Lineare Algebra für Physiker

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Wintersemester 2006/07
Lineare Algebra für Physiker
Kombinierte Übungsaufgaben zur Wiederholung
Besonders wichtige Themen sind: Komplexe Zahlen, Lineare Gleichungssysteme,
Vektorräume, Matrizen, Lineare Abbildungen, Ähnlichkeit, Determinanten und Inverse, Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit, Innere Produkte und GramSchmidt’sches Orthogonalisierungsverfahren, Sesquilinearformen und Hermit’sche Kongruenz
Vorschläge zur Reflexion dieser Themen:
1. Aufgabe: Stellen Sie sich lineare Gleichungssysteme auf (zum Beispiel über C) und
lösen Sie diese.
2. Aufgabe: Bestimmen Sie in Abhängigkeit von α ∈ R die Dimension von ha1 , a2 , a3 i,
für die Vektoren
 
 


−1
0
1





2
, a2 = α , a3 = 2α  ∈ R3 .
a1 =
α
1
α+2
Berechnen Sie die Determinante und (falls möglich) die Inverse der Matrix
M(α) = (a1 , a2 , a3 ).
3. Aufgabe: Sei T : R3 → R2 eine lineare Abbildung, mit
 
 
 
0
1
1
1
0
2
.
, T(0) =
, T(1) =
T(2) =
1
0
0
1
1
0
Wählen Sie unterschiedliche Basen B, B ′ von R3 und C, C ′ von R2 und berechnen die
′
Darstellungsmatrizen [T]BC und [T]BC ′ .
Machen Sie das gleiche für eine lineare Abbildung T : R3 → R3 Ihrer Wahl und überprüfen
′
Sie, dass die beiden entsprechenden Darstellungsmatrizen [T]BC und [T]BC ′ ähnlich sind,
durch Angabe einer Matrix P ∈ R(3,3) mit
′
P−1 [T]BC P = [T]BC ′ .
4. Aufgabe: Bestimmen Sie charakteristisches Polynom, Eigenwerte und Eigenvektoren
von


1 −2 1
0 1
3
0 −1 −2
über R und über C. Falls möglich, geben Sie eine zu der Matrix ähnliche Diagonalmatrix
an.
5. Aufgabe: Wählen Sie drei linear unabhängige Vektoren v1 , v2 , v3 des R4 und wenden
Sie das Gram-Schmidt’sche Orthogonalisierungsverfahren zur Bestimmung einer Orthonormalbasis (bezüglich des üblichen Skalarproduktes) des Unterraumes V = hv1 , v2 , v3 i
an. Wählen Sie eine anderes Skalarprodukt auf dem R4 und berechnen Sie eine Orthonormalbasis von V bezüglich diesem Skalarprodukt. Geben Sie zwei Darstellungsmatrizen,
bezüglich unterschiedlicher Basen des R4 , für das von Ihnen gewählte Skalarprodukt an
(aufgefasst als symmetrische, positiv definite Sesquilinearformen). Prüfen Sie, ob diese
beiden Matrizen hermit’sch kongruent sind.