Multiplizieren und dividieren rationalen Zahlen

P ÄD AG O G I S C H E H OC H S C H U LE V O R AR L BE RG
ENTWURF EINER UNTERRICHTSEINHEIT,
EINER UNTERRICHTSSEQUENZ, EINES UNTERRICHTSABSCHNITTS
SCHNETZER Sabine
Name der Lehrer-Studentin/des Lehrer-Studenten
Max Feier
3.
15.10.2009
Sem.
Datum
Praxishauptschule Feldkirch
Name der Ausbildungslehrerin/des Ausbildungslehrers
Schule
3. Kl/Lg I
Klasse
1. Thema des Unterrichts
Unterrichtsgegenstand:
Mathematik

Thema der Unterrichtseinheit/-stunde:
Multiplizieren und
Dividieren von rationalen
Zahlen
2. Die Unterrichtsstunde im Zusammenhang
2.1
(Unmittelbar) Vorhergegangenes im Teilbereich:
Addieren und Subtrahieren von rationalen Zahlen
2.2
Folgendes (im jeweiligen Teilbereich):
Verbindung der 4 GA
3. Bezug zum Lehrplan
(Bildungs- und Lehraufgabe(n) / Ziele; Lehrstoff / Inhalte; Didaktische Grundsätze)
Unterrichtsziele und Unterrichtsinhalte
 Gesetzesmäßigkeiten des Rechnen kennen und anwenden können (Vgl.
Lehrplan der Hauptschule Mathematik, S. 1. In: http://www.vobs.at/
Lehrplaene.html; Zugriff vom 6.10.2009
Didaktische Grundsätze
 Die Schüler sollen durch aktives Erarbeiten, Erforschen, Darstellen und
Reflektieren ihr Wissen selbständig erweitern.
 Durch Differenzierung sollen die Schüller gemäss ihren individuellen
Begabungen, Fähigkeiten, Neigungen, Bedürfnissen und Interessen gefördert
werden. (Vgl. Lehrplan der Hauptschule Mathematik, S. 3. In:
http://www.vobs.at/Lehrplaene.html; Zugriff vom 6.10.2009)
 Elementare Begriffe, Symbole und Darstellungsformen können zur
Beschreibung mathematischer und aussermathematischer Sachverhalte
68620852
sinnvoll verwendet werden. (Vgl. Lehrplan der Hauptschule Mathematik, S. 4.
In: http://www.vobs.at/Lehrplaene.html; Zugriff vom 6.10.2009)
Lehrstoff
 Die Schüler sollen die Regeln für das Rechnen mit rationalen Zahlen wissen
und bei Rechenbeispielen (mit einfachen Zahlen) mit Sicherheit anwenden
können. (Vgl. Lehrplan der Hauptschule Mathematik, S. 7. In:
http://www.vobs.at/Lehrplaene.html; Zugriff vom 6.10.2009)
 Rechnen mit Brüchen, nur in einfachen Fällen, die anschaulich deutbar sind
(Vgl. Lehrplan der Hauptschule Mathematik, S. 5. In:
http://www.vobs.at/Lehrplaene.html; Zugriff vom 6.10.2009)
 Rechnen mit Brüchen (mit kleinen Zähler und Nenner), damit die
Rechenregeln im Hinblick auf die Algebra sicher beherrscht werden (Vgl.
Lehrplan der Hauptschule Mathematik, S. 6. In: http://www.vobs.at/
Lehrplaene.html; Zugriff vom 6.10.2009)
 Das Arbeiten mit Brüchen und das Verstehen von Bruchzahlen erweitert das
Zahlenverständnis (Vgl. Lehrplan der Hauptschule Mathematik, S. 6. In:
http://www.vobs.at/Lehrplaene.html; Zugriff vom 6.10.2009)
4. Thematische Analyse
4.1 Didaktische Analyse (Gegenwartsbedeutung, Zukunftsbedeutung, exemplarische Bedeutung,
Zugänglichkeit)
1. Gegenwartsbedeutung

Die Schüler haben sicher bereits mit rationalen Zahlen zu tun gehabt (¼ l oder
½ l Cola; -10° C, …)

Aufteilen von Schokolade unter den Geschwistern.
2. Zukunftsbedeutung

Rechnen mit rationalen Zahlen wird im alltäglichen Leben
gebraucht (Gastgewerbe, verschiedene technisches Berufe, Verkauf z. B.
25% Rabatt oder ¼ günstiger …)

Das Rechnen mit rationalen Zahlen ist die Grundlage für viele mathematische
Aufgaben und wird auch in weiterführenden Schule benötigt.
3. Zugänglichkeit

4.2
Zu Beginn werde ich ein Kopfrechnungsspiel machen, das rationale Zahlen
enthält.
Thematische Analyse (Zusammenfassende Darstellung der wichtigen Sachinformationen)
Multiplizieren und dividieren rationalen Zahlen
Rationale Zahlen:
Werden nicht nur natürliche Zahlen, sondern auch Brüche und Dezimalzahlen (endliche und
periodische) mit den Vorzeichen plus und minus versehen, erhalten wir einen neuen
Zahlenbereich, die rationalen Zahlen. Mit den rationalen Zahlen können wir einen Großteil
der Alltagsaufgaben lösen.
Die Menge der rationalen Zahlen ist die Menge aller positiven und negativen ganzer Zahlen
und Zahlen, die als Brüche dargestellt werden können.
Die exakte mathematische Definition lautet:
(Die Division durch Null muss ausgeschlossen werden, da dies keine Lösung ergibt)
Brüche multiplizieren:
Man multipliziert zwei Brüche, indem man die Zähler sowie die Nenner dieser Brüche miteinander
multipliziert.
Unter Verwendung der Vorzeichenregeln kann man nun auch die folgende Aufgabe lösen:
(+ 43 ). (+ 25 ) = + 43 .+ 25
( - 43 ). (- 25 ) = - 43 . - 25
(+ 43 ). (- 25 ) = + 43 . - 25
( - 43 ). (+ 25 ) = - 43 . + 25
8
15
8
=+
15
8
= 15
8
= 15
=+
Brüche dividieren:
Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert. Der Kehrbruch ist der Bruch,
der entsteht, wenn man Zähler und Nenner vertauscht.
Durch eine rationale Zahl wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. In der Menge der
rationalen Zahlen kann zu jeder Zahl – mit Ausnahme der Null – der Kehrwert angegeben werden.
(+ 35 ): (+ 23 ) = + 35 .+ 32
( - 35 ): (- 23 ) = - 35 . - 32
(+ 35 ): (- 23 ) = + 35 . - 32
( - 35 ). (+ 23 ) = - 35 . + 32
9
10
9
=+
10
9
= 10
9
= 10
=+
Merke: Für das Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen gelten die gleichen
Regeln wie für das Rechnen mit den positiven Brüchen, allerdings unter Berücksichtigung
der Vorzeichenregel.
Definition und Bezeichnungen
Brüche werden im Allgemeinen durch eine Übereinanderstellung von Zähler und Nenner,
getrennt durch einen waagerechten Strich, dargestellt:
Der Zähler Z ist dabei der Dividend der Division, der Nenner N ist der Divisor. Jede
Division lässt sich als Bruch schreiben.
Beispiele für Brüche
Man liest: "drei Viertel plus ein Viertel "
der Bruch mit der 2 im Zähler und der 3 im Nenner bedeutet "zwei Drittel", also zwei Teile
eines in drei gleichgroße Teile geteilten Ganzen.
bedeutet entsprechend "drei Viertel".
Es ist hierbei implizit verstanden, dass "ein Ganzes" aus "drei (gleich großen) Dritteln", "vier
(gleich großen) Vierteln" usw. besteht. Somit wird klar, dass man einen Bruch auch als eine
rationale Zahl auffassen kann, die man bei der Division des Zählers durch den Nenner
erhält.
Brüche können gekürzt werden, wenn Zähler und Nenner mindestens einen gemeinsamen
ganzzahligen Teiler haben. Dabei ist es hilfreich, wenn man den Zähler und den Nenner in
ihre Primfaktoren zerlegt.
Literaturangabe


