Untersuchungen Nber die Theorie der Ideale

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S eitdem G a u s s in seiner berühmten z w eiten A b b and
lun g über die b i q u a d r a t i s c h e n R e s t e ( 1 8 3 2 ) die g anze n
hat ist das
c o m pl e x e n Zahlen in die A ri thm et i k ein g e f ührt
Problem der Herstellun g m ö g lich er Z a hl e n t h e o r i e e n in h ö her e n
Bereichen n icht m ehr z um S till stand g ekomm e n A ber der
L ö sun g dieses Proble m s w elche sich in dem v o n Gauss b e
trachtete n Gebiete v e r h ä l t n i s s m ä s s i g mit L eichti g keit voll
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dan ke in der Zahlentheori e üb er die rationalen Z ahlen
hin auszu g ehen g e f asst war stellten sich bei all g emeinerer
Untersu chun g unerw artet grosse S ch w ieri g keiten ent g e g e n
we lche den Math e matikern f ast un üb erw in dlich erscheine n
mussten Diese S chwierig keiten bestanden
kur z g es a g t
darin dass die unz e rle g baren g anzen Z ahlen eines end
lichen K ö r p ers die Pr i m z a h l e i g en s c h a f t verloren ; Primzahl
ei g enschaf t spricht man aber einer g anz e n Z ahl zu we n n
aus der A nn a hme dass sie e in Product zweier g an zer Zahlen
t h ei l t
dass sie einen der beiden
g e f ol g ert w erden darf
F a c t o r e n dieses Pr o d u c t e s t h e i l t
L e g te man also den C om
p lex der g anz e n Zahlen eines endlichen K ö rpers der Unter
s u ch u n
so erhielt man z w ar beschr änkte
g zu G r unde
Z erle g barkeit i n diesem so be g re n zten Gebiete aber die
E indeuti g keit der Z erle g un g kam im allg eme i nen in We g f all
und damit fi el die M ö g lichkeit eine Z ahle n the o rie in s o lchen
K ö rpe rn au f zubauen
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unverg essli che L e istun g ist es den P f ad in
di esem un we g sam scheine n de n G ebiete g e f u nden zu hab en
Durch die S ch ö p f ung der i d e a l e n Z a h l e n g elan g es i hm
im Bereiche der K r e i s t h e i l u n g s k ö r p e r di e S ch w ieri g
k e i t e n zu heben und die Gesetze der Th e i l b a r k e i t au f s g lück
lie b ste
S o g l änzend di e Ku mm er s ch e Entdeckun g war so bot
doch die Verall g emeinerun g des B e g riff e s der idealen Z ahl
wie sie z u r L ö sun g des all g eme i ns ten Pr o b l e m e s dieser A rt
erf orderlich wurde immer noch b edeutende S chwierig keiten
dar Die Ku mm er s c h e ideale Z ahl hat n äm lich die charak
das s nicht die ideale Z ahl
t e r i s t i s ch e E i g e n t h ü mli chk e i t
selbst sonde r n dass die Th e il b a r k e i t durch di e ideale Z ahl
L a g hierin an sich
und zwar durch C o n g ru en z en d e fi n ir t
schon e in die Theorie der ideale n Z ahl en sehr wesentlich
erschwerendes Moment s o trat n o ch e i n anderes und g r ö sseres
H e mm n i s s h i nzu :die D e fin ition der idealen Z ah l durch C on
n z e n verda n kt n ä ml i ch ihre M ö li c h keit blo ss dem g lück
u
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lichen U m s t a n d e dass die s ä m m t li oh e n g an z en Z ahlen eine s
Kr e i s t h e il u n g s k ö r pe r s als g a n ze ratio n al e und g anzzahli g e
F u n c t i o n e n einer v o n ihn en darg estellt werde n k ö nnen ; e s
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Z ahle n sich n ich t alle als g anze g an zzahli g e F u n c t i o n e n
ei n er v o n ihnen ausdrücken las s en u n d diese setzen der
D e fi nitio n der ideale n Zahl durch C o n g r u e n z e n ein en wi e es
scheint unüb er windlichen “ i d er s ta n d
Die g e n an nten Umst ä nde haben Herr n D e d e k i n d bei
seine n lan g j ä hri g en rastlosen Bemühu n g en um das Problem
Ku m m e r s
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h i e r üb e r s i n d : Cr e l l es J o urn a l
Be rl i n e r Ak a d e m i e 1 8 5 6 1 8 5 7 1 8 5 9
A rb e i te
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Abh a dl u g e d e
1 86 1
d d i z u s mm e f s d D a r st ell u g ( 1 8 5 1 ) d es M e m i r e s u r 1
th eo r i d e
r ci s d e l u i te
m b r e s c o m p l e x s c o m p s es d
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t i e r s i L i ou ill e s J ur l B d 1 6 p 3 77—49 8
om b r s e
st h t es i c h t i Wi d r s p ru ch d a ss K u m m e r d S t z a
s p r i cht d ss j d i d l Z hl l Wur z l e i r w i r kl i ch Z hl d rg st ell t
L i u i l l l c p 44 5
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der ideale n Zahlen dazu veranlasst die alten Pri nc ipi en f alle n
zu lassen u nd die Theorie der g anzen Z ah len eines K ö rpers
a u f ei n e neue Basis zu stellen
dere n We sen dari n besteht
dass an die S telle der i d e a l e n Z a h l der re i n s p ec u lative
Be g ri ff des I d e a l s g esetzt wird D er B e g ri ff des Ideals
tritt zu dem der ideale n Z ahl in die en g e B eziehun g dass
er die G e s a m m t h e i t aller durch e ine u n d dieselbe wirkliche
o der
ideale Z ahl t h e i lb a r e n w irklichen Z ahle n bedeutet
Durch c o nse quente Verf ol g un g der Op e ratione n welch e man
mit solchen Sy ste m e n von Zahle n vornehmen kan n und
durch s charf si n n ig e E rmittelun g des analy tischen Inhaltes
welcher den auf trete n den al g ebraischen G e b ilden i n ne w oh n t
g elan g t Herr D edekind dazu f ür die Id e ale eine j edesmali g e
und g a n z bestimmte Z erle g un g nachzuweisen w el che der
Z e rle g un g der Zahlen in P r i m f a c t o r e n vollko m men parallel
v e rl ä u f t Die Theorie der h ö heren C o n g r u en z en ist alsdann
n icht mehr
G r u n d l a g e sondern e i n blo sses H i l f s m i t t e l
zur anal ytischen F i xi r nn g der durch die Theorie der Ideale
s t a t u i r t en
B e g ri ff e
Diese Princi p ien hat Herr D ed ekind
zuerst sehr kurz in der z w eiten A u f la g e der D i r i c h l e t s c h e n
Z ahle n the o rie ( 1 8 7 1 ) und so dan n in aus f ührlicherer Dar
stellun g in z w ei aus g ezeichnete n Abhandlu n g e n pu b l i c i r t fii )
Aus dem S tudi u m dieser D edeki n d schen Untersuchung en
ist die vorlie g ende Arbeit im w esentlichen er w achsen ; sie
beabsich t i g t im An schluss an dieselben einmal den B e gr i ff
der idealen Z ahl welcher bei Herr n D edekin d f ast g anz in
den Hin terg rund tritt etwas n ä her zu d e t e r mi n i r e n und
sodann den von Herrn D edekind nur an g e g eb ene n S atz
zu be w eise n das s mit den Idealen e i nes N o r m a l kö r pe r s
auch die Ideale j edes Divisors d ieses No r m a l kö r per s beka n n t
sind Zu letzterem Zwecke ers chien es e rf o rd erlich die
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p 2 7 8 - 28 8 ; 2 s r
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p 1 7 —4 1 p 69 —9 2 p 1 44 — 1 64 p 20 7 —2 48 2 L e t z t e s S u p p l e m e n t
d e r d r i t t e n A u f l a g e d e r D i r i c h l e t s c h e n Za h l e n t h e o r i e
( Bra u n
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Ic h c i t i r e i m f o lg en d e n d i e e r st e Abh a n dl u n g k ur z d ur ch
d i e zw e i t e d ur ch D
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al l g eme i n e Th eori e d e r K ö rper im S inn e der D e dekin d sche n
A uff assun g en weiter auszu f üh ren als di es von Herrn D ede
kin d selbst g eschehen ist Dies bildet den Ge g enstan d de s
ersten Theiles dies er Arb eit ; ei ni g e g ele g entl iche A ndeutun g e n
des Herrn D edeki nd in s ein en S chri f ten hab e ich dabei nach
b estem K ö nnen v e r w e r t h e t
Au f das hier behandelte Proble m b ezieht sich auch
m ehr oder weni g er direct
die g rosse R eihe g l än zend e r
Un tersuchun g en welche Herr K r o n e c k e r über Al g ebra und
Arithm etik ver ö ff entlicht und in den G r u n d z ü g e n e i n e r
*
arithm e ti s ch e n Th e o ri e d er alg ebra i s ch en G r ö s s e n )
zusammen g e f asst hat
Be i der g ro ssen Verschiedenheit
z w ischen den K r o n e c ker s c h e n und den D edekind schen
Metho den w ar e s mi r bislan g nicht m ö g lich den inneren Zu
s a mm en h a n g
der nothwendi g in letzte r Instan z zwischen
diesen vers ch iedenen B ehan dlun g s w eis en desselben Ge g en
standes bestehen m uss zu erkennen Dies e L ü cke die ich
selbst sehr lebhaf t bedauere ho ff e ich i n Zukun ft ausf üll en
zu k ö nnen ; f ür j etzt haben mir im Wes entlich e n nur die
D ede kind s chen A rbeiten als Gr u n d la g e g edient
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E in Sy stem von Z ahlen welches die charakteristische
Ei g enscha f t besitzt dass d i e S umme di e D iff e r e nz das Pro
1
.
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,
,
,
duct und der Quotien t ir g end zweier Z ahlen des Sy ste m s
sich wi eder in d e m Sy ste m e v or fin d e t h eisst nach Herrn
D e d e k i n d ein K ö r p e r von Z ah len
Von d e n hi er g enannten
Rechenop eratione n h a t alle i n die Divi sion dur ch Null als
u nz ul ä ss i g zu g elten w eil sie ein unb e sti mm te s Res ul tat
lie f ert D er D e finition zuf ol g e würde die Z ahl Null f ür sich
all e in ein e n Zahlk ö rper bilden do ch wird di eser Fall f ü glich
von der B e trachtun g g anz aus g eschl ossen
Dann fi ndet
sich in j edem K ö rp er eine von Nu ll versch i edene Zahl u n d
f ol g li c h auch die Ei n s als Quotient zweier g leichen Z ahl en
und j ede rati onale Z ah l we i l sie durch rational e Op e rati on en
aus der E i ns erhalten werd en kan n D a ab er di e rationalen
Zah l e n f ür si c h all ein o ff e nbar auch ein e n K ö rper bil de n so
k ö nn en w i r sa g en indem w i r e inen K ö rper dann T h e i l e r
ein e s and e rn K ö rpers n enn en w enn j ede Z ahl des ersten auch
dem zweite n an ge h ö rt : D er K ö rp e r d e r rati onalen Zahlen
ist ein Theil e r j e d e s Zahlk ö rp ers D er K ö rp er der rationalen
Zahl e n ist also der n iedri g ste w ie der K ö rp er aller überh aupt
m ög lichen Zahl en der h ö chst e aller Zahlk ö rp er i st S ind
z w ei K ö rper d u rch e inander t h eil b a r so sind s i e identisch
D e n h i er ein g e f üh rt en Be gr if f der T h e i l b a r ke i t der K ö rp er
ver w enden wi r s o gleich zu r D e fini ti on des g r ö sste n g e m ein
,
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.
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.
,
.
6
Theilers und des klei n sten g emeinscha f tlichen
Das Sy stem derj eni g e n Zahlen
M u l t i pl u m s zweier K ö r p er
w elch e zwei K ö rp e rn A u n d B g emeins cha f tlich a n g eh ö re n
bild et o ff enbar wieder ein en Z ahl k ö r p er ; denn sind u rm d u
zwei Z a hle n welch e beiden K ö rp ern A und B an g eh ö ren und
bezeich nen w i r mit dem Z eichen o ir g end ein e der vier
rational en R e ch en 0 pe r a t i on e n so g eh ö r t auch die Zahl no n
beide n K örpern g eme i nsam an Dieser K ö rper d der den
beiden K ö rp ern g emeinscha f tli chen Z ahlen ist e i n Theiler
beider K ö rper ; er heisst der g r ö s s t e g e m e i n s c h a f t l i c h e
T h e i l e r weil er e in M u l t i pl u m j edes g e m ein s cha f tlichen
Theilers bei d er K ö rp er ist Ist der gr ö sste g emeinschaf tliche
Theiler zwei e r K ö rp er der K ö rper R der rationalen Zahlen
so heissen d i e K ö rp er relati v prim oder ohne g eme inscha f t
lichen Theiler B ilden wir a n dererseits das Sy stem aller der
i
e n Z ahlen
welche
durch
rationale
O
perationen
aus
Z
ahlen
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n
j g
de s K ö rp ers A und Z ah len des K ö rp ers B g ebildet werden
k ö n nen so erhalten wir ei n en K ö r per M welcher ein Mul
t i pl u m beid er K ö rper ist und das k l e i n s t e g e m e i n s c h a f t
l i c h e M u l t i pl u m heisst weil er e in Divisor j edes g emein
Man kann j ede
s c h a f t li c h e n Mu l t i pl u m s beider K ö rper ist
Z ahl d e s K ö rpers M durch das Symb ol 2 a ,? bezeichnen ; denn
um alle Zahlen von M zu erhalten reicht e s o ff enbar aus
zuerst all e P r o d u c t e ir g e n d ein er Z ahl a des K ö rp ers A u n d
ir g end einer Z ahl ß des K ö rp ers B zu bilden und sodan n
dies e P r o du c t e a u f alle m öglichen Arte n zu s u m mi r e n Ist
A ein Mul ti pl u m von B so ist das klei n ste g emeinscha f tliche
Viel f ach e der K ö rp er A der g r ö s st e g e m einscha f tlich e Theiler
d e r K ö rp e r B
Die A usdehnun g der beiden Be griff e a u f m e h r
als zwei K ö rper bedar f keiner Erl äuterun g
s ch a
f t l i ch en
.
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.
.
Um nun zur D e fi nition der e n d l i c h e n K ö rp e r z u
g elan g en f ühren wir den B e gr i ff des unabh än g i g e n Sy stems
ein E in Sy ste m von n Zahlen
wg
(a
bildet in B e
ziehun g a u f ein e n K ö rp er A e in r e d u c t i b e l e s o d e r i r r e
d u c t i b e l e s S y s t e m (a b h ä n g i g e s o d e r u n a b h ä n g i g e s
S y s t e m) je nachdem die Gleichun g
2
.
,
.
,
,
2 1 a ,w i
=
0
n
a
durch n Z ahlen a 1 ( 1 „
welche dem K ö rp e r A a n
s ä mmt l i c h
w inden
eh
ö
ren
und
nicht
versch
g el ö st werde n
g
ka n n o der nicht ( D S 4 6 5 A nm ) Diese D e finition hat
der Re g el nach nur da nn Intere sse wenn die Zahlen (0 1
(0
dem K ö rp er A n i c h t a n g eh ö ren ; denn ir g e n d zwei
w
2
Zahlen v o n A sind i n Beziehun g a u f A abh ä n g i g E in e
Zahl bil det da n n und nur dann i n B e z i e h u n g a u f A ein abh än g i g es
Sy stem wenn sie Nu ll ist Ist der K ö rp er A zu w elch em
i n B eziehun g g esetzt
w
das Sy stem der Z ahlen
wird d er K ö rper R der ration a len Zahlen so spricht man
schlechth i n v o n einem abh ä n g i g e n oder unabh ä n gi g en Sy steme
ohne weiteren Zusatz
Es g ilt nun der wichti g e S atz : S i n d d i e n Z a h l e n
ml
wg
(a
i n Be z i eh un g
a u f
d en Kör p e r A
u n a bh än g i g s o b i ld e n i n B e z i e h u n g a u f d e n s e l b e n
Körp er die n Z ahlen
n,
,
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1 . 2,
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'
11
.
w elch e durch C omp o siti on mi t de n n d e m K ö rp er A
a n g e h ö r i g e n Z a h l e n a a ) aus d e n a) g e b i l d e t s i n d e i n
abh äng ig e s o d er un abhäng i g e s S y ste m j e n ach d e m
d ie D e t e r m i n a n t e
2
i
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,
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e rs ch win d e t o d e r v o n Null v er s ch i e d en i s t
De n n so l len ml w z
w
in B e z i e h rm g a u f A abh ä n gi g
se i n so m us s die S u mm e
v
.
'
'
'
n
,
,
Ekäkw k
k
i
Emf k a r b
'
r
n Zahl en 5„ 52
E welche sich i n A fi nden und nicht
all e Null sind zum Verschwinden g ebracht werde n k ö n nen
D a aber m1 w g
w
u n abh än g i g sind s o müssen die
n Gleich u n g en
f ür
H,
,
.
,
,
,
n
z ka i
,
( k)
5k
0
d u rch ni cht ve r schwin dende We r t h e v o n 5 be f riedi g t werde n
und dazu ist a
0 nothwe n di g
Is t um g ekehrt a
0 so
weist man durch e i ne b ekannte Methode welche der Theorie
der l i n earen Gleichun g en an g eh ö rt leicht nach dass di e Z ahlen
ca 3
w
ein abh ä n g ig es Sy ste m bil den Man hat zu
diesem Z w eck e in dem quadrat i sche n Sy ste m e der C o e f fi
,
.
,
,
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,
'
1
.
