68620971 UNTERRICHT ZUR VORBEREITUNG AUF DEN UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN REALSCHULREIFELEHRGANG ODER FACHSCHULREIFELEHRGANG DER BUNDESWEHRFACHSCHULE M A T H E M A T I K LEHREINHEIT 05 INHALT: Rechnen mit Verhältnissen Prozent und Zinsrechnung 1 / 28 Stand: 01.07.2006 68620971 5. RECHNEN MIT VERHÄLTNISSEN; PROZENT- UND ZINSRECHNUNG 3 5.1 Der Begriff „Verhältnis“ 4 5.2 Sachverhalte mit gleichen Verhältnissen 6 5.3 Sachverhalte mit umgekehrten Verhältnissen 8 5.4 Prozentrechnung 5.4.1 Prozentsatz 5.4.2 Prozentwert 5.4.3 Grundwert 12 12 14 16 5.5 Zinsrechnung 5.5.1 Die Berechnung der Zinsen 5.5.2 Berechnung des Zinssatzes 5.5.3 Berechnung des Kapitals 5.5.4 Berechnung der Zeit 18 18 20 21 22 Aufgaben zur Lehreinheit 05 23 Lösungen der Übungen und Aufgaben 24 2 / 28 Stand: 01.07.2006 68620971 5. Rechnen mit Verhältnissen; Prozent- und Zinsrechnung Erinnerungen an die Schulzeit Aufgabe 1: Aufgabe 2: 8 Eier kosten 2 €, was kosten 11 Eier? Für Frühjahrsarbeiten im Stadtpark benötigen 6 Arbeiter 12 Tage. Wieviel Tage benötigen 8 Arbeiter? Rechnen Sie! Derartige Aufgaben lassen sich mit dem Dreisatz lösen. Dabei sind zwei Fälle zu beachten. Fall 1: Je mehr Eier gekauft werden, umso mehr muss bezahlt werden, man spricht von einem gleichen Verhältnis. Fall 2: Je mehr Arbeiter eingesetzt werden, umso weniger Zeit wird (normalerweise) benötigt, man spricht von einem umgekehrten Verhältnis. Die Lösungen mit dem Dreisatz und dem Zeichen ≙ (entsprechen, entspricht): zu Aufgabe 1: 8 Eier kosten 2 € 11 Eier kosten ? ≙ 2€ 8 Eier : 8 = 1 Ei ≙ 2 € : 8 = 0,25 € 11 ∙ 1 Ei = 11 Eier ≙ 0,25 € ∙ 11 = 2,75 € 8 Eier zu Aufgabe 2: 6 Arbeiter benötigen 12 Tage 8 Arbeiter benötigen ? 6 Arbeiter ≙ 12 Tage 1 Arbeiter ≙ 12 Tage ∙ 6 = 72 Tage 8 ∙ 1 Arbeiter = 8 Arbeiter ≙ 72 Tage : 8 = 9 Tage Beim gleichen Verhältnis wie in Aufgabe 1 wird auf beiden Seiten des Zeichens ≙ in gleicher Weise gerechnet, es wird nur dividiert oder nur multipliziert. Beim umgekehrten Verhältnis wie in Aufgabe 2 ist bei einer Division auf einer Seite eine Multiplikation auf der anderen Seite erforderlich. Das besondere Merkmal beim Dreisatz ist die Umrechnung auf eine Einheit ( 1 Ei, 1 Arbeiter ). 3 / 28 Stand: 01.07.2006 68620971 Eine Aufgabe, die mit dem Dreisatz lösbar ist, lässt sich schneller mit Hilfe einer Verhältnisgleichung oder Produktgleichung lösen, in der die Umrechnung auf eine Einheit nicht benötigt wird. Wie, das erfahren Sie in 5.2 und 5.3. Besonders wichtig beim Thema „Rechnen mit Verhältnissen“ ist die Prozent- und Zinsrechnung. Diese werden in 5.4 und 5.5 behandelt. Zunächst werden in 5.1 die Begriffe „Verhältnis“ und „Verhältnisgleichung“ genauer erklärt. 5.1 Der Begriff „Verhältnis“ Auf einer Karte (Maßstab 1 : 25 000, lies: 1 zu 25 000) sind in ebenem Gelände drei Türme A, B und C eingetragen. Wie groß sind die Entfernungen von A nach B und von B nach C? Gemessen werden: von A bis B 8 cm, von B bis C 5 cm. Der Maßstab 1 : 25 000 gibt das Verhältnis zwischen Länge auf der Karte und wirklicher Länge an. 1 mm auf der Karte entspricht 25 000 mm im Gelände (Verhältnis 1 : 25 000) 1 cm auf der Karte entspricht 25 000 cm im Gelände (Verhältnis 1 : 25 000) D.h. 8 cm auf der Karte entsprechen 8 ∙ 25 000 cm = 200 000 cm im Gelände (Verhältnis 8 : 200 000) 5 cm auf der Karte entsprechen 125 000 cm im Gelände (Verhältnis 5 : 125 000) Von A nach B sind es also 2 km, von B nach C 1,25 km. 4 / 28 Stand: 01.07.2006 68620971 Der Maßstab 1 : 25 000 lässt sich auch so erklären: Die Länge auf der Karte beträgt 1 von der wirklichen Länge. 