Technische Mathematik

4
Technische Mathematik
Grundlagen
Mathematische Zeichen
Math.
Zeichen
Sprechweise
Math.
Zeichen
Sprechweise
fi
‡
…
6
ungefähr gleich, rund, etwa
entspricht
und so weiter
unendlich
=
Ï
==
<
gleich
ungleich
ist definitionsgemäß gleich
kleiner als
æxæ
o
ø
ΩΩ
Betrag von x
senkrecht zu
ist parallel zu
gleichsinnig parallel
‰
>
›
+
kleiner oder gleich
größer als
größer oder gleich
plus
Ωº
@
™
9
gegensinnig parallel
Winkel
Dreieck
kongruent zu
minus
mal, multipliziert mit
durch, geteilt durch, zu, pro
Summe
Dx
Delta x
(Differenz zweier Werte)
Prozent, vom Hundert
Promille, vom Tausend
def
–
·
ı, /, :
V
log
lg
ln
e
Logarithmus (allgemein)
dekadischer Logarithmus
natürlicher Logarithmus
Eulersche Zahl (e = 2,718281 …)
sin
cos
tan
cot
Sinus
Kosinus
Tangens
Kotangens
,
ax
03
n
03
%
‰
( ), [ ], { }
p
AB
A£
B
a*, a+
a1, a2
proportional
a hoch x, x-te Potenz von a
Quadratwurzel aus
n-te Wurzel aus
runde, eckige, geschweifte
Klammer auf und zu
pi (Kreiszahl = 3,14159 …)
Strecke AB
Bogen AB
a Strich, a zwei Strich
a eins, a zwei
Zahlenmengen
Bezeichnungen
2+4i; 3-2i; 1,3i; ...
p; e; sin23°; 2
-3,75; 1/2; 3 1/7
...; -3; -2; -1; ...
[0]
[0]; 1; 2;
3; ...
Natürliche Zahlen,
positive ganze Zahlen [mit Null]
Ganze Zahlen,
ganze Zahlen
plus negative
Rationale Zahlen (Quotienten),
plus Bruch- und Dezimalzahlen
Reelle Zahlen, plus nicht durch
Brüche darstellbare Zahlen
Komplexe Zahlen (Complex) aus
Realteil u. Imaginärteil; mit i 2 =-1
ist Teilmenge von
Zusammenhang der Zahlenmengen
Grundlagen
Besondere Zahlen (Auswahl)
Kreiszahl
p = 3,141592 …
Eulersche Zahl
e = 2,71828 …
Wurzel aus 2
022 = 1,4142135 …
Absoluter Nullpunkt
T = – 273,16 °C
Wurzel aus 3
023 = 1,7320508 …
Erdbeschleunigung
g = 9,80665 m/s2
Primzahlen
2; 3; 5; 7; 11; 13 …
Lichtgeschwindigkeit
c = 299792458 m/s
Avogadrozahl NA
6,022 · 1023 1/mol
Fluchtgeschwindigkeit
v = 11,2 km/s
molare
Gaskonstante
R = 8,31 J/(mol · K)
Goldener Schnitt
F = 1,618 033 …
Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion (Auswahl)
Bezeichnungen
1
cos
sin
p
3
p
0
90°
180°
3p
2
270°
2p
sin a
cos a
a
ar
rad
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Winkel (°)
Winkel (rad)
Radiant, Winkel im Bogenmaß
360°
Umrechnung: Grad und Radiant
ar = a · p
a = ar · 180°
p
-1
180°
a
a
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
ar
0
p
6
p
4
p
3
p
2
2p
3
3p
4
5p
6
p
sin a
0
1
2
02
2
2
02
3
2
1
02
3
2
02
2
2
1
2
0
cos a
1
02
3
2
02
2
2
1
2
0
tan a
0
02
3
3
1
023
±6
sin, cos, tan für 180° < a ≤ 360°
–
1
2
– 023
–
02
2
2
–
02
3
2
–1
–1
–
02
3
3
0
sin, cos, tan für p < ar ≤ 2p
sin (a – 180°) = sin a
sin (ar – p) = sin ar
