Algebra – Blatt 11

Prof. Dr. Benjamin Klopsch
Sommersemester 2017
Algebra – Blatt 11
Abgabe der Lösungen bis zum 03.07.2017, 12.00 Uhr in den dafür vorgesehenen Kästen
Bitte geben Sie Lösungen zu den ersten beiden Aufgaben ab; weitere Informationen auf
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/Algebra_SS17/.
Aufgabe 11.1
(8 Punkte)
(a) Seien α, β ∈ C algebraisch über Q mit MinpolQ (α) = X 2 − 2 und MinpolQ (β) =
X 2 − 4X + 2. Zeigen Sie, daß die Körper Q(α) und Q(β) isomorph zueinander sind.
(b) Bestimmen Sie, welche der untenstehenden Polynome f ∈ K[X] über dem angegebenem Körper K als Minimalpolynom MinpolK (α) eines Elements α ∈ L eines Erweiterungskörpers L von K auftreten:
(i) f = X 2 − 4, K = Q,
(ii) f = X 2 + 1, K = Z/7Z,
(iii) f = X 2 + 1, K = Z/17Z.
(c) Bestimmen Sie die Minimalpolynome der folgenden komplexen Zahlen über dem jeweils angegebenem Körper:
√
√
(iii) (1 + 5)/2 über Q,
(i) 1 + i über Q,
(ii) − 3 + 7 über R,
√
(iv) e2πi/5 über Q,
(v) e2πi/5 über Q( 5).
(d) Sei L∣K eine endliche Körpererweiterung, und sei f ∈ K[X] irreduzibel und grad(f ) > 1.
Zeigen Sie: Gilt grad(f ) ∤ [L ∶ K], so besitzt f keine Nullstellen in L.
Aufgabe 11.2
(8 Punkte)
√ √
√ √
(a) Zeigen Sie, daß Q( 5, 7) = Q( 5 + 7) ist.
(b) Versuchen Sie das Beispiel in (a) geeignet√zu verallgemeinern.
√
√ √ Finden Sie heraus, für
welche a, b ∈ Z die entsprechende Aussage Q( a, b) = Q( a + b) gilt.
(Hinweis: Ist a =/ b eine hinreichende Bedingung? Ist diese Bedingung notwendig?)
(c) Sei p1 , . . . , pr eine endliche Folge von paarweise verschiedenen Primzahlen. Zeigen Sie,
√
√
daß [Q( p1 , . . . , pr ) ∶ Q] = 2r ist.
(Hinweis: Verwenden Sie Induktion nach r und beweisen Sie der Einfachheit halber sogar
√
√
√
√
etwas mehr als verlangt. Setzen Sie dazu Q( p1 , . . . , pr )2 = {α2 ∣ α ∈ Q( p1 , . . . , pr )}.
Es bietet sich beweistechnisch an, folgende weitere Behauptung hinzuzufügen
√
√
Q( p1 , . . . , pr )2 ∩ Q = {pe11 ⋯perr q 2 ∣ e1 , . . . , er ∈ {0, 1} und q ∈ Q}.
√
√
√
Verwenden Sie im Induktionsschritt, daß 1, pr eine Basis für Q( p1 , . . . , pr ) über
√
√
Q( p1 , . . . , pr−1 ) bilden und verwenden Sie die Gradformel.)
Bitte wenden!
S. 1/2
Algebra – Blatt 11
S. 2/2
Aufgabe 11.3
√
√ √
Zeigen Sie daß [Q( 2, 1 + i) ∶ Q] = 8 ist. (Hinweis: Hierbei bezeichnet w = 1 + i √
eine
der beiden möglichen komplexen Zahlen, deren Quadrat gleich 1 + i ist. Es gilt ww = 2.)
Aufgabe 11.4
(a) Seien m, n ∈ N, d = ggT(m, n) und p ∈ P. Zeigen Sie, mittels Division mit Rest, daß
ggT(X p − X, X p − X) = X p − X
m
n
d
in Fp [X].
Insbesondere gilt: m ∣ n genau dann, wenn (X p − X) ∣ (X p − X).
(Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass ggT(X k − 1, X l − 1) = X ggT(k,l) − 1 für k, l ∈ N.)
(b) Zeigen Sie: Ist K ein endlicher Körper, mit Primkörper Fp , so gilt ∣K∣ = pn für
n
n = [K ∶ Fp ] und folglich αp − α = 0 für alle α ∈ K.
m
(c) Folgern Sie: Ist f ∈ Fp [X] irreduzibel vom Grad m, so gilt f ∣ (X p − X).
(d) Seien p ∈ P und n ∈ N. Zeigen Sie unter Verwendung von Aufgabe 10.4 (e): Das
n
Polynom X p −X zerfällt in Fp [X] in ein Produkt von paarweise verschiedenen normierten
irreduziblen Polynomen.
(e) Seien p ∈ P und n ∈ N. Sei Fp (n) die Menge aller normierten irreduziblen Polynome
f ∈ Fp [X] mit grad(f ) = n. Folgern Sie aus den bisherigen Teilaufgaben:
m
Xp − X = ∏
n
n
∏
f.
m∣n f ∈Fp (m)
(f) Folgern Sie mit Hilfe der Möbius-Inversion (siehe Aufgabe 10.3):
#Fp (n) = n−1 ∑ µ(d)pn/d ≥ n−1 (pn − (p⌊n/2⌋+1 − 1)(p − 1)−1 ) > 0.
d∣n
Also gibt es zu jeder vorgegebenen Primzahlpotenz wenigstens einen Körper der Kardinalität pn .