25000 Das Zeichen „:“ entspricht einem Bruchstrich. Man kann schreiben: 8 cm 8 1 1 : 25000 200000 cm 200000 25000 5 cm 5 1 5 cm : 125 000 cm = 1 : 25000 125000 cm 125000 25000 8 cm : 200 000 cm = Perfekt ausgedrückt lässt sich sagen: Der Quotient zweier Größen mit gleicher Einheit heißt Verhältnis. Die nicht mehr kürzbare Form heißt Wert des Verhältnisses. Beispiel: a) Das Verhältnis der Längen 15 m und 80 m ist 15 m 15 3 3 :16 80 m 80 16 b) Das Verhältnis von 4,8 cm und 1,2 km ist 4,8 cm 4,8 cm 48 1 : 25000 1,2 km 120000 cm 1200000 c) Das Verhältnis von 1,25 m und 0,75 m ist 1,25 m 125 5 5:3 0,75 m 75 3 Übungen zu 5.1 1. In welchem Verhältnis stehen folgende Größen? a) 8 cm und 16 cm b) 48 cm und 24 cm d) 48 dm : 16 dm e) 38 kg und 57 kg h) 0,4 kg : 3,2 kg 2. Wie groß ist die Geländestrecke? a) Maßstab 1 : 300 000, Kartenstrecke 12 cm b) Maßstab 1 : 200 000, Kartenstrecke 2,5 cm 3. Wie groß ist der Maßstab? a) Kartenstrecke 12 cm, Geländestrecke 600 m b) Kartenstrecke 26 cm, Geländestrecke 65 km 4. Wie groß ist die Kartenstrecke? a) Maßstab 1 : 10 000, Geländestrecke 550 m b) Maßstab 1 : 25 000, Geländestrecke 6,2 km 5 / 28 Stand: 01.07.2006 c) 21 m und 63 m g) 1,2 kg : 0,9 kg 68620971 5. Ein Kaufmann bezahlt für eine Ware 36 € und verkauft sie wieder für 42 €. a) In welchem Verhältnis steht der Verkaufspreis zum Einkaufspreis? b) In welchem Verhältnis steht der Einkaufspreis zum Verkaufspreis? 5.2 Sachverhalte mit gleichen Verhältnissen Sie stehen vor einem Turm und möchten wissen, wie hoch er ist. Ihnen steht ein Zollstock zur Verfügung, außerdem scheint die Sonne. Die Turmhöhe lässt sich ganz ungefährlich mit Hilfe der Schattenlängen und der Zollstocklängen berechnen, denn Turmhöhe und Schattenlänge des Turms stehen in gleichem Verhältnis wie Zollstocklänge und Schattenlänge des Zollstockes (Turm und Zollstock stehen senkrecht). Rechnen Sie, bevor Sie weiter lesen! Haben Sie es mit dem Dreisatz versucht? Vielleicht so: 1,50 m Schattenlänge ≙ 2 m Höhe 1 m Schattenlänge ≙ 2 m : 1,50 = 1, 3 m Höhe 15,75 m Schattenlänge ≙ 1,3 m ∙ 15,75 = 21 m Höhe Man kann die Lösung auch mit einer so genannten Verhältnisgleichung finden: Turmhöhe : Schattenlänge Turm = Zollstocklänge : Schattenlänge Zollstock D.h. x m : 15,75 m = 2 m : 1,50 m d.h. xm 2m 15,75m 1,50m 6 / 28 Stand: 01.07.2006 Verhältnisgleichung! 68620971 Diese Gleichung lässt sich nach dem Kürzen von m wie in LE 04/4.3 lösen. x 2 / 15,75 15,75 1,50 x 2 15,75 31,5 x x 21 1,50 1,5 Der Turm ist 21 m hoch. Noch ein Beispiel: 7 kg einer Ware kosten 16,80 € Wieviel kosten 9 kg? Übersicht mit x: 7 kg ≙ 16,80 € 9 kg ≙ x € Überlegung: Die doppelte Menge kostet doppelt so viel. Die Verhältnisse sind gleich. Als Lösungsansatz wird eine Verhältnisgleichung gewählt. Rechnung: Aus rechentechnischen Gründen ist es bei Verhältnisgleichungen immer sinnvoll, die Variable x zuerst hinzuschreiben. x € : 9 kg = 16,80 € : 7 kg Da auf beiden Seiten die Einheiten gleich sind (€/kg), kann man schreiben: x 16,80 | 9 9 7 16,80 9 x 7 x 21,60 Ergebnis: 9 kg kosten 21,60 € Mit dem Dreisatz: 7 kg ≙ 16,80 € 1 kg ≙ 16,80 € : 7 = 2,40 € 9 kg ≙ 2,40 € ∙ 9 7 / 28 Stand: 01.07.2006 = 21,60 € 68620971 Versuchen Sie nun, die folgenden Übungen mit Hilfe von Verhältnisgleichungen zu lösen. Als Kontrolle kann der Dreisatz dienen. Übungen zu 5.2 1. 25 kg einer Ware kosten 35 €. Wieviel kosten 72 kg? 2. 27 kg einer Ware kosten 226,80 €. Wieviel kg bekommt man für 126 €? 