49313 - Mathe-CD

at
h
Sammlung von Aufgaben
d.
ec
Kostenfunktionen
- aus der Wirtschaftsmathematik -
de
Anwendungsaufgaben
in der Analysis
Die Berechnungen werden in der Regel mit CAS-Rechnern durchgeführt, wobei …
.m
Texas Instruments TI Nspire und
w
w
CASIO ClassPad 300 verwendet werden.
ür
w
Datei – Nr. 49313
D
em
o-
Te
xt
f
Friedrich Buckel
6. Mai 2013
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de
Inhalt
Aufgabe 1:
K x 
1
3200
Aufgabe 2:
K x 
1
10
Aufgabe 3:
G  x   ax  bx  cx  d wird aufgestellt
Aufgabe 4:
K  x   2,5x  15x  240
Aufgabe 5:
k x 
Aufgabe 6
Kostenfunktion, die Erlösfunktion und Gewinnfunktion aufstellen
34
Aufgabe 7
K  x   0,0065  x 3  0,06  x 2  4,2  x  2105
37
Aufgabe 8
k  x   0,0002  x 2  0,052  x  6,2 
Aufgabe 9
K x 
Aufgabe 10
K  x   0,02x 3  18x 2  6000x  500.000, x   (Abi 2007, HH)
52
Aufgabe 11
K  x   0,004x 3  0,3x 2  8x  24 (Abitur 2007 HH)
57
Aufgabe 12
K x 
62
Aufgabe 13
K  x   0,00097x 3  0,099x 2  3,58x  100 (Abitur 2011 BG, BW) 68
3
4
2
x  600x  50.000
3
2
x  40x  120000
15
2
19
de
3
2
d.
für x  0
ec
24
4
x
.m
x  25
22
at
h
50x  2250
(Abi 2006 BW)
ür
w
w
w
3
41 2 1789
 x3 
x 
x  15000
50000
625
50
1
30
x 3  92 x 2  270x  6000 (Abitur 2007 HH)
xt
f
Te
oem
D
3
x 
42
42
49313 Kostenfunktionen
Trainingsaufgaben
3
Aufgabe 1
(ähnlich zu Beispiel 5 in 49311/49312)
Die Radelgut KG produziert Fahrräder, maximal 1800 pro Woche. Man hat herausgefunden, dass die
de
Verkaufsfunktion (Nachfragefunktion) linear ist und kennt diese Daten:
Bei einem Preis von 1000 € sind sie unverkäuflich, bei einem Preis von 600 € können 1200 Räder
a)
1
3200
3
x 
3
4
2
x  600x  50.000 .
ec
K x 
Stelle die Nachfragefunktion und die Verkaufs(preis)funktion auf. Gib zwei Zahlenbeispiele zur
at
h
Nachfragefunktion an.
b)
d.
verkauft werden. Ferner gehorchen die Produktionskosten dieser Funktion:
Überprüfe, ob die Kostenfunktion Extremwerte und Wendepunkte besitzt.
.m
Interpretiere diese Punkte für die Kostenfunktion (Beschreibe die Kostenentwicklung in den
Bereichen x < 800 und 800 < x < 1800).
Berechne die Stückkostenfunktion und das Betriebsoptimum. Wie viel kostet die Herstellung
w
c)
Berechne die Erlösfunktion und die Gewinnfunktion. Berechne die Gewinnzone. Berechne den
ür
w
d)
w
eines Fahrrads beim Betriebsoptimum und wie teuer wird die ganze Produktion für den Betrieb?
minimalen Erlös und den zugehörenden Verkaufspreis und Gewinn.
Wie viel Prozent beträgt der Unterschied zwischen dem Gewinn bei maximalem Erlös und dem
Was ist der Cournotsche Punkt? Erkläre seine Bedeutung und gib alle zugehörigen Daten an.
Zwei Lösungen: Mit TI Nspire bzw. mit CASIO ClassPad.
D
em
o-
Te
e)
xt
f
maximalen Gewinn?
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49313 Kostenfunktionen
Trainingsaufgaben
4
Lösung Aufgabe 1
1. Lösung:
a)
Manuell mit begleitenden Screenshots von CASIO ClassPad
Bestimmung der Nachfragefunktion.
Laut Aufgabe ist sie linear, es gilt also macht man diesen Ansatz:
de
n p   a  p  b
Zur Bestimmung von m und n haben wir zwei Vorgaben zum Einsetzen:
a  1000  b  0
(1)
n(600)  1200
a  600  b  1200
(2).
(1) – (2):
400  a  1200
Aus (1):
b  1000  m  1000   3   3000
ec

a  3
n  p  = -3p + 3000
at
h
Ergebnis: Verkaufsfunktion (Nachfragefunktion):
Zahlenbeispiele dazu:
n(600)  3  600  3000  1800  3000  1200
p = 1000 €:
n(1000)  3  1000  3000  0
p  300 €
n  300   3  300  3000  2100
w
.m
p = 600 €:
w
WISSEN:
d.
n 1000   0 :
Die Verkaufspreisfunktion ist die Umkehrfunktion zur Nachfragefunktion:
n  p   3  p  3000
ür
w
Wir stellen also die Nachfragefunktion nach p um:

3p  3000  n

Oder in anderer Bezeichnung:
n
3
p  x   1000 
1
3
x
xt
f
Extrem- und Wendepunkte der Kostenfunktion:
Kostenfunktion:
K x 
Ableitungen:
K 'x 
3
3200
x 
K ''  x  
3
1600
x
o-
Te
b)
p  1000 
D
em
Berechnung der Extrempunkte:
x 
1
3200
3
2
x  600x  50.000
3
4
2
3
2
x  600
3
2
K '(x)  0
3
3200
2
x 
3
2
x  600  0
|  3200
3
x 2  1600 x  640.000  0
x1,2 
1600  16002  4  640.000 1600  0

 800
2
2
Einzige Lösung
x = 800.
Kontrolle:
K ''  800   0
Das heißt: Verdacht auf Wendepunkt. K '''  800  
3
1600
0
Es gibt keine Extrempunkte, denn es liegt ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente vor,
also ein Terrassenpunkt:
W  800 | 210.000 
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49313 Kostenfunktionen
Trainingsaufgaben
5
Gibt es weitere Wendepunkte?
K ''  x   0
Bedingung:
3
3
x 2
1600
d. h.
0
Diese lineare Gleichung hat nur eine Nullstelle x = 800.
Nebenstehende Kurve zeigt die Kostenfunktion.
Für x < 800 steigt K streng monoton
de
mit Rechtskrümmung, d.h. mit
abnehmendem Wachstum (Rechtskurve!),
d.
d.h. die Kostenzunahme nimmt ab.
Für 800 < x < 1800 haben wir progressives
ec
Wachstum: Steigende Kosten, und
die Kostenzunahme nimmt zu.
at
h
(Linkskrümmung!)
800
D
em
o-
Te
xt
f
ür
w
w
w
.m
Dieselbe Berechnung mit CASIO ClassPad, dazu die grafische Darstellung der Kostenfunktion.
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