cos (a – 180°) = cos a
cos (ar – p) = cos ar
tan (a – 180°) = tan a
tan (ar – p) = ar
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5
Technische Mathematik
6
Technische Mathematik
Grundlagen
Griechisches Alphabet mit Anwendungsbeispielen
Griechischer
Buchstabe
Gesprochen
A
a
Alpha
B
b
Beta
G
g
Gamma
D
d
Delta
z. B. verwendet für …
Freiwinkel, Winkel, Längenausdehnungskoeffizient
Keilwinkel, Winkel
Spanwinkel, Winkel, spezifischer Widerstand
Differenz,
Winkel
E
e
Epsilon
Z
z
Zeta
Verlustbeiwert von Armaturen
H
h
Eta
Wirkungsgrad
J
q
Theta
I
i
Iota
K
k
Kappa
Dehnung, Eckenwinkel (Wendeschneidplatte)
Thermodynamische Temperatur (°K),
Temperatur (°C)
höhere Mathematik
Einstellwinkel (Drehen), elektrische Leitfähigkeit
L
l
Lambda
Wellenlänge, Wärmeleitfähigkeit,
Neigungswinkel (Wendeschneidplatte)
M
m
My
Reibungskoeffizient, Prozessmittelwert
N
n
Ny
Sicherheitszahl
X
x
Xi
höhere Mathematik
O
o
Omikron
höhere Mathematik
Produkt-Symbol,
Kreiszahl 3,1415 …
P
p
Pi
R
r, ρ
Rho
S
s
Sigma
T
t
Tau
U
u
Ypsilon
F
f
Phi
Wärmestrom (Q), Goldener Schnitt,
Winkel, Phasenverschiebung, Stoßfaktor
C
c
Chi
Statistisches Merkmal
Y
y
Psi
Wärmedurchgangskoeffizient
W
w
Omega
Dichte, Winkel, Leiterwiderstand
Summe-Symbol,
Normalspannung, Prozessstandardabweichung
Schubspannung, Torsionsspannung
Achsenbezeichnung
Zeichen für Ohm,
Winkelgeschwindigkeit
Grundlagen
Grundrechenarten
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
a
b
c
Summand
Summand
Summe
a+b=c
a
b
c
Minuend
Subtrahend
Differenz
a–b=c
a
b
c
Multiplikator
Multiplikator
Produkt
a·b=c
a
Dividend,
Zähler
Divisor,
Nenner, b Í0
Quotient,
Wert des Bruches
b
c
aıb=c
Bruchschreibweise:
a
=c
b
Vorzeichenregeln
Vorzeichenregeln
Addition
+ (+ a) = + a
+ (– a) = – a
Subtraktion
– (+ a) = – a
– (– a) = + a
Multiplikation
+·+ =+
+·– =–
–·+=–
–·– =+
Division
+:+ =+
+:– =–
–:+=–
–:– =+
Rechengesetze
„Punkt vor
Strich“
a + b · c = a + (b · c)
Kommutativgesetz …
… der Addition:
… der Multiplikation:
a+b=b+a
a·b=b·a
Assoziativgesetz …
… der Addition:
… der Multiplikation:
(a + b) + c = a + (b + c)
a · (b · c) = (a · b) · c
Distributivgesetz …
a · (b + c) = a · b + a · c
Klammern
Klammern
auflösen
(a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d
a + (b + c) = a + b + c
a – (b + c) = a – b – c
Ausklammern
a · b + a · c = a · (b + c)
7
Technische Mathematik
Technische Mathematik
8
Technische Mathematik
Grundlagen
Grundoperationen mit Brüchen
a
Zähler
b
Nenner
k
ganze Zahl
Multiplikation
von Brüchen
a, c
Zähler
Erweitern
a
Zähler
b
Nenner
a k
a·k
·
=
b k b·k
k
Zahl, mit der
erweitert wird
Der Wert des Bruches bleibt gleich.