3. Eine Rolle mit 400 m Draht wiegt 3,6 kg. Wieviel m enthält eine Rolle mit dem gleichen Draht, die ein Gewicht von 2,25 kg hat? 4. Ein LKW braucht 18 l Treibstoff für 100 km. a) Wieviel braucht er für 265 km? b)Wie weit kommt er mit 45 l? 5.3 Sachverhalt mit umgekehrten Verhältnissen Setzt man für eine bestimmte Arbeit doppelt so viel Arbeiter ein, so ist anzunehmen, dass man diese Arbeit in der halben Zeit schafft. Wenn 2 Arbeiter 16 Stunden benötigen, benötigen 4 Arbeiter 8 Stunden, d.h. 2 Arbeiter ≙ 16 Stunden 4 Arbeiter ≙ 8 Stunden. Es handelt sich um einen Sachverhalt mit umgekehrten Verhältnissen (je mehr...., desto weniger ....). Achtung! Für die obige Arbeit müssen in jedem Fall 32 Arbeitsstunden bezahlt werden! Bei 2 Arbeitern wurden 2 ∙ 16 Stunden bezahlt, bei 4 Arbeitern 4 ∙ 8 Stunden. Man kann dies in einer so genannten Produktgleichung ausdrücken: 2 ∙ 16 = 4 ∙ 8. Beispiel: Eine Hauswand kann von 4 Maurern in 12 Stunden verputzt werden. Wie lange arbeiten 6 Maurer daran? Übersicht: 4 Maurer ≙ 12 Stunden 6 Maurer ≙ x Stunden Überlegung: Doppelt so viel Maurer benötigen halb so viel Zeit. Die Verhältnisse sind umgekehrt. Als Lösungsansatz wird eine Produktgleichung gewählt. 8 / 28 Stand: 01.07.2006 68620971 Ergebnis: 4 Maurer ∙ 12 Stunden = 6 Maurer ∙ x Stunden. 4 ∙ 12 = 6 ∙x 4 12 x 6 8 x 6 Maurer benötigen 8 Stunden. Probe: 4 ∙ 12 Stunden = 6 ∙ 8 Stunden Rechnung: I :6 Noch ein Beispiel: In einer Großstadt wird eine Omnibuslinie von 12 Wagen in Zeitabständen von 10 min befahren. Wieviel Wagen sind einzusetzen, wenn die Zeitabstände 8 min sein sollen? Übersicht: 10 min ≙ 12 Wagen 8 min ≙ x Wagen Überlegung: Eine Verdopplung der Zeitabstände (20 min) bedeutet eine Halbierung der Anzahl der Wagen (6 Wagen). Die Verhältnisse sind umgekehrt ⇒ Ansatz Produktgleichung. Rechnung: 10 ∙ 12 = 8 ∙ x |:8 10 12 x 8 15 x Ergebnis: Es werden 15 Wagen benötigt. Übungen zu 5.3 1. Eine Rohrleitung kann von 6 Arbeitern in 24 Tagen verlegt werden. a) Wie lange würden 16 Arbeiter dazu benötigen? b) Wieviel Arbeiter muss man einsetzen, um die Leitung in 8 Tagen zu verlegen? 2. Eine Kantine ist bei täglichem Bedarf von 40 kg Zucker für 15 Tage eingedeckt. Wie groß ist der tägliche Verbrauch, wenn der Zucker nur 10 Tage reicht? 3. Ein Wasserbehälter kann durch 3 Röhren in 10 h gefüllt werden. Wie lange dauert das Füllen, wenn zusätzlich noch ein gleiches Rohr geöffnet ist? 9 / 28 Stand: 01.07.2006 68620971 Bei jeder Bewegung bestehen zwischen der Geschwindigkeit eines Fahrzeuges und seiner Fahrzeit umgekehrte Verhältnisse. Beispiel: Ein Auto fährt bei 80 km/h von Hamburg nach Hannover 1 h 45 min. Bei welcher Geschwindigkeit schafft es den Weg in 1 h 15 min? Überlegung: Bei doppelter Geschwindigkeit braucht man die halbe Fahrzeit. Die Verhältnisse sind umgekehrt. Übersicht: 80 km/h ≙ 1,75 h x km/h ≙ 1,25 h Rechnung: x ∙ 1,25 = 80 ∙ 1,75 | : 1,25 80 1,75 x = 1,25 x = 112 Ergebnis: Die Geschwindigkeit muss 112 km/h betragen. 4. Ein Auto braucht bei 60 km/h von Stuttgart nach München 4 h. Wie lange ist es unterwegs bei a) 50 km/h b) 100 km/h ? Beispiel: Ein Rechteck ist 6 m lang und 4 m breit. Wie breit ist ein flächengleiches Rechteck, das 8 m lang ist? Überlegung: Bei doppelter Länge hat das Rechteck nur halbe Breite. Die Verhältnisse sind umgekehrt. Übersicht: 6 m Länge ≙ 4 m Breite 8 m Länge ≙ x m Breite Rechnung: 8∙x=6∙4 |:8 64 x = 8 x = 3 Ergebnis: Das Rechteck ist 3 m breit. 5. Ein Grundstück ist 12,5 m lang und 9,6 m breit. Es wird in ein gleich großes Stück von 7,5 m Breite getauscht. Wie lang muss dieses sein? 6. Eine Treppe mit 39 Stufen zu je 20 cm Höhe wird erneuert und dabei die Stufenhöhe um 6 cm vergrößert. Wieviel Stufen hat die neue Treppe? 