(FHM München) A.2.2 Komplexe Zahlen in der Polarform A.2.2

Studienkurs
Fachhochschule des Mittelstandes (FHM München)
A.2.2 Komplexe Zahlen in der Polarform
A.2.2 Komplexe Zahlen in der Polarform
In der Polarform wird eine komplexe Zahl z als ein Pfeil mit der Länge |z| und den Winkel α
mit der horizontalen Achse (s. Abb 1) einschließend dargestellt. Aus der Abb1 ist leicht zu
entnehmen, dass es gilt:
z = a + b i = |z| (cos α + i sin α ) = |z| ∙ e i α
Die Exponetialform ergibt sich mit Hilfe der Eulerschen Formel:
(A1)
cos α + i sin α = e i α , wobei e = 2,71828 ... die Eulersche Zahl ist.
Konvention:
Im Weiteren wird e i α als exp(i α) geschrieben.
Für die Umwandlung von der Form z = a + b ∙ i in die Polarform gelten folgende Formeln:
(A2)
b
|z| 2 = a2 + b2 und α = arctan ( | | ) + Quadrantausgleichswinkel
a
Beispiel:
Die Umwandlung von z1 = 1 + i
3
bzw. z2 =– 1 + i
3
liefert:
bzw.
In der Polarform der komplexen Zahlen sind Multiplikation und Division, Potenzieren und
auch Radizieren besonders einfach durchführbar. Aus den Rechenregeln für Exponenten ist
einleuchtend, dass für komplexe zahlen in Polarform folgendes gilt:
z1 ∙ z2 = | z1 | ∙ | z2 | exp i ∙ ( α 1 + α 2 )
z1 ∙ (z2 ) -1 = | z1 | ∙ | z2 | exp i ∙ ( α1 - α2 )
(z1 )n = | z1 | n exp i ∙ ( n α1 )
(A3)
α + 2kπ 

z = n |z| ⋅  exp i ⋅ (
)  ; k = { 0, 1, ... n - 1}
n


n
In der Formel (A3) werden mit
während
n
n
z die n algebraischen Wurzeln einer Zahl definiert,
|z| die alleinige arithmetische Wurzel darstellt.
Beispiele:
5
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Die Multiplikation z1 ∙ z2 ergibt:
Die Division z1 ∙ (z2 ) -1 ergibt:
Die 4. Potenz von z1 ergibt:
Für die drei 3-ten Wurzeln aus z1 ergeben sich die Zahlen:
Die geometrische Darstellung in der Gaußschen Ebene der 3-ten Wurzeln auf einem Kreis mit
1
Radius = r = z1 3 und den Winkeln ϕ k =
α 2kπ
+
, k = {0; 1; 2 }
3
3
liefert ein regelmäßiges 3-Eck lässt sich verallgemeinern zu folgender Kurzfassung:
Die n-ten Wurzeln aus z liefern in der Gaußschen Ebene auf einem Kreis mit
1
Radius = r = z n und den Winkeln ϕ k =
ein regelmäßiges n-Eck.
A.2.2 Übungen
6
α 2kπ
+
k = {0; 1; 2; ∙∙∙ n-1}
n
n
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A.2.2 Komplexe Zahlen in der Polarform
1
Geben Sie für die Zahl z = 1 die Polarform an, und berechnen damit die kubischen
Wurzeln der Einheit. Zeigen Sie im Einheitskreis, dass diese eine Gruppe bezüglich
der Multiplikation bilden.
2
Wandeln Sie folgende Zahlen in die Polarform um:
k1 = 1 + 1i ; k2 = – 1 – 1i ; k3 = 1 – 2i
3
Berechnen Sie für die Zahlen von (2) möglichst einfach folgenden Ausdruck:
(k1 ) 3 ∙ (k2 ) 2 ∙ (k3 ) - 4
und geben Sie das Ergebnis in der algebraischen Darstellung, d. h. in der GaußschenEbene an.
4
Berechnen und zeichnen Sie in einem Kreis der Gaußschen Ebene die 4-ten
algebraischen Wurzeln der Zahl z = i.
5
In einem Wechselstromkreis mit einer Effektiven Spannung U = 230V und einer
Frequenz von 50 Hz befindet sich ein elektrischer Motor dessen Wirkwiderstand R =
30 Ω und Induktivität der Spule 250mH betragen. Berechnen Sie den Betrag und die
Phase des elektrischen Stroms.
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