Multiplikation
mit ganzer Zahl
Division durch
ganze Zahl
Division
b, d Nenner
a
Zähler
b
Nenner
k
ganze Zahl
a, c
Zähler
b, d Nenner
a
a·k
·k=
b
b
a c
a·c
· =
b d b·d
a
a
ık=
b
b·k
a c a
d a·d
·
=
ı =
b d b
c b·c
Multiplikation mit Kehrwert:
c
d
Kürzen
Addition und
Subtraktion
Kehrwert
d
c
a
Zähler
b
Nenner
aık
bık
k
Zahl, durch die
gekürzt wird
Der Wert des Bruches bleibt gleich.
a, c
Zähler
b, d Nenner
a c a d c b a·d+c·b
+ = · + · +
b d b d d b
b·d
a c a d c b
a·d–c·b
– = · – · +
b d b d d b
b·d
9
Technische Mathematik
Technische Mathematik
Grundlagen
Potenzterm
Bezeichnungen
an
=x
a
Basis (Grundzahl)
n oder m Exponent (Hochzahl)
an = a · a · a · a · … · a
n Faktoren
an
Potenz
x
Potenzwert
Rechenoperationen mit Potenzen
Addition und
Subtraktion
… bei gleicher Potenz in allen Termen
Multiplikation
bei gleicher Basis
g · an – j · an + h · an = an (g – j + h)
bei gleichem Exponenten
an · am = an + m
Division
bei gleicher Basis
an · bn = (a · b)n
bei gleichem Exponenten
n
± ≤
an = an – m
am
an = a
b
bn
Potenzieren
m
±an≤ = an · m
Sonderformen
von a n
n =1
n=0
a1 = a
Umwandeln
von Potenzen
in Wurzeln
a0 = 1
n
am =
m
a
12
n
n = –1
1
a –1 =
a
n<0
a –n =
1
an
10
Technische Mathematik
Grundlagen
Wurzelterm
Bezeichnungen
n
02
a=x
n
n
n, m
n
a = 12
a · 12
a · … · 12
a
Wurzelexponent
a
Radikant
x
Wurzelwert
n Wurzeln
Rechenoperationen mit Wurzeln
Addition und
Subtraktion
… bei gleichem Wurzelexponenten in allen Termen
Multiplikation
bei gleichem Radikant
n
n
n
n
m
12
a · 12
a=
Division
n
a – j · 12
a + h · 12
a = 12
a (g – j + h)
g · 12
bei gleichem Wurzelexponent
m·n
m+n
1a2
bei gleichem Radikant
m
n
n
12
a · 12
b = 1a2
·b
bei gleichem Wurzelexponent
n
12
a
n
n
=
m·n
m–n
1a2
12
a
12
a
n
12
b
n
=
12b
a
Potenzieren
n
n
m
a ≤ = 12
am
± 12
Radizieren
(Wurzelziehen)
Hinweise zur
Quadratwurzel
m
12
12
a =
n
n
m·n
12
a=
12
12
a
m
Der Wurzelexponent entfällt:
2
x = ± 12
a ∫ x = ± 12
a
Umwandeln
von Wurzeln
in Potenzen
m
a =a
12
n
n
m
Es gibt zwei Werte für x :
x1 = + 12
a ; x2 = – 12
a
Grundlagen
Lineare Funktion – Gerade
y2
y 2 – y1
y1
Bezeichnungen
f(x) = m · x + b
y
Q(x2 y2)
P(x1 y1)
Dy
a
Dx
b
y, f(x)
P, Q
x1, x2
y1, y2
Dx
Dy
x2
x1
x
x2 – x 1
m
b
a
Funktion von x
Punkte auf der Geraden
x-Koordinaten der Punkte
y-Koordinaten der Punkte
Differenz von P nach Q in
x-Richtung
Differenz von P nach Q in
y-Richtung
Steigung, Differenzenquotient
Schnittpunkt mit y-Achse
Steigungswinkel
Geradengleichung
y = f(x) = m · x + b
Bestimmung von m und b
gegeben:
• 2 Punkte
P (x1; y1)
Q (x2; y2)
m=
gegeben:
• 1 Punkt
P (xp; yp)
• m oder a
b = y1 – m · x1
Dy y2 – y1
=
Dx x2 – x1
b = y2 – m · x2
m ist gegeben
b = yP – m · xp
oder
m = tan a
Zwei Geraden: g1 = m1 · x + b1 und g2 = m2 · x + b2
g1
y
g2
ys
Parallele Geraden