7. In einem Waschraum braucht man für die Wand 648 Kacheln zu je 6,25 dm2. Wieviel Kacheln benötigt man bei einer Kachelgröße von 2,25 dm 2? 10 / 28 Stand: 01.07.2006 68620971 Drehzahlen Drehzahl nennt man die Anzahl der Umdrehungen je Minute, kurz: „U/min“. Beispiel: Ein Getrieberad mit 54 Zähnen hat die Drehzahl 126 U/min. Welche Drehzahl hat das eingreifende Rad, das 36 Zähne besitzt? Überlegung: Bei doppelter Drehzahl kann ein Getrieberad nur halb so viel Zähne besitzen. Die Verhältnisse der Drehzahlen und Anzahl der Zähne sind umgekehrt. Übersicht: 126 U/min ≙ 54 Zähne x U/min ≙ 36 Zähne Rechnung: x ∙ 36 = 126 ∙ 54 126 54 x = 36 x = 189 Ergebnis: Das Rad macht 189 U/min. | : 36 8. Zwei Getrieberäder haben 34 bzw. 51 Zähne. Welche Drehzahl hat das kleinere Rad, wenn das größere Rad a) 84 U/min b) 110 U/min macht ? 9. Das Zahnrad einer Übersetzung hat 96 Zähne und dreht sich 50 mal. Wieviel Zähne hat das eingreifende Rad, das sich gleichzeitig 80 mal dreht? 11 / 28 Stand: 01.07.2006 68620971 5.4 Prozentrechnung Sie erhalten eine Rechnung über 3220 € mit dem Vermerk: innerhalb von 8 Tagen 3 % Skonto. Welcher Betrag ist zu zahlen, wenn Sie die 3 % Skonto ausnutzen wollen? (Lösung im Anhang) Haben Sie die Lösung mit dem Dreisatz versucht? Besonders in der Prozentrechnung können Berechnungen mit dem Dreisatz durchaus günstiger sein als mit Hilfe einer Formel; besonders dann, wenn die Behandlung des Themas „Prozentrechnung“ eine gewisse Zeit zurückliegt. In dieser Lehreinheit werden beide Möglichkeiten gezeigt. Probieren Sie sie aus und entscheiden Sie selbst, welche Möglichkeit für Sie die günstigere ist. 5.4.1 Prozentsatz Die Angaben 1 %, 2 % usw. liest man bekannter weise „1 Prozent, 2 Prozent“ usw. und nennt sie Prozentsätze. Es handelt sich um Verhältnisse. Es bedeutet: 1% = 1 7 12 100 = 0,01; 7% = = 0,07; 12% = = 0,12; 100% = =1 100 100 100 100 Beispiel: Wieviel Prozent von 8 kg sind 4 kg? Lösung: Das Verhältnis von 4 kg zu 8 kg ist 4 kg 4 1 50 50 % 8 kg 8 2 100 Ergebnis: Der Prozentsatz beträgt 50 %. Mit Fachbegriffen versehen, lässt sich dies auch so formulieren. 50 % von Prozentsatz Es gilt: 12 / 28 Prozentsatz = Stand: 01.07.2006 8 kg Grundwert Pr ozentwert Grundwert sind 4 kg Prozentwert 68620971 Beispiel: a) Wieviel Prozent von 800 kg sind 32 kg? 32 kg 4 Lösung: Prozentsatz = 4% 800 kg 100 b) Wieviel Prozent von 720 € sind 450 €? 450 € 62,5 Lösung: Prozentsatz = 0,625 62,5 % 720 € 100 (Von der Zahl 0,625 gelangt man direkt zur Prozentangabe 62,5 % durch Verschiebung des Kommas um 2 Stellen nach rechts!) c) Wieviel Prozent von 921 € sind 47 €? 47 € Lösung: Prozentsatz = 0,05103... 5,1 % 921 € Anmerkung: Auch hierbei kann man mit dem Dreisatz rechnen. Zu dem obigen Beispiel a): 800 kg ≙ 100% 1 kg ≙ 100% : 800 = 0,125% 32 kg ≙ 0,125% ∙ 32 = 4% Übungen zu 5.4.1 1. Wie groß ist der Prozentsatz? a) b) Prozentwert 6 kg 8,30 € Grundwert 150 kg 166,00 € c) 450 kg 7,4 t d) 36 min 6h 2. Formen Sie in Prozentsätze um. Beispiel: 1 2 1 f) 25 a) 13 / 28 1 25 0,25 25 % 4 100 3 4 3 g) 8 b) Stand: 01.07.2006 2 5 1 h) 3 c) 7 10 5 i) 6 d) 9 20 4 k) 9 e) e) 7,5 kg 90 kg 68620971 3. Bestimmen Sie den Prozentsatz und geben Sie die Bedeutung an. Beispiel: Aus Prozentwert = 540 kg, Grundwert = 432 kg erhält man 540 kg 5 125 Prozentsatz = 1,25 125 % 432 kg 4 100 Das bedeutet: 540 kg sind 125 % von 432 kg. Prozentwert: Grundwert a) 624 kg 600 kg b) 990 g 900 g 4. Wieviel % des Einkaufspreise (EK) ist jeweils der Verkaufspreis (VK) und wieviel % des Verkaufspreises der Einkaufspreis? a) b) Einkaufspreis 800 € 700,00 € Verkaufspreis 1000 € 887,50 € 5. Wieviel % des Einkaufspreises (EK) und wieviel % des Verkaufspreises (VK) ist der Gewinn? Es gilt: EK + Gewinn = VK a) b) c) d) Einkaufspreis 124 € 48,60 € 78,40 € 24,90 € Gewinn 62 € 12,15 € 58,80 € 8,30 € 6. Die Miete wird von 818 € auf 1056 € erhöht. Wieviel Prozent der bisherigen Miete ist die Mieterhöhung? 