www.wikipedia.org, Zugriff vom 7.10.2008
Wiltsche, Herwig/Ramusch, Arnulf ua.: Lebendige Mathematik 1, für die 1. Klasse der Hauptschulen und der
allgemein bildenden höheren Schulen, S. 112 ff, 1. Auflage, öbvhpt Verlag, Wien 2005
4.3
Skizze einer möglichen Sachstruktur (Darstellung wesentlicher Elemente und ihrer
Beziehungen)
• Einmaleins
•
Primzahlen
•
Quadratzahlen
•
Primfaktorenzerl.
•
Vielfache
•
kgV
Teildiagramme
gleichnamig machen
Zähler addieren
• ungleichnamige
Nenner
• kürzen des
Ergebnisses
Natürliche
Zahlen
Subtraktion
• gemischte
Zahlen
bilden,
falls möglich
BRUCHRECHNEN
• gleichnamige
Subtraktion Zähler
Nenner
gleichnamig machen
Subtraktion Zähler
• ungleichnamige
Erweitern
Nenner
• ggT
• mit gegebener
Multiplikation
Zahl
Gemischte
Zahlen
Division
Kürzen
•
Brüche in gemischte Zahl
umwandeln
•
Zähler addieren
Nenner
Addition
• Teiler
•
• gleichnamige
Bruchteile
von
Einheiten
gemischte Zahl in Brüche
umwandeln
•
•
durch gegebene
Zahl
•
möglichst
weitgehend
•
über den
Bruchstrich
1. Bruch mit dem
Kehrwert des 2.
Bruches
multiplizieren
•
Zähler mal Zähler,
Nenner mal Nenner
•
Kürzen
• gemischte Zahlen
bilden,
falls möglich
5. Lernvoraussetzungen
(Kenntnisse, Fähigkeiten, Einstellungen und Interessen, über die die (meisten) Schüler bereits
verfügen (sollten) und die ihnen erlauben, mit Hilfe des Unterrichts die Lernziele - vgl. 6. - zu
erreichen)
Kenntnisse und Fähigkeiten

Schüler wissen was eine rationale Zahl ist.

Die Schüler können bereits Addieren und Subtrahieren von rationalen Zahlen.

Die Schüler kennen die Vorzeichenregelung.
6. Lern-/Erziehungsziele
(Inhalts- und Verhaltenskomponente; Abstraktionsgrad; Lernzielbereich; Taxonomisches Niveau;
evtl. Begründungen)
Lernziel

Die Schüler sollen die Regeln für das Multiplizieren und Dividieren von
rationalen Zahlen in eigenen Worten sagen können.

Die Schüler sollen das Arbeitsblatt selbständig rechnen.
Erziehungsziele (Gewohnheiten und Rituale)

Die Mathematiksachen liegen oben am äußeren Tischrand, geschlossen und
bereits vor Unterrichtsbeginn auf dem Tisch.

Ich schreibe immer das Datum (rechts oben) und die Schulübung (Mitte) an
die Tafel und fordere die Schüler auf, dieses im Heft ebenfalls anzuschreiben.

Den Bruchstrich immer mit Lineal machen.

Ergebnisse ebenfalls mit Lineal unterstreichen.

Merksätze die sie auf einem Arbeitsblatt bekommen immer gleich einkleben,
das gilt auch für Arbeitsblätter.
7. Lern(ziel)kontrolle
(Verfahren, die dem Lehrer und den Schülern einen Hinweis geben, ob und in welchem Ausmaß
die geplanten Lernziele erreicht wurden)

Die ersten Aufgaben auf dem Arbeitsblatt machen wir gemeinsam an der
Tafel, indem ich Freiwillige an der Tafel rechnen lasse.

Die übrigen Aufgaben sollten die Schüler alleine bzw. in Partnerarbeit
rechnen. Dabei habe ich Zeit um durch die Reihen zu gehen und kann so
feststellen, ob die Schüler es verstanden haben.

Arbeitsblatt – die schnellsten zwei Schüler, welche fertig sind und nicht mehr
als ein bis zwei Fehler haben, bekommen einen Hausaufgabengutschein.
8. Lehr-/Lernmittel
(Welche Lehrfunktionen werden von welchen materiellen Trägern übernommen?)