Schnittpunkt
S
g2
senkrechte
Geraden
g1
m1 = m2
Senkrechte Geraden
m1 = –
•
g1
1
m2
b1, b2 beliebig
Schnittpunkt S (xs; ys)
xs =
g2
b1 Íb2
parallele
Geraden
xs
x
b1 – b2
m2 – m1
ys = m1 · xs + b1
m1 Ím2
Technische Mathematik
11
Technische Mathematik
12
Technische Mathematik
Grundlagen
Quadratische Funktion – Parabel
Bezeichnungen
y
y, f(x)
Funktion von x
f(x) = a · ( x – xs ) 2 + ys
S
Scheitelpunkt
mit a = 1, xs > 0, ys < 0
xs, ys
Koordinaten des Scheitelpunktes
a
Faktor
a > 0: Parabel oben offen
Streckung: a > 1
Normalparabel: a = 1
Stauchung: a < 1
a < 0: Parabel unten offen
Streckung: a < –1
neg. Normalparabel: a = –1
Stauchung: –1 < a < 0
x1, x2
Nullstellen (y = 0)
x1
xs
x2
x
ys
S
A, B, C Koeffizienten des Polynoms
Parabelgleichung – Scheitelform
y = f(x) = a · (x – xs)2 + ys
Nullstellen
Parabelgleichung – Polynom
y = f(x) = A · x 2 + B · x + C
Nullstellen
1 –2
4 · a · ys
x1/2 = xs ±
2·a
x1/2 =
2 – 4 · AC
– B ± 1B
3
2·A
keine reellen Nullstellen wenn
– 4 · a · ys < 0
keine reellen Nullstellen wenn
B 2 – 4 · AC < 0
Scheitelform aus Polynom
Polynom aus Scheitelform
a=A
B
xs =
2·A
ys = C –
B2
4·A
A=a
B = – 2 · a · xs
C = a · xs2 + ys
Grundlagen
Binomische Formeln
1. binomische
Formel
a
1. Glied
b
2. Glied
(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
2. binomische
Formel
(a – b)2 = a2 – 2 ab + b2
3. binomische
Formel
(a + b) · (a – b) = a2 – b2
Quadratische Gleichung (Normalform) lösen
pq-Formel
x
Variable
p
Faktor beim x
q
konstantes Glied
x1/2
Lösungen der Normalform (Nullstellen)
D
Diskriminante
(Wert unter Wurzel)
Normalform
x2 + p · x + q = 0
Diskriminante
D = p2 – 4 · q
Fälle:
D > 0 es gibt 2 reelle Lösungen
Lösungen
D = 0 es gibt eine doppelte
reelle Lösung
x1/2 =
p
±
2
p
133
±2≤ – q
2
D < 0 keine reelle Lösung
Quadratische Gleichung (allgemeine Form) lösen
abc-Formel
x
Variable
(„Mitternachtsformel“)
a
Faktor beim x 2
b
Faktor beim x
Allgemeine Form
a · x2 + b · x + c = 0
c
konstantes Glied
x1/2
Lösungen der Normalform Diskriminante
D
Diskriminante
(Wert unter Wurzel)
D = b2 – 4 · ac
Fälle:
D > 0 es gibt 2 reelle Lösungen
D = 0 es gibt eine doppelte
reelle Lösung
D < 0 keine reelle Lösung
Lösungen
x1/2 =
2 – 4 · ac
– b ± 1b
3
2·a
Technische Mathematik
13
Technische Mathematik
14
Technische Mathematik
Grundlagen
Gleichungssystem mit 2 Unbekannten
Bezeichnungen
2 x 2-Gleichungssystem:
x, y
a1 · x + b1 · y = L1 (1)
a2 · x + b2 · y = L2 (2)
Unbekannte
a1, a2
Koeffizienten von x
b1, b2
Koeffizienten von y
L1, L2
Lösungen der Gleichungen
Einsetzungsverfahren
• (1) z. B. nach y auflösen:
a1 · x + b1 · y = L1
b1 · y = L1 – a1 · x
• (3) in (2) einsetzen:
a2 · x + b2 ·
y=
L1 a1
– ·x
b1 b1
±bL
–
1
1
(3)
≤
a1
· x = L2
b1
(4)
• (4) ausmultiplizieren, nach x auflösen und x berechnen.
