15. Übungsblatt

KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE (KIT)
INSTITUT FÜR ANALYSIS
Dr. Christoph Schmoeger
Dipl. Math. Alexander Ullmann
WS 2009/10
11.02.2010
Analysis I
15. Übungsblatt
— keine Abgabe —
Aufgabe 57
Berechnen Sie jeweils das unbestimmte Integral:
Z 5
x − 3x4 + x3 − 2x2 − 5x − 4
dx ,
b)
a)
x3 − 3x2 + x − 3
Z
x2
dx,
d)
c)
1 − x4
Z
2 − 4x + 3x2
dx,
x3 − 3x2 + 4x − 2
Z
1
dx.
1 + x4
Aufgabe 58
Berechnen Sie die folgenden Stammfunktionen, indem Sie die Berechnung durch geeignete Substitution auf die Berechnung von Stammfunktionen rationaler Funktionen zurückführen:
√
Z x
Z
e −1
x− x
√ dx,
a)
dx,
b)
ex + 1
x+ x
Z
Z
log4 x − 1
dx
√ .
c)
dx,
d)
√
3
x(log x + 1)
4 x + x3
Aufgabe 59
Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz, und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Wert.
√
Z ∞
Z ∞
1
x x
dx,
b)
dx,
a)
2
(2x − 1)
x(log x)2
2
1
Z ∞
Z ∞
y
c)
dy,
d)
esx cos(tx) dx (s < 0, t ∈ R).
sinh
y
−
y
0
0
Aufgabe 60
Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale konvergieren oder divergieren:
Z ∞
Z ∞
1
−t
√
a)
e log(1 + t) dt
b)
dx
4
cosh x − 1
0
0
Z 1
Z ∞
√
4
c)
(log x) dx
d)
x cos(x2 ) dx
0
Analysis I–15 11.02.2010
0
— bitte wenden —
Aufgabe 61
a)
Es sei x > 0. Zeigen Sie, daß die uneigentlichen Integrale
Z 1
Z ∞
e−t tx−1 dt und
e−t tx−1 dt
0
1
konvergieren und daß somit die Funktion Γ : (0, ∞) → R,
Z ∞
Γ(x) :=
e−t tx−1 dt
0
wohldefiniert ist.
b)
Zeigen Sie, daß für alle x > 0
Γ(x + 1) = x Γ(x)
gilt, und folgern Sie
für alle n ∈ N.
Γ(n + 1) = n!
Aufgabe 62
Welche der folgenden Funktionen sind von beschränkter Variation?
x log x, x 6= 0,
f : [0, 1/e] → R,
x 7→
0,
x = 0;
g : [0, 1] → R,
h : [0, π] → R,
x2 cos
0,
(ex − x − 1) sin x1 , x 6= 0,
0,
x = 0.
x 7→
x 7→
π
x2
, x 6= 0,
x = 0;
Produktdarstellung von Polynomen
Jedes Polynom q(x) := a0 + a1 x + · · · + an xn , an 6= 0, besitzt eine Darstellung der Form
(Q)
q(x) = an (x − x1 )%1 · · · (x − xr )%r · (x2 + A1 x + B1 )σ1 · · · (x2 + As x + Bs )σs .
Dabei sind %1 , . . . , %r , σ1 , . . . , σs ∈ N, und es ist
%1 + · · · + %r + 2σ1 + · · · + 2σs = n.
Die x1 , . . . , xr sind die reellen Nullstellen von q, die Polynome x2 + Aj x + Bj besitzen keine reellen Nullstellen.
Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen
p(x)
eine echt gebrochene rationale Funktion, d. h. p und q sind Polynome, und der Grad von p ist
q(x)
kleiner als der Grad von q. Das Nennerpolynom habe die Darstellung (Q). Dann besitzt r eine Summendarstellung
der Form
Es sei r(x) :=
r(x) =
a11
a12
a1%1
+
+ ···
x − x1
(x − x1 )2
(x − x%1 )%1
+···
ar2
ar1
ar%r
+
+
+ ···
x − xr
(x − xr )2
(x − xr )%r
α11 x + β11
α12 x + β12
α1σ x + β1σ1
+ 2
+ 2
+ ··· + 2 1
x + A1 x + B1
(x + A1 x + B1 )2
(x + A1 x + B1 )σ1
+···
αs1 x + βs1
αs2 x + βs2
αsσ x + βsσs
+ 2
+ ··· + 2 s
,
x2 + As x + Bs
(x + As x + Bs )2
(x + As x + Bs )σs
reelle Zahlen sind.
+
wobei die ajk , ανµ und βνµ
Analysis I–15 11.02.2010
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