Extremwertbeispiele
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Beipielpool Extremwertaufgaben 001 Ermitteln Sie die Geschwindigkeit, bei der der Verkehrsfluss maximal wird. Die Durchschnittslänge der Fahrzeuge sei 5,2 m. Die Abstandsregel soll lauten: 2 Sekunden Die erlaubte Höchstgeschwindigkeit ist 70 km/h. Berechnen Sie den maximalen Verkehrsfluss (pro Tag)! ( V(70) = 38.105 Fz/d) 002 Eine quaderförmige Halle mit der Höhe 8 m soll mit möglichst großer Grundfläche gebaut werden. Es steht ein Budget von € 200.000,-- zur Verfügung. Die Seitenflächen kosten € 200,-- pro Quadratmeter. Der Boden ist um 30 % billiger, die Decke kostet doppelt so viel wie die Seitenflächen. Wie groß sind Breite und Tiefe zu wählen? (b = t = 14,21 m) 003 Ermitteln Sie die Geschwindigkeit, bei der der Verkehrsfluss maximal wird. Die Durchschnittslänge der Fahrzeuge sei 5,2 m. Die Abstandsregel soll lauten: Abstand in Meter = Error! Die erlaubte Höchstgeschwindigkeit ist 70 km/h. Berechnen Sie den maximalen Verkehrsfluss (pro Tag) und den bei 70 km/h. Um welchen Prozentsatz ist der optimale Verkehrsfluss höher? V(22,8) = 52.623,5 V(70) = 30.996,3 + 70 % 004 Ein Tanker hat einen stündlichen Treibstoffverbrauch von y(v) = 0,04 v2 + 4. (y in t/h, v in Knoten). Berechnen Sie die Geschwindigkeit, bei der der Tanker eine Strecke von 8.000 Seemeilen mit dem geringsten Treibstoffverbrauch zurücklegen kann. (10 kn) Ansatz: T = y · t = (0,04v2 + 4) Error! = Error! Error! = Error! = 0 v = 10 also 10 kn 005 Berechnen Sie den kostengünstigsten Verzweigungspunkt für folgende Situation, wenn die Strecke AX um 60 % billiger als die Strecken XC und XB. (8,16 m) 006 Ein oben offenes zylinderförmiges Gefäß mit möglichst kleinem Mantel (Materialverbrauch) soll hergestellt werden. Das Volumen soll aber nur 1.000 cm3 betragen. Wie groß sind Radius und Höhe? Formeln: Oberfläche O = r2 + 2 r h Volumen V = r2 h (r = h = 6,83 cm) 007 Ermitteln Sie den maximalen Verkehrsfluss für folgenden Abstandsregel: Abstand in Meter = Error! Die durchschnittliche Fahrzeuglänge beträgt 6 m. Um welchen Prozentsatz ist der Verkehrsfluss bei 80 km/h kleiner als der optimale Verkehrsfluss. (– 59 %) 008 Ermitteln Sie die Lage der Abzweigungspunkte (symmetrisch) so, dass die Gesamtlänge der Verbindungsstrecken minimal ist. (11,55 m) 009 Der stündliche Treibstoffverbrauch eines Schiffes ist y = 0,02v2 + 5. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit so,dass das Schiff eine Strecke von 900 Seemeilen mit möglichst geringem Verbrauch zurücklegen kann. Wie groß ist die Reisedauer? (15,8 kn, 57 h) 010 Aus einem Baumstamm mit dem Durchmesser 100 cm soll ein Balken mit möglichst hoher Tragfähigkeit geschnitten werden. Die Tragfähigkeit hängt von der Breite b und der Höhe h des Balkens so ab: T = 550 b h2. Berechnen Sie b und h. Um welchen Prozentsatz ist h größer als b? (b = 57,735 cm h = 81,65 cm + 41,4 %) 011 Die Kosten für