• Das berechnete x in die Gleichung (1) oder (2) einsetzen und y berechnen.
Gleichsetzungsverfahren
• (1) und (2) nach y auflösen:
a1 · x + b1 · y = L1
a2 · x + b2 · y = L2
b1 · y = L1 – a1 · x
L a
y= 1– 1·x
b1 b1
b2 · y = L2 – a2 · x
(3)
y=
L2 a2
– ·x
b2 b2
(4)
• Die beiden y aus (3) und (4) gleichsetzen, nach x auflösen und x berechnen.
• Das berechnete x in die Gleichung (1) oder (2) einsetzen und y berechnen.
Additionsverfahren
• (1) mit b2 und (2) mit – b1 multiplizieren, die beiden Gleichungen untereinanderschreiben und addieren:
+ – a1 · b2 · x + b1 · b2 · y = L1 · b2
+ – a2 · b1 · x – b1 · b2 · y = L2 · b1
+ – (a1 · b2 – a2 · b1) · x = L1 · b2 – L2 · b1
• Das Ergebnis nach x auflösen und x berechnen.
• Das berechnete x in die Gleichung für y einsetzen und y berechnen.
Grundlagen
Gleichungssystem mit 2 Unbekannten
Bezeichnungen
2 x 2-Gleichungssystem:
x, y
a1, a2
b1, b2
L1, L2
D, Dx, Dy
a1 · x + b1 · y = L1 (1)
a2 · x + b2 · y = L2 (2)
Determinantenverfahren
Determinante berechnen
a1 b1
= a1 · b2 – b1 · a2
D=
a2 b2
Unbekannte
Koeffizienten von x
Koeffizienten von y
Lösungen der Gleichungen
Determinanten
x-Determinante berechnen
L1 b1
= L1 · b2 – b1 · L2
L2 b2
Dx =
y-Determinante berechnen
a1 L1
= a1 · L2 – L1 · a2
Dy =
a2 L2
x und y berechnen
x=
Dx
D
y=
Dy
D
für D Í0
Gleichungssystem mit 3 Unbekannten
Bezeichnungen
3 x 3-Gleichungssystem:
x, y, z
a1, a2, a3
b1, b2, b3
c1, c2, c3
L1, L2, L3
a1 · x + b1 · y + c1 · z = L1
a2 · x + b2 · y + c2 · z = L2
a3 · x + b3 · y + c3 · z = L3
Unbekannte
Koeffizienten von x
Koeffizienten von y
Koeffizienten von z
Lösungen der Gleichungen
Determinante berechnen
Rechenweg: Haupt- minus Nebendiagonalen
a1 b1 c1
