gelten. Zusammn ergibt sich - Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät

Universität Leipzig
Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät
Professur für Volkswirtschaftslehre,
insbesondere Mikroökonomik
Prof. Dr. Harald Wiese
Klausur: Grundzüge der Mikroökonomik
Sommersemester 2001
Bearbeitungszeit:
60 Minuten
Maximal erzielbar:
60 Punkte
zulässige Hilfsmittel:
keine, insbesondere kein Taschenrechner
Sonstige Vorbemerkungen:
Schreiben Sie, bitte, leserlich!
Geben Sie kurze, präzise Antworten!
Machen Sie jeweils Ihren Rechenweg deutlich!
Aufgabe 1
(a)
(b)
(6 Punkte)
Definieren Sie den Begriff „Dominante Strategie“!
Definieren Sie den Begriff „Nash-Gleichgewicht“!
Lösungsvorschlag
(a) Eine Strategie eines Spielers heißt dominant, wenn sie bei jeder Strategiewahl
des Gegenspielers eine Auszahlung garantiert, die mindestes so hoch ist wie bei
irgendeiner anderen Strategie.
(b) Eine Strategiekombination heißt Nash-Gleichgewicht, wenn sich keiner der Spieler durch einseitiges Abweichen von seiner Strategie verbessern kann.
Aufgabe 2
(12 Punkte)
Ein Haushalt verfüge über ein Einkommen in Höhe von m. Seine Nutzenfunktion sei
durch
u( x1 , x2 )  min( x1 , 2  x2 )
gegeben. Der Preis für das erste Gut wird mit p1 und der Preis für das zweite Gut mit
p 2 bezeichnet.
(a)
Bestimmen Sie für Gut 1 die Nachfragefunktion und die Preiselastizität der
Nachfrage! Wie ist demnach das Gut zu klassifizieren?
(b)
Bestimmen Sie für Gut 1 die Engelkurve und die Einkommenselastizität der
Nachfrage! Wie ist demnach das Gut zu klassifizieren?
(c)
Bestimmen Sie die Einkommens-Konsum-Kurve!
Lösungsvorschlag
Im Haushaltsoptimum muss x1  2x 2 gelten (perfekte Komplemente!). Nach Einsetzen in die Budgetgerade p1 x1  p 2 x 2  m erhält man
m
x1 
.
(1)
1
p1  p 2
2
Zu (a). Die Nachfragefunktion für Gut 1 ergibt sich aus (1), wenn x 1 als Funktion der
Variablen p1 verstanden wird. Die Preiselastizität für Gut 1 lautet
dx p
p1
 p1
m
 x1 ,p1  1 1 

 0.
2
m
1
dp1 x 1 
1 
p1  p 2
 p1  p 2 
1
2
2


p1  p 2
2
Somit handelt es sich bei Gut 1 um ein gewöhnliches Gut.
Zu (b). Die Engelkurve ergibt sich aus (1), wenn x 1 als Funktion der Variablen m
verstanden wird. Die Einkommenselastizität für Gut 1 lautet
dx m
1
m
 x1 , m  1

 1  0.
1
m
dm x 1
p1  p 2
1
2
p1  p 2
2
Somit handelt es sich bei Gut 1 um ein normales Gut.
Zu (c). Die Gleichung der Einkommens-Konsum-Kurve lautet x 2 
1
x1 .
2
Aufgabe 3
(8 Punkte)
Ada und Onno leben in einer Zweier-WG. Neben dem Konsum von Tiefkühlpizza,
die Euro 4 das Stück kostet, ist die Goldfischzucht ihre einzige Freude. Das Halten
eines Goldfisches verursacht Ausgaben in Höhe von Euro 1. Die Präferenzen der
beiden sind durch die Nutzenfunktionen
u A x A , g   x A  2 g
1
2
uO xO , g   xO  2 g
und
1
2
gegeben, wobei uA Adas und uO Onnos Nutzenfunktion sowie xA die von Ada und xO
die von Onno konsumierte Menge Pizza ist, und g die Anzahl der in der WG gehaltenen Goldfische.
Bestimmen Sie die Pareto-optimale Anzahl Goldfische!
Lösungsvorschlag
Bei den Goldfischen handelt es sich um ein öffentliches Gut, bei der Pizza um ein
privates. Die Optimalitätsbedingung lautet
!
MRS A  MRSB  MRT .
Wobei
1
u A
2
2 g
d x A MU g
1
g
MRS A 




,
d g MU x A u A
1
g
 xA
1
 uO
2
MU g
2 g
dx
1
g
MRSO  O 



.
d g MU xO uO
1
g
 xO
und
MRT 
pg
px

1
4
gelten. Zusammn ergibt sich
MRS A  MRSO 
1
1
2 ! 1 pg


 
 MRT .
g
g
g 4 px
Auflösen nach g ergibt schließlich die Pareto-optimale Anzahl Goldfische, 64.
Aufgabe 4
(14 Punkte)
Die Marktnachfrage für ein Gut sei durch die folgende Nachfragefunktion gegeben:
Q(p) = 100(30 - p). Die langfristigen Kosten der diesen Markt bedienenden Unternehmen sind identisch und betragen
25  q 2
K q   
 0
für q  0,
für q  0,
wobei q die produzierte Menge ist. Auf dem Markt herrscht Wettbewerb mit freiem
Marktzu- und -austritt.
a) Wie viele Unternehmen agieren auf diesem Markt im langfristigen Gleichgewicht?
b) Der Staat erhebt nun eine Pauschalsteuer in Höhe von 75 von jedem Unternehmen, der die Unternehmen nur entgehen können, wenn sie aus dem Markt ausscheiden.
Wie ändert sich die Anzahl der am Markt befindlichen Unternehmen?
Lösungsvorschlag
a) Im langfristigen Gleichgewicht gilt
!
!
AC  MC  p .
Wir bestimmen zunächst diejenige Produktionsmenge eines Einzelunternehmens,
bei der die Durchschnittskosten minimal sind, AC = MC.
AC q  
K q  25  q 2 25
dK


