Aufgabenblatt Nr. 5

Universität Basel
Prof. Dr. Enno Lenzmann
Analysis I/HS 2015
15.10.2015
Aufgabenblatt Nr. 5
Abgabe: Am Freitag, den 23.10.2015 bis 13:00 Uhr in der Spiegelgasse 1 in
das jeweilige Assistentenfach im Eingangsbereich im Erdgeschoss.
Hinweise: Die Aufgaben mit * sind für das Ergänzungsprogramm bestimmt. Sie
können die Aufgaben selbstversändlich gemeinsam bearbeiten, jedoch müssen Sie
Ihre Lösungen separat einreichen. Offensichtliches Kopieren ist nicht zulässig.
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Aufgabe 5.1. (8 Punkte). Seien pan q und pbn q zwei reelle konvergente Folgen mit
an Ñ a und bn Ñ b. Wir definieren die reellen Folgen pcn q und pdn q durch
cn :“ maxtan , bn u,
dn :“ mintan , bn u
für n P N.
Zeige, dass cn Ñ maxta, bu und dn Ñ minta, bu.
Aufgabe 5.2. (8 Punkte). Seien pan q und pbn q zwei reelle konvergente Folgen mit
an Ñ a und bn Ñ b.
(a) Sei pcn q eine reelle Folgen mit
an ď cn ď bn
für alle n P N.
Zeige: Gilt a “ b, dann ist pcn q konvergent mit cn Ñ a.
(b) Benutze u. a. (a) um zu zeigen, dass für alle α, β ě 0 gilt:
a
n
αn ` β n Ñ maxtα, βu.
Aufgabe 5.3. (8 Punkte). Es sei β ą 0 eine positive reelle Zahl. Ferner sei a0 P
p0, 2{βq und definiere die Folge pan q rekursiv durch
an`1 :“ an p2 ´ βan q für n P N.
Beweise, dass die Folge pan q monoton wächst für n ě 1 und gegen 1{β konvergiert.
Zeige dabei, dass die Folge pan q quadratisch gegen 1{β konvergiert, d. h. es gilt die
Abschätzung |an`1 ´ 1{β| ď C|an ´ 1{β|2 für alle n P N, wobei C ą 0 eine geeignete
Konstante ist.
Aufgabe 5.4. (8 Punkte). Bestimme die folgenden Grenzwerte:
`?
? ˘
p3n ´ 4qpn2 ` 1q
, pbq lim
n`1´ n ,
nÑ8 7np2n2 ` 10000q
nÑ8
˙n
ˆ
” ´
¯ı
a
1
pcq lim n 1 ´ 1 ´ a{n , pdq lim 1 ´ 2
,
nÑ8
nÑ8
n
wobei a P R eine gegebene Zahl in (c) ist. [Beachte, dass der Radikand 1 ´ a{n in
pcq für hinreichend grosses n nichtnegativ ist.]
Hinweis zu (d): Benutze die Bernoullische Ungleichung.
paq
lim
*Aufgabe 5.5. (8 Punkte). Beweise: Jede reelle Folge pan q enthält eine monotone
Teilfolge pank q.
Hinweis: Nehme an, die Folge pan q besitze keine monoton wachsende Teilfolge.
Zeige, dass sich dann eine monotone fallende Teilfolge von pan q finden lässt.
1
2
*Aufgabe 5.6. (8 Punkte). Für eine reelle Folge pan q8
n“1 definieren wir die Folge
pσn q8
durch
n“1
1
σn :“ pa1 ` . . . ` an q für n “ 1, 2, 3, . . .
n
(a) Zeige: Aus an Ñ a folgt, dass auch σn Ñ a gilt.
(b) Finde ein Beispiel für eine divergente Folge pan q, so dass pσn q konvergiert.
Begründe die Antwort.
**Aufgabe 5.7. (10 Zusatzpunkte1). Sei 0 ă a0 ă a1 ă a2 ă . . . eine streng
monoton wachsende und unbeschränkte Folge positiver reeller Zahlen. Zeige: Es
gibt genau ein n ě 1, so dass
a0 ` . . . ` an
an ă
ď an`1 .
n
Hinweis: Wer möchte kann einen hilfreichen Tipp auf der Webseite der Vorlesung
finden. Wer allerdings Spass am Probieren hat, sollte besser...
1Zusatzpunkte können sowohl auf das Standard- als auch auf das Ergänzungsprogramm angerechnet werden.