A ∩ B = {x|x ∈ A
und
x ∈ B}
(2.5)
Der Operator ∩ wurde als Gegensatz zum ∪ bei der Vereinigung gewählt. Haben die beiden Mengen A und B keine gemeinsamen Elemente, dann ist die Schnittmenge leer. A und B werden dann
disjunkt genannt.
A ∩ B = ∅ ⇒ A und B disjunkt
(2.6)
Zu beachten ist insbesondere, dass
A∩A=A
und
B ⊂A⇒B∩A=B
.
Die Komplementärmenge oder das Komplement einer Menge A enthält alle Elemente, die
nicht zu A gehören. Der Bezug zur Gesamtmenge S ist somit zum Verständnis einer Komplementärmenge notwendig.
Ā = {x|x ∈ A}
(2.7)
Abbildung 2.4: Venn-Diagramm: Komplement einer Menge (Ā)
Die Vereinigungsmenge einer Menge A mit dem Komplement von Ā ergibt somit stets die Gesamtmenge S. Die Komplementärmenge der Gesamtmenge ist die leere Menge und umgekehrt.
A ∪ Ā = S
und S̄ = {}
Die Restmenge oder logische Differenz zwischen zwei Mengen A und B besteht aus allen Elementen, die zu A, aber nicht zu B gehören (Differenzmenge A\B).
A\B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} = A ∩ B̄
(2.8)
Abbildung 2.5: Venn-Diagramm: Differenzmenge zweier Mengen (A\B) [d.h. „A ohne B“]
32
2 Grundlagen aus der Mathematik
2.3 (Grund-) Rechenarten
•
•
•
•
•
Summen und Produkte
Potenzen und Wurzeln
Logarithmen
Rundungen
Rechnen mit fehlerbehafteten Zahlen
Auf René Descartes (1596–1650) geht ein Teil der mathematischen Symbolik zurück: die Zei√
chen +, − und , die Potenzschreibweise sowie die Verwendung der Buchstaben a, b, c, . . . als
bekannte und . . . x, y, z als unbekannte Größen. Von Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646-1716)
stammen: Multiplikationspunkt, Divisionspunkte, das Integralzeichen und die Begriffe Indices
(xi ; i = 1, . . . , n), Konstante, Variable, Parameter sowie der Funktionsbegriff. Im 18. Jahrhundert
führte Leonhard Euler (1707-1783) das Funktionssymbol f (x) ein, den Buchstaben e für
die
Basis der natürlichen Logarithmen, das Symbol π für die Kreiszahl und das Summenzeichen .
2.3.1 Summen und Produkte
Die Beherrschung der 4 Grundrechenarten: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division
wird vorausgesetzt. Trotzdem seien die folgenden Vereinbarungen getroffen.
Eine Rechenoperation ist eine Vorschrift, aus zwei Zahlen eindeutig eine neue Zahl, z. B. die
Summe oder die Differenz, zu bilden:
Addition: Summand + Summand = Ausgerechnete Summe [5 + 8 = 13]
Subtraktion: Minuend − Subtrahend = Ausgerechnete Differenz [13 − 8 = 5]
2.3.1.1 Das Summenzeichen
Soll die Summe der Zahlen x1 , x2 , . . . , xn gebildet werden, so wird für diese Operation das foln
eingeführt.
ist der große griechische Buchstabe Sigma, das Zeichen für
gende Symbol
i=1
„Summe von“. Gelesen wird diese Operation: die Summe aller Zahlen xi von i = 1 bis i = n. Der
Index der ersten zu addierenden Größe wird dabei unter das Summenzeichen gesetzt, der Index
der letzten Größe darüber. Allgemein wird die Summation vom Index 1 bis zum Index n geführt.
Für die Summe von x1 bis xn sind also folgende Schreibweisen gleichwertig:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + xn =
i=n
i=1
5
i=3
x i = x3 + x 4 + x 5 ,
xi =
n
xi =
i=1
i
xi =
x
(2.9)
d.h. 5 − 3 + 1 = 3
Summanden
Im Folgenden werden Beispiele mit dem Programm R eingefügt. Sie sollen einerseits die behandelten mathematischen und statistischen Zusammenhänge verdeutlichen und zu eigenen Berechnungen anregen. Andererseits führen die Beispiele schrittweise in die vielfältigen Möglichkeiten
dieses Programmes ein. Hilfreich zum Verständnis ist die Lektüre des Kapitels [9] (Einführung in
R). Die Beispiele sind einheitlich vom laufenden Text des Buches wie folgt hervorgehoben:
2.3 (Grund-) Rechenarten
> 12 + 32
[ 1 ] 44
> 43 − 15
[ 1 ] 28
> Z a h l e n <− c ( 2 , 5 , 7 , 8 , 9 , 6 )
> sum ( Z a h l e n )
[ 1 ] 37
33
# Addition
# Subtraktion
# Werte i n einem V e k t o r
# Summe
Hinweis zu der Sprache der Statistik: Merkmalswerte xi sind Ausprägungen des Merkmals X
beim i-ten Merkmalsträger (i = 1, 2, ..., n) der Stichprobe des Umfangs n. Für die Summe der
i=n
n
n
i=1 xi =
i=1 xi oder einfach
Merkmalswerte xi schreibt man x1 + x2 + . . . + xn =
x. Jede aus Merkmals- oder Beobachtungswerten xi berechnete summarische Größe ist eine
statistische Maßzahl, eine Stichprobenfunktion, auch „Statistik“ genannt: basiert sie auf einer Zufallsstichprobe, dann schätzt sie einen Parameter. Übrigens: man „zieht“ eine Zufallsstichprobe.