die Dämmung eines Hauses betragen K(d) = Error!. d ist der Dämmungsgrad in Prozent. Die jährlichen Einsparungen sind proportional zum Grad der Dämmung und betragen E(d) = 40 d. Berechnen Sie den Grad der Dämmung, für den die Summe aller Einsparungen vermindert um die Kosten maximal wird, wenn die Nutzungsdauer 20 Jahre beträgt. Z(d) = 800 d – Error! Error! = 800 – Error! = 0 d = 55 (d2 = 145) 012 Der stündlichen Treibstoffverbrauch eines Tankers ist y = 15 + 0,002v3. v in Knoten (=nm/h) und y in t/h. Berechnen Sie die Geschwindigkeit, bei der eine Strecke von 2.000 Seemeilen (nm) mit dem geringsten Gesamtverbrauch zurückgelegt werden kann. Wieviel Prozent wäre der Verbrauch höher, wenn der Tanker mit 20 kn fährt? G = (15 + 0,002v3) Error! = Error! + 4v2 Error! = – Error! + 8v = 0 v = 15,5 G(15,5) = 2.896 t G(20) = 3.100 Error! = 1,07 also + 7% 013 Wo sind die Abzweigungspunkte im nebenstehenden Plan zu wählen, damit die Gesamtkosten für die Verlegung der Rohrleitungen minimal sind. Die Nebenrohre kosten 30 % weniger als das Hauptrohr. K(x) = 4 · 0,7 · x2 + 22 + (6 – 2x) Error! = Error! – 2 = 0 (2,8x)2 = 4(x2 + 4) 7,84x2 = 4x2 + 16 3,84x2 = 16 x = 2,04 km 014 Berechnen Sie den maximalen Verkehrsfluss für folgende Situation: Auf einer zweispurigen Straße fahren Fahrzeuge mit einer durchschnittlichen Länge von 5 m. Der einzuhaltende Sicherheitsabstand soll mit der Formel: Abstand in Meter = (Geschwindigkeit in km/h)2 / 180 ausgerechnet werden. Wie hoch ist dieser optimale Verkehrsfluss und um wie viel Prozent weniger ist der Fluss bei einer Geschwindigkeit von 120 km/h? F(v) = Error! = Error! (900 + v2) = 2 v2 Error! = Error! = 0 v = 30 km/h F(30) = 6.000 Fz / h F (120) = 2.823,52 , ds 53 % weniger 015 Die Kosten für die Wärmedämmung eines Heizungsrohrs sind abhängig vom Grad der Dämmung d (in Prozent): K(d) = Error!. Die jährlichen Einsparungen sind E(d) = 20 d . Berechnen Sie den Grad der Dämmung so, dass die Differenz Gesamteinsparung – Kosten für die Nutzungsdauer 20 Jahre maximal wird. Z = 400d – Error! d = 13,4 % Error! = 0 016 Mit welcher Geschwindigkeit kann ein Erdöltanker eine Strecke von 6.000 nm mit dem geringsten Treibstoffverbrauch zurücklegen, wenn der stündliche Treibstoffverbrauch y = 2 + 0,02v2 ist? T(v) = (2 + 0,02v2) · Error! = Error! + 120 v Error! = – Error! +120 = 0 v = 10 kn 017 Auf einer dreispurigen Straße fahren Fahrzeuge mit einer durchschnittlichen Länge von 5 m mit einem Sicherheitsabstand von 3 s. Die erlaubte Höchstgeschwindigkeit ist 100 km/h. Wie hoch ist der maximale Verkehrsfluss? Um welchen Prozentsatz würde sich der Verkehrsfluss erhöhen, wenn die erlaubte Geschwindigkeit um 60 % erhöht würde? F(v) = Error! = Error! = Error! Randextrem bei v = 100 V(100) = 3.396 Fz/h V(160) = 3.470 Fz/h Erhöhung um 2 % 018 Die Kosten für die Wärmedämmung eines Hauses hängen vom Dämmgrad d (in Prozent) so ab: K(d) = Error!. Die jährlichen Einsparungen an