7. Der Preis für ein älteres Fernsehgerät wird von 642 € auf 498 € herabgesetzt. Wieviel % des alten Preises beträgt der Preisnachlass? 8. Wie hoch ist der Salzgehalt einer Salzlösung von 368 g Wasser und 32 g Kochsalz? (Der Salzgehalt ist ein Prozentsatz und gibt an, wieviel % der „Lösung“ reines Kochsalz ist.) 5.4.2 Prozentwert 3 % von 3220 €? In LE 02/2.5 haben Sie die Bedeutung des Wörtchens „von“ als „:“ kennen gelernt. 3 3 3220 € = 96,60 € 3 % von 3220 € = von 3220 € = 100 100 Der Prozentwert 96,60 € ergibt sich aus dem Produkt von Prozentsatz und Grundwert. Prozentwert = Prozentsatz ∙ Grundwert Diese Formel erhält man auch durch Umformung der Gleichung für den Prozentsatz: Pr ozentwert Prozentsatz = | ∙ Grundwert Grundwert ⇒ Prozentsatz ∙ Grundwert = Prozentwert 14 / 28 Stand: 01.07.2006 68620971 Beispiele: a) Wieviel ist 4 % von 650 kg? Lösung: Prozentwert = 4 % von 650 kg 4 650 kg = 100 Prozentwert = 26 kg b) Wieviel ist 6,25 % von 350 Stück? 6,25 Lösung: Prozentwert = von 350 Stück 100 = 0,0625 ∙ 350 Stück Prozentwert ≈ 22 Stück c) Wieviel ist 8,2 % von 430 ℓ ? 8,2 430l Lösung: Prozentwert = 100 Prozentwert = 35,26 ℓ d) 3 % von 3220 € mit dem Dreisatz? 100 % ≙ 3200 € 1 % ≙ 32,20 € 3 % ≙ 32,20 € ∙ 3 = 96,60 € Sie sehen, das geht auch recht schnell. Übungen zu 5.4.2 1. Berechnen Sie: a) 1 % von 500 kg b) 2 % von 300 m c) 4 % von 250 g d) 10 % von 45 € 2. Berechnen Sie den Prozentwert: a) b) Prozentsatz 12,5 % Grundwert 720 € 3. Berechnen Sie: a) 60 % von 750 € 1 % 3 51 € 8 c) d) 7,2 % 22 % 78 kg 90 t b) 150 % von 420 m 4. Die Grundprämie einer Kfz-Versicherung beträgt 642 €. Wieviel muss der Versicherte zahlen, wenn er einen Schadensfreiheitsrabatt von 30 % der Grundprämie bekommt? 15 / 28 Stand: 01.07.2006 68620971 5. Messing ist eine Legierung aus 67 % seines Gewichts an Kupfer, 30 % an Zink und 3 % an Blei. Wieviel kg der Metalle kommen auf 140 kg Messing? 5.4.3 Grundwert Teilt man in der Formel „Prozentsatz ∙ Grundwert = Prozentwert“ durch den Prozentsatz, dann erhält man Grundwert Prozentwert . Prozentsatz Beispiel: Bei einer Gehaltserhöhung werden die Gehälter um 4 % des bisherigen Gehalts aufgebessert. Dadurch verdient jemand 112 € mehr im Monat. Wie hoch sind sein bisheriges und sein neues Gehalt? Lösung: Das bisherige Gehalt ist der Grundwert 112 € 112 € Grundwert: = 2800 € 4% 0,04 Ergebnis: Das bisherige Gehalt beträgt 2 800 €, das neue Gehalt 2 912 €. Mit dem Dreisatz geht es auch: 4 % ≙ 112 € 1 % ≙ 112 € : 4 = 28 € 100 % ≙ 28 € ∙ 100 = 2800 € Übungen zu 5.4.3 1. Wie groß ist der Grundwert? a) Prozentsatz 5% Prozentwert 18 m b) 25 % 17 kg c) 7,5 % 24 € d) 125 % 23 ℓ 2. Ein Haus bringt jährlich 15 600 € Miete. Wieviel ist es wert, wenn die Miete 6,5 % des Hauswerts ausmacht? 3. Bei der Herstellung von Stahl tritt ein Schmelzverlust von 12,5 % des Roheisens auf. Wieviel Roheisen braucht man für 42 000 t Stahl? 4. Ein Landwirtschaftsbetrieb steigert den Ertrag um 8,4 % der Vorjahresernte und erzeugt 4410 kg mehr als im Vorjahr. Wie groß ist der Ertrag im vergangenen und in diesem Jahr? 16 / 28 Stand: 01.07.2006 68620971 Noch ein Hinweis: Als Autofahrer sollte man den Begriff „Promille (‰)“ kennen. Es gilt: 10 1 1 1% , 1‰= , 10 ‰ = 5 ‰ = 0,5 % 1000 100 1000 Auf das Rechnen mit Promille wird hier verzichtet, da Promille leicht in Prozent umgerechnet werden können. 