 q  2q 
 MC q  .
q
q
q
dq
Auflösen nach q ergibt 5. Einsetzen in die Durchschnittskostenfunktion ergibt dann
die minimalen Durchschnittskosten und mit der Null-Gewinn-Bedingung AC = p auch
schon den Preis im langfristigen Gleichgewicht,
p  ACmin  AC 5 
25
 5  10 .
5
Einsetzen in die Nachfragefunktion ergibt die insgesamt produzierte Menge, denn
das Angebot entspricht ja der Nachfrage. Also
Q  Q10  100  30 10  2.000 .
Schließlich erhalten wir die Anzahl der am Markt befindlichen Unternehmen, indem
wir die insgesamt produzierte Menge (2.000) durch von einem Einzelunternehmen im
langfristigen Gleichgewicht produzierte Menge (5) teilen. Also
n
2.000
 400 .
5
b) Wir gehen ganz analog zur Teilaufgabe a) vor. Der einzige Unterschied ist die
durch die Pauschalsteuer geänderte Kostenfunktion – die Steuer kann ja als Kostenbestandteil aufgefaßt werden. Wir erhalten
25  q 2  75 für q  0,
K q   

0
für q  0.
Das Minimum der Durchschnittskosten wird über
AC q  
K q  100  q 2 100
dK


 q  2q 
 MC q 
q
q
q
dq
bei q = 10 erreicht. Der Preis im langfristigen Gleichgewicht beträgt also
p  ACmin  AC 10 
100
 10  20 .
10
Einsetzen in die Nachfragefunktion ergibt die insgesamt produzierte Menge
Q  Q20  100  30  20  1.000 .
Damit verbleiben nach der Einführung der Pauschalsteuer
n
1.000
 100
10
Unternehmen am Markt; die Anzahl der Markt agierenden Unternehmen sinkt um
300.
Aufgabe 5
(10 Punkte)
Ein Haushalt konsumiert zwei Güter, Ortsgespräche und Zitronen. Der Preis für Zitronen beträgt 1 Euro je Zitrone. Der Tarif der Telefongesellschaft setzt sich aus einer
monatlichen Grundgebühr von 8 Euro und einer Gebühr von 0,1 Euro je Gesprächseinheit zusammen. Die Nutzenfunktion des Haushaltes lautet
u xZ , xG   xZ xG ,
wobei xZ die Anzahl der konsumierten Zitronen und xG die Anzahl der Gesprächseinheiten ist, und sein monatliches Einkommen beträgt 20 Euro.
(a)
Stellen Sie die Budgetgerade graphisch dar!
(b)
Wie lautet das Haushaltsoptimum?
Lösungsvorschlag
a) Die Budgetgerade lautet in der analytischen Form:
pZ xZ  pG xG  m  Gebühr,
nach Einsetzung der Zahlen erhält man
1x Z  0,1xG  12 .
Die Achsenabschnitt ergeben sich als xG 
xZ 
12
 120 für x Z  0 und
0,1
12
 12 als für xG  0 .
1
Graphische Darstellung
XG
120
12
XZ
b) Das Haushaltsoptimum bestimmen wir nach den Optimierungsbedingungen
!
! p
MRS  Z und xZ  0.1xG 12 .
pG
!
MR S
x


OC
!
0.1x
 12
pZ
1

 10 .
pG 0.1
Die Grenzrate der Substitution berechnet man so:
Das Preisverhältnis ist
u
MU Z x Z xG
MRS 


.
u
MU G
xZ
xG
Aus diesen zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten erhält man xZ  6 , xG  60
*
*
und damit das Haushaltsoptimum x Z , xG   6,60 .
xG
xZ
 0.1  10  x Z

 12
10 
660.
Aufgabe 6
(10 Punkte)
Bestimmen Sie die Kostenfunktion c(y) für die Produktionsfunktion
y  f ( x1 , x2 )  x11/ 4 x23 / 4 ,
wenn der Preis des ersten Faktors 1 Euro beträgt und der Preis des zweiten Faktors
3 Euro.
Lösungsvorschlag
Kostenfunktion ist definiert als c y   min x1 , x2
mit y  f  x1 , x2 
w1 x1  w2 x2 
Die Kostenfunktion ergibt sich aus diesen zwei Bedingungen:
!
w
a) MRTS  1
w2
!
b) y  x11/ 4 x23 / 4 .
!
b)
y

1
x1
/
4
x
3
2
/
4
Die Grenzrate der technischen Substitution berechnet man als Quotient der Grenzproduktivitäten:
y
MP1 x1 1x2
MRTS 


MP2 y 3 x1
x2
und Preisverhältnis ist
w1
1
 .
w2
3
Die Gleichung a) impliziert x1  x2 .
Durch Einsetzung in die Gleichung b) bekommt man
y  x11/ 4 x13 / 4  x1  x2 .
Die Kostenfunktion lautet
c y   1x1*  y   3x2*  y   1y  3 y  4 y.