Heizkosten betragen E(d) = 100d + 2d2. Berechnen Sie den Dämmgrad, für den der Gesamtgewinn in 20 Jahren maximal wird. Um wieviel Prozent wird der Gesamtgewinn kleiner, wenn aus technischen Gründen nur mit 50 % gedämmt werden kann? G = 20 E(d) – K(d) = 2.000d + 40d2 – Error! für d [0 / 100] Error! = 80d + 2000 – Error! = 0 (d1 = –22,5) d2 = 81,2 (d3 = 116,3) G(81,2) = 296.563 G(50) = 170.000 d. s. 43 % weniger 019 Für den Bau einer 4 m hohen Lagerhalle stehen € 300.000,-- zur Verfügung. Die Seitenwände kosten 150 €/m2, der Boden ist um 30 % billiger, die Vorderfront ist um 80 % teurer und die Decke doppelt so teuer wie die Seitenwände. Berechnen Sie die Abmessungen so, dass die Grundfläche möglichst groß wird. A = x y Max mit 300.000 = 150 (2xy + 0,7xy + 1,8 · 4x + 4x + 4y + 4y) y = Error! A = Error! Error! = 0 x = 20,2 m y = 28,3 m 020 Eine quaderförmige Halle soll mit maximaler Grundfläche erbaut werden. Es steht ein Budget von € 2.000.000,- zur Verfügung. Die Errichtung einer normalen Wand kostet 400,-- €/m2. Der Boden kostet um 80 % weniger, die Decke das Doppelte der normalen Wand, die Frontseite ist um 30 % teuerer als die normale Wand. Wie sind die Abmessungen zu wählen, wenn die Halle 10 m hoch werden soll? 2.000.000 = 400 (1,3 · b h + b h + t h + t h +2 b t + 0,2 b t) mit h = 10 2.000.000 = 400 (23 b + 20 t + 2,2 b t) Lösen nach b = Error! und A = t · b = Error! Error! = – Error! = 0 t = 41,73 m und b = 36,3 m 021 Um vom Ursprung des Koordinatensystems (0 km / 0 km) zum Zielpunkt Z mit den Koordinaten (50 km / 8 km) zu gelangen, kann man beliebig von der Straße abbiegen. Auf der Straße kann man 80 km/h, im Gelände nur 40 km/h fahren. Bei welcher x-Koordinate soll man abbiegen, damit die Gesamtfahrzeit minimal ist. Wie hoch ist diese Fahrzeit dann. Um welchen Prozentsatz wäre die Fahrzeit höher, wenn man gleich direkt vom Startpunkt zu Z fahren würde. Z(r) = Error! + Error! Minimum Error! = Error! = 0 r = 4,62 km Abzweigepunkt bei x = 50 – 4,62 = 45,38 Fahrzeit Z(4,62) = 0,8 h Fahrzeit Z(50) = 1,27 h Faktor = Error! = 1,59 also um 59 % mehr 022 Ermitteln Sie die Längen der beteiligten Strecken in der nebenstehenden Grafik, damit die Gesamtstrecke minimal wird. S = 4 x2 + 4002 + 1.400 – 2x Error! = Error! = 0 x = 230,94 d.h. Länge der Hauptverbindung = = 1.400 – 2 · 230,94 = 938,12 Länge der Streben = 461,89 m 023 024 Eine quaderförmige, 7 m hohe Halle soll so gebaut werden, dass die Grundfläche maximal wird. Es steht ein Budget von 2.100.000 EUR zur Verfügung. Ein Quadratmeter Boden kostet € 450,--, die Vorderfront kostet € 700,-- pro Quadratmeter, die Decke kostet € 500,-- pro Quadratmeter, alle anderen Seitenflächen kosten € 400,-- /m2. Wie sind die Abmessungen zu wählen. Welchen Anteil der Gesamtkosten machen die Kosten für die Vorderfront aus? Nebenbedingung: 2.100.000 = 450 · bt + 500 bt + 700 · 7 b + 400 · 7 b + 400 · 2 · 7t 2.100.000 = 7.700b + 950 bt + 