.
n
.
ei n e Unterdeterm inante m Grades zu ermitteln
welche ni cht verschwindet w ä hre n d alle Min oren h ö here n
Grades verschwinden ; g eh ö rt dies e lb e was man ohne B e
schr ä nkun g der A ll g emeinh eit ann eh m en darf zu den
mm ( m
n) so bilden ml
arm
Z ah l en ml
i n B eziehun g a u f A e in un abh ä n g i g es Sy stem w ähr end sie
mit ir g end einer d e r noch übri g e n Zahl en w ein abh än gi g es
Sy stem bilden
m
3 Ein K ö rper h eisst nun e i n e n d l i c h e r K ö r p e r n
G r a d e s w e nn e s in i hm n von einander un abh ä n g i g e Zahlen
1 ) Zahlen von ein ander ab h ä n g i g
g i eb t w ä hren d ir g end (n
sind Ein solches unabh än gi g es Sy ste m von n Z ahlen welche s
m i t irg end einer weiteren Z ahl des K ö rpers e in ab h ä n g i g e s
Sy stem bil det heisst ein e B a s i s d e s K ö r p e r s Ist Q e i n
u m
wg
Grades und
w
K ö rp er n
ein e B asis so bilden
2
die n mit den n rational e n Zahlen r i Ü ) g ebildeten Zahlen :
m
w
w
i k
n
1
r
1
Ä
i
i
k
( )
die de m K ö rp er au c h an g eh ören eben f alls e in e Basis w enn
die D e t e rminante
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ci en t en
,
,
,
,
'
'
'
,
,
,
,
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.
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z
,
,
,
,
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a
l
,
0‘
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w
S ind um g ekehrt ml (0 „
von Null verschi eden ist (ä
w
und
w
zwei B as en de s K ö rp ers Q so bestehen
2
n Gleich un en ( 1 ) und die D etermin ante r derselb e n
ist
von
g
Null verschieden so dass die Gleichun g en umk ehrbar sind
Dieser S atz kan n w i e man lei c ht erkennt auch dah i n aus
“
m
:
espro
ch
e
n
werden
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K
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per
n
G
rades
hat
nur
einen
J
r
g
“
Theiler n
Grades n ä mli ch sich selbst
J ede Zahl w des K ö rp ers Q bildet mit den Bas i szahlen
w
zusa m me n ein abh ä n g i g es Sy st em ; d h es b e
s t eht ein e Gleichun g
n
,
'
'
.
n
,
,
.
,
,
,
en
.
,
.
n
.
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‘
11c 1
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.
.
s
0,
1w
‘
in welcher die Z ah len
r mr rat i onale
nicht s ä mmt
lich versc h windende Z ah len bedeuten deren letzte r we g en
(a
der Unab h ä n g ig keit v o n (0 „
nicht Nul l sein kann
Hieraus f ol g t dass j ede Z ahl w des K ö rpers in die Form
g esetzt werden kann
,
,
n
,
1
.
9
w o ri n die x rationale belie bi g e Zahlen bedeute n Um g eke h rt
x
g eh ö rt zu j edem We r t h s y s t e m e rationaler x1 x2
eine d em K ö rper Q an g eh ö ri g e Zahl 2 mm u n d zu zwei
verschi e denen We r t h s y s t e men x g eh ö ren auch zwe i ver
s c h i e d e n e Za hl en w we g e n der I r r e d n c t i b il i t ä t d e r B asis
4 B e sitzt der K ö rp e r Q vom n t
Grade e inen Divisor A
vom mu m Grade dessen Bas i s dur c h di e Z ahlen
,
.
n,
,
,
,
.
.
en
‚
.
,
(1 )
g eb ildet
f i xi a i ( i
w ird
e s e ntw e der ausser den Zahlen
m) ke ine Z ahl in 9
dann ist Multi
D ivisor i denti sch und n
m (ä 3)
oder es g i e b t
1,
'
pl u m
in Q
g i ch t
so
,
u nd
.
,
ein e Z ahl w welche nicht in A vorko mmt ; dann
bilden wir die Za hl en
’
.
,
'
( 2)
'
w al
,
'
w ag
w am
,
.
D i e Zah len der zw ei ten Reihe bilden o ff enbar auch ein u n
abh ä n g i g es Sy ste m ; sie bilden ab er so g ar mi t den Z ahlen
der ers ten R ei he zusammen e i n solche s Wä re n äml i ch
.
Xr a r
+
Ka a z
+
so w är e die
+
v
l
+ YI m a
xma m
l +
l
o
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w
2
Y
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l
z
m
a
+ Ym m
oa
Zahl
-w
=
Z i Xi a i
Ä Yi a i
=
i
i
l
‚
0
0
0
m’
deren Nenner n icht versch wi ndet g e g en di e Vorauss e tzun g
e i ne Z ahl des durch di e Reihe (1 ) d e fini r t e n K ö rpers Ent
2 m dann b i lden di e Reihen ( 1 ) u n d ( 2 )
weder ist nun n
zusam men ein e Basis von J2 oder es ist n > 2 m dan n
eb t
i
m
es
in
J2
eine
Zahl
welch e mit den Zahl en der
g
Reihen ( 1 ) und ( 2 ) zusamm en e i n unabh än gi g e s Sy ste m bildet
D ann bil d e n wir di e dri tte Reih e
,
.
,
,
,
"
,
.
"
(3 )
w
"
a
m
„
"
a
w
„
am
und weisen n ach dass di e drei Reihen
h än g i g es Sy stem bilde n W ä re n ämli ch
(3)
,
e in
u na b
o
.
'
I i Xi a i
so k ö nnte
El z i a i
ni
w
f xyi a i
'
w
f
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0
i
.
cht vers chwin de n und f olg lich w ä re
u
Ä xi a i
Erz en
w
Äy i a i
Äz i a i
ei n e Z ah l we lch e lin e ar aus den Zahl en d e r R ei h e n ( 1 ) und ( 2 ) mit
rati onal e n C o e ffi c i en t en zu samme nsetzbar i st was d e r A nnah me
,
,
10
widers p richt S etzt -man dieses E xh a u s t i o n s v e r f a h r e n f o rt s o
erkenn t m a n dass dasselbe einmal abbre che n muss u n d dass
in j edem Falle n ein M u l t i pl u m v o n mi s ein muss A ls o
habe n wir den S at z wenn wir der Kürz e halber mit
.
,
,
.
,
am
}
K ö rper bezeichnen welcher die Zahlen (1 „ a 2
am
zu Basiszahle n hat :
Grade s u nd {an a2
am }
Is t Q e in K ö rp er nt
t
Gr ad e s o i s t n
A ein Theiler des s elb en vo m m
mp u n d m a n k a n n a l s
e i n M u l t i pl u m v o n m n
Bas is vo n Q wähl en di e Z ahl en :
d e nj eni g e n
,
,
en
,
‚
en
,
,
,
.
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1 ’
;
m
.
Hi erin b e d e ut e t w ein e Z ahl w el c h e ni c h t d e m
w
Kö r p e r { a n a 2
am } an
e
h
ö
r
t
e
i
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Z
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l
w
e
l
c
h
e
g
am
w a
am
n i c h t l i n e a r a u s d e n Z ah l e n c l a 2
w
l
m i t r a t i o n a l e n C o e f f i c i e n t e n c o m po n i r b a r i s t u s w
Der letzte S atz kan n auch dahi n aus g esprochen werden dass
—
1)
0
01
die p Zahlen l w
in Beziehun g a u f den
K ö rper A ein u n abh ä n g i g es Sy stem bilden w ähr end o ff enbar
ir g e n d p + l Zahlen des Tableaus ( T) und f ol g lich auch
irg e n d p + 1 Zahlen des K ö rpers Q in Bez i ehu n g a u f A ein
abh än g i g es Sy stem bil den Diese B emerku n g veranlasst u n s
d i e B e g ri ff e der Basis u n d de s Grades ei n e s endlichen K ö rpers
zu e r weitern so dass die n eue n Be gri ff e sich g anz s o zu den
alten verhalten wie s ich der B e g ri ff de s i n Bez i ehun g a u f
einen K ö rp er A abh än g i g en Sy stems zu dem Be g ri ff e de s
schl echthin abh ä n g i g en Sy stems verh ält E in K ö rp er J2 h e isse
“
m
n ä mlich i n B e z i e h u n g a u f e i n e n D i v i s o r A vom p
Grade wenn es i n ihm p in B eziehun g a u f A unabh ä n g i g e
Zahle n g i e b t w ä hr end ir g end p
l Zahlen in B eziehu n g a u f
A abh ä n g i g sind u n d ein Sy stem v o n p solchen in Beziehun g
auf
A unabh än g i g e n Zahlen heisse eine B a s i s v o n Q i n
B e z i e h un g a u f A Die alt e n Be g ri ff e g eh en wieder aus
'
,
"
,
,
,
'
'
,
,
,
,
.
.
.
,
'
,
3
,
,
‚
,
.
,
,
.
,
,
,
‚
.
‘
11
.
den neuen erweiterten herv o r i n d em m a n a n n immt dass d e r
Theiler A zu dem Q in Beziehun g g esetzt wird d e r K o r pe r R
der ratio n alen Z a hlen i st und der v o ri g e S atz erh ä l t d i e
kurze Fassun g :
E in K ö r p e r Q v o m G r a d e n h a t in B e z i e h ung
n
1 v o m G r a d e m d en G rad p
a u f ein en D ivis or
,
,
‚
,
,
,
.
T“
.
.
Zahl Q eines endl i ch e n K ö rpers ist eine al g e
b r a i s c h e Zahl d h sie g enü g t ein er Gleichun g v o n e n dlichem
Grade mit rational e n C o e ffi c i e n t e n De n n h a t der K ö rper
d e n Gra d n so sind die n
1 Z ahlen
5
J ede
.
.
‚
.
.
,
welche auch dem K ö rper an g eh ö re n v o n einander abh ä n g i g ;
d h e s g i e b t (n
1 ) rationale Zahlen
o
d i e nicht alle vers c hwinden so dass
2
x0
X, Q
X2 6
K QH
0 ist
Dass diese Gleichun g aber im K ö rper R der rationalen
Zahlen i rr e d u c ti b e l ist ist o hne w eiteres n atürlich nicht noth
wendig
Ge n ü g t aber die Zahl (9 der i r r e d u c t i b e l e n
n
t
Gleichun g
Grades
,
.
.
o
o
,
H
.
,
.
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ZZ
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“— 2
O
an
m i t rationalen C o e f fi ci e n t en so b i lden alle Zahlen welche
durch rationale Op eratio n en aus (9 g ebildet s i nd einen
n
t
K ö rp er und dieser K ö rper ist
Grades w eil sich j ede
solche Z ahl stets u n d nur a u f eine W
Ve i s e als g anze ratio n ale
Fu n cti o n niedri g ere n als n t Grades von O darstellen l ä sst
“
t
D en n ist g (x) ei n e g a n z e F u ncti o n n oder h ö heren Grades
so bestimme m a n den Rest r (x) welcher sich bei d e r
Divisi o n von g (x) durch f (x) ei n stellt ; dieser ist v o n
n
t
niedr i g ere m als dem
Grad e u n d es ist
ist
,
,
,
en
,
,
e ll
.
e 1
,
,
en
x
(
e )
aber
h (X)
e
in e
g ebro chene Fun ction von x
,
so muss
h ( x)
j ede n f alls prim zu f (x) sein weil sonst der Nenner h ( O)
f
leich
Nul
w
ä
re
ol
lich
kann
man
durch
die
Methode
de
s
l
;
g
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f
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ssten
emeins
cha
tlichen
Theilers
z
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anze
u
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c
t
i
F
g
g
g
h (x) und f (x) b e stimm en so dass
,
'
'
,
12
h ( 1 05 ( 11 )
X)
(
s
f (1 01 k )
i st und f ol gli ch ist
,
11 1 0
)
also als g anz e F un c ti on von (9 dar g estellt
E i ne solche Z ahl Q welche du rch ihre n erste n Potenzen
—3
0
n
t
von
bis
6
(9
(
) einen K ö rp er erzeu gt wel cher vom
Grade ist woll e n wir ein e c o n s t i t u i r e n d e Z a h l e i n e s
K ö r p e r s n enn en H aben wir aber einen beliebig en K ö rp er
n
t
Q
Grades so wi ssen wir bis j e t zt bloss dass j ede seiner
Zah l e n e inen K ö rper c o n s ti t u i r t wel ch er e i n ( echter oder n u
e ch te r) Th e il e r von Q ist u n d d e ssen Gr ad also nach ä 4 e i n
The i ler von n s ei n m uss D ass aber in j e d e m K ö rp er n t
Grades auch Zah len e xi s tj r en welch e e i n e r i r r e du c t i b el en
Gleich un g n t Grades g enü g en und also c on s t i t u i r en d e Z ahl e n
sind b eda rf eines b esonderen Beweis e s Nachdem derselbe
f
ü
h
e
rt ist wir d es sich z e i g e n dass der z ul etzt bespro chene
g
F a ll e in es Za h lk ö rp ers den all g em ein e n anf an g s ein g e f ühr te n
B e g r iff v o ll stä n d i g zu ersetz en i m S tand e i st Zu di e s em
Zwecke beweisen w i r e inen S at z welch e r un s au ch and e r
w ei t i
g von Nutzen s ein
6 Es m ö g en d i e al g ebraischen Zahlen ß un d a den zwei
im K ö rp er der rationale n Za h len i r r e d u c t i b e l en Gleichun g en
u
m
u
resp vo m m
un d n
Grad e g enü g en :
.
,
11
en
,
,
.
en
‚
,
,
,
‚
,
en
.
,
en
.
,
,
,
.
,
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j
+
+
1
s o c o n s t i t u ir e n d i e b eiden Zahlen zwei K ö rper B und A vom
m
'
m
und n
D ann i st es m ög li ch dass die zwe i te
Grade
Gleichun g (A) im K ö rper B r e d u c ti b el wi rd ; i n j edem Fall e sei
—1
r
X
E
(A ) F 09
i ßr K
+ 19 - r X
+ o
ß
diej eni g e mit Z ah l e n des K ö rp ers B g ebildete im K ö rper B
i rr e d u c t i b e l e Function wel ch e durch x
a a nn u l l i r t
wird
Ihr Grad n ist < n und im Fa l le n
n ist E( x
Dann sind als o
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Hier i n bedeutet f mm ”
welche man erh ä lt we n n m a n u i mal nach s und n mal na ch
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1
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n
‘
—1 )
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Wir h ätten diese Gleichun g etwas sc hn eller a u f Grund
des Ta yl o r s c h e n S atz e s f ü r mehrere V a r i a b el en ableiten
k ö nn en ; doch i s t der Durc h g an g durch di e Gleichun g (l ) f ü r
uns ni cht überflüssi g Weil aber der A us druck (5 ) identisch
in Beziehun g a u f s versch w indet un d we il a i m Zahlk ö rp er
g enü g en kann deren Gr ad niedri g er
B keiner Gleich u n g
als n w ä re so schli essen w i r :
.
,
‚
'
,
f ( ß, 0 )
0
f; (s o)
( 6)
(s
o)
—1 )
f ; (s o)
0.
0
0.
0.
—1 )
—1
ei
ni
i
d h es müssen f ür das W er t h s y s t em x
0 all e
ß s
t
—
x
D i ff erentiale der F u n oti o n f ( s) bis zum (n l ) vers ch winden
t
B etrachte n wir nun mehr di e Function p
Grad e s v o n x
f (x
so lehrt die erste vo n den Gleichun g e n des Sy ste m es
8 versch windet und f ol g li ch
(6 ) zun ä c hst dass si e f ür X
w e g e n der Ir r e d n c t i b ili t ä t von g (x) durch g (x) t h e i l b a r ist
t
Es ist aber f (x) so g ar durch die n Potenz von g (x) t h e i l b a r
w ie aus d e n ersten Gleichun g en der f ol g enden Z eilen hervo r
g eht ; de n n setzt m an
n
.
.)
(s o)
0
2,
e
(s o)
0
r
.
s s
e n)
0;
,
'
en
,
.
en
,
,
,
.
'
e
,
f (xr 0 )
so lehrt die Di ff erentiation nach x
f x f xa ol
'
xl
f
g
i
V
"(XL
X)
(
g
z
,
fxl
g i xl
( )‚
V X
nicht verschwinden kann dass v ( ,8) ver s ch winden un d
v( x) durch g (x) t h e i l b a r sein muss ; und indem man
dieses Ver f a hr e n solan g e f ortsetzt bis auch die Gleichun g
d a g (ß )
f ol g lich
'
,
,
( ß, O)
Verwe n dun g g e f u nden und sich die n P 0
tenz von g (x) aus f ( x o ) heraus g eh o ben hat fi ndet m an :
h (X)
( 7) f (X O)
u n d ebenso f ü r die and eren F u n c t i o n e n
f ( x O)
'
Ü
te
,
,
‚
"
(n
‘
—1 )
ss
,
,
17
fs
'
(x 0 )
h
‚
f ss (X‚ 0)
( 8)
l
(n
'
—1
f „2
8
—2
W
"
g (K
x
. x. 0
g a)
)
r
(X)
h (i i l
'
"
n
<
h
'
Wenn man diese Gleichun g e n in ( 1 ) eins etzt
di e Ent wickelu n g :
h (X )
f
r
8
9
ü
.