n
n
n
Um Ausdrücke mit Summen, wie zum Beispiel i=1 (3+2xi +x2i ) = 3n+2 i=1 xi + i=1 x2i
berechnen zu können, helfen die folgenden Regeln:
n
(xi + yi ) = (x1 + y1 ) + (x2 + y2 ) + . . .
i=1
= (x1 + x2 + . . .) + (y1 + y2 + . . .)
n
n
=
xi +
yi
i=1
n
i=1
kxi = kx1 + kx2 + . . . = k
i=1
n
n
xi
insb.
i=1
k = nk
(2.10)
i=1
(k + xi ) = (k + x1 ) + (k + x2 ) + . . . = nk
i=1
n
n
xi
i=1
n
k = (n − m + 1)k,
(m < n)
i=m
Sind a und b reelle Zahlen so gilt:
n
(axi − b)2 = a2
n
i=1
x2i − 2ab
i=1
Beispiel:
n
xi + nb2
(2.11)
i=1
a = 2, b = 3, xi = 4 und 5, d. h. n = 2
(2 · 4 − 3) + (2 · 5 − 3) = 4(16 + 25) − 2 · 2 · 3(4 + 5) + 2 · 9
2
2
(
xi ) 2 =
x2i + 2
xi xj
25 + 49 = 74 = 164 − 108 + 18
mit 1 ≤ i < j ≤ n
7
(2.12)
i<j
Beispiel:
xi = 1, 2, 3; (1 + 2 + 3)2 = 36 = (12 + 22 + 32 ) + 2(1 · 2 + 1 · 3 + 2 · 3)
7
34
2 Grundlagen aus der Mathematik
Übersicht 6: Verbindungen der vier Grundrechenarten
Rechnen heißt, aus 2 oder mehreren Zahlen eine neue zu finden. Jedes der vier üblichen Rechenzeichen
(+; −; ·; :) stellt eine Rechenvorschrift dar:
+
−
·
:
plus, Additionszeichen
minus, Subtraktionszeichen
mal, Multiplikationszeichen
geteilt durch, Divisionszeichen
Das Ergebnis jeder Rechnung sollte zu Beginn der Rechnung geschätzt, danach zweimal gerechnet und
anhand einer Probe kontrolliert werden. Beispielsweise ist 4,8 + 16,1 etwa gleich 21, genau 20,9;
Probe 20,9 − 4,8 = 16,1 oder 15,6:3 ist etwa gleich 5, genau 5,2; Probe 5,2 · 3 = 15,6.
Für die Reihenfolge der vier Grundrechenarten gelten zwei Regeln:
1. Punktrechnung (Multiplikation und Division) geht vor Strichrechnung (Addition und Subtraktion).
Beispiele: 2 + 3 · 8 = 2 + 24 = 26
6 · 2 + 8 : 4 = 12 + 2 = 14
Die positiven Zahlen (+1, +2, +3, +...), die Null und die negativen Zahlen (−1, −2, −3, −...) bilden
die ganzen Zahlen, einen Zahlenbereich, in dem jede Subtraktionsaufgabe eine Lösung hat (z. B.: 8 −
12 = −4). Bei der Punktrechnung sind folgende etwas salopp formulierte Vorzeichenregeln (Diophantos
von Alexandria, um 250 n. Chr.) zu beachten:
+ · + = + Gleiche Vorzeichen
+ : + = + ergeben plus
− · − = + (−8) : (−2) = +4 = 4
−:−=+
\
Rechenzeichen
+ · − = − Ungleiche Vorzeichen
+ : − = − ergeben minus
− · + = − (−8) : (+2) = −4
−:+=− \
|
/
Vorzeichen
Der Wert einer reellen Zahl a, unabhängig von ihrem Vorzeichen, wird ihr absoluter Betrag genannt und
|a| geschrieben, z. B. | − 4| = | + 4| = 4 .