17 / 28 Stand: 01.07.2006 68620971 5.5 Zinsrechnung Zinsen - Zinssatz - Kapital - Zeit - Zinseszinsen -, alles vertraute Begriffe, oder? Zu den ersten vier Begriffen erfahren Sie hier das Wesentliche. Für das Rechnen mit Zinseszinsen fehlen noch einige Grundlagen; dieses Thema wird z.B. in den Fachschulreifelehrgängen der Bundeswehrfachschulen unterrichtet. Wieviel € Zinsen erhält man bei einem Zinssatz von 6,5 % für ein Kapital von 2580 € nach der Zeit a) 1 Jahr b) 8 Monate ? Rechnen Sie, bevor Sie weiter lesen! Das stärkt bei richtigem Ergebnis das mathematische Selbstvertrauen! zu a) Man kann wie in der Prozentrechnung vorgehen: 6,5 % von 2580 € = 0,065 ∙ 2580 € = 167,70 € Die Zinsen betragen für 1 Jahr 167,70 €. zu b) Für einen Monat sind es 167,70 € : 12 = 13,975 € für acht Monate sind es 13,975 € ∙ 8 = 111,800 €! Die Zinsen sind der Preis für geliehenes Geld (Kapitel) für einen bestimmten Zeitraum. Der Zinssatz ist der Prozentsatz, der die Zinsen für ein Jahr (Jahreszinsen) festlegt. Bei der Zinsrechnung für Teile des Jahres gilt eine besondere Zeiteinteilung: 1 Jahr = 12 Monate = 360 Tage !; 1 Monat = 30 Tage ! 5.5.1 Die Berechnung der Zinsen Beispiel: Ein Kapital von 6000 € wird 140 Tage lang bei einem Zinssatz von 7,5 % verzinst. Wie hoch sind die Zinsen? 7,5 Lösung: Zinsen für 1 Jahr = 6000 € ∙ = 450 € 100 Zinsen für 140 Tage = Jahreszinsen 140 140 450 € 175 € 360 360 Den Wert 175 erhält man direkt bei der Rechnung 6000 18 / 28 7,5 140 6000 7,5 140 175 100 360 100 360 Stand: 01.07.2006 68620971 Daraus ergibt sich folgende Zinsformel für Tage p k p t t oder z z= k 100 360 100 360 z sind die Zinsen k ist das Kapital p ist der Zinssatz t ist die Zeit (hier in Tagen) Für t = 360 erhält man z = Formel: z= kp 100 k p 360 , d.h. die Jahreszinsen berechnet man nach der 100 360 Beispiel: Jemand zahlt am 12. März 1000 € auf ein Konto. Der Zinssatz ist 7,5 %. Am 23. April wird der Betrag wieder abgehoben. Wie hoch sind die Zinsen? Beachten Sie dazu: Bei der Berechnung der Zeitdauer der Verzinsung wird der erste Tag (Einzahlungstag) nicht mitgezählt. Dagegen gehört der letzte Tag (Auszahlungstag) mit zur Verzinsungszeit. Lösung: vom 13. März bis zum 12. April sind es 30 Verzinsungstage (1 Monat = 30 Tage, trotz des 31. März), vom 13. April bis zum 23. April sind es 11 Verzinsungstage. Insgesamt beträgt die Verzinsungszeit 41 Tage. Geg.: k = 1000; Ges.: z z= p = 7,5; t = 41 1000 7,5 41 8,54 100 360 Es werden 8,54 € Zinsen gezahlt. Übungen zu 5.5.1 1. Wie groß sind die Jahreszinsen für a) 800 € zu 2 % b) 460 € zu 5 % c) 560 € zu 6 ¼ %? 2. Wie hoch sind die Zinsen für 1 a) 400 € bei 3 % in Jahr b) 792 € bei 4 % in 1 Monat 4 c) 546 € bei 7 % in 4 Monaten d) 672 € bei 9 % in 96 Tagen e) 82 300 € bei 6,25 % in 84 Tagen? 3. Am 15.8. wurden 6000 € auf ein Konto eingezahlt, der Zinssatz ist 4,5 %. Am 17.10. des gleichen Jahres wird das Geld wieder abgehoben. Wir hoch sind die Zinsen? 19 / 28 Stand: 01.07.2006 68620971 5.5.2 Berechnung des Zinssatzes Beispiel: Jemand erhält für 1200 € nach 80 Tagen 18 € Zinsen. Wie hoch ist der Zinssatz? Lösung: Geg.: k = 1200; Ges.: p t = 80; z = 18 Ersetzt man die gegebenen Größen in der Formel z= 18 = k p t , dann erhält man die Gleichung 100 360 1200 p 80 | ∙ 100 ∙ 360 100 360 ⇒ 18 ∙ 100 ∙ 360 = 1200 ∙ p ∙ 80 ⇒ 18 100 360 1200 80 ⇒ 6,75 = p | : 1200, : 80 Der Zinssatz ist 6,75 %. Anmerkung: Ähnlich wie in der obigen Rechnung kann man die Formel k p t z= direkt nach p auflösen. Man erhält so 100 360 z 100 360 =p k t z 100 360 d.h. p = (t Tage) k t Für z = 18 , k = 1200 , t = 80 erhält man wie oben 18 100 360 p= = 6,75 1200 80 Übungen zu 5.5.2 1. Wie hoch ist der Zinssatz? Kapital a) 700 € b) 7 260 € Zeit 9 Monate 108 Tage Zinsen 31,50 € 181,50 € 2. Ein Geldverleiher will auf einen Kredit von 4 500 € nach 10 Monaten 5 500 € zurückgezahlt haben. Wie hoch ist sein Zinssatz? 