)
( )
’
h
1
'
so findet man
,
"
(X) 8
h ( x)
o
8
2
+o
o
.
und hieraus f ol g t nunm ehr da g (x) vom Gr ade m ist dass
das e rste Gli ed d e r Entwi ckelun g rechts und f ol g li ch auc h
f (x s ) mi ndestens vo m Gr a de mm s e in m uss
Da übri g ens
der Grad von f (x s ) so l ang e di ese Fu n ot i o n i r r e d u c t i b e l ist
auch nicht kleiner sein kann so mu ss h (x) eine C onstante
sein Wi r haben also j etzt den wichti g en S atz w enn wir an
die S telle der nich t homo g enen Verbin du n g ß
sa
die
ho m o g ene Form a a
b ß setzen :
W e nn d i e a l g e b r a i s ch e Z ah l a d en K ö rp e r A d i e
alg ebrais c h e Z a h l 8 d e n K ö rp er B c o n s t i t u i r t s o
k a n n m a n s t e t s z w e i r a t i o n a l e Z a h l e n a und b s o b e
s t im m e n d a s s d i e Z ah l a a
bß d a s k l e in s t e g e
m e i n s c h a f t l i c h e M u l t i pl u m M d e r b e i d e n K ö rp e r A
und B cons t i t u i r t
7 A us de m g e w on n e n en S atz e zieh e n w ir e ini g e Fol
g e run g e n deren wesentl ichs t e die C onstituti on e in es b eli ebi g en
endl i chen K ö rpers d u rch eine in ihm enthaltene Zahl betri ff t
n
t
1
Ist S2 ir g e n d e in K ö rp er
Grad e s und a e ine in
i hm e nthaltene Z ahl so c on s t i t u i r t a e in en K ö rp er A welcher
j e d en f all s e i n ( echter od e r une chter) Th e i l e r v on 52 ist und
dessen Grad also na c h ä 4 ein The iler von n sein muss
Ist d e r Grad von A g leich n s o ist A
52 und a consti
t u ir e n d e Z ahl des K ör p ers ; i s t aber der Grad kl einer a l s n
s o g i e b t es i n
ein e Z ahl ß w elche nicht in A enthalten
i st und ei n en K ö rper B c o n s ti tu i r t Das kleinste g emein
u
n d B hat
s c h a f t li c h e M u l t i l u m M
der
beiden
K
ö
rper
A
p
e inen h ö heren Grad als A w eil s o nst B in A e n thalten w äre
u nd
kann nach de m vorheri g en S atz e durch e i ne Zahl
b ß c o n s t i t u i r t w erden
aa
Ist der Grad v o n M g leich n
so ist M = J2 u n d a a
b fi c o n s t i t u i r e n d e Zahl ; an derenf alls
,
,
'
.
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
.
‘
.
,
.
en
.
,
,
.
,
,
,
.
,
,
.
,
2
18
m an wi ed e r weiter zu g ehen un d mus s w eil n endlich
und j eder f ol g ende Divis or immer von h ö herem Grade als
hat
,
der vorher g eh ende ist n o t h w e n di g e r w e i s e nach ein er e n dli chen
Als o der
Anz ahl von Malen zu ein em Ab s c hl u s s e g elan g en
S atz :
t
Gra d e s g i eb t e s st e ts u n
In e in e m K örp er n
e n d li ch v i e l e Z ah l e n w e l ch e e in er i r r e du ct i b e l e n
t
Gra d e s g e nü g e n un d d er e n n er s t e
G l e ichun g n
P o t en z e n al s B asi s d e s K örp e r s g ew ähl t w er d en
könn en
All e solch e c on s t i t u i r e n d e n Z ahle n eines K ö rp ers Q b i lden
dasj eni g e was H e rr Krone cker eine G a t t u n g al g ebraischer
Zahlen nennt w ä hren d ein Z ah lk örper n ach Kr o n e c ker s ch e r
Term inolo g ie ein G a t t u n g s b e r e i c h
Von z w ei con
Z ahl en kann j ede als g anz e rationale E moti o n
s t i t u ir e n d e n
t m Gr a des
—
e
ffi
c
i
nt en
m
it
rat
onalen
e
der anderen
i
C
o
n
1
(
)
dar g este l lt werden
2 D er am Ende des vori g en Para g raphen an g e g ebene
S atz l ä sst sich o h n e weiteres a u f m ehr als zwei K ö rper aus
dehn en Wir k ö nnen j etzt a u f Grund de s s o eb en Bewiesen e n
sa g en :
u n d
Hat m an mehr er e K ör p er A B F
sin d
re sp a ß y
c on s t i t u i r en de Z ahl en di e s er Kö rp er
s o kann m a n e b en s o vi e l e ratio n al e Za hl e n a b c
so wähl en d as s
,
.
e ln
,
en
.
.
.
,
’
,
e
.
.
.
,
,
.
,
,
,
,
,
,
bß
aa
cy
Z ahl d e s kl ein st en g e m e i n s cha f t
l i c h e n M u l t i pl u m s M d e r K ö r p e r A B P
wird
3 S ch l iesslic h lassen sich aus dem Gan g e de s B e w eises
des S atzes in s 6 eini g e Fol g erun g en ziehen d i e von
Interesse sind Der K ö rp er M ist wie wir g e sehen vom
m n ; er i s t aber ein Mu l t i pl u m ni c ht bloss von
Grade p
B sondern auch von A ; un d f ol g lich ist ( nach ä 4) m n ein
Mu l t i pl u m vo m n :
:
1
0
n
n
oder
m
:
n
m n
m
m
( )
cons
tit
u
ir ende
,
.
,
.
.
,
.
,
,
'
‘
,
'
'
'
'
z
Gr u n d z u g e s 3 , M o n a
d c h b i h e s i ch d i e
s d r u ch f „F u n
o
on
ez e
e n
a
n
au
tsb r i chte d
e
K r o n ec ke r
c t i o ne n
“
.
'
s ch en
.
Be
Be
rl
gri ff
k a d Mä r 1 8 79
i cht b l o ss a f
A
.
e
.
n
.
z
u
,
l l, 5 l ;
„Za
hl
en
“
,
19
D i e g anze Z ahl m
die sich hier einstellt hat aber auch
eine charakteristische B edeutun g D er B e w eis rechnete n ä m
lieh mit der M ö g lichkeit dass die im K ö rper der rationalen
n
t
Z ahlen i r r e du c t i b el e Gl e ichun g
Grades ( A) im Kör per B
n
t
d
e
u
r
c t i b el und a u f den
Grad erniedr i gt würde und dann
D a aber die Reihen
war der K ö rper M vo m Grade m n
f ol g e willkürlich ist so h ä tte man auch den K ö r p er A zu
G r und e l e g en u n d die Gleichun g (B) in A bis a u f ein en g e
wissen Grad r e d u c t i b e l ann ehm en k ö nnen Dan n h ä tte sich
aber derselbe K ö rp er M als kleinstes g e m ein s cha f tliches
Mu l t i pl u m er g eb en müsse n ; es w ä re also a u f Grund der
t m
Gleichun g ( 1 0 ) die Gleichu n g (B) a u f den m
Grad erniedri g t
w erden Also der S atz :
W e n n di e i m K örp er R d er rati onal en Z ah l e n
n
t
r
d
i r e u ct i b el e Gl e i chung
G r a d e s ( A) n a c h A d
j un cti o n e in e r Wu r z el d e r im K ö r p e r R i r r edu c t i
t
n
t
a
G
r
a
d
e
s
B
u
f
den
b elen Gl eichu ng m
G rad
( )
e r n i e d r i g t w i r d s o w i r d d i e G l e i c h u n g ( B) n a c h A d
j u n c t i o n e i n e r W u r z e l d e r G l e i c h u n g (A ) a u f d e n
t
m
G r a d e r n i e d r i g t w o b e i mn
m n ist
so thut es
B lei b t also die ein e Gleichu n g i r r e d u c ti b e l
auch die ander e ; und ebenso werden b eide Gleichun g en z u
g l e i c h r e d u c t i b el
4 Da die Function F (x ß) im Kö r pe r B i r r e d u c ti b e l ist
s o muss die F u n e t i o n h ( x) durch F (x ß ) t h e i l b a r sei n :
'
,
,
.
,
en
'
en
,
'
.
,
.
'
e
.
en
'
en
en
,
‘
‘
en
'
.
,
,
.
.
,
,
,
h (X)
Z
F
(X ß) U (X ß)
r
r
t
und diese I d e n t i t ä t in Beziehu n g a u f x w elche z un ä chst
nur f ür e i n e Wurzel ,6 der Gleichun g g (x)
O besteht
muss w e g en der Ir r e d n c t i b i l i t ä t dies er Gleichun g im K ö rper
R der ra tionale n Z ahlen f ür alle m Wurzeln bestehe n B e
zeichn en wir als o die m Wurzeln der Gleichun g g (x)
O
mit
so ist
,
,
.
Ü be r? )
h (x)
z
|
f o l g lich
F
i xr
fl ) U (K
U
S
)
h (X )
durch Mu lti plicati on
2
*
20
h üi )
1m
F (X n8 ) F
’
"
615 ) o o
o
o
da j eder der b eiden F a c t o r e n
u nd
”
0 )
sy mme t ris ch in B eziehun g a u f
ß
5
ist un d somi t rationale Oo e f fi ci e n t e n hat so m us s w e g en
der Ir r e dn ct i b il i t ä t v o n h (x) j e der ders elben e i ne Potenz
di eser F unction sein und z w ar e r g i eb t di e Gr a d ve r g l ei ch u n g
a u f Grund der Gl e ichu n g ( 1 0 )
Un d
11
,
„
,
,
f
f
E (X n8 )
y
U (Xa l5 l
‘
( 1 2)
“
x m
h(
) o o
ß
ß )
a
)
—m
m
h (x)
"
a
'
'
.
erste dieser Gle i chun g en z ei gt Fol g e ndes : J ede der
0 (i
1
m ) hat von den n
Gleichun g en
W u r z eln der Glei c hun g h (x)
O
Die
'
,
"
'
a
,
a
a
,
m)
zu Wu rzeln w obei n
n ist Wir ordnen al so di e
mn Wurzeln aller die ser Gl e ichun g en in ein Tableau j e nach
d er Wurzel ß zu der sie g eh ö ren :
'
'
n ur
n
.
,
'
,
,
ß
'
a
(k il ’
a
( kg)
C
O
k
(
i)
a
"
f
( 1 3)
ß
r
'
ml
kß )
f
a
un)
0
’
Hi erbei b e deuten di e ob e ren Indices g e wi ss e n Z ahl en
au s
der R e i h e 1 bis n Au f Grund der Gleichun g ( 1 2 )
ko mmt in dies em Tablean j ede Wurzel a und zwar j ede
l
e i c h vi e l m a l
n
ä
m
lich
m
al
vor
Wir
erhalten
also
p
m
g
mn
m n C o m b i n a t i o n en von Wurz e ln ß un d Wurze l n a
und z w ar g eh ö ren zu j eder Wurzel ß n Wurze l n a und zu
j eder Wu rz el a m Wu r z eln ß w odur ch j et zt wieder die
Sy mm etrie wi ederh e rg estellt ist welche w e g en der Gle i ch
berechti g un g der K ö rp er A und B herrs chen m uss U e b ri g e n s
i s t es klar
dass di ese p C o mb i n a t i o n e n g erade auch die
e
n
i
e
n
s ind w elche die p Wurzeln der Gleichun g f (x )
O
j g
oo n s t i t u ir e n
die den K ö rp e r M bestim mt ; d enn ent wickelt
m a n d i e Fun c tion f (a a
b ß) nach Ta y lor so muss d i e
selbe we g en der Ir r e d u c t i b i t ä t von F ( x ß) f ür all e n We r t h e
'
.
'
.
,
’
'
,
‘
,
'
,
,
.
,
z
,
,
,
'
,
22
stehen der Gleich u n g e n (2 ) u n d (4) nach sich zieht U e b r i g e n s
v er lang t die dritt e Gleichu n g dass das Bild einer von Nu ll
ver schi edenen Z ahl ‚6 ein v o n Null versc hiedenes ist ; denn
sonst würde das Bild j eder Zahl ver schwinden u n d dieser
Fall kann f ü g lich au s g esch lossen werden Hi eraus f ol g t a u f
Grund der zweiten Gleichu n g das s ve r s chi edene Z ahlen a u n d
ß auc h verschiedene Bilder haben und dass di e hi er voll
A
bis
j
etzt
o
ch
h
y
pothetische
bb il dun g eine u m
n
z o g en e
)
(
Nun bilden aber d i e Bil der
k e h r b a r ein deu ti g e sein muss
aller Zahlen e in Sy stem von Za hl en Q welches ein K ö rp er
sein m u ss weil i hm die charakteristischen Ei g ens cha f ten des
K ö rp ers zuko mmen ; denn die Zahl a o ß ist das Bil d von a o ß
also einer i u Q enthaltenen Za h l und mus s de mz u f ol g e in
dem Sy stem Q au f t reten Au f Grund der um kehrbaren Ein
d e u t i g k e i t kann man daher j eder Zahl des K ö r p e r s Q die
w
l
3
2
bestimmte
Z
a
h
des
K
ö
rp
ers
zuord
n en
deren
ni e
e
j g
Bil d sie w a r ; und di ese Abbild u n g ist ein e Permutation weil
wi e l c i c h t zu erweisen die charakteristischen Ei g e n
ih r
4
Je de Permutation e i nes
s ch a f t e n
1
)
(
(
) zukommen
K ö rpe r s l ä sst sich also du rch di e u m g e k e h r t e oder i n v e r s e
Permutation wieder zurücknehmen oder in die ident i s che
Permutation d h in diej eni g e Perm u tation verwandeln
durc h welche j ede Z ahl in sich s elbst ab g ebildet wir d B e
z eic h n en wir wie üblich die s u ccessive Anwend u n g zweier
Operationen als s yni b o l i s c h e s Product die identi s che Per
mutation d u rch das Symbol 1 s o k ö nnen wir dies so aus
drü cken :
I
P P
1
Was di ese s y mbolische Mul tiplication an g eht so ist
w o hl z u beachten : ist P diej eni g e Permutatio n welche den
K ö rper Q i n Q Q diej e n i g e Permutatio n welche den K ö rper
R diej eni g e Perm u tation welche den K ö rper Q i n
Q in Q
ü b e r f üh r t
so f ührt P Q Q in Q u n d f ol g lich (P Q) R Q
in Q übe r ; eben s o f ührt Q R Q in Q u n d f ol g lich P ( QR)
Q in Q
ü b er Es g il t also das a s s o c i a t i v e Gesetz :
.
,
’
,
.
,
.
'
.
,
,
'
’
,
.
'
.
.
'
.
,
,
,
,
.
,
.
.
,
.
,
,
,
,
"
.
,
,
'
.
‚
,
,
"
"
'
.
.
.
,
,
"
'
"
'
.
.
'
"
.
.
'
‚
‚
.
,
"
.
(PQ) R
P (QR )
.
Das c o m m u t a t i v e Gesetz [P Q
QP ] g ilt aber im
all g e mein e n s ch o n da r um nicht weil Q zun ä c h st nur als
,
23
des K ö rpers Q und g a r nicht a l s Perm u tati on
des K ö rpers [2 B edeu t u n g hat
S etzt man in der vierten der obi g en Gleic h un g en ß : a
so fi ndet man dass di e Zahl 1 u n d f ol g lich der K ö rp er der
rationalen Z ahlen durch j ede Permutation des K ö rp ers 9 in
sich selbst ab g ebil det wird V o n einem beliebi g en Divisor
des K ö rp e r s Q l asst sich j eden f alls soviel aussag en dass er
in einen Diviso r des K ö r pers Q per mu t i r t wi rd Genü g t
ferner die Zahl Q die dem K ö rp er Q an g eh ö rt einer
n
t
Gleichu n g
Grades mit rati o n alen C o e f fi c i e n t en so m u ss
we g e n der E r haltun g der r ationalen B eziehun g en die Z ahl
die das Bild von (9 ist derselben Gleichun g g enü g en also
a u c h eine Wu r zel j ener Gleic h un g se i n
Diese letzte B emerku n g zei g t u n s wenn wir nunm ehr
v on
d e r Un t e r s u ch u n g eines beliebi g en z u der eines end
lichen K ö r pers n t Gr ades überg ehen dass ein solcher über
ha u pt n u r n P e r m u t a ti on e n haben kann Wird n äml i ch der
K ö r per Q vom Grade n durch die Wu r zel Q der Gleichun g
f IQ )
0 c on s t i t u i r t
so m u ss du rch eine beliebig e P er mu
t a ti o n (9 in eine d e r a
r z e l n dieser Gleich u n
n
üb
er
ehe
g
g
u n d sobald dieselbe fest ele t
eht
j
ede
rationale
F
n
ction
u
g
g
g
von
6) mi t rati onalen C o e f fi ci e n t e n in di eselbe rationale
F un ction der Z ahl
die das Bil d von (9 ist über Ord
nen wir aber u m g ekeh rt der Zahl Q di e den K ö rper 9
c on s t i t u i r t
eine der n Z a hl e n (9 z u die derselben ir r e du ct i
i
belen Gleic h u n g n
Grades g enüg t wie Q u n d j eder b e
welc h e durc h die
li e b i g e n Zahl w von Q diej e ni g e Zahl w
selben r ationalen Operationen aus Q g ebildet is t d u rc h
welche w a u s Q g ebildet wer d en kann so stellt di ese Zu
o rdnun g j edenfall s eine Abbildu n g des K ö rpers Q i n dem am
E i n g a n g e des Parag raphen b esp r o che n en S inne dar und di e
Abbil du n g ist e i ne Per m u ta ti on w eil ihr w i e leic h t zu b e
weisen ist die d u rch die Gleichu n g en ( 1 ) und (3) g efordert en
Ei g en scha ft en zu komm e n Wir haben als o den S at z :
m
J e d er e ndli ch e K örp er u
Grades hat n ver
vo n de nen eine stets di e
s chi e d ene P ermu t ation e n
i d e n t i s c h e P e r m u t a t i o n i s t J e d e di e s e r n P e r m u
d a s s m an
t a t i o n e n w i r d d a d u r c h v ö ll i g b e s t i m mt
P ermutati on
'
.
.
,
,
.
.
.
,
'
.
.
.
,
,
en
,
,
,
.
,
c
en
,
.
.
,
,
,
.
,
.
,
’
,
,
e nl
.
,
‘
.
,
'
,
,
,
‚
,
.
,
,
,
.
,
.
,
24
e i n e r c o n s t i t u i r e n d e n Z a h l G d e s K ö r p e r s e i n e Z ah l 6
z u w e i s t w e l ch e d e r s e l b e n i r r e du c t i b el e n Gl e i c h un g
“m G r a d e s w i e Q
n
g enüg t
J e der Z ahl w des K ö rp ers Q werden durch di e n ver
s c h i e d e n e n Permu tationen dies es K ö rpers n ( g leiche oder ver
) r e sp
a m
der K ö rp er
s c hi e d e n e ) Zahl en
zug eordnet ; d iese n Zah len bez eich n et man als die der
Zahl w c onj u g i r t en Z ahl en ihr Product a l s die Norm von w ;
in Z eich en
'
,
a
.
.
.
,
Na)
(5 )
"
'
m m
und diese D e finition lehrt unmittelbar dass die N or m ein es
Pr o d u c t e s g leich dem P r o du c t e der Norm en i st :
,
N (a )
N 01 5)
( 6)
Neben dem B e g r iffe der Norm ist no ch der Be g r iff der
Discrimin a nte von b es onderer Wic h ti g keit f ür die Th eorie
der endli chen K ö rp er ; hat man n äml i ch an einem K ö rper
"
Grades ein Sy stem von n Z ahlen
n
a
und bildet
man da s Qu adr at der De t ermin a nte welc h e aus den n u
B i ldern dieser Z ahl en z us ammen g esetzt ist :
an
n
.
,
2
i
"
'
al
az
so b ez eichn et man dasselb e als di e D i s c r i m i n a n t e der
a
und s c hreibt es
Z ahl en a p a z
,
n
n
d
(a 1
,
a2
,
,
a R
)
.
Jede Norm und j ede D is crimin an t e ist a u f Grund de s
F u ndamentalsatzes der s ymme t ris c h en F u n c t i on e n ein e ratio
nale Zahl Is t G c on s ti t u i r e n d e Z ahl des K ö r p ers so ist di e
Discri minante der n ersten Poten z en d ieser Za hl
.
,
Q
bekann tli ch
leic
h
dem
uadrat
des
Q
g
n-l
)
Pr od u c t e s
der
n
'
(
—
_
—1 )
f2
Di ff ere n z en welche man aus den C o mb i n a ti o n e n der Wurz e l n
m
Q
(9 ) zu zweien erhä lt u n d somit von N ull ver
schi eden weil eine i r r e d u c t i b e l e Gleichun g ni cht zwei g leic h e
Wurz el n haben k ann Hi eraus folg t leicht dass die D i s cr i
mina n te irg end eines Sy stemes von n Z ah len vers chwindet
oder ni cht versch w indet j e n a c h d em diese Z ah len e i n ab
,
"
,
,
,
.
,
,
25
h än g ig es o d er unab hän g i g e s S y stem bilden Jedes S y stem
von n Zahl en d essen Discriminante v o n Nu ll verschieden ist
bi ldet also e i ne Basis des K ö rp ers ( ää 2 3 )
9 Durc h j ede der n Abbildun g en eines K ö rp ers Q vom
Grade n wir d au ch eine g anz besti mmte Abbildun g eines
Divisors A der den Grad m h at ver mittelt Da aber der
K ö rper A nur m Permutationen zul ä sst so muss n othwendi g
n also A ein e c h t e r T h eiler ist z u zwei ver
w enn m
u nd
dies elbe P e rmu
s c hi e d e n e n Pe r mutationen von 52 eine
t a t i o n von A g eh ö ren und dieser P unkt m u ss vor all em j etz t
bis z u einem g ewissen Umfang e au f g e h ellt werden Ist (9
a c o n s ti t u i r e n d e Z ahl des
c o n s t i t u i r en d e Z ah l des K ö rp ers Q
Divisors A u n d ist a
wobei
eine g anze
F un cti on von Q mi t rationalen C o e ffi c i e n t e n b edeutet so g e
a
0
n ü g t a einer i r r e d u c t i b e l e n Gleic hun g des Grades m :
)
g(
deren hö c h ster C o e f fi c i e n t wie g ew ö hnl ich die E i n s sein
Die Function
ma g
—
1
z
f (z )
[z
( ) [ v
[z
d eren C o e f fi ci e n t en rationale Z ahl en sind ist r e du c t i b el wenn
m
n ist ; da aber j ede i r r e du ct i b el e F un ction welch e durch
a
eine der n c o nju g ir t en Gr ö ss en a
)
am
wird n o t h w e n di g er w e i s e au c h all e
a n n u ll i r t
v e r s c h i e d e n e n unter diesen Gr ö ss en zu Wurzeln haben
mu s s so ka nn j eder i r r e du c t i b e l e Fact o r von f ( z ) i mm er n u r
n
Z ) sein
und fol g lich ist wenn
p g esetz t wird
(
g
.
,
,
.
,
.
.
,
,
,
,
,
,
,
.
.
,
,
,
,
,
.
o
o
.
,
,
,
"
‘
z
,
,
,
El
,
( 2)
,
f (z )
kann man die Func t io n f (z ) au c h a u f folg en
w
ein e beliebi g e Basis
dem We g e erhalten :ist
des K ö rpers 52 und a eine beliebi g e Z a hl desselben so ist
n ) auc h eine Z ahl des K ö r pers Q also :
a m, (i
U eb r i g en s
n
,
‚
a
2,
mi
.
0
,
11 ,
Da
wobei di e Co ef fi ci e n t e n c rati o nale Zahlen sind ( ä
aber bei j eder Permu tation die rationalen Beziehun g en u n
.
.
Sc h ö ne ma nn ,
g ru enz en ,
Gru n d z üg e
Cr el l es J B d
.
.
e i ner
a
ll g
3 1 , S 273, 5 4
.
.
e
mei ne n Th eo r i e d er h ö h e r e n C o n
.
26
e
e
ä
ndert
bleibe
n
s
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en
n
Bilder
von
d
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g
g
g
‘ "
Grades i n D e t e r mi n a n t e n f o r m :
n
—
zd k
4
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( ) I c ik
l
Gleic hun g
der
a
,
a
z
l
,
welcher 6 k das Kr o n e c ke r s c h e Sy mbol n ä mli c h eine Zahl
bedeutet welche Null oder Ein s ist j e nachdem die Indi c es
i u n d k vers chiede n o de r g leich s i nd
Welc h e Z ahl also
auch a i
sein m ö g e immer ist
’
in
1
,
,
,
.
,
z
(
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H
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(6 )
ist
|
C
ik
O,
—
z
(
— l )n
ä
c
ik
—z ä h '
‘
dass
1}
N (a )
|
m
oder
,
.
Nach dieser kurz en Abs chw ei f u n g kehren w i r wieder z u r
Gleich u n g ( 2 ) z u rü ck ; dieselbe leh r t u n s dass z u p ver
s c hi e d e n e n Abbildun en des K ö r pe r s Q
immer dieselbe Ah
g
bild u n g des K ö rpers A g eh ö rt u n d dass es i n s b eso n dere u nter
den Abbil dun g en des K ö rp ers 52 p g e b e n wird dur ch welche
der K ö rper A identisch pe r mu t i rt wird Dass ei n e rationale
Z ahl n g leiche und dass ei n e c o n s ti t u i r e n d e Z ahl n ver
s c h i e d e n e B ilder hat
ist n u r ein Spe c i a l f a ll dieses S atz es
Weiss man also n u r welcher Perm u tatio n der Di v is or A
unterlie g t so ist di e Permutati o n des Mu l t i pl u m s Q noch
nic h t mitg e g eb en sondern noch p-f ach unbesti m m t
H a t man nun zwei K ö rper A und B resp von den
Graden n u n d m und sind a und ß c o n s t i t u i r e n d e Zahl en
dies er K ö rp er so zei g en die Au s f ühr un g en der ää 6 u n d 7
dass ihr kleinstes g emeinschaftlic h es Mu l t i pl u m M welches
m n hat dur ch e i ne mit rationalen
den Grad p
nm
Zahl en a u nd b g ebildet e Verbind u n g a a
b ß c on s t i t u i r t
werden kann u n d dass die p Wu rz eln der i r r e d u c t i b e l e n
Gleichun g welch er diese Verbind u n g g enü g t d u r ch p Com
b i n a t i o n e n der n Bilder a und der m Bilder ß erze u g t werden
Das M ul t i pl u m M unterlie g t also in seiner Ei g enscha f t als
K ö r p er p vers chiedenen Permutatione n bei deren Anwendun g
die Theile r A u n d B nach dem Vo r herg e h ende n in bestimmter
W eise m i t pe r m u t i r t werden ; u n d zwar wird ein u n d die
selbe Pe r mu tation des K ö rp ers A b ei m ein und dies elbe
,
‚
,
.
o
.
,
,
.
,
,
.
.
,
,
,
'
'
,
,
,
,
.
.
,
'
'
,
27
Perm u tation des K ö rpers B bei n Perm u tatione n des K ö rpers
E i ne solche Permu tation des K ö rpers M i n
M au f t rete n
so f ern sie als e i n e u n d d i e s e l b e a u f die beiden K ö rper A
und B z u g leich z u g l e i c h an g ewende t e Abbild u ng betrach t et
wir d m a g ein e s i m u l t a n e P e r m u t a t i o n d e r K ö r p e r A
u n d B heissen D a j ede Perm u tation die Ei g enschaft der
Eindeuti g keit h at s o ist es ersichtlich dass b ei j eder s imul
ta n en Permuta tion der K ö rper A un d B ihr g r ö sster g emein
s c h a f t li c h er Divisor d
einer und derselben Permu tation unter
w o r f e n wird ; ob aber dies e n o t h w e n di g e Be din g un g au ch die
h inreichende ist d h ob zu ir g end zwei Permutationen von
A und B welche eine und dieselbe Permutation de s g r ö ssten
z
u
i
emeinschaftlic
h
en
Theile
s
Fol
e
hab
en
a
ch
e
ne
r
u
r
d
g
g
Permutation des klei n sten g emeins chaftlichen Mu l ti pl u ms M
g e h ö rt ist eine Frag e ;von g rossem Interesse deren Beant
wo l t un g mir bis j etzt noc h nicht hat g el i n g en wollen ;
übri g ens ist dieselbe f ür die L ö s u n g unserer Au f g abe nic h t
nothwendi g
E i n K ö rper 52 des Grades n liess n Permutationen zu
von welchen eine die identi sche Permutation war w ähr en d
die anderen Permu tationen i mmer n u r e i nen Theiler des
K ö rper s Q i n sich selbst überf ühren konnten Dami t ist aber
keineswe g s g esag t dass die durch die ni ch t i d e n t i s c h e n Per
mutatione n erzeu g ten K ö rp er alle v o n Q versch ieden sein
müssten Wie dem aber au ch sein m ö g e j edenf alls l ä sst
j eder der n
1 durch die nicht identisch e Permutation e r
ze u g te n K ö rper au ch f ür sich w ieder j e n verschi edene Per
m u tati o n en z u Um z u erkennen wie dies e Permutationen
unter einander u n d mit den n Permutationen des K ö rpers Q
in Beziehun g z u s etzen s i nd führ en wir z u n ä chst den Be g rif f
des N o r m a l k ö r p e r s ein
Wenn ein K ö rp er N der den Grad N hat d u rch sei n e
N Permutati onen in N c o nj u g i r t e K ö rper üb er g e f ührt wird
welche i h r e m Z a h l e n i n h a l t e n a c h mi t äm mt li oh identi sch
sin d so heisst der K ö rper e i n No rm a l kö r pe r oder Galois scher
K ö rper Is t (9 eine c o n s t i t u i r en d e Z ahl des N or m a lkör per s
N so ist f ol g lic h j ede d e r N z u Q c o nj u g i r t e n Z ahlen ein e
r ati onale Function v o n Q m i t rati onalen C o e ffi c i e n t e n :
anze
g
'
.
,
,
,
.
,
,
,
.
.
,
,
,
,
.
,
,
.
.
,
.
,
n
.
,
.
,
.
,
,
,
’
,
.
,
28
(1 )
(9
'
(9
"
9
n
m)
Ist u m g ekehrt Q c on s t i t u i r en d e Z ahl e i nes K ö rp ers N und
sind di e N z u O c onj u g i e r t e n Z ahl en s ä mm t li ch in N ent
halte n [d h bestehen Formeln der F o rm
so ist N ein
N o r m a l kö r pe r
Ein N o r m a l kö r pe r hat di e char akte ristische
Ei g e n scha f t dass mi t j e der seiner Per mu tation en auch di e
entsprechenden Per m u tatio n en d e r c o nj u g i r t en K ö rper g leich
mitb es t im mt sind ; den n die c o nj u g i r t e n K ö rp er h aben j a
denselben Z ahleninhalt wie j e n er Hi eraus f ol g t dass man
in diesem Falle ohn e weiteres a u f ein e n beliebi g en c onj u g ir t e n
K ö rpe r z u N eine der Perm u tationen von N anwenden oder
wenn man di e Perm u tationen von N mit
.
,
.
.
,
.
,
,
( 2)
P
'
,
P
Pm
"
,
bezeichnet dass man ir g end zwei di eser Permuta tion en ohn e
weiteres hinter einan der a u f N au sü b en kann Da aber nach
ä 8 auf diesem We g e imme r wiede r nur eine Perm u tation
von N entstehen kann so ist das Product ir g end zweier Per
mutationen der Reihe ( 2 ) wieder eine Permutat ion dieser
Re i he W enn eine en dl ic h e o der u nendl iche Anzahl von
Operationen di es e Ei g enscha ft b esitzt dass di e successive
Anwendun g irg end zweier der i n Rede ste h enden Operationen
wieder e i ne solche Operation ist so p fl e g t man die G e s a mm t
heit d i eser Op erationen als e i ne G r u p p e von Ope r ationen
(n ach Galois) z u bez eichn e n und we n n die Anzahl der
Opera t io n en ein e endliche ist so nennt man dieselbe die
Ordnun g der Gru ppe Also haben wir den S atz :
D i e P e r m u t a t i o n e n e i n e s N o r m a l k ö r pe r s d e s
Gr a d e s N b i ld e n ein e G rup p e d e r O r d n u n g N
Diesem S atz e k ö nnen wir mit Hilf e des Be g ri ff es des
h o l o e d r i s c h e n I s o m o r p h i s m u s noc h andere F ass u n g en e r
theile n welche den Z u sammen h an g d es hier g ew ählten G ruppen
b e g nfi e s mit der etwas üblicheren e i n s c hr ä nke n d e r e n Be g riff s
"
f o r mul i r u n g vermitte l n ? W enn n äml ich zwei Gr u ppen von
,
.
,
.
,
,
,
,
.
.
,
,
Ue b e r d i e
mu s
u nd
1 8 84 , Ab
99
2
—4
.
G pp s
d er
s
chn
hi e r
ru
.
I,
e
Ca p
.
g
.
I
e w a hl t e
Kl e i n
,
5
2
.
,
Au fl as
s g
un
ols g
V gl
m
V
r e un
er
.
zu
en
d es
üb e r
f olg
.
h o l o e dr is c h e n Is o m o r ph i s
d as
a u ch
os
Ab s h
Ik
ae
c
n
d er ,
.
L
e
ip z i g
,
l , Ca p I V ,
.
30
Isomorphi s mu s wi r d al so d i e Unte rg ruppe welche
der identischen Operatio n von G entspricht du r c h j ede
Operation von G in sich selb st t r a n s f or m i r t o de r wie man
sa g t sie bildet eine a u s g e z e i c h n e t e U n t e r g r u p p e v o n G
“
m
u
n
N
Es seien n
die
Wurzeln der Gleichun g N Grades
wel che der N or m a lkör pe r N c h a r a kt e r i s i r t wie vorher :
st u fi g e m
,
,
,
,
'
.
,
,
,
(5)
Q
"
m)
6
,
,
s o erhalten wir bei Anwendun g der N Permutatio n en des
K ö r pers N N verschiedene A n o r d n u n g e n oder C o m
*
xi on e n )
e
der Wu rzel n Q ; denn bei j eder Permu tation
l
p
treten auch wieder a l l e N Wu r zeln als Bilder a u f weil ver
s c hi e d en e Zahle n verschiedene B ilder haben
Zu j eder Per
mutati o n des K ö rpers g eh ö r t also eine b estimmte C omplexi o n
der W urzeln Q u n d die Perm u tat i on des N o r m a l kö r per s ist
also mit e i ner g ewissen V e r t a u s c h u n g oder S u b s t i t u t i o n
der Wu r zeln Q h ol o e d r i s ch isomorph D abei entspricht n at u r
lich der ide n tischen Permu tation die identische S u bstitution
d h di ej e n i g e S ub stitutio n bei welch er alle Wur z eln ihre
S telle beh a lte n In dieser Gr u ppe v on Vertau sch u n g en d e r
Wurzeln haben wir also ein vollst ä ndi g es Bild j e n er Ope r a
ti c u s u die wir Permu tatio n en g enan nt ha b en Wi r k ö nn e n
aber von der Su b s t i t u ti o n e n g r u ppe a u f Gru nd der vorher ent
wickelten B e g ri ff e so g leich fol g endes au ssa g en : Erstens :
k eine der N S u bstit utio n en au sser der Identit ät l ä sst irg end
ein e der N Wu rzeln Q an ihrer S telle Zweitens : es ist
stets m ö g li ch ein e beliebi g e Wu rzel (9 mit einer beliebi g en
anderen z u vertauschen wie ohne weiteres a u s demj eni g e n
f o l g t was wir über das Wesen der Pe rm u ta ti o n in ä 8 e r
ka n n t haben ; diese Ei g e n scha f t bezeichnet m a n als T r a n s i
Dritt ens :Die Grupp e
t i v i t ä t d e r S u b s t i t u t i o n e n g r u pp e
ist e i n f a c h t r a n s i t i v d h es ist nicht m ö g lich ir g end
z w e i beliebi g e Eleme n te a u f zwei beliebi g e fo l g en z u lassen ;
d enn sobald bekannt ist in welche Wu r z el ir g end eine d e r
,
.
,
.
,
.
.
,
.
.
,
.
,
,
,
.
.
,
.
,
,
Ic h
ä
w
hl e
t ti o
m di P
C o mp l i o w l h
s h id
k
mu
a
n
“
,
ex
c
e
en
zu
u
n
,
sd k Co mp l i o st tt d üb l i h
m t tio
hi
i Op t i o i st
di
i
E g b i
d i s Op t io i st s i h
d e n Au
e
e r
e c
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ö n ne n.
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„
a
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r
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“
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n
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c
er
n
,
,
c
„P e r
vo n
er
.
der
t
u n er
31
Z ahlen der Reihe (5 ) überg eführt werden s o l l ist
Per
m u ta tion des K ö rpers u n d mit i hr die zu g eh ö ri g e S u bstitution
Vu r z e l n v ö lli g b estim mt
der W
S c hl iessli ch sei beme r kt
dass m a n der b espro chenen Th a t s a ch e noch e i ne dritt e S eite
ab g ewinnen k an n Ist n ä mlich Q wieder ein e bel iebi g e der
N W u r z e l n der Reihe
s o ist a u f Gru n d der Relation ( 1 )
der Erh altun g d e r ra t ionale n Beziehu n g en
u n d a u f Grund
”
) ü b erf üh r t
Q
d
ej
eni
e
Abbild
n
welche
Q
in
i
u
8
(ä )
g
g
a e qu i v a l e n t mit der Comp l exion
,
di
e
,
.
.
n
m
o de r
)
.
.
q
n
o
WQ
‘Ü
)
o
F o l g lich ist
diej
eni
e
Complexion
der
Wurzel
wo die Indi ces 91 92
g
9N
indi ces ist welche zu der der Perm u tation P “) h o l o e dr i s c h
m
ents prechen den Su b sti t ution g eh ö rt Die F u n c t i on e n (p rp
gp
der Reih e ( 1 ) b ilden f o l g li ch auch ein e Gruppe welch e z u
den b eiden vorh er besprochenen h o l o e d r i s ch isomorph ist
fr eilich n u r in dem S inne dass die W e r t h e welche sie f ü r
di e Wurzeln G) annehm en e i n im S inne der Gr uppentheorie
Wi r f assen di e g e
ab g eschlossenes Ganz e au smachen
w onn e n e n Ans c h auu n g en i n dem S atze zu sammen i n dem w i r
wie übli ch di e Anzahl der Elemente welche in eine
n o ch
S u b s t i t u t i o n e n g r u ppe ein g ehen als den Grad der Grupp e
be z eichnen :
D er Grup p e d er P e rmu t ati on e n e i n e s N o rm al
k ö rp e r s d e s Gr a d e s N e n t s pri c h t h o l o e dr i s c h i s o m o rph
e in e e in f a ch tr a n s i ti v e Gru p p e v o n S ub s ti tu t i o n en
d e r e n G r a d z a h l d e r O r d n un g s z a h l N g l e i c h i s t u n d
d e r en O p er ati o n e n all e o d er g a r k ein E l em en t u m
s e t z e n u n d e b e n s o h o l o e d r i s c h i s o m o rp h e i n e G r u p p e
v on F u n c t i o n en D i e El e m e nt e d e r S ub s t ituti o n e n
s i n d d i e N c o n s t i t u i r e n d e n Z a h l e n d e r N c o nj u g i r t e n
K ö r p e r d i e F u n c t i o n e n s i n d s o l c h e N r a t i o n al e
dur ch
F u n c t i o n e n m it r ati o n al en Co e f f i ci en t e n
,
,
,
'
,
.
“
,
,
,
,
,
,
,
:
,
.
,
,
,
,
,
,
.
,
,
32
w e l c h e a l l e N W u r z e l n al s F u n c t i o n e n e i n e r v o n
ih n e n d a r g e s t e l l t w e r d e n
Wend en wir uns nu nmehr z u r B etrachtun g eines
11
beliebi g en K ö rpers 52 des Grades n Ist (9 c on s t i t u i r e n d e
Z ahl des K ö rp ers Q u n d g eht der K ör per Q du rch di e n
zul ä ssi g en Permu tationen in di e c onj u g i rt e n K ö rp er
.
.
.
.
(1 )
Q
.
'
,
Q
"
.
1)
0
52
,
über welche ihrem Z ahleni nhalte n ach sehr wo hl t h e il w e i s e
oder auch g anz identisch sein k ö nne n u n d resp die consti
t u i r e n d e u Z ahlen
,
‘
.
( 2)
b esitz en so ist das kleinste g emeinschaf tliche M u l t i pl u m der
K ö rp er Q Q
ein K ö rp er N welc h er d i e N o r m
d e s K ö r p e r s Q heisst und dessen Grad N se i n m ö g e Die
N Permu tationen der Norm N si nd (g 9 ) z u g leich die N
sim ul tanen Permu tati o nen der K ö r per Q
D u rch
j ede di eser Permuta ti onen wird die Reih e der Z ahl en ( 2 ) in
e i ne g ewi ss e andere Anor dnun g über g eführt ; denn bei j eder
Perm u tation kann ir g end eine der Z ahlen dieser Re i he immer
nu r
in eine Z ahl derselben Reihe über g ehe n u n d da die
Zahlen alle verschieden sind so müs sen auch i hre Bilder ver
schieden s ein (ä
D en N verschi edenen Pe r m u tationen
des K ö rp ers N ents prechen also h ol o e dr i s ch isomorph N ver
s c h i e d e n e C o m l e xi o n en der Zahlen
p
,
"
'
.
,
.
,
,
‚
.
,
’
.
,
,
,
.
( n)
u
a
N—l )
i
Q
‚
N—l )
O
Q
’
’
N —l )
O
Q
’
K ö rper N ist aber ein N or ma l kö r per ; denn nac h ä 7 2
) so bestimmen
kann ma n die n r ati o nal e n Z ahl en a a
am
dass
D
er
,
“
'
,
,
t
Ne t o ,
( hi e r
J
od
r
si d
a n,
it
ip z i g 1 8 8 2
8 9 — 90
sol c h e G u pp e nt e s h t) 1 6 3
Su b s t i t u t i o n e nt h e o r i e ,
p
s st i t t i o s
di e mo g li c h e n Ty
Tr a e d e s u b
u
n
en
n
,
Le
r
,
,
,
r
n
u
1 2 2 —1 2 4
,
r uc
Pa ri s 1 870 , 6 9 — 7 1 , 3 68
,
.
.
C
am
i ll e
33
E
( 4)
c o n s t i t u ir e n d e
'
'
’
Q
a
Z ahl wi rd ;
ame m
g enü g t dieselbe der i r r e d u c t i b e l e n
'
Gleich u n g
W)
(5 )
0.
) dieser Gleichun
m
5
g
den A u sdru ck ( 4) a u
"
so e r h ält man alle Wu r zel n
E
indem man die S ubstitutionen ( 3)
wendet :
,
'
'
E
{
a
G
"
'
a
i
H
H
5
a
i
N)
f
(
'
E
au
,
(
Q
i
ni
(
i
"
0
i
( N—l
“
‘
"
a
G)
)
"
a
m
i —
N
(
(9
l
da als o al le Bilder von 5 w ieder dem K ö rpe r N an g eh ö ren
s o ist N e i n No r m a l kö r pe r
D i e Gru pp e seiner Pe r mutationen welche wir vorhin b e
s r o c h e n hab e n
r u pp e
52
nenn
en
wir
die
d
e
s
K
ö
r
p
e
r
s
G
;
p
die ihr h ol o e dr i s c h i somorph g e g enüberstehende G r upp e von
Vertau sc hun g en welche du r ch das Tablean (3) c h a r a kt er i s i r t
wird ist es welche man g ew ö hnl ich als die G r u ppe der die
W
Vu r z e l n G) d e fi n i r e n d e n Gleichu n g z u bezeichnen p fl e g t
w ährend man den Au s d ru ck ( 3 ) di e Galois sche Resolvente
n e nn t
In dieser letzte n Auflassu n g hat die Gru ppe den Grad
n und die Ei g ens chaft der Transitivit ä t ; denn man ka n n jeden
K ö r per d er Reihe ( 8) in j eden ander e n
Da
die se Gru ppe von Ver ta u schu n g en eine Un terg ru pp e der
Gru ppe aller überhaupt m ö g liche n Vertau schu n g en der Gr ö ssen
ist so ist die Ordnun g N welche nach g 4
ein
Ist N
n
M u l t i pl u m von n i st ein Theiler von u i
s o ist der K ö rper Q ein N or m a lkö r per denn er ist alsdan n
s eine ei e n e Norm ;
!
ist
N
so
ist
e r e i n all g emei n er
n
g
K ö rper d h ein K ö r per welcher sich hinsichtlich seiner
Ei g enschaf ten g anz s o verh ält wie ein K ö rper welcher du rch
n
t
eine Gleich u n g
Gr a d es mit u n b estimmt g elassenen
YVe n d e t m a n die Per mu tationen
C o e f fi c i e n t e n d e fi n i r t wird
'
,
.
,
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,
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,
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’
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s i t i v i tä t d G pp i st ( h C
g t b v b d ; N tto l
D i e Tr a n
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u n r e nn
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na c
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c.
g
m i t d e r Ir r e d u c ti b i l i t ä t
1 5 4, J o r
d
an
3
l
.
c.
35 7
.
34
Gru ppe des K ö r pers Q a u f das Sy stem der co n s ti t u i r e n de n
Z ahlen ( 6 ) an so erh ält man a u f Grund d e r E r ö rter u n g en
des vo r i g en Par a g raphen im Ganz en N ver schi edene C om
pl e xi o n e n d e r Z ahlen 5 ; daher ist u nsere P e r m u t a t i o n s g ru ppe
mi t einer zweiten Gru ppe von Vertauschun g en h o l o e dr i s c h
isomorph der en Grad aber j etzt N ist u n d wel c he dieselben
Ei g enschaf t en besitzt wie die Gru ppe des vori g en Para g raphen
S chl iesslich k ann man auch wieder der P er m u t a t i o n s g r u ppe
eine Gru ppe von F u n c t i o n e n z u o r dnen ; d o ch über g ehen wir
d i es weil es f ür u n s hier k ein wesentliches Interesse dar
bietet Wir haben den S atz :
n
t
o
W enn di e N r m N d e s K örp ers Q v om
Grade
d e n G r a d N h a t d e r e i n M u l t i pl u m v o n n u n d e i n
Theil er vo n n ! i st s o k an n man N simu l t an e P e r
m u t a t i o n e n a u f d i e n B il d e r d e s K ö r p e r s 52 a n
w e n d e n w el c h e e in e Gru p p e b il d e n D i e s e Gr u p p e
d e s K ö r p e r s 32 i s t m i t e i n e r G r u p p e v o n V e r
n
t a u s ch u n g en d er n c on s t i t u i r en d en Z ahl en d er
K ör p e r u n d mit e in er Gr upp e v o n V er
c o nj u g i r t e n
t a u s chu n g en d er N c onj u g i r t en c on s t i t u i r en de n Z a h
l e n d e s N o r m a l k ö r pe r s N h o l o e d r i s c h i s o m o r p h
1 2 Es sei wie vo r her N ein N o rm a l kö r pe r vom Grade N
und Q ir g end ein Theiler des Grades n s o dass also N n icht
rn a u ch
erade
N
o
sonde
rm des K ö r pe r s z u se i n bra u cht
d
i
e
g
ein M u l t i pl u m der Norm s ein kann D ann habe von den
N
die Ei g e n s cha ft
N Permutationen des K ö rpers N i n sich
der
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,
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e n
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'
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.
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das s sie
K ö rp er
d en
Q
.
id entis ch
r mu
e
p
t ir e n
,
.
Diese p
n
d h
Permu tationen habe n also f ür sich Gr u ppen ch a r a kt e r ;
sie bilden eine U n te r g ru ppe U d e r G r u ppe G d e r P e r mu
t a t i o n des N o r m a lkö r pe r s N
V o n g r ö sster Wichti g keit f ü r
u ns
ist a b er das s d i eses V e r h ä l t n i s s s ich u mk eh r en l ä sst :
Wen n die Gr uppe G des N o r m a l kö r pe r s N eine Unter g ru ppe
U der O r dn u n g p b esitzt s o bilden alle diej e ni g en Zahle n
von N
welche durch all e p Perm u tatio n e n der Unte r g ru ppe
u nd
d u r c h k ei n e a n de r e Perm u tati o n v o n G iden ti sch per
.
.
.
,
,
,
m u t ir t
we r d e n e i n e n
,
D ivis o r
vo n
N,
der den Grad
u
P
35
hat Denn si n d a und ‚5 ir g en d zwei Zahlen v o n N welche
d u rch di e p Permu tati o nen der Unter g ruppe U identisch per
m u t i r t we r den und f ühre n wir wieder das Z eichen o ein s o
wird a u f Gru nd des B e g ri ff e s der Permutatio n ( ä 8 ) das B ild
der Zahl a o ß bei allen p Permu tationen v o n U wieder a o ß
sein u n d f o l g lich auch z u dem c h a r a kt e r i s ir t e n Sy steme
von Zahlen g eh ö ren ; unser Sy stem Q ist also ein K ö rper
u n d zwar ein Divisor von N
D a w i r f erner an g en o mm en
haben dass die Zahle n des K ö rpers 52 au ch n u r bei d e n
Perm u ta t ionen der Un te r g ru pp e U s ä m m t l i c h un g eä ndert
bleiben so w i rd j ede weitere Perm u tation von G den K ö rper
52 ni c ht -identisch per mu t i r e n ; u n d zwar bilden wir z u r Fest
stellun g dieser Verh ält n isse in b e k annter Weise eine Tabell e :
P
o
1 P
P
’
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.
.
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’
u
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H ierin
I I J
H
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O
,
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cau
u
r
,
'
"
u
u ms o»
n>
<
s
.
die erste Z eile di e Permutationen der
Unter g ruppe U ; ist S ir g end eine nichtidentische P e r m u
so sind alle Permu tationen von einander und
t a t i o n f ü r 52
von d en Operatio n en der erste n Z eile verschi e d e n e Operati
onen u n d üben s ä mm t l i ch und au ch au sschliessli ch a u f den
K ö rper Q die g leiche Wirku n g aus ; eb enso ist S eine
Operati o n welche unter den vorher hi n g eschriebenen n o ch
s w Hierau s f ol g t dass d e r K ö r per Q
n icht vor k ommt u
d e n Grad n hat und das s die Operationen 1 S
Si ) als
sein e P ermu tatione n b etrachtet werden k ö nnen ; w z b w
Von I n teresse ist e s z u s ehen w i e a u s der Un ter g r u ppe U
die den K ö rper Q bestimmt die entsprechenden Unter g ru ppen
f ür al le z u Q c o nj u g i r t e n K ö rper
g i eb t
"
,
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.
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.
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e r K ö rper Q
n w i r an
e
nde
ehme
dass
n verden k ö n nen
N
f
u
g
d u r ch die identische Operation in Q und dur ch die Operati on
S “) (r
n ) in den K ör pe r
über g e f ührt werde
1 2
s o wird 52m d u rch di e Oper ati o ne n
,
.
.
'
.
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1,
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-1
P
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<
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wie man le i c ht erkenn t au ch
,
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r>
<
s
du r ch diese identisch
36
werden Man erh ält also di ej eni g e Unter g rup pe
eselbe Bedeu t un g f ü r I20 ) hat w i e U
U f ür
52
i ndem man di e Unter g ru ppe U du rch eine der
m
e n i g e n Perm u ta tionen von N t r a n s f o r mi r t
welche
Q
i
n
52
j
über führen Insbe sondere ka n n es vork ommen dass alle d iese
t r a n s f o r m i r t e n Gruppen
mit der u rsprün g lichen Gruppe
identis ch au s f allen ; dann ist die Unter g ruppe eine a u s
g ezeichnete Unter g r u pp e u n d d e r Divi sor 52 kann passend
ein a u s g e z e i c h n e t e r D i v i s o r g enannt werden D erartig e
au s g ezeichnete Unter g ru ppen und Divi so r en spielen in d e r
Theorie der Gleich u n g en eine bes o ndere Rolle ; fü r uns g e
n ü t aber hier das all g emei n e E r e b n i s s
das
wir
in
den
S
atz
g
g
z usammen f assen :
Ist in d er Gru p p e G d er P er mut ati o n en ein e s
N o r m a l k ö r pe r s N d e s G r a d e s N e i n e h i n r e i c h e n d
per mu t ir t
welche di
.
,
”
'
,
.
,
.
,
.
,
au s g e d eh n t e Unt erg rup p e U d er O r dn u n g
p
n
e n th a l t e n s o b i l d e n a l l e Z a h l e n w e l c h e d u r c h a l l e
P er mu t a ti o n e n d er Unt erg r u p p e i d e n ti s ch a bg ebil d e t
w er d en e i n en Th ei l k ö r pe r Q d e s G r a d e s n D i e
e n t s p r e c h e n d e n U n t e r g r u p p e n w e l c h e fü r d i e c o n
Q
d
i
e
s
e
l
b
e
R
o
l
l
e
s
p
i
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e
U
t
n K örp er z u
u
i
r
e
j g
f ür Q erh äl t m a n au s U du r ch T r an s f o rm at i o n
1 3 Die h i er zuletzt au sein ander g esetzten Sä tz e übe r di e
Perm u tationen der K ö rper über h au pt u n d der Nor m a l kö r per
insb esondere sind nu r eini g e weni g e Theoreme der modernen
Th eori e der G rupp en wel che g e g enw ä rti g we g en ihrer zahl
reichen B eziehu n g en z u mancherlei sehr verschiedenarti g en
Discipli nen im Mittelp u nkte d es mathemati schen I ntere sse s
steht n ämlich diej eni g e n Theoreme welche wir i m f olg enden
brau chen werden u n d w elche b ei einer eini g ermassen ein
drin g enderen B ehandl u ng de r Theorie der Z ahlk ö rp er noth
wendi g z u sein s chie n en Abweichend von der Norm ist n u r
die hier g ew ähl te Au flassun g u n d F o r m ul i r u n g der Sätze ;
d o ch w i rd ma n sich w i e ich ho ff e dav o n überze u g en dass
diese T heorie im Gewande der D edekind sche n Anschauu n g en
an Ein f achheit u n d Durchsichti g keit n u r g ewi n nen kann
Au ch ist d i e Einschr ä nk u n g a u f „Z ahlen
die wir hie r u m
,
,
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,
.
,
.
‚
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,
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,
,
,
.
,
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’
.
“
,
H
.
Ide al e
.