a1 b1 c1 a1 b1
a2 b2 c2 a2 b2
D=
a2 b2 c2
a3 b3 c3
a3 b3 c3 a3 b3
D = a1 · b2 · c3 + b1 · c2 · a3 + c1 · a2 · b3 – (c1 · b2 · a3 + a1 · c2 · b3 + b1 · a2 · c3)
x-Determinante berechnen
Rechenweg: Haupt- minus Nebendiagonalen
L1 b1 c1
L1 b1 c1 L1 b1
L2 b2 c2
L2 b2 c2 L2 b2
L3 b3 c3
L3 b3 c3 L3 b3
Dx = L1 · b2 · c3 + b1 · c2 · L3 + c1 · L2 · b3 – (c1 · b2 · L3 + b1 · L2 · c3 + L1 · c2 · b3)
Dx =
y-Determinante berechnen
Rechenweg: Haupt- minus Nebendiagonalen
a1 L1 c1
a1 L1 c1 a1 L1
Dy = a2 L2 c2
a2 L2 c2 a2 L2
a3 L3 c3
a3 L3 c3 a3 L3
Dy = a1 · L2 · c3 + L1 · c2 · a3 + c1 · a2 · L3 – (c1 · L2 · a3 + L1 · a2 · c3 + a1 · c2 · L3)
z-Determinante berechnen
Rechenweg: Haupt- minus Nebendiagonalen
a1 b1 L1
a1 b1 L1 a1 b1
a2 b2 L2 a2 b2
Dz = a2 b2 L2
a3 b3 L3
a3 b3 L3 a3 b3
Dz = a1 · b2 · L3 + b1 · L2 · a3 + L1 · a2 · b3 – (L1 · b2 · a3 + b1 · a2 · L3 + a1 · L2 · b3)
x, y und z berechnen:
x=
Dx
D
y=
Dy
D
z=
Dz
D
für D Í0
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Technische Mathematik
16
Technische Mathematik
Anwendungen
Größen und Einheiten
SI-Basisgrößen und Basiseinheiten
Basisgröße
Basiseinheit
Einheitenzeichen
Länge
Meter
m
Masse
Kilogramm
kg
Zeit
Sekunde
s
Elektrische Stromstärke
Ampere
A
Thermodynamische Temperatur
Kelvin
K
Stoffmenge
Mol
mol
Lichtstärke
Candela
cd
Dezimale Vielfache oder Teile von Einheiten
Vorsatz
Vorsatz
Zehnerpotenz
Zeichen
Name
Zehnerpotenz
Zeichen
Name
T
Terra
1012
d
Dezi
10–1 = 0,1
G
Giga
109
c
Zenti
10–2 = 0,01
M
Mega
106 = 1 000 000
m
Milli
10–3 = 0,001
Kilo
103
= 1000
µ
Mikro
10–6 = 0,000001
h
Hekto
102
= 100
n
Nano
10–9
da
Deka
101 = 10
p
Piko
10–12
k
Umrechnungsfaktoren für Einheiten (Auszug)
Größe
Umrechnungsfaktoren, z. B.