20 / 28 Stand: 01.07.2006 68620971 5.5.3 Berechnung des Kapitals Herr Glück hat im Lotto gewonnen. Er überweist den Reingewinn auf ein Konto und lässt sich dafür bei einem Zinssatz von 7,5 % in jedem Monat 3525 € Zinsen auszahlen. Wie hoch ist das Kapital? Lösung: Geg.: p = 7,5; Ges.: k z = 3525; t = 30 Man kann die gegebenen Größen in die Formel k p t k 7,5 30 z= einsetzen ⇒ 3525 = k 100 360 100 360 Aufgelöst nach k erhält man 3525 100 360 = k, ⇒ 564 000 = k 7,5 30 Das Kapital beträgt 564 000 €. Anmerkung: Löst man zuerst die Formel nach k auf, dann erhält man k= z 100 360 (t Tage) pt Übungen zu 5.5.3 1. Wie groß ist das Kapital? Zinssatz a) 3% b) 3,5 % Zeit 6 Monate 84 Tage Zinsen 22,50 € 49,00 € 2. Ein Angestellter hat ein Ruhegehalt von monatlich 2450 €. Wieviel hätte er sparen müssen, um bei 8 % die gleichen Zinsen zu bekommen? 21 / 28 Stand: 01.07.2006 68620971 5.5.4 Berechnung der Zeit Beispiel: Wie lange dauert es, bis man für 10 000 € bei einem Zinssatz von 6 % 500 € Zinsen erhält? Lösung: Geg.: k = 10 000; Ges.: t p = 6 %; Mit Hilfe der Formel z = z = 500 k p t erhält man 100 360 10 000 6 t 100 360 500 100 360 ⇒ = t ⇒ t = 300 10 000 6 500 = Es dauert 300 Tage = 10 Monate Anmerkung: Die nach t aufgelöste Formel lautet z 100 360 t= (t Tage) kp Übungen zu 5.5.4 1. Wie groß ist die Zeit? Kapital Zinssatz a) 3200 € 5 % b) 11160 € 5,5 % Zinsen 80 € 85,25 € 2. Wie lange müssen 9700 € auf der Sparkasse liegen, um auf über 10 000 € anzuwachsen, wenn die Spareinlage mit 4,15 % verzinst wird? 22 / 28 Stand: 01.07.2006 68620971 AUFGABEN ZUR LEHREINHEIT 05 1. In 25 min liefert ein Brunnen 3 300 ℓ Wasser. a) Wieviel liefert er in 45 min? b) In welcher Zeit liefert er 1980 ℓ ? 2. Eine Mauer kann von 15 Maurern in 12 Tagen gezogen werden. a) Wie lange dauert die Arbeit, wenn man 5 Maurer mehr einsetzt? b) Wieviel Maurer muss man einsetzen, um die Arbeit in 10 Tagen fertig zu bekommen? 3. Innerhalb eines Stadtgebietes ereigneten sich in einem Monat 198 Unfälle. Wieviel % davon waren auf Alkohol zurückzuführen, wenn dieser bei 87 Unfällen eine Rolle spielte? 4. Zur Unkrautbekämpfung soll eine 3%ige Lösung eines Spritzmittels hergestellt werden. Wieviel von dem Spritzmittel muss man im Wasser auflösen, wenn man im ganzen 240 ℓ der Lösung herstellen will? 5. Jemand pachtet ein Geschäft, dessen Miete monatlich 2 530 € beträgt. Das entspricht 11 % des Umsatzes. Wieviel setzt er um? 6. Auf einem Haus lasten als 1. Hypothek 48 000 € zu 5 %, als 2. Hypothek 32 000 € zu 6 %, als 3. Hypothek 24 000 € zu 6,75 %. Wie hoch sind die vierteljährlichen Zinsen? 7. Jemand leiht sich 500 € und verspricht, nach 3 Monaten 530 € zurückzuzahlen. Welchen Zinssatz bietet er an? 8. Einem Altersheim werden 75 000 € gestiftet, die zu einem Zinssatz von 4 % angelegt sind. Von den Zinsen sollen immer dann Anschaffungen gemacht werden, wenn diese den Betrag von 1000 € erreicht haben. In welchen Zeitabständen ist das der Fall? 23 / 28 Stand: 01.07.2006 68620971 Lösungen der Übungen und Aufgaben Übungen zu 5.1: 1. a) 1 : 2 d) 3 : 1 g) 4 : 3 b) 2 : 1 e) 2 : 3 h) 1 : 8 c) 1 : 3 f) 3 : 2 2. a) 36 km b) 5 Km 3. a) b) Übungen zu 5.2: 12 cm 12 1 1 : 5000 60000 cm 60000 5000 26 cm 26 1 1 : 250000 6500000 cm 6500000 250000 4. a) 5,5 cm b) 24,8 cm 5. a) 7 : 6 b) 6 : 7 1. x € : 72 kg = 35 € : 25 kg x 35 | ∙ 72 ⇒ x = 100,80 72 25 72 kg kosten 100,80 € 2. x kg : 126 € = 27 kg : 226,80 € x 27 126 ⇒ x = 15 126 226,8 Für 126 € erhält man 15 kg. 3. 