2. Was in der Klammer steht, wird zuerst berechnet. Stecken mehrere Klammern ineinander, so ist mit
der innersten Klammer zu beginnen. Vor einer Klammer verzichtet man im allgemeinen auf das Multiplikationszeichen, z. B.:
9−7+3
4(3 + 9) = 4(12) = 4 · 12 = 48; 9 − (7 − 3) =
=5
9−4
Die Division wird häufig als Bruch dargestellt, z. B.:
3
4
= 3/4 = 3 : 4 = 0.75
1
a
+
1
b
=
a+b
a·b
4[12 − (8 · 2 + 18)] = 4[12 − (16 + 18)] = 4(12 − 34) = 4(−22) = −88
(9 − 3)
6
12
− 1 = 12
− 1 = 12(3 − 1) = 12(2) = 24
2
2
Große Zahlen anschaulich gemacht :
⎫
⎧
⎡ 3 ⎤
10 = 1000 Sekunden
1 Jahr =
⎬
⎨ 17 Minuten
⎣ 106 = ⎦ 1 Millionen Sekunden sind rund 11 1 Tage
8760
⎭
⎩ 2
Stunden
32 Jahre
109 = 1 Milliarde Sekunden
[vgl. auch Billion: 1012 , Billiarde: 1015 und Trillion: 1018 ]
2.3 (Grund-) Rechenarten
35
2.3.1.2 Spezielle Summen
Einige Sonderfälle sind beim Umgang mit Summen in der Statistik von besonderer Bedeutung.
1. Summe der ersten n natürlichen Zahlen:
n
i=1
> 1:20
[1] 1 2 3
> sum ( 1 : 2 0 )
[ 1 ] 210
4
5
6
7
8
i=
n(n + 1)
2
(2.13)
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
# Summen z u R a n g z a h l e n
Kleiner Gauss: Der Überlieferung nach geht die Herleitung dieser „Summenformel“ auf C.F.
Gauss zurück, der als 9jähriger Schüler von seinem Lehrer (als Beschäftigungstherapie?) die Aufgabe erhielt, die Summe der Zahlen von 1 bis 100 zu ermitteln. Der Lehrer, ein Herr Büttner, war
äußerst erstaunt, als der „kleine Gauß“ nach kurzer Zeit bereits das Ergebnis nennen konnte. Dieser hatte nicht die Zahlen einzeln addiert sondern das Problem wie folgt gelöst:
Man schreibe die Summe ersten n natürlichen Zahlen einmal aufwärts und abwärts getrennt auf
und addiere die einzelnen Summanden.
1
+
2
+
3
+ . . . + (n − 1) +
n
n
+ (n − 1) + (n − 2) + . . . +
2
+
1
|+
(n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + . . . + (n + 1) + (n + 1) = n(n + 1)
Die doppelte Summe ist n(n+1) und muss noch durch 2 geteilt werden: 100·101/2=50·101=5050.
2. Summe der ersten n ungeraden Zahlen:
n
(2i − 1) = n2
i=1
3. Summe der ersten n geraden Zahlen:
n
2i = n(n + 1)
i=1
4. Summe der Quadrate der ersten n natürlichen Zahlen:
n
i2 =
i=1
n(n + 1)(2n + 1)
6
5. Summe der dritten Potenzen der ersten n natürlichen Zahlen:
n
n(n+1) 2
1
1
1
i 3 = n4 + n3 + n2 =
4
2
4
2
i=1
6. Summe der vierten Potenzen der ersten n natürlichen Zahlen:
n
i=1
i4 =
1 5 1 4 1 3 1
n + n + n − n
5
2
3
30
36
2 Grundlagen aus der Mathematik
7. Summe der fünften Potenzen der ersten n natürlichen Zahlen:
n
i5 =
i=1
1 6 1 5 5 4 1 2
n + n + n − n
6
2
12
12
Summen über unendlich viele Summanden (Grenzprozess) können feste, endliche Werte annehmen. Beispiele hierzu sind :
n
1
≈ 0,5772156649 + ln(n + 1)
lim
n→∞
i
i=1
Eulersche
Konstante
ln n ist der natürliche
Logarithmus von n
Das Symbol „lim“ steht dabei für den „Grenzwert“ und das Symbol „∞“ steht für „unendlich“,
1
z. B. in lim = 0 [gelesen: Limes 1/i für i gegen ∞ ist gleich 0].
i→∞ i
∞
1
Euler
Die entsprechende Summe für 1/i3 ist
2
≈
π
/6
2
unbekannt, für 1/i4 lautet sie π 4 /90.
1736
i
i=1
∞
1
= +∞
n
n=1
∞
n−1
1
n!