We nn eine derj eni g en Gleichu n g en mit rati o nalen
C o e ffi c i e n t e n welchen eine al g ebraische Za hl g enü g t g anz
o e f fi c i e n t e n der
und
die
Za
h
l
1
zum
C
z a hli
e f fi c i e n t en
e
C
o
g
h ö chsten Potenz hat so heisst die Z a hl ein e al g ebraische
a
nz e
ode
r
kurz
ein
e
a
n
z
e
c
i
e
ll
m
u
ss
die
S
e
g
p
g
welcher ein e g anze Z ahl g enü g t
i r r e d u c t i b e l e Gleichu n g
wie man a u s einem b ekannten S at z e von
her leitet
eben die c h a r a kt er i s i r t e Ei g enscha f t haben g anze rationale
Zahl en zu ha b en wenn ma n d e n C o e ffi ci e u t e n der hö chsten
Potenz d er Gleich u n g g leich 1 macht Jede g ebrochene al g e
b r a i s c h e Zahl kann durch Multiplication mit einer g anzen
rati onalen Zahl in eine g a nze Z ahl ver wandelt werden und
die G e s a mmt h e i t dieser Z ahlen bildet o ff e n bar einen Modu l
dessen Basis die kleins t e von ihnen ist Dieser S atz kann
dah i n ve r all g emeinert w erden : Die G e s a m mt h e i t der j e n i g en
n Zahlen
anze
welche
in
einem
K
ö
enthalten
sind
r per Q
g
al g ebraische Zahl a d u rch Multi
u n d welche die g e g ebene
plication in eine g anz e Zahl verwandeln bildet ein Ideal de s
K ö r pers Q ; u n d dieser S atz k ö nnte dann g eradezu z u r
De fi niti on des Ideals ve r wendet werden
14
.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
.
.
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Be
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e
d er
g sst g e m i s h f tl i
h ä ng i g
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e n c
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D i s qu
.
e r.
42
.
g
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Th e i
Za h
l ih
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,
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d
vo
T h e i l b a r ke i t
m Be
g
ri
ff e
des
u nd
a uc
Kö r p e r s
h
d es
u na b
39
Die S umme die Di ff erenz und das Prod u ct zweier g anzen
u nd
Zahlen ist wi eder ein e g anze Zahl ( D ä 1 6 0 B s
da man d u rch die g enann ten Ope r ati o nen au ch nicht a u s
einem K ö r per hera u s tritt so bildet di e G e s a m m t h e i t aller i n
einem K ö rpe r Q enthaltenen g anzen Zahl en ein en Mod u l
welcher z u dem d i e Ei g ensc h aft hat dass se i ne Zahl en sich
a u ch d u rch Multi plicati o n r e pr o d u c ir e n
Wir bezeichnen
di esen Mod u l d u rch o u n d nenn en i h n die H a u p t o r d n u n g
des K ö rp ers J2 Die g anz en Zahlen besitzen aber zudem
welche die u r s pr ün g
n o c h ein e zweite Art der Reprod u ction
liche De fini tion der g anz en Zahl in einem all g emeineren L ichte
ersc h einen l ä sst : h at man eine al g ebraisc h e Gle i chu n g in
welcher der C o e f fi c i e n t d e r h ö chsten P o t e nz die Eins und die
übrig en C o e f fi c i e n t e n g anze al g ebraische Zahl en sind so ist
j ede Wu rzel di eser Gleich u n g eine g anze al g ebr aisc h e Zahl
Wir b ezeichn en dies e beiden Gesetze kurz als das e r s t e
un d z w eit e G e s etz d er R ep r o du cti o n
Wenn das Resul tat der Divi sion einer g anzen Zahl a
du rch ein e g a nz e Zahl ß eine g a n z e Z ahl y ist so heisst a
d ur ch ,8 t h e il b a r Dann f ol g t a u s dem ersten Gesetz e der
Rep r odu ction dass di e Grund g esetz e der Th ei l b a r ke i t statt
fi nden : wenn a d u rch ,8 u n d ß du r ch y
so ist a d u rch y
t h e i l b a r ; u n d wenn a u n d ,8 durch y so ist auch a j :ß d u rch
y t h e i l b a r Aus dem zweiten Gesetz e der Reprodu ction fol g t
aber dass di e Z er le g bar keit d e r g anz en Z ahl en i m Gebiet e
a l l e r al g ebraischen Z ahlen eine u nbeschr änk te ist S o b ald
man aber a u s dem Gebiete eines b estimm ten en dlichen
K ö rp ers nicht heraustr itt dann ist zwar wi e man a u s den
Z a hl e n w e r t h e n der Normen erkennt di e Z erle g barkeit der
g anzen Z ahlen ein e beschr ä n k te u n d die Pri n cipien der
Z ahl entheo r ie f an g en an Platz z u g reifen ; w ä hrend indessen
im Gebiete der rati onalen Zahlen u n d a u c h i n eini g en qu a
*
dr a t i s c h en K ö rpern ) die Ei ndeuti g keit der Z erle g barkeit ohne
,
.
.
,
,
‚
,
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s i h f ol g d m ss b z i h :
ll
ti o l F t
b f it
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p i mi t i v q d ti s h Fo m
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e
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ua
er
o
r
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rr a
o
.
er
er
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,
40
weitere s g esichert ist k o mmen im All g emeinen die Sätze
in We g fall u n d
a u f welche sich diese Einde u ti g keit s t ützt
dann ist di e Ein f ührun g neuer Th e or i e en nothwen di g
Man kann n u n wie man leicht erkennt als B asis d e s
K ö rpers 52 vom Grade n ( s 3 ) s t ets n g anze Zah len
,
,
,
,
.
,
,
w äh len und dann ist
,
—
(1 )
Za hl
di e
2 1 1 qm,
sicher eine g anze Z ahl wenn die C o or di n a t e n X g a n z e
rationale Z ahlen s i nd aber es kann i m all g emeinen sehr
wohl vork o mmen dass die Z ahl w g anz u n d die C o or d i n a t e n
x g ebrochene rati onale Zahlen sind Dann lä sst sic h aber
z ei g en wenn k der Generalnenn er der Brüch e ist dass die
Discrimin ante
w )
Ä (w l w z
2
(a
durch k t h e i l b a r ist und dass man die Z ahl e n ml
wg
w
du rch n Gleichu n g en
mit n neuen g anzen Z ahlen
mit r ationalen C o e ffi ci en t e n :
Z kPi k w k
n
1
( 2) w i
so in Beziehun g setzen kann dass
,
,
,
.
,
,
i
n
a
n
,
'
'
n
,
,
,
( 3)
wn
(0 2 ,
'
)
wn
)
w
m2
e i n e ne u e
ist ; es ist also
g anzzahli g e Bas is
des K ö rpers 52 deren Discriminante klein er a l s die alte i s t
D enkt man sich also u n t er allen m ö g lichen g anzzahli g en
Basen des K ö rpers 52 eine von denj eni g en g ew äh lt deren Dis
c r i m i n a n t e den kle i nsten Werth hat u n d bezeichn en wir di ese
wg
w
j etzt du rch
so muss dieselbe die Ei g enschaf t
haben dass di e durch die Gleichu n g ( 1 ) bestimmte Zahl u
wenn die C o or d i n a t e n x g anze
n u r dann eine g anz e Zahl ist
rationale Z ahl en s i nd E i ne solche Basis heisst eine B a s i s
'
C
n
,
.
,
.
,
,
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,
.
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F ll
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n
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n
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a
na n e
un
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n ü
r
e n
In
a
n
e nn
Fo m
2
d ie
e
nu n
.
1 ke i n
r
p r i mi ti v en qu d a t i s h e Fo me w e i te A t d e
a l s di e e
t s p e c h e d e q u d a t i s c h e F o m e d es
e
ke i
Ei f h g i d a l e Z h l
oth w e d i g s e i so m ss
d i e D e t e mi
t D p os i t i v i st u d d i G l e i h g t — D
e L ös
g h a t d i e C l as s e
hl d
ch e d e
e ts p
q d a t i sc h e
2 s i
ll üb i ge F all m ss d i e Cl s e a h l d e r e ts p ec he nd
a
ua
r
u
2
n
.
r
o r me n
n
en
= 1
x
s
e in .
u
nz a
n
r
en
41
H a u p t o r d n u n g des K ö rpers J2; die Disc r iminante di eser
B asis de r en w i rkliche Berec hn u n g im all g emeinen mit g rossen
S chwier i g keiten verb u nden ist heisst d i e D i s c r i m i n a n t e
M a n e r h ält aus der Basis ( 0 „ w g
d e s K örp ers
(0 „
alle m ö g lichen Basen der Hau ptordn u n g durch T r a n s f or
wenn in i hnen der Absolut
m a ti o n s g l e i c h u n g e n der Fo r m
werth der Determinante
der
,
,
,
E
i
P1 1 P2 2
g leich
Pnn
Eins an g enommen wird Aber es i s t wohl z u beachten
dass es keineswe g s nothwendi g ist dass die Basis der Hau pt
ordn u n g stets durc h di e n erste n Potenz en einer i n o ent
h a l t e n en Z ahl (9 g ebildet wer den k ö nne
Ein in der Hau ptordnu n g o enthaltener Modul a welcher
die Ei g ens ch aft besitzt dass das Produ ct ein er Z ahl v o n
a und ir g end e i ner Zahl von o wieder eine Zahl von a
ist heisst ein I d e al Da Ideale Mo du l n sin d so s i nd die
Be g riffe der Th e i l b a r ke i t des g r ö ssten g emein sc h af tlichen
Theilers und des kleinsten g emeins chaf tli chen Mu l t i pl u ms u n d
d e r Multiplication ohn e weiter es a u f Ideale z u ü bertra g en ;
dass aber di e B e g rif fe d er Th e il b a r kei t u n d der M ultiplication
der hier ein g e f üh r ten Ideale sich d e cken oder anders g esag t
dass ein Ideal a welches ein Mu l t i pl u m eines Ideals b ist au ch
das Pr oduct des Ideals b und e i nes d ritten Ideals c ist ist
ein f u n damentaler S atz di eser The o rie welcher nur du rch eine
Kette r echt c ompli ci r t e r S chlüsse zu beweisen ist ( D ää 1 6 8
1 7 3 B ää 1 9
Man erh ält dies aus dem S atz :
J ede s I deal lä s st si ch stet s un d nu r a u f e i n e Weis e
al s ein Pr o du c t v o n l aut e r Pr i mi d e a l en d ar stell en:
.
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
.
.
a
u n
d
z w ar i st
N(a )
b N
c
N
Neon (q)
(r)
Betr achtet man n u n die in einem K ö rper J2 enthaltene Ge
s a mm t h e i t von Idealen
s o ist von besonderem Interesse f ür
di e Untersuc hu n g das V e r h ä l t ni s s in welches di e Ha u pt i d e a l e
des K ö rpers z u denj eni g en Idealen tr eten die ni cht Haupt
ideale sind und di e man woh l passend N e b e n i d e a l e nennen
15
.
,
,
,
42
Jedes (Neben ) Ideal kann dur ch Mul tipl ication mi t
einem passend g ew ähl ten Ideal i n ein Hau pti deal ver w andelt
werden u n d di eser Mu ltiplicator kan n
was mitu nter von
Wichti g keit ist
stets so g ew ä hlt wer den dass er r elatives
P r imi d e a l z u einem b eliebi g v o r g e g ebenen Ideale b wi r d
Hieraus f ol g t dann leicht dass
( D es 1 7 4 1 7 5 ; B ä
j edes ( Neben )-Ideal als g r ö sste r g emeins c ha f tlicher Theiler
zweier H a u pt i d e a l e u n d zwar a u f u nendli ch viele Art en dar
n
este
lt
werden
kan
l
g
Wenn zwei Ideale a u n d u durch M ul tipli cation mit
einem u n d demselben Ideal m in H a u pt i d e a l e verwandelt
werden k ö nn en so heissen sie a e q u i v a l e n t Ist a m
Du
so
a u ; es g i e b t also zwei Z ahlen
s o ist a u
u m
ou
dass das P r o duct d e r e i nen Z ahl u n d des einen Ideals g leich
dem Pr o d u ct s der andere n Zahl u n d des ander en Ideals ist ;
n
B
nn
we
zwei
Z
ahle
dieser
escha
enheit
u m e k ehr t
ff
u nd
g
s o s i nd die I deale a e qu i va l e n t Al le Ha u pt i d e a l e
e xi s t i r e n
sind ein ander a e qu i v a l e n t und ein Hau ptideal ist au c h n u r
einem Ha u pt i d e a l e a e qu i v a l e n t
Die Ge s a mm t h e i t aller einander a e qu i v a l e n t e r Ideale
b i lde t eine I d e a l c l a s s e welche d u r ch i r g end eines der in
i hr enthaltenen Ideale als R e p r ä s e n t a n t vertrete n werden
kann Eine dieser Classen ist stets durch die Ge s a mm t h e i t
aller H a u pt i d e a l e g ebildet ; diese heisst di e H a u p t c l a s s e D
ka n n du r ch di e Hau pt o rdnun g o r e pr ä s e n t i r t werden
u nd
G i e b t es ü b e r hau pt Ne b e n i d e a l e so erhalten wir weitere
Classen ; in j edem Falle ist aber die Anzahl dieser Classen h
eine endliche wie d u r c h g ewisse Un g leich u n g en zu erweisen ist
S i n d die Ideale a und a einer seits u n d b u n d b a n
d e r e r s e i t s e i nander a e qu i v a l e n t
so ist au ch das Product ab
dem P r od u ct s a b a e qu i v a l e n t W ählt man als o a u s eine r
I d e a l c l a s s e A der Reihe nach a lle Ideale a u n d a u s eine r
I d e a l c l a s s e B d e r Reihe n ach alle Ideale b u n d m u l t i pli c i r t
die a mit den b so e r h ält man wenn a u ch nicht all e s o do ch
j ede n f alls lau ter Ideale c welch e ei n er einzi g en Id e a l cl a s s e
C a n g eh ö r e n ; diese I d e a l cl a s s e C heisst das P r o d u c t d e r
C l a s s e n A u n d B ode r a u ch di e a u s den Classen A u n d B
z u s a m m e n g e s e t z t e C l a s s e Au f diese s y mbolisch e M u l
k ö nnte
.
,
,
.
.
.
,
,
,
,
.
'
.
,
'
'
,
,
,
'
,
,
,
.
,
,
.
,
.
.
,
.
,
'
'
,
'
'
.
,
,
,
.
,
43
wie man lei c ht erkennt nicht bl o ss das
Gesetz der As s o c i a ti v i t ä t sondern auch das Gesetz der
C o mm u t a t i v i t ä t zu
Die H a u pt cl a s s e v er h ält sich bei di ese r
s y mbolischen M ultiplication wie die Zahl Eins bei der g e
Z u j eder Classe g eh ö r t eine b e
w ö hn li ch e n Multiplication
-l
stimmte ( verschiedene oder g leiche) Classe A
welche mit
j ener mu l t i pl i c i r t die H a u pt cl a s s e D erzeu g t ; diese Clas s e
l
A h eisst die i n v e r s e oder die e n t g e g e n g e s e t z t e C l a s s e
von A Ein Sy stem von I d e a l cl a s s e n welc h es die charak
t e ri s t i s ch e Eig ens chaft besitzt dass das Produ ct i r g end zweier
Classen des Sy stems wieder eine Classe des Sy stems ist bildet
ein e G r u p p e von Id e a l cl a s s en ( V g l ä
Die ein f achste
Gruppe wird durch die H a u pt c l a s s e allei n die h ö chste d u r ch
all e Id e a l cl a s s en g ebildet ; n ä chst der d u rch die Ha u pt c l a s s e
f
u ppen d u rch die
ebildeten
Gr
u
ppe
werden
die
ei
achste
n
Gr
n
g
Potenzen einer einzi g en Id e a l cl a s s e erzeu g t ; die Ordn u n g r
der d u rch die ei n zi g e Classe A c on s t i t u ir t e n Gru pp e d i
der niedr i g ste positive Exponent a u f den di e C lasse A
e n z i r t w erden m u ss u m die H a u t c l a s s e z u erze u
m
ag
en
o
t
p
g
p
der E x p o n e n t h eissen a u f d e n s i c h d i e C l a s s e A b e
z i e h t ; die H a u pt cl a s s e ist also diej en i g e Classe welch e sich
a u f den Exponenten l b ezieht
Da die O r d n u n g j eder Unte r
u pp e e i n Theiler der Ordn u n
n i en Grupp e ist welche
r
de
j
e
r
g
g
g
die Unterg ruppe e n th ält so ist der Exponent r auf den
sich die I d e a l c l a s s e A b ezie h t ein Theiler der Classen
anz ahl
1 6 Es sei nun a ein ( Neben ) Ideal und r der Exponent
a u f welchen
sich die Classe A b ezieht welche du r c h a r e
:
r
ä
s
r
e
n
i
werden
kan
n
so
i
s
t
ein
Hauptideal
t
t
a
p
tri ff t
t i pli c a t i o n
,
,
,
.
,
.
,
“
.
,
,
,
.
.
,
,
.
.
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
.
,
r
,
(1)
a
‘
0 M;
stellt man nun neben dies e s y mbolische Gleichun g die wi rk
li che Gleich un g :
B
Qu
i
ot t
i l de t
O
h
i e n en
rr eg u
1
'
ma n f u r
so w
lari tat i
s
“
a
0 0
are
na c
ll
e
mö
d er
g l ic h e h i e
k
h Ga u ss
t t d Ep
st d s Q t t d
n
,
l
O
ei n
D is qu
r
au
f
r e en
en
x
O
i e er
e
.
ar
.
u o i en en
3 06 , VII
.
t
on en en
er
r
d en
„e x p o n e
ns
44
( 2)
“e
r
Mr
so erkennt man f ol g endes :
1 ) Ist a o e in e beliebi g e u nter den r Wurzeln der
Gleichun g
s o ist es z u n ä chst eine g anz e Zahl nach
dem zweiten Gesetze der Repr o ducti o n und j ede i n d e m
i
n n es ist
Ideale enthaltene Z ahl a ist durch o:
t
h
e
l
r
d
e
b
a
;
0
,
a
durch
t h e il b a r
a,
: durch
f ol g lich
o
r
u
‚
u nd
,
fol g lich
durc h Y”
1
a
'
,
z
a0
.