250 m 4. a) 47,7 ℓ Übungen zu 5.3: b) 250 km 1. a) Ansatz: 6 ∙ 24 = 16 ∙ x ⇒ x = 9; 9 Tage b) Ansatz: 6 ∙ 24 = x ∙ 8 ⇒ x = 18; 18 Arbeiter 2. 60 kg 3. 7,5 h 4. a) 4,8 h = 4 h 48 min b) 2,4 h = 2 h 24 min 5. 16 m 6. 30 Stufen 7. 1800 Kacheln 8. a) 126 U/min b) 165 U/min 9. 60 Zähne 5.4 Rechnung: 24 / 28 3123,40 € Stand: 01.07.2006 68620971 Übungen zu 5.4.1: 1. a) 4 % b) 5 % c) 6 % d) 10 % e) ≈ 8,3 % 2. a) 50 % b) 75 % c) 40 % d) 70 % e) 45 % f) 4 % g) 37,5 % h) ≈ 33,3 % i) ≈ 83,3 % j) ≈ 44,4 % 3. a) 104 %; 624 kg sind 104 % von 600 kg b) 100 %; 990 g sind 110 % von 900 g 4. a) VK ist 125 % vom EK; EK ist 80 % vom VK b) VK ist ≈ 126,8 % vom EK; EK ist ≈ 78,9 vom VK 5. a) 50 % des EK; ≈ 33,3 % des VK b) 25 % des EK; 20 % des VK c) 75 % des EK; ≈ 42,9 % des VK d) ≈ 33,3 % des EK ; 25 % des VK 6. ≈ 29,1 % 7. ≈ 22,4 % 8. 8,0 % Übungen zu 5.4.2: 1. a) 5 kg b) 6 m c) 10 g d) 4,50 € 2. a) 90 € b) 4,25 € c) 5,616 kg d) 19,8 t 3. a) 0,60 ∙ 750 € = 450 € b) 1,50 ∙ 420 m = 630 m 4. 449,40 € 5. 93,8 kg Kupfer; 42 kg Zink; 4,2 kg Blei Übungen zu 5.4.3: 1. a) 360 m b) 68 kg c) 320 € d) 18,4 ℓ 2. 240 000 € 3. 48 000 t 4. im Vorjahr 52500 kg, in diesem Jahr 56910 kg. Übungen zu 5.5.1: 1. a) 16 € b) 23 € c) 35 € 2. a) 3 € b) 2,64 € c) 12,74 € d) ≈ 16,13 € e) ≈ 1200,21 € 3. Dauer der Verzinsung 2 Monate und 2 Tage = 62 Tage; z = 46,50 € Übungen zu 5.5.2: 1. a) 6 % b) 8 1 % 3 2 2. geg: k = 4500 t; t = 300; z = 1000; Ergebnis: 26 % 3 Übungen zu 5.5.3: 1. a) 1500 € 2. 367500 € b) 6000 € Übungen zu 5.5.4: 1. a) 6 Monate (180 Tage) b) 50 Tage 2. Nach 269 Tagen sind es erstmals mehr als 10000 €. 25 / 28 Stand: 01.07.2006 68620971 Aufgaben: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. a) 5940 ℓ b) 15 min a) 9 Tage b) 18 Maurer ≈ 43,9 % 7,2 ℓ 23000 € 600 € + 480 € + 405 € = 1485 € 24 % 4 Monate 26 / 28 Stand: 01.07.2006 68620971 UNTERRICHT DER BUNDESWEHRFACHSCHULE Dienstgrad Name Einheit Vorname Standort Privatanschrift DZE Datum Email 1. Lösen Sie mit Hilfe einer Verhältnisgleichung bzw. Produktgleichung: a) Ein rechteckiges Grundstück ist 25 m lang und 18 m breit. Wie lang ist ein gleich großes Grundstück mit einer Breite von 15 m? b) Ein Auto verbraucht auf einer Autobahn 6,5 l Benzin für 100 km. Im Tank sind noch 15,6 l. Wieviel km können noch auf der Autobahn gefahren werden? 2. a) Nach einer Preissenkung von 22 % kostet ein Videogerät 642,72 €. Wieviel kostete es vorher? b) Der Preis eines Autos wird von 28.500 € auf 32.800 € erhöht. Wieviel % des alten Preises beträgt die Preiserhöhung? c) Der Einbau einer neuen Heizung kostet netto 16.800 €, hinzu kommen 16 % Mehrwertsteuer. Bei Zahlung innerhalb 1 Woche können 3 % Skonto abgezogen werden. Welcher Betrag ist in diesem Fall zu überweisen? 3. a) Ein Geldverleiher bietet einen Kredit von 12.00 € für 2240 € Zinsen in 8 Monaten an. Wie hoch ist der Zinssatz? b) Die Zinsen für ein Kapital betragen jährlich 1955 € bei einem Zinssatz von 8,5 %. Wie hoch ist das Kapital? c) Wieviel EURO Zinsen erhält man für ein Festgeld von 20.000 € bei einem Zinssatz von 6,75 % in 2 Monaten? d) Wieviel Tage wurde ein Kapital von 5000 € bei einem Zinssatz von 4,5 % verzinst, wenn die Zinsen 200 € betragen? 27 / 28 Stand: 01.07.2006 68620971 DstGrd 28 / 28 Name Stand: 01.07.2006 Vorname Blatt: