Theorie – Multiplikation von Summen

Gymnasium „Am Thie“
Blankenburg
Theorie – Multiplikation von Summen
Aufgabenstellung:
Ein Quadrat der Kantenlänge a wird auf der einen Seite um e erweitert und auf der
anderen Seite zur Seitenlänge s erweitert (siehe Skizze). Wie errechnest du den
Flächeninhalt des neuen Rechtecks?
Der Flächeninhalt eines Rechtecks lautet AR= l•b
Die Länge l setzt sich hier aus a+e zusammen, b ist in diesem Fall s.
Also errechnet sich der Flächeninhalt der Figur so:
AF = (a+e)•s
Wir überlegen nun, wie wir das Produkt in eine Summe umwandeln können.
AF = (a+e)•s = a•s + e•s
Allgemein gilt:
Man multipliziert eine Summe (bzw. Differenz) mit einem Faktor, indem man jedes Glied
der Summe (bzw. Differenz) mit dem Faktor multipliziert und die entstandenen Produkte
addiert (bzw. subtrahiert).
a•(b+c) = a•b+a•c = ab + ac für alle a, b, c  Q
a•(b-c) = a•b-a•c = ab - ac für alle a, b, c  Q
(Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Multiplikation)
Beispiele:
3x  2 y  z   3x  2 y  3x  z  6xy  3xz
2a  6b  3c  2a  6b  2a  3c  12ab  6ac
Gymnasium „Am Thie“
Blankenburg
Theorie – Multiplikation von Summen
Aufgabenstellung:
Du hast vorhin ein Quadrat berechnet, dessen Seitenlänge a um e erweitert wurde
und dessen andere Seitenlänge zu s erweitert wurde. Berechne jetzt den
Flächeninhalt für das Rechteck, wenn sich s aus a und f zusammensetzt. (siehe
Skizze)
Wie oben gilt: AF = (a+e)•s
für s= a+f einsetzen, dann erhalten wir: AF = (a+e)•(a+f)
Mit Hilfe des Distributivgesetzes kannst du eine Summe mit einem Faktor
multiplizieren.
AF = (a+e)•(a+f)
= a(a+f)+e(a+f) =
= (a2+af)+(ae+ef)
= a2+af+ae+ef
Allgemein gilt:
Man multipliziert zwei Summen (bzw. Differenzen) miteinander, indem man jedes Glied der
einen Summe (bzw. Differenz) mit jedem Glied der anderen Summe (bzw. Differenz)
multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert). Dieser Rechenschritt
verwandelt ein Produkt in eine Summe.
(a+b)•(c+d) = a(c+d) + b(c+d) = (ac+ad) + (bc+bd) = ac + ad + bc + bd
(a-b)•(c+d) = a(c+d) - b(c+d) = (ac+ad) - (bc+bd) = ac + ad - bc - bd
(a+b)•(c-d) = a(c-d) + b(c-d) = (ac-ad) + (bc-bd) = ac - ad + bc - bd
(a-b)•(c-d) = a(c-d) - b(c-d) = (ac-ac) - (bc-bd) = ac - ad - bc + bd
Achte auf die Vor- und Rechenzeichen!
Beispiel:
5  x   y  3  5  y  5  3  x  y  x  3  5 y  15  xy  3x  3x  xy  5 y  15