Einführung in die Logik für Informatiker

A
Fachbereich Mathematik
Dr. Mathias Kegelmann
Peter Lietz
Tobias Löw
Florence Micol
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester 2003
2. Juni 2003
Einführung in die Logik für Informatiker
Lösungshinweise zum sechsten Übungsblatt
Minitest
(T 1) Syntax der Prädikatenlogik
Es sei die Signatur Σ = (Ω, R, α) gegeben, wobei
Ω = {c, f, g},
R = {P, Q, R},
α(c) = 0, α(f ) = 1, α(g) = 2,
α(P ) = 0, α(Q) = 1, α(R) = 2.
Welche der folgenden Ausdrücke sind bezüglich dieser Signatur Terme, welche sind Formeln,
welche sind keines von beidem?
Terme: f (g(c, f (x)))
Formeln: P , ∀x.Q(x), ∀x.P , R(c, g(x, x))
Bei Q und R(x) stimmt die Arität α(Q) respektive α(R) nicht mit der Anzahl der Terme, auf
die das Relationssymbol angewendet wird, überein. Der Ausdruck ∃x.f (x) wäre nur dann eine
Formel, wenn f (x) eine Formel wäre, aber f ist Operationssymbol. Im Ausdruck ∀S.S(x) ∨
¬S(x) müsste S ein einstelliges Relationensymbol sein, da es auf ein Argument angewendet und
mit ∨ verknüpft wird. Über Relationssymbole kann jedoch in der Prädikatenlogik erster Stufe
nicht quantifiziert werden. Zuletzt ist ∀f.f (x) → g(c, x) gleich aus mehreren Gründen nicht
wohlgeformt: Terme werden nicht mit → verknüpft, über Funktionen wird nicht quantifiziert und
Variablen und Operationssymbole werden als disjunkt vorausgesetzt.
Präsenzübungen
(P 16) Belegungen
Gegeben seien eine Signatur Σ, ein Modell M, eine Belegung % und eine Formel A. Beweise oder
widerlege:
(a) Es gilt entweder M, % A oder M, % ¬A:
Per Definition gilt M, % A genau dann, wenn bei Interpretation in M gilt JAK% = w, und
M, % ¬A genau dann, wenn bei Interpretation in M gilt JAK% = f. Also gilt immer die
eine oder die andere Aussage.
(b) Es gilt entweder M A oder M ¬A:
Laut Definition bedeutet M A daß für jede Belegung % gilt M, % A und M ¬A
daß für jede Belegung % gilt M, % ¬A, das heißt m.a.W. daß für keine Belegung % gilt
M, % A. Nun gibt es aber Formeln die unter manchen Belegungen wahr sind und unter
anderen falsch. Ein Beispiel für diesen Fall findet sich in der Lösung zu (H 17).
Wenn A eine geschlossene Formel ist, dann ist JAK% = JAK%0 für beliebige Belegungen %, %0 . Dies ist
eine Konsequenz des in (H 16) zu zeigenden Resultats. Also gilt bezüglich geschlossener Formeln
auch die Aussage in (b).
(P 17) Semantik der Prädikatenlogik
Es sei die Signatur Σ = (Ω, R, α) gegeben, wobei Ω = {f }, R = {R} und α(f ) = 1, α(R) = 2.
Betrachte das Modell M = (M, f M RM ) für Σ, wobei
M = {0, 1, 2, 3},
(
n + 1 falls n 6= 3
f M (n) =
3
falls n = 3
RM = {(m, n) ∈ M × M | |m − n| ≤ 1, m + n 6= 3}
Interpretiere nun die folgenden Formeln in M. In Vorgriff auf (H 16) lassen wir die Belegung weg,
da sie nicht in die Interpretation geschlossener Formeln eingeht.
(a) M ∀x.∃y. R(f (x), y).
(b) M 6 ∃y.∀x. R(f (x), y): Begründung: das y kann nicht unabhängig von x gewählt werden.
(c) M ∃y.∀x. R(f (f (x)), y). Begründung: J∀x. R(f (f (x)), y)K%[y7→3] = w.
(P 18) Spiel-Interpretation
Sei Σ die Signatur ohne Operationssymbole und mit einem zweistelligen Relationssymbol R.
Weiter sei M das Modell mit unterliegender Menge
M = {0, 1, 2, 3}
und
RM = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3)}.
Außerdem sei % eine beliebige Belegung. Spiele mit Deinem Nachbarn bzw. Deiner Nachbarin das
Verifikations-Widerlegungs-Spiel für die Formel
A ≡ ∀x∀y∃z. R(z, x) ∧ R(z, y) ∧ (∀w. (R(w, x) ∧ R(w, y)) → R(w, z))
Die Relation RM kann auf folgende Art veranschaulicht werden.
72
ppp@
p
p
ppp ppp p
p
p
9 0 NNNN / 1 ==
NNN ==
NNN =
NNN==
N'
3
Dabei zeichnen wir einen Pfeil von m nach n genau dann, wenn (m, n) ∈ RM .
Die Formel A gilt nicht in M. Der Spieler W hat eine Gewinnstrategie.
Zunächst wählt W x = 2 und y = 2. Danach wählt V einen Wert für z. Falls z = 2 oder
z = 3 wählt W im nächsten Schritt den linken Teil der Konjunktion, R(z, x), und hat gewonnen.
Andernfalls wird der rechte Teil gewählt. W wählt nun w = 1. Jetzt kann V entweder ¬(R(w, x)∧
R(w, y)) oder R(w, z) auswählen1 . Im ersten Fall gewinnt W , da es eine Verteidigungsstrategie
für (R(w, x) ∧ R(w, y) gibt, im zweiten Fall gewinnt W genauso.
1
Beachte, dass die Implikation aufgelöst wird in eine Disjunktion.