Längen
1m
= 1 km
1 = 10 mm = 1000 mm =
1 cm
1m
1000 mm 1000 m
Flächen
2
2
2
2
1 = 100 mm = 100 cm = 1 cm = 1 dm
1 cm2
1 dm2
100 mm2 100 cm2
Volumen
3
3
3
3
= 1 dm
1 = 1000 mm = 1000 cm = 1 cm
1 cm3
1 dm3
1000 mm3 1000 cm3
Zeit
1 = 60 min = 3600 s = 60 s = 1 min
1h
1h
1 min
60 s
Winkel
1 = 60’ = 60’’ = 3600’’ = 1°
1°
1’
1°
60 s
Zoll
1 inch = 25,4 mm; 1 mm =
1 inch
25,4
Anwendungen
Größen und Einheiten
Größe
Formelzeichen
Einheitenname
Einheitenzeichen
Länge
Œ
Länge
Beziehung
1m=
1 µm =
1 mm =
1 cm =
1 dm =
1 km =
Meter
m
m
µm
mm
cm
dm
km
1
106
1 000 000
1
103
1000
10–3
0,001
1
102
100
10–4
0,0001
10–1
0,1
1
101
10
10–5
0,00001
10–2
0,01
10–1
0,1
1
10–3
0,001
10–9
10–6
0,000 001
10–3
0,001
10–2
0,01
10–1
0,1
103
1000
103
1000
104
10 000
105
100 000
109
101
10
102
100
106
1 000 000
101
10
105
100 000
104
10 000
10–6
0,000 001
10–5
0,00001
10–4
0,0001
1
1 inch = 1 Zoll = 25,4 mm
Fläche
Fläche
Beziehung
1 m2 =
1 mm2 =
1 cm2 =
1 dm2 =
A, S
m2
1
10–6
0,000 001
10–4
0,0001
10–2
0,01
Quadratmeter
Ar
Hektar
mm2
106
1 000 000
1
102
100
104
10 000
m2
a
ha
cm2
104
10 000
10–2
0,01
1
dm2
102
100
10–4
0,0001
10–2
0,01
1
102
100
1 a = 100 m2; 1 ha = 100 a = 10 000 m2; 100 ha = 1 km2
Volumen
V
Volumen
Beziehung
1
m3
=
1 mm3 =
1 cm3 = 1 m“ =
1 dm3 = 1 “ =
m3
1
mm3
109
10–9
1
10–6
0,000 001
10–3
0,001
103
1000
106
1 000 000
Kubikmeter
Liter
cm3 = m“
106
1 000 000
10–3
0,001
1
103
1000
m3
—, L
dm3 = “
103
1000
10–6
0,000 001
10–3
0,001
1
Technische Mathematik
17
Technische Mathematik
18
Technische Mathematik
Anwendungen
Größen und Einheiten
Größe
Einheit
Formelzeichen
Name
Beziehung
Zeichen
Mechanik
Masse
m
Kilogramm
Gramm
kg
g
Megagramm
Tonne
Karat
Mg
t
1 kg
1g
= 1000 g
= 1000 mg
1t
0,2 g
= 1000 kg = 1 Mg
= 1 Kt
längenbezogene
Masse
m*
Kilogramm
pro Meter
kg/m
1 kg/m = 1 g/mm
flächenbezogene
Masse
m+
Kilogramm
pro Meter
hoch zwei
kg/m2
1 kg/m2 = 0,1 g/cm2
Dichte
r, ρ
Kilogramm
pro Meter
hoch drei
kg/m3
1000 kg/m3 = 1 t/m3
= 1 kg/dm3
= 1 g/cm3
= 1 g/ml
= 1 mg/mm3
Newton
N
= 1 kg ·2 m = 1 J
m
s
1 MN = 103 kN = 1 000 000 N
Newton
mal Meter
N·m
2
1 N · m = 1 kg ·2m
s
Pascal
Pa
Newton
pro Millimeter
hoch zwei
N/mm2
1 Pa = 1 N/m2 = 0,01 mbar
1 bar = 100 000 N/m2
= 10 N/cm2 = 105 Pa
1 mbar = 1 hPa
1 N/mm2 = 10 bar = 1 MN/m2
= 1 MPa
1 daN/cm2 = 0,1 N/mm2
Kraft
F
Gewichtskraft
FG, G
Drehmoment
Biegemoment
Torsionsmoment
M
Mb
M T, T
Druck
mechanische
Spannung
Flächenmoment
2. Grades
Energie, Arbeit,
Wärmemenge
Leistung,
Wärmestrom
p
s, t
I
1N
Meter hoch vier m4
Zentimeter hoch cm4
vier
1 m4 = 100 000 000 cm4
E, W
Joule
J
1J =1N·m=1W·s
= 1 kg · m2/s2
P
Watt
W
1 W = 1 J/s = 1 N · m/s
= 1 V · A = 1 m2 · kg/s3
= 1 PS = 0,7355 kW
G
Anwendungen
Größen und Einheiten
Größe
Formelzeichen
Einheit
Name
Beziehung
Zeichen
Zeit
Zeit,
Zeitspanne,
Dauer
Frequenz
t
f, v
Drehzahl,
Umdrehungsfrequenz
n
Geschwindigkeit
v
Winkelgeschwindigkeit
Beschleunigung
w
a, g
Sekunde
Minute
Stunde
Tag
Jahr
s
min
h
d
a
1 min = 60 s
1 h = 60 min = 3600 s
1 d = 24 h = 86 400 s
Hertz
Hz
1 Hz = 1/s
1 pro Sekunde
1/s
1/s
1 pro Minute
1/min
= 60/min = 60 min–1
1/min = 1 min–1 = 1
60 s
Meter pro
Sekunde
m/s
1 m/s
Meter pro
Minute
m/min
1 m/min = 1 m
60 s
Kilometer pro
Stunde
km/h
1 km/h = 1 m
3,6 s
1 pro Sekunde
Radiant pro
Sekunde
1/s
rad/s
w=2p·n
Meter pro
Sekunde
hoch zwei
m/s2
1 m/s2 = 1 m/s
1s
= 60 m/min
= 3,6 km/h
Thermodynamik und Wärmeübertragung
Thermodynamische
Temperatur
CelsiusTemperatur
T, Q
Kelvin
K
0 K = – 273,15 °C
t, h
Grad Celsius
°C
0 °C = 273,15 K
0 °C = 32 °F
0 °F = – 17,77 °C
Wärmemenge
Q
Joule
J
1J =1W·s=1N·m
1 kW · h = 3 600 000 J = 3,6 MJ
1 kcal = 4,1868 kJ
1 kcal = 4186,8 Ws
1 kcal = 1,166 Wh
Spezifischer
Heizwert
Hu
Hi
Joule pro
Kilogramm
Joule pro
Meter hoch drei
J/kg
1 MJ/kg = 1 000 000 J/kg
J/m3
1 MJ/m3 = 1 000 000 J/m3
Technische Mathematik
19
Technische Mathematik
20
Technische Mathematik
Anwendungen
Größen und Einheiten
Größe
Einheit
Formelzeichen
Name
Beziehung
Zeichen
Elektrizität und Magnetismus
Elektrische
Stromstärke
Elektr. Spannung
Elektr. Widerstand
Elektr. Leitwert
I
U
R
G
Ampere
Volt
Ohm
Siemens
A
V
O
S
1 V = 1 W/1 A = 1 J/C
1 O = 1 V/1 A
1 S = 1 A/1 V = 1/O
r
Ohm mal
Meter
Siemens
pro Meter
O·m
10–6 O · m = 1 O · mm2/m
f
Hertz
Hz
1 Hz
= 1/s
1000 Hz = 1 kHz
Elektr. Arbeit
W
Joule
J
1J
=1W·s=1N·m
1 kW · h = 3,6 MJ
1 W · h = 3,6 kJ
Phasenverschiebungswinkel
j
–
–
für Wechselstrom gilt:
Elektr. Feldstärke
Elektr. Ladung
Elektr. Kapazität
Induktivität
E
Q
C
L
Volt pro Meter
Coulomb
Farad
Henry
V/m
C
F
H
Leistung
Wirkleistung
P
Watt
W
1 W = 1 J/s = 1 N · m/s
=1V·A
rad
1 rad = 1 m/m = 57,2957…°
= 180°/p
1°
= p rad = 60*
180
1*
= 1°/60 = 60+
1+
= 1*/60 = 1°/3600
Spezifischer
Widerstand
Leitfähigkeit
Frequenz
g, k
S/m
cos j =
P
U·I
1 C = 1 A · 1 s; 1 A · h = 3,6 kC
1 F = 1 C/V
1 H = 1 V · s/A
Winkel
ebener
Winkel
(Winkel)
a, b, g … Radiant
Grad
°
Minute
Sekunde
*
+