Von d e r Z ahl a 0 ist keine fr üh ere als die r“ P ot e n z
in dem K ö rp er Q enthalten ; denn w äre
2)
‚
(3)
a0
!
“
i
Mr
wo r
r u n d { t e i ne Z ahl a u s o be de utet so k ö nnte man
o ff enbar anne hm en dass r bereits der k l e i n s t e aller m ö g
lichen Expo n enten e sei welch e die Ei g enschaft h aben dass
d o
L ie g t n u n r
iner Z ahl des K ö rpers J2 g leich sei
"
1 ) f ac h en von r
z wisch en dem q f ac h en und dem (q
r
r
r (0 S r
q
t
so k ö nnte man die Gleic hun g (3) in die q Pote n z erh eben
u n d da r
qr ist so erkennt man alsdann dass die Z a hl
q t h e il b a r und dass der Quotient
der j a au ch eine
durch
u
,
u
r
Zahl v o n 0 ist g leich a u s ein müs ste wo nun r
ist ;
u nd
das widersprich t uns erer Anna h me Auf Gr un d eines
S atzes den man in den L e hrb ü c h ern dcr Su b s t i t u t i on e n t h e o r i e
an g e g eben
kann man di esen S at z auc h d a hi n aus
sprec h en :
Die Gleichun g (2 ) ist in un serem K ö rp er i rr e du c ti b e l ;
doch hat er in di eser Form f ür u n s keine pr i n c i pi ell e B e
de u t un g
3) Wenn also a ein Ne b e n i d e a l
somit r
1 ist so
g eh ö r t die Zahl a 0 die wi r so eben ein g efüh rt haben dem
K ö rp er 52 nicht an ; da ab er die Z ahlen des Ideals a die g e
m e i n s a m e Ei g ens cha f t h aben s ä m mt li c h durch a o t h e il b a r
z u sei n
u n d da m a n u m ekehrt a u c h l eicht nachweisen kann
g
dass alle Z ahle n der Hauptordn u n g o welc h e durc h die Z a hl
'
'
,
.
'
,
,
e
,
e
.
"
'
"
6
,
'
,
,
'
,
f
"
"
,
'
,
.
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
Ne
tto l
,
.
c.
ä 1 9 0,
C
.
J
o
r
dan , l
.
c.
41 8
.
46
Zahlen und w enn wir
idealen Zahl en sprech en , so sin d
die wi rkli ch en ni cht meh r au s g eschl o ssen Ch arakteristi ken
a e qu i v a l e n t e r Ideale heissen a e q u i v a l e n t e i d e a l e Z a h l e n
und die C harakt e ris t i k en einer C las s e v o n Ideale n bilden
eine C l a s s e i d e a l e r Z a h l e n Z u n ä chst f o l g t so f ort :das
Pr o du ct zweier idealer Z ahlen des K ö rpers 52 ist wieder ein e
ideale Z ahl des K ö rpers ; denn sin d di e Z ahlen a o und a o die
Chara kteristi k e n der Ideale a u n d a so ist nach dem V o r
her g ehe n den a oa o di e Charakteristik des Ideals c u D er
Mu ltiplication der Ideale e n tspricht also vollk o mmen die
Mul tipli catio n d er Charakteristi k e n so dass m a n wenn m a n
die Id e a l cl a s s e n und ihre Compositi o n kenn t au ch weiss
welcher Classe das P r o du ct zweier idealer Z ahlen a n g eh ö rt
Als o der S atz :
D u r c h E inf üh r u n g d e r i d e al e n Z ahl e n wir d d i e
s y mb o l i s c h e Mu lt i p l i c ati o n d e r I d e al e i n ei n e w irk
li ch e Mu ltipli c ati o n d e r i d e al e n Z a hl en v er w an d e lt
Spe c i e ll habe n wir :
D a s Pr od u c t in v e r s e r i d e al er Z ah l e n i s t e in e
w i r k l i c h e Z a hl
Ha b en wir e i n ( Neb en -) Ideal a welches der Cl asse A a n
n ihm enthaltenen Zahlen die G e s a mm t
eh
ö
so
bilden
die
rt
i
g
heit aller de rj eni g e n wirklichen Zahle n welche d u r ch a theil
bar sind S te l lt man die H a u pt i d e a l e dere n Charakter is t ik en
die i n a enthalten e n Zahlen si n d der Reihe nach als Pr o
da cte des Ideals a u nd eines Ideals m dar s o g eh ö ren die
ei n er
s ä mm t l i oh e n Ideale m die man a u f dies em We g e e r h ä lt
n äml ich der i n ve r s en Classe v o n
u n d de r selben I d e a l c l a s s e
A an ; u n d man erh äl t a u f diesem We g e o ff e n ba r a u ch a l l e
-l
I deale der Classe A ; de n n das Pr o d u ct ir g end eines Ideales
di e se r C lasse mit a ist ein Hau ptideal desse n Chara k te r istik
d u r ch a t h e il b a r u n d f o l g li ch in a enthalten ist Geht man
z u ihren Charakteri sti k en
den idealen
n u n v o n d e n Idealen
Zahle n über s o erk en n t m a n a u f Gr u nd des e b e n Gesa g ten
da ss d i e s ä m m t li oh e n ideale n Z ahlen ein er C lasse ein en M od u l
bilden wel c hen m a n e r hält we n n man die s ä m m t li oh e n in
irg end einem I deal a d e r i n verse n C lass e enthalt en en Zahle n
d u r c h die C ha r ak te r isti k de s I deals a d i vi d i r t ; u n d da die
,
v on
.
,
.
'
‘
,
'
'
.
,
,
,
,
.
.
.
,
o
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
47
Bas i s de s
I deals n d u rch n in ihm enthaltene und von e i n
ander unabh än g i g e Zahlen g ebildet wi r d so erh ält man di e Basis
dieses Mod u ls indem man die Basiszahlen des Ideals a du r c h
die Charakte r istik des Ideals di vi d i r t D a z u dem das Ideal
a die Ei g ensc h a f t hat das s das Prod u ct irg end ei n e r in i h m
e n thalte n en Z ahl und einer Z ahl d e r Hau ptord nu n g o wieder
ei n e Zahl von a ist s o muss d e r hie r i n Rede stehe n de
Modul die Ei g e n scha f t haben dass irg end ei n e der in ihm
enthaltenen idealen Zahle n mit ein er wir k lichen Zahl m u lti
li
c
p i r t wiede r eine ideale Zahl derselben Class e h e r vo r bri n g t
e i ne Ei g enscha f t welche wir s c hon vorher erk annt ha b e n
Wir haben also den S atz :
D i e S u m m e z w e i e r a e qu i v a l e n t e r i d e al e r Z ah l e n
i s t e in e i d e a l e Z ahl d er s el b e n Cl a s s e o d e r j e d e
Cl a s s e i d e al e r Z a h l e n b i l d e t e in e n M o du l
J ed es
I d e al d e r i n v er s en Cl a s s e i s t d a s Pr o du ct di e s e s
M o du l s u n d s e i n er C h ar akt eris tik
Man darf also ideale Zahlen b eliebi g m u l t i pli c i r e n und
a e qu i v a l e n t e ideale Za hle n darf m a n a u ch a d d i r e n u n d s u b
t r a h i r e n ; ab er n i c h t a e qu i v a l en t e ideale Z ahl en darf man
nicht a d di r e n u n d s u b t r a h i r en wen n man n icht über flüssi g e
d h solche B ildun g en erhalten will welche f ür die Unter
s u ch u n
g der T h e il b a r k e i t der in einem endlichen K ö r pe r e n t
B e i der
h a l t e n e n g anze n Zahl en keinen Wer th haben
Addi tion und S ubtr action a e qu i v a l e n t e r idealer Z ahl en ist aber
—
noch a u f eines zu achten :Die idealen Zahl en einer Classe A l
besti mmten wir i ndem wir von ein em Ideale a der inversen
Classe A und der z u g eh ö ri g en Charak te ri stik a o aus g in g en ;
d iese Charakte r istik a o w a r n u r bis a u f g ewisse dem K ö r per
i m all g emeinen n icht an g eh ö ri g e Einheiten bestimmt ;
nachdem aber einmal über a ein e Ve rf üg u n g g etro ff en
I
worden war f anden w i r f ür j edes Ideal der C las s e A eine
b e s t i m m t e Charak teristi k Die Will k ürlichkeit welche sich
uns bei Ein f ührun g der ideale n Zahle n dar bot w i rd also seh r
we s entlich b eschr ä nkt wenn der S atz dass a e qu i va l e n t e
ideale Zahlen a d d i r b a r u n d s u b t r a h i r b a r s i nd k ein e Au s
n a M e n erleiden soll
Oder w i e man leicht erkenn t wenn
m a n b eachtet da s s inverse Classen si c h a u f de n selbe n Exp o
‘
,
,
.
,
,
,
,
,
,
.
,
,
.
.
,
»
,
.
.
,
.
,
,
o
“
,
.
,
,
,
,
,
.
,
,
,
48
beziehen : Von einer Classe a e qu i v a l en t er Z ahl en i s t
nur e i n e einer g ewi sse n Willkür unte rw orf en wenn die
Classe ein M odu l sein soll
1 7 N ach Ein f ühr un g der idealen Z ahlen stellten sich
die einf achen Gesetze der Th e il b a r k e i t wie sie z B im
K ö rp er R der ratio n alen Za hlen herrschen wieder h e r Ins
besondere g ilt der S atz der bekann tlich als Grundla g e d e r
Theorie an g esehen werden k ann : Wenn ein Produ ct zweie r
wi rkli c her Zahlen durch eine ideale Primzahl n o t h e il b a r i s t
so ist weni g ste n s eine d e r beide n Zahle n du rch n o t h e i lb a r
Es i s t aber leicht z u sehen dass derselbe S atz auch f ü r
zwei ideale Z ahl en a o und ‚8„ (di e w i rk lichen imm er mi t ein
a u ß0 d u rch die Pri mzahl n
eschlossen
ilt
is
t
:
so
t
h
i
r
e
a
l
b
)
0
g
g
ist einer der beide n F a c t or e n du rch n o t h e il b a r D e n n sind
die entsprechenden Id ea le so müsste w e n n der
a b u nd p
S atz f alsch w ä re a b durch p t h eil b a r ab e r sowo hl a als b
zu
p relativ prim se i n und das ist u n m ö g li ch Hierau s
f ol g t in b ek annter Weise dass auch di e idealen Z ahlen sich
in B eziehu n g auf Th e i l b a r ke i t g an z so wi e di e wirkl iche n
Zahl en verhalte n n äml i ch im Wese n tlichen n u r eine Zer
le g un g i n Pr i mf a c t or e n z u l as sen Wi r haben daher alle Ver
a nl a s su n
die
idealen
Zahlen
als
leichberechti
te
Elemente
g
g
g
bis z u einem g ewissen Um f an g e i n a l len T h e il b a r ke i t s f r a g e n
zuz u lassen B e g innen wir mit d e n Idealen sel b st
Die G e s a mm t h e i t al ler in 52 enthaltenen g anzen Zahl en
bildete das Ideal o und die Ein führu n g der idealen Zahlen
k ö nnen w i r auch so ch a r a kt e r i s i r e n :wir e r weitern das Ideal o
u m die idealen Z ahlen ( im u r sprü n lichen S inne des Wortes )
g
Es ist n u n n u r n atürlich a l l e Ideale i n demselb en S inne z u
vervollstä ndi g en ; f reilich w ird hierd u rch z B die ein f ache Ei g en
s c haft verlo r en g ehen das s die Ideale Mo d u l n s i nd ; doch g ewin n en
E i n Ideal a war die G e s a mmt h e i t
w i r da f ür a n dere V o r t h e i l e
d e r d u rch die C hara k teristi k a
t h e i lba r e n w i r k l i c h e n
Z ahlen der Ha u pto r d n u n g o ; u n te r dem v e r v o l l s t ä n d i g t e n
I d e a l e a ver stehe n wir die G e s a m m t h e i t al le r durch a
t h e il b a r e n (wirkliche n oder) i d e a l e n Z ahlen
Ein v e r vo l l
s t ä n d i t e s Ideal ze r f ä llt in C lassen
d
on
o
welche
sind
M
u
l
n
v
g
d e n e n e i n e das Ideal ist das verv o llst ändi g t w u r de u nd
n e n t en
,
.
.
.
,
,
.
.
,
,
.
,
,
.
,
,
,
,
,
,
.
,
,
.
,
.
.
.
,
.
.
,
.
0
o
.
,
,
,
,
49
de r en C o mposition mit d er Mu ltiplicatio n d er ideal e n
Zahlen z u g leich be k a n nt ist
Wir g ewin n en dadu rch eine B e g ri ffsbestimmu n g des
c hen Theile r s
hl
r
ö
ssten
emeinschaftli
zweier
idealer
Z
a
en
g
g
die u n s bisher f ehlte S ind die entsprechenden
a o u n d ßo ,
I deale a u n d b u n d ist ihr g r ö sster g emei n schaftlicher Theiler
das Ideal b so d e fin i r e n wir die C hara kteristi k des Ideales b
als d e n g r ö s s t e n g e m e i n s c h a f t l i c h e n T h e i l e r d e r
d
Z ahl en a u n d
In der That ist
u nd
.
.
,
o
o
'
a
a
b
b
“0 6 0
ao
b i) ,
'
(90
fol g lich
‘
ö
ßo m
z
j eder g emeinschaf tliche Theiler von a o u n d ßo muss ein
Theiler v o n du sei n weil a u n d b relative P r i m i d e a l s sind
Wenn d e r g r ö sste g emein schaf tliche Theiler zweier Z ahlen
eine Einheit is t so heissen sie r e l a t i v e P r i m z a h l e n V o n
Wichti g k eit ist es nun dass wir mit Hil f e der Erweiteru n g
der Ideale e ine ebensolche Gleichu ng herleiten k ö nn en wie
sie f ü r den g r ö ssten Theil er d zweier r ationaler Z ahlen a
u n d b besteht
Es seien n ä mlich E h und b die erweitert en
Ideale und A B und D di e Classen welchen die Zah len
s
u
a
n
a
resp
a
eh
ö
ren
so
ä
h
en
wir
dem Ideale a
d
W
l
ßo o
g
diej eni g e Classe a u s welche das Produ ct der Z ahl a o u n d
-1
der Z ahlklasse D A ist u n d a u s b diej eni g e Classe welche
—l
da s Product der Z ahl ‚80 u n d der Z a hl c l a s s e D B ist Diese
beiden Classen der Ideale a u n d b sin d M o d u l n deren Z ahl en
alle mit d0 a e qu i va l e n t sind D er g r ö sste g emeinscha f tl iche
Theiler beider Mo d u ln ist eine Classe des vervol l stä ndi g ten
Ideals b und diese ist keine andere als di ej eni g e wel c her d0
ang eh ö rt den n du rc h Addition a e qu i v a l e n t e r Z ahl en erh ält
man eine Z ahl der sel b en Classe Fol g li ch ist a u f Gru nd
d e s B e g r i fls des g r ö ssten g eme i nschaf tlichen Theilers zweier
M o d u l n die i n b enth altene Z ahl d} , di e S umme a u s eine r
Zahl der bezeichneten Classe des vervollst ändi g te n Ideals a
u nd
'
'
.
,
.
,
,
,
.
,
,
0,
.
,
,
,
,
,
.
,
.
,
,
,
.
D
Za h l e n
g i ff
r
e
‘
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des
,
B e g r ifl
w
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Kö r p e r s
.
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Hi l f
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en
e
i s ha f tl i h e
e me n c
es
ä
ö
c
e r k e nn t
,
n
h e i l e r s z w e i e r g a nz e r
u n a b h ä n g i g v o m Be
T
50
einer Z ahl der bezeic h neten Clas se de s verv o llstä n di g ten
Ideals b :
“0 50
8 0 770 ;
( 1 ) db
1
1
wo di e Z ahlen 50 770 resp den Classen D A u n d D B a n
g eh ö ren und die drei Z ah len 80 a oäo [90 1 10 einander aequi
valent sind
18
Gehen wir j etzt z u den C o n g r u e n z e n übe r Ist m
irg end ein Ideal von o s o kann die C on g ru e n z
un d
4
"
,
"
.
,
,
,
.
.
.
,
2
( )
a
E
,8
(mo i m) ,
die
C
h
arakteristik
des
Idea
l
s
ist
m
o
weite res ersetzt werden durc h die C on g r u e nz
W e nn
u
,
( 3)
a
E
,
j etzt ohne
ß (mOd J ‘ oh
Aber wir sin d j etzt nic ht mehr g e n öt hi g t die Z ahl en a
und ß a l s wi rkli che Z ahl en zu denken sie k ö nnen j etzt all
l
e n t e ideale Z a h len
u
i
a
emei
nach
dem
orher
e
h
enden
V
a
e
v
n
g
q
g
sein Die Norm der ideal en Zahl a s et z en w i r ein f ach (bis
zu des s en Bestimmun g man von anderen
a u f ein Vorzeichen
G esichtspunkte n au s g e h en muss ) g leic h der Norm des Ideals m:
,
,
0
.
,
,
4
( )
i
Ntu o)
NOII)
und dann hab en wir j etzt d en S atz :
In j e d e r Classe id e aler Z ahlen g i e b t es (Nw n Z ahl en
welch e nach dem Modul a o einander incong r uent sind
Ein solches Sy s t e m i n c on g ru e n t er Z ah len h eisst ein
R e pr ä s e n t a n t e n s y s t e m d e r C l a s s e n a c h d e m M o d u l
Jede Z ahl der Classe ist nach dem Modu l u „ einer und
ao
nur einer Zahl eines R epr ä s e n t a nt e u s y s t e m s c o ng ru e n t U e b r i g e n s
fol g t aus der C o n g ru e nz ( 3) di e Gleichun g
o
,
.
.