=2
∞
1
1
=1
4n2 − 1
(2.14)
[zur Berechnung von n! (n-Fakultät) vgl. (2.16)]
2.3.1.3 Multiplikation und Division; Fakultät
Multiplikation: Faktor × Faktor = Ausgerechnetes Produkt [2 × 3 = 6]
Division: Dividend / Divisor = Ausgerechneter Quotient [6/3 = 2] (Divisor = 0)
Das Produkt zweier Zahlen wird nur selten durch das Zeichen × zwischen den beiden Faktoren
charakterisiert, da eine Verwechslung mit dem Buchstaben x möglich ist; im allgemeinen deuten
wir die Multiplikation durch einen hochgestellten Punkt an oder setzen die Faktoren ohne jedes
Zeichen direkt nebeneinander, beispielsweise 5 · 6 oder pq. Die Aufgabe 1,23 · 4,56 schreibt man
in den USA 1.23 · 4.56 oder (1.23)(4.56), in England und Kanada 1·23 . 4·56 oder 1·23 × 4·56.
Ein Komma wird in diesen Ländern zur übersichtlicheren Darstellung
großer Zahlen verwendet
(z. B. 5,837·43 bzw. 5,837.43 anstatt 5837,43). Das Produktzeichen ist wie folgt definiert:
n
x i = x1 · x 2 · . . . · x n
(2.15)
i=1
und wird gelesen „Produkt über i“.
Speziell für das Produkt über die ersten n natürlichen Zahlen wird ein neues Symbol, gelesen
n-Fakultät , eingeführt:
n! =
n
n=1
n = n · (n − 1) · . . . · 3 · 2 · 1
(2.16)
2.3 (Grund-) Rechenarten
> 4 ∗ 17
[ 1 ] 68
> 56 / 8
[1] 7
> Z a h l e n <− c ( 2 , 3 , 4 , 5 )
> prod ( Z a h l e n )
[ 1 ] 120
> 1:10
[1] 1 2 3 4 5 6 7
> prod ( 1 : 1 0 )
[ 1 ] 3628800
37
# Multiplikation
# Division
# Produkt
8
9 10
# Fakultaet
Der größte gemeinsame Teiler (ggT ) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV ) zu zwei
ganzen Zahlen m und n (m = 0 und n = 0) spielt besonders in der Arithmetik beim „Kürzen“
und „Erweitern“ von Bruchzahlen (Quotienten) eine zentrale Rolle.
•
ggT (m, n) bezeichnet die größte natürliche Zahl, durch die sowohl m als auch n ohne Rest
teilbar ist.
• kgV (m, n) bezeichnet die kleinste positive ganze Zahl, die sowohl Vielfaches von m als auch
Vielfaches von n ist.
ggT und kgV können durch die Zerlegung in ein Produkt von Primzahlen (Primzahlen sind
nur durch sich selbst bzw. durch 1 teilbar) bestimmt oder durch den Euklidischen Algorithmus
berechnet werden.
m·n
kgV =
(2.17)
ggT (m, n)
Der größte gemeinsame Teiler lässt sich in der Regel einfacher bestimmen als das kleinste gemeinsame Vielfache. Für die Zahlen 4 und 5 ist zum Beispiel ggt(4, 5) = 1 und somit gilt nach (2.17)
kgV (4, 5) = 4 · 5/1 = 20. In R können ggT und kgV durch die folgenden einfachen Funktionen
bestimmt werden. So ist zum Beispiel ggT (21, 35) = 7 und kgV (21, 35) = 105.
> ggT <− f u n c t i o n (m, n ) i f e l s e ( n ==0 , m, ggT ( n , m %% n ) )
> kgV <− f u n c t i o n (m, n ) abs (m∗n ) / ggT (m, n )
>
> ggT ( 2 1 , 3 5 ) ; kgV ( 2 1 , 3 5 )
[1] 7
[ 1 ] 105
>
> ggT ( 3 5 2 8 , 3 7 8 0 ) ; kgV ( 3 5 2 8 , 3 7 8 0 )
[ 1 ] 252
[ 1 ] 52920
2.3.2 Potenzen und Wurzeln
Potenzrechnung (Potenzieren): Ein Produkt gleicher Faktoren a ist eine Potenz an ; gesprochen: „a
hoch n“ oder „n-te Potenz von a“. Hierbei ist a die Basis und n der Exponent der Potenz (a1 = a).
BasisExponent = Potenzwert
> 2^4
[ 1 ] 16
> 12^4
[ 1 ] 20736
2 · 2 · 2 = 23 = 8
# Potenzieren
Die zweiten Potenzen a2 werden Quadratzahlen genannt, denn a2 gibt den Flächeninhalt eines
Quadrats mit der Seite a an, daher liest man a2 auch „a Quadrat“. Die dritten Potenzen werden
Kubikzahlen genannt; a3 gibt den Rauminhalt eines Würfels mit der Kante a an.
http://www.springer.com/978-3-662-45690-3