5.600t b = Error! Ziel = b t = Error! mit t [0 / ) Maximum Error! = – Error! = 0 t = 47,62 m b = 34,63 K(vorn) = 700 · 34,63 · 7 = 169.696,-- Anteil = Error! = 8,0 % Die Kosten für die Wärmedämmung eines Gebäudes sind K(d) = Error!, wobei d der Dämmungsgrad in Prozent ist. Die jährlichen Einsparungen durch die Dämmung sind E(d) = 4d 2. Berechnen Sie den Grad der Dämmung, für den die Summe aller Einsparungen während der Nutzungsdauer von 20 Jahren, vermindert um die Errichtungskosten maximal wird. Wie hoch sind die Dämmungskosten in diesem Fall? Wie hoch ist der Gesamtgewinn, wenn bei der Errichtung nur € 150.000,-- für die Dämmung aufgewendet werden können. Um welchen Prozentsatz verringert sich dieser Gesamtgewinn gegenüber dem optimalen Gewinn? G(d) = 20 · 4d2 – Error! mit d [0 / 100] Maximum Error! = 160 d – Error! = 0 d1 = 3,345 G(3,345) = – 50835 (Minimum) d2 = 80,269 G (80,269) = 262.040,6 (Maximum) K(80.269) = 253.408 d3 = 116,386 nicht in der Definitionsmenge Dämmungskosten = 150.000 = Error! d = 66,7 % G(66,7) = 205.556 EUR 205.556;262.040 Verringerung = – 1 = – 21,6 % 6 025 Auf einer zweispurigen Straße mit der erlaubten Höchstgeschwindigkeit 130 km/h fahren Fahrzeuge mit einer Durchschnittslänge von 6 m. Die Abstandsregel soll „ 2 Sekunden“ lauten. Bei welcher Geschwindigkeit tritt der maximale Verkehrsfluss auf. Wie hoch ist dieser Fluss in Fahrzeugen pro Stunde? Um welchen Prozentsatz wird der Fluss kleiner, wenn sich die Kolonne mit 100 km/h bewegt? Gibt es eine obere Grenze für den Fluss? F(v) = Error! mit v [0 / 130]. F(v) = Error! Extremwert ist der rechte Randpunkt: F(130) = 3.323,9 Fz/h F(100) = 3.249 Fz/h Verringerung = Error!– 1 = – 2,25 % Idealwert = 3.600 Error! = Error! = 0 keine Lösung in R 026 Aus einem Baumstamm mit kreisförmigem Querschnitt und dem Durchmesser d = 80 cm soll ein Balken mit der Höhe h und der Breite b geschnitten werden. Die Tragkraft des Balkens soll proportional zum Quadrat der Höhe und zur Breite sein und soll maximiert werden. Um welchen Prozentsatz ist die Höhe größer als die Breite. Um welchen Prozentsatz sinkt die Tragkraft, wenn man einen quadratischen Querschnitt herausschneidet? T = k b h2 mit 802 = h2 + b2 also T(b) = k b (802 – b2) Error! = k (6400 – 3b2) = 0 b = 46,19 cm h = 65,32 Error! = 1,41, also + 41 % T(46,19) = 197.069 k 56,57 T(56,57) = 181.015 k quadratischer Querschnitt: 2a2 = 802 a = Error! = 0,92 also um 8 % weniger 027 Der Betrieb eines Tankers kostet 800 GE/h. Der stündliche Treibstoffverbrauch ist mit y = 8 + 0,04 v2 von der Geschwindigkeit (in km/h) abhängig (y in t/h). Eine Tonne Treibstoff kostet 50 GE. Mit welcher Geschwindigkeit kann der Tanker eine gegebene Strecke mit geringsten Kosten zurücklegen? Wie hoch ist dann der stündliche Treibstoffverbrauch? K(v) = 800 Error! + Error!