‚
(5 )
ß
M0 7 0 :
I
in welc h er t o ein e Z ahl der Classe M B ist wenn M die
Clas se v o n ,a o und B die Classe v o n a und ß bedeutet Alle
Z ahlen welch e einer u n d ders elben Zahl ß na ch u O con g rue n t (u n d
ih r a eq u i v a l e n t ) sind
hab en nac h (5 ) de n selben g r ö ssten
Theiler mi t a o
Bezeic hne n wir mit
g emeinscha f tli chen
1M
i n) die Anzahl derj eni g en Z ahlen eines Repr ä sentante n
s y ste ms einer Classe nach dem Mod u l a welch e z u „ relati v
a
’
,
.
,
‚
,
‚
n,
0
51
p r im
s
ind
,
so
ist
di e
R e pr ä s e n t a n t e n s y s t e ms ,
haben wenn
6„
,
Anz ahl derj eni g en Z ahl en desselben
welc h e mit MO den g r ö ssten The i ler
u
, o
a n)
und hi eraus fol g t
,
o
Gleic h un g
die
m
ü ? ist , g leic h
J
'
(6)
: iNb
z
q
r
worin di e Su mm e über alle nic ht a s s o cii r t en T h eiler der
Nach einer bekannten
id e alen Z ahl ,u O erstr eckt ist
"
Methode ) leitet man h ieraus di e fol g ende Form der Z ah l
ab :sind n ]
m die s ä mmt li oh e n nich t associ
i r t e n ide a len P r i m t h e i l e r der Z ahl u o so ist
.
,
,
,
,
(7 )
l
und wenn als o
,u o
ein e ideale Primzahl
( 8)
Aus der
so ist
F orm ( 7)
n
fol g t :S ind
ao
i
m
a
(1 0)
oße)
a
0;
.
,
1
E
,
und ßo relative Primz ahl en
M )
Diesen l etzten S at z erkennt man auc h
Die l ineare C o n gr u e nz :
(9 )
ist so ist
o
1
9
ao
au f
anderem W eg e :
ßo (mOd J L o)
ist d a nn und nur dan n l ö sbar w enn d er g r ö sste Theiler 6„
von a o und u o Theiler v o n ,80 ist ; un d wenn di e s e Bedi n g u n g
e rf ül lt
ist so erhält man i m g a nzen
incon g ruente
Za hlen E die di e C on g r u e nz be f riedi g en und der Z a hl cl a s s e
l
A B ang e h ö ren wenn A die Za hl cl a s s e von a o B die Zahl
cl a s se von fio bedeutet Wenn als o a o zu „0 relativ pri m
ist hat di e C o n g r u e nz ( 1 0) stets eine u n d nur ein e
Hieraus fol g t :S ind a o und ‚6„
L ö sun g i n c o n g r u e nt e r Zahlen
1 „ und v0 relativ e Prim z ah len
a e qu i va l e n t e ideale Za hl en und ‚
so h aben di e C ong r u e nz e n
,
‚
,
,
‘
,
,
.
,
.
,
1
1
( )
g emeinsa m e
i
e ne
r
EE
)
D
e
a
o
(mod a 0 )
L ö sun g
d eki nd , Cr el l es J ou r na l
.
und
5E
80
‚
d
m
m
o
(
o)
und z wa r sind die
Bd
.
54, s
.
25
.
sä
mmt li oh en
52
Z ahlen 5 einander nach d e m Modul „0 120 con g ru ent ; und
weiter :
S ind a o und ‚80 z wei ideale Z ahlen welche den Classen
A und B an g eh ö re n u n d durchl ä u f t in dem A u sdr u cke
1
e r ä s e n t a n t e n s s t e m einer Classe X nac h
a
ein
R
a E—
5
y
„
p
O O j 50 70
dem Modu l ‚8„ und no ein R e pr ä s e n t a n t e n s y s t e m e i ner C lasse
Y nac h dem Modul a o so d u rchl äu f t w en n
,
,
,
,
AX
BY
ist o ein R e pr ä s en t a nt e n s y s t em der Class e AX nac h dem
Modu l a oßo ; u n d wenn EO bloss die 20 (ßo) Z a hlen des ersten
R e pr ä s e n t a n t e n s y s t e m s , Welche zu ‚80 r elativ prim u n d no
bl o ss die r0( a 0 ) Z ahl en des zweiten R e pr ä s e n t a n t e n s y s t e m s
d u r chl äuft welch e zu a o relativ pri ni sind so du rchl äuft o
bloss die 10 (a oßo) Zah len des dritten R e pr ä s e n t a n t e n s y s t e m s
welc h e z u a oß pri m sind D er letz te Theil di eses S atzes
spricht die For mel ( 9) aus
n
t
Eine C on g r uenz
Grades
”
1 —1
”
a
9
“
Ä
T
i
n
2
E
1
0
5
5
5
(
o
)
0
0
+
(
(0
deren Modul n 0 ein e ideale Primz ahl und dere n h ö chster
C o e f fi ci e n t a O zu n o relativ p ri m sein soll kan n l ö sbar sein
wenn die Z a h l c l a s s e n
A B C
J K L
denen die C o e f fi c i en t e n
a
-60 "o d
lo
o
z u g eh ö ren den Bedin g u n g en g enü g en :
—1
-2
—l
2
K
JL
K ;
AL
K
BL
aber sie kann wie leic h t zu erweisen nie mehr als n in
con g ru ente Wurzeln haben
Wir we n den uns nun j etzt s pe c i e ll zu den binomischen Con
g r u e nz e n und z u m all g emeine n Fe r matschen u n d Wi l s o n s c h e n
S atz e S ch l iesse n w i r z u n ä chst M o d u l n a welche zusamm en
g esetzte ideale Z ahle n sind ni cht a u s u n d ist a eine b e
l i e b i g e ideale Z ahl welche z u a 0 relativ p r im ist bezieht
sich f erner die Classe A w elcher a o z u g eh ö rt a u f den Ex
n e n t e n r (ä
o
so bilden wir die Reihe der z u [L 0 r elativ
p
p ri men Zahlen :
‘
,
,
,
,
‘
,
,
,
,
o
.
.
en
1
,
,
,
'
u
n
,
“
‘1
n
n
,
,
.
,
,
.
.
‚
,
u,
o
,
,
,
,
‘
2
r
,
r
]
2
2
1
54
( 1 6)
Die
(mOd fl o)
a
z
°
C o n g r u e nz
I
S
-1
N GE N
h at al so
Wurz eln und
1
d
J
r
o
m
o)
(
0
E
in con g ruente wi rklic h e Z ah len zu
f ol g li c h be s t e h t nach dem vor h er g ena nnten
allg eme i nen Fundame n ta l satz über C ong ru enz en be liebi g
h oher Ordnun g di e in Beziehun g a uf E i d e n t i s c h e C o n g r u e nz :
l
,
( 1 7)
g
—
n
x
N
o
(
)
I
I
1
g
r O)
m
d
o
J
)
(
g
11 „ (5
,
in welc h er d a s Pro du ct auf der re ch ten S eite über e i n Sy st e m
wir klic h er Za hlen g erstreckt ist welche alle e i nand e r in
con g ruent un d all e z u
relativ prim sind B erü cksichti g t
man dass
w en n die durch
1
zp( 7r „) g erade ist
die ideale Primz ahl n o t h e il b a r e rationale Prim z a hl p von
m
2 verschi eden ist u n d dass
w en n
2
1
also
u n erade ist
g
,
.
,
,
,
,
,
,
1
1
(m o d J r o)
ist so erh ält man aus der F ormel ( 1 7)
g emeinen Wils o n s c h en S atz :
f ür E
,
den
0
a ll
’
( 1 8)
‚
(mo dJ
1
Ug
e
),
ro
ei n e F o rmel in welcher nat ürlich da s Product II üb er di e
selben Za hlen wie in ( 1 7) zu erstrecken ist M o du l e ein er
idealen Primzahl n o b ezieht si ch eine reelle Za hl a welch e
zu
no
relativ prim ist a u f einen Expone n ten e welch er
j e denfalls e i n Th eil er von 10( 7r 0 )
l ist ; es f ra g t
sich ob um g ekehrt zu j edem Theiler e von
wirklich e
Zahlen a e xi s t ir en welche sic h auf diesen Th eil er als Ex
Be zeic h nen wir dann f ür den
po n e n t e n mod 7r o bezie h en
Au g enblick die Anzahl der i n c o n g r u en t e n wi rklich en Zahlen
welche sich a u f den Theile r e von 20( 7r 0 ) beziehen mit
so ist
also entweder Null o der e i ne positive Z ahl Man
weist n u n leicht nach dass
wenn e s von Null ver
schieden ist g l e ic h
sein muss wobei fl e ) die bekannte
Z ahl bede u te t die die Anzahl der einander i n c o n g r u e n t e a
und z u e r elativ pri men Zahlen a n g i eb t Nun ist o ff enbar :
,
.
,
,
,
,
,
,
.
.
,
,
,
.
,
,
,
,
.
55
Wenn di e Sum me übe r alle Th e i ler e von
erstr eckt i s t
und da auch
M )
2 0 949 )
ist
'
no
so muss da
>e
g 9 (e ) ist nothwendig
_
q( )
s ei n
Wir haben also den S atz dass sich auf den Theiler
e von l/J J I O) 9 (e ) inco n g ruente wirkl iche Z ahlen beziehen ;
u n d wenn wir den Theiler e
1 b (7r o ) setzen
u nd
den
B
e
,
g riff der p r i m i t i v e n W u r z e l n einfü h ren so er h alten wir :
Mod u lo einer idealen Pri mz ah l n o g i e b t es
primitive
Wurzeln
Wir k ö nnen also di e Theorie der p r imitiven
Wu rzeln und die Theorie der Indices a u f u nsere bino misc h en
C o n g r u e n z e n Mo d u l e einer ide alen Prim zahl anwenden u n d
mit i hrer Hilf e oder auch al lein mit B e nu t z un g des Funda
m e n t a l s a t z e s über C o ng r u e n z en des Fermat sc h en und des
Wi l s o n s ch e n S atze s erh alten w ir s c hliesslich d e n S atz über
die Aufl ö sbarkeit der binomischen C on g r u enz en :
Die bin omische C o n g r u e n z :
,
,
,
.
,
,
,
.
,
'
,
’
m
( 1 9)
5
d
Z
in welc he r d eine wirkliche Zahl der Hau ptordnun g o b e
deutet ist aufl ö sbar oder nicht aufl ö sbar j e n a c hdem der
sste
T
h
eiler
d
vom
m
1
7t 0 ) Theil er des I n d e x v o n d
u
n
d
0
r
ö
(
g
,
ist oder nich t ; oder was dasselb e besag t j e nach dem die
,
,
,
C o n g ru e nz
( 2 0)
d
d
l
(m o d
.
7r 0
)
beste ht oder nicht besteht ; und wenn die Bedin g u n g der
Au f l ö sb arkeit g esic h ert ist so hat die C o n g r u e nz ( l 9 ) d i a
con g ruente Wurzel n
1 9 Wi r haben bis j etz t n u r die Ideale u n d die idealen
Z a hlen e i n e s K ö rpers I2 betrachtet und die mit 52 zu g leich
entstehenden c o nj u g ir t en K ö rp er
52m) au sser Acht
Indem wir di e im ersten Abschnitt au se i nander
g el a s sen
e
J2
an
esetzte
T
h
eorie
der
Perm
den
K
ö
rp
r
u ta tionen
au f
g
w e nden g el a n g en wir zur B esti m
mun g der c o n j u g i r t e n
I d e a l e und der c o n j u g i r t e n i d e a l e n Z a h l e n W enn wir
die Permutati on
durch welc h e d e r K ör per 52 in den con o
) ü ber eht a u f ein Ideal a d e s K ö rpers J2
K
ö
rper
i
r
t
e
n
Q
u
j g
g
,
.
.
.
,
.
“
,
;
56
anwenden so bildet das Sy stem a m der Bilder der Z ahlen
des Ideals a ein Ideal d es K ö rpers 52m denn da bei j eder
Perm u tati on di e rationalen B eziehun g en erhalten bleib en so
besitzt das Sy stem a m e b en s o w ohl wie das S y stem a di e
b e iden charakteristi schen Eig enschafte n des I deals ; u n d da
di e Per m u tation ein e u mkehrbar ei n de u ti g e Abbildu n g ist
s o entspricht j edem Ideal a e i n und n u r e i n Ideal a m Wir
haben also den S atz :
D ur c h di e n P ermut ati o n e n ein e s en dli c h e n
K ö r p e r s 52 d e s G r a d e s n e r h ä l t m a n a u s d e n I d e a l e n
d e s K ö r p e r s 52 a l l e I d e a l e d e r n c o n j u g i r t e n K ö r p e r
Au f Grund d er Erhaltun g der rationalen B eziehu n g en
erkennt m a n au ch leicht dass die Bilder a e qu i v a l e nt er Ideale
f
c on u ir t e
d
a
u
e
u
sind
un
d
dass
Ideale
sich
a e u i va l en t
j g
q
selben Exp onenten b e z iehen wie sich de nn überhaupt in c o n
r ak teristischen
f
K
ö
rpern
die
cha
Ei
ens
cha
ten
der
n
i
u
r
t
e
g
j g
Ideale g an z g leichm ä s s i g fi n den Ist üb erdies der K ö r per
ein No r m a l kö r pe r s o e n th ält er mit einem Ideal au ch alle
seine c o nj u g i r t e n Ideale
W
V a s n u n di e Beziehun g anb e t r i fft in welcher ein Nor m a l
k ö rp er z u ei nem seiner Divis o r e n steht s o haben w i r g esehen
dass dies e Beziehu n g du rch eine Unterg r u ppe d er
(s
Gru ppe der Perm u tatio n en des N o rm a l kö r pe r s c h a r a k t e r i s i r t
ist ; u nd u m g ekehrt :wenn U eine hin r eichend au s g edeh n te
Unte r g ru pp e der Gru pp e d e r Perm u ta t ionen eines No r mal
k ö rp ers ist so bildet die G e s a mm t h e i t der Z ah le n welche
b ei allen diesen Permutati one n u n d n u r b ei den Perm u tationen
der Unterg r upp e u n g e ändert blei b en ei n e n Divis o r 32 des
Wendet m a n diese Un te r g ruppe v o n P e r
No r m a lk ö r per s N
mu tationen n u r a u f die g a n z e n Z ahle n ( der Hau pt o r d n u n g n)
des N o r ma l kö r per s N a n so e r h ält m a n i n der G e s a m m t
heit derj en i g en Z ahlen welche bei allen diese n Perm u tationen
u n e ä n dert bleibe n die
n
a
n
z
e
n
Zahlen
der
Ha
ptordn
u
u
(
g
g
g o)
des Divis o rs J2 Wendet m a n abe r schliesslich die P e r
m u tationen der Un te r g ru ppe U n u r a u f e i n I d e a l ci der
Hau pt o r d n u n g n d e s No r m a l kö r pe r s N a n so e r h ält m a n
o ff enbar wie aus dem Be g ri ff e des Id e a l s u n d d e r Permu ta t i o n
mit L ei c hti g k eit f o lg t in d e r G e s a mm t h e i t de rj eni g e n Zahle n
,
,
,
,
.
.
,
,
.
,
.
.
,
,
,
,
,
.
.
,
,
,
.
n
,
,
,
57
des Ideals a welche bei allen diesen Permuta ti onen n u
S
2
e
ä
ndert
bleiben
ein
Ideal
des
Divisors
und
u m g e k ehrt
a
;
g
erkennt man dass auch j edes Ideal u auf diesem i Ve g e e r
ze u g t werden kann I n d er Unterg ruppe U der Gruppe der
Permutati onen ein es No r ma l kör pe r s N hat man daher ein
Mi ttel um aus den I de alen des N or ma l kör per s N unmitt elbar
die Ideale des z u g eh ö ri g en Divisors
von N herzuleiten ;
u n d wir haben daher den
S atz :
Mi t d e r v o ll s t ändig e n B e s tim mun g d e r E i g en
s c h ä ft e n d e r N o r m a l k ö r p e r i s t n i c h t b l o s s d i e
T h e o r i e d e r G l e i c h u n g e n (d e r a l g e b r a i s c h e n Z a h l e n
ü b e r h a u p t) s o n d e r n a u c h d i e T h e o r i e d e r I d e a l e ( d e r
g a n z e n a l g e b r a i s c h e n Z a h l e n i m S p e c i e l l e n) v o l l e n d e t
n.
0
o
,
.
,
s
,
.
Inh alts Verzei chni ss
c
.
S ei
Ei nl ei t u n g
I
l
w
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2
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‘
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m 3 E dl i h Kö p
Ei
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w 4
m 5 U b g g d Gl i h g
m 6 K l i st s g m i s h f tl i h s M l t i pl m z w i
Fol g g
w 7
m 8 P m t ti
i s Kö p s
m 9 P m t t io
i s g h ö i g D i v i so s
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I
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II
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Kö r p er
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l sb
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Natus sum Georg L andsberg V r a t i s l a vi a e 3 0 I anno
h s 6 5 patre B e r n h a r d o matre Philippina e g ente B u t te r
mi l ch
Gymnasiu m frequentavi El i s a b e t a n u m quod a u s pi c i i s
F i c ke r t i d e i n d e Pa s ch ii max i me fl o r e b a t
Ac c e pt o maturi
ta tis testimonio l i t t eri s ph il o s o ph i ci s im primis m a t h e m a t i c i s
op eram dare constitui a c primum quidem Vr a t i sl a vi a e d e in d e
L i ps i a e tu nc r u r s u s do mi s t u d i i s i n cu b u i
Examen ri g orosum
1 9 De c au ni pr a e c e d en ti s pr a e s t i t i
S cho las et e xer c i t a t i o n e s
adii vi r oru m i ll u s t r i u m : F Auerbach F Cohn D y ck
B Erdmann Fre u denthal Galle Klein A May er O E Me y er
C Ne u m ann P ol e c k Rosanes S chroeter S chur S taude
L Weber Th Weber G Wiedemann
L i c e a t mi hi ho c
loco omni bus his vi ris d o c t i s imprimis i i s quo r um exerci
t a t i ou i b u s aut s e mi n a r i i s interesse mihi pe r mi s s u m erat
sincer o animo maximas a g e re g ratias
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Das Problem der Willensfreiheit
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