(8 + 0,04v2) · 50 = Error! Error! = Error! = 0 v = 24,5 km/h y(24,5) = 32 t 028 Beim Bau eines Hochhauses kostet das Erdgeschoß 8400 GE. Jedes weitere Stockwerk kostet um 500 GE mehr. Jede Etage bringt Mieteinnahmen von 310 pro Jahr und Geschoß. Wie hoch soll man das Hochhaus bauen, damit der Gesamtgewinn über die Nutzungsdauer von 50 Jahren möglichst groß wird? Berücksichtigen Sie die Tatsache, dass die Anzahl der Stockwerke nur eine natürliche Zahl sein kann. G(n) = 310 · n · 50 – Error!(2 · 8.400 + (n – 1) · 500) = 50 n (147 – 5 n) Error! = 50 (147 – 10n) = 0 n = 14,7 G(14) = 53.900 G(15) = 54.000 029 Wo ist der Verzweigungspunkt zu wählen, wenn man entlang der Strecke XC 60 km/h und im Gelände (AX) nur 40 km/h fahren kann und die Gesamtfahrzeit minimal sein soll. Wie groß ist der Abzweigewinkel? t = Error! + Error! Error! = 0 x = 35,28 km 80 – x = 44,72 km XC = x = 35,28 50;44 tan = = 48,2° 72 030 Ein Betrag von € 80.000,-- ist per Ende 2012 und ein Betrag von € 150.000 ist per Ende 2030 fällig. Beide Beträge sollen durch eine Zahlung per Ende 2020 getilgt werden. Wie hoch ist der Zinssatz, der diese Zahlung minimal werden lässt und wie hoch ist diese Minimalzahlung dann. Welcher Betrag wäre bei einer Verzinsung von 6 % dek. gj. fällig und um wie viel Prozent ist dieser Betrag höher als der minimale? X(r) = 80.000 r8 + 150.000 r–10 Error! = 460.000 r7 – 1.500.000 r–11 = 0 r = 1,0485 X(1,0485) = 210.265 und X(1,06) = 211.267 d.i. um 0,5 % mehr als der minimale Betrag 031 Bei der Errichtung eines Gebäudes sind die Wärmedämmungskosten K(d) = Error!, d [0 / 100]; d in Prozent, K in 1.000 €. Die jährlichen Einsparungen sind linear und betragen E(d) = 2d + 5. Berechnen Sie für die Nutzungsdauer von 30 Jahren die Dämmung bei der der Gesamtgewinn (=Summe aller Einsparungen – Errichtungskosten) maximal wird. Wie hoch sind dann die Errichtungskosten? Wie groß kann die Dämmung sein, wenn aus Budgetgründen die Errichtungskosten nicht höher als € 666.666,-- sein dürfen. Um welchen Prozentsatz ist dann der Gesamtgewinn kleiner als beim Optimum? G(d) = 30 (2d + 5) – Error! mit d [0 / 100] d = 59,2 % C(d) = 666.666 d = 40% 032 G(59,2) = 2.251,02 G(40) = 1.883,33 C(59,2) = 1.449,49 –16,3 % Ein Hund hat einen stündlichen Energieumsatz (abhängig von seiner Laufgeschwindigkeit v) von e(v) = 4 + 0,02v2 (v in km/h). Mit welcher Geschwindigkeit kann er bei einem bekannten Gesamtenergieverbrauch die längste Strecke zurücklegen? s=vt = v 033 Error! = 60 – Error! E;4 + 0 02v2 Error! = Error! = 0 4 – 0,02v2 = 0 v = 14,1 km/h Zwischen den 4 Eckpunkten A, B, C, D in der Grafik ist eine Verbindung mit minimaler Gesamtlänge zu errichten. Wo müssen die Verzweigungspunkte X und Y liegen (d.h. wie groß ist x), damit das erreicht wird? Welchen Winkel schließt dann die Strecke AX mit der Strecke XY ein? Wie lang ist diese Gesamtstrecke? a = 200 m, b = 300 m L(x) = 4 1002 + x2 + (300 – 2x) Error! = Error! – 2 = 0 4x = 2 Error! 1002 + x2 3x2 = 10.000 x = 57,74 Gesamtlänge L(57,74) = 646,41 m 100;57 tan = = 60° 74 4x2 =