Selbständiges Arbeiten bzw. Teamfähigkeit fördern (mit Belohnung) Arbeitsblatt

Genauigkeit (HÜ immer an die Tafel schreiben) - Tafel und Kreide
9. Unterrichtsverlauf
Lehrer-/Schüleraktivitäten (evtl. Alternativen)
Lehrstufen
Zeitrahmen
(Lernaufgaben; Lehrverfahren (darbietend, erarbeitend, entdecken lassend); Lernhilfen
(z.B.: Motivierungshilfen); Sozialformen; Ordnungsrahmen;
Differenzierungsmaßnahmen)
Didaktischer
Hintergrund
07.55 - 08.00
0 - direkte Vorbereitung
Raum lüften, Tafel wenn erforderlich gründlich reinigen und Kreiden richten
um eine gute
(verschiedene Farben), Arbeitsblätter herrichten zum Austeilen (Kopie in Klassenstärke Unterrichtsstunde zu
bereits am Vortag gemacht)
ermöglichen
08.00 – 08.15
1 – Lernförderliche
Begrüßung und Vorstellung meiner Person. Anschließend möchte ich eine kurze
Vorstellungsrunde mit den Schülern machen.
Lehr-/Lernmittel
Stimmung herstellen
2 – Informierenden
Unterrichtseinstieg geben
Zu Beginn der Stunde werde ich ein kleines Kopfrechenspiel machen
(Vorzeichenregel).
3 - Informationsinput
Kurze Wiederholung zum Addieren und Subtrahieren von rationalen Zahlen.
geben
08.15 -08.30
4 – Lernaufgabe
formulieren
Brüche multiplizieren:
Man multipliziert zwei Brüche, indem man die Zähler sowie die Nenner dieser Brüche
miteinander multipliziert.
Symbolische
Darstellung: Erfassen Unter Verwendung der Vorzeichenregeln kann man nun auch die folgende Aufgabe
lösen:
von Sachverhalten
durch sprachliche
Mitteilung oder
4 . + 2
+
=+4
durch mathematische
3
3
5
4
(oder andere) Symbole.
4
2
.
= -
( ) ( ) .+ 25
( 3 ) ( 5 ) 3 . - 25
(+ 43 ). (- 25 ) = + 43 . - 25
( - 43 ). (+ 25 ) = - 43 . + 25
8
15
8
=+
15
8
= 15
8
= 15
=+
Brüche dividieren:
Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert. Der Kehrbruch
ist der Bruch, der entsteht, wenn man Zähler und Nenner vertauscht.
Tafel, Blätter
Wiederholung
Festigung
Tafel, Kreide,
Geodreieck
Durch eine rationale Zahl wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. In
der Menge der rationalen Zahlen kann zu jeder Zahl – mit Ausnahme der Null – der
Kehrwert angegeben werden.
(+ 35 ): (+ 23 ) = + 35 .+ 32
( - 35 ): (- 23 ) = - 35 . - 32
(+ 35 ): (- 23 ) = + 35 . - 32
( - 35 ). (+ 23 ) = - 35 . + 32
9
10
9
=+
10
9
= 10
9
= 10
=+
Den Merksatz lege ich als OH-Folie auf, damit die Schüler ihn abschreiben können.
Für das Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen gelten die gleichen Regeln
wie für das Rechnen mit den positiven Brüchen, allerdings unter Berücksichtigung der
Vorzeichenregel.
Arbeitsblatt: Die ersten drei bis vier Aufgaben machen wir gemeinsam. Anschließend
soll jeder Schüler für sich bzw. mit dem Banknachbar die weiteren Rechnungen lösen.
5 – Selbständiges
Arbeiten an der
Lernaufgabe
Differenzierung: Die schnelleren Schüler und die besseren Schüler sollen noch die
Aufgaben lösen, die mit ** gekennzeichnet sind.
OH-Folie
Teamfähigkeit
fördern
Arbeitsblatt
Ikonische Darstellung:
Erfassen von
Sachverhalten
durch Bilder und
Diagramme.
08.30 - 08.40
7 – Zeit für
Weiterverarbeitung
08.45 – 08.50
8 – Auswertung
Während die Schüler rechnen, gehe ich durch die Reihen und schau mir die ersten
Ergebnisse an, so kann ich auch sehen, wer noch Schwierigkeiten hat.
Die ersten zwei Schüler, welche in ihrem Aufgabenbereich fertig und nur ein bis zwei
Fehler haben, sind erhalten von mir einen Hausaufgabengutschein („Zuckerl“).
fördert die
HausaufgabenMotivation
gutschein
Nach kurzer Nachfrage, welche Beispiele die meisten Schwierigkeiten bereitet haben,
Schüler zum
Tafel, Kreide
rechnen wir diese Beispiele gemeinsam an der Tafel (ev. einen Schüler, der möchte, an Nachdenken bringen
der Tafel rechnen lassen).
Noch rechtzeitig vor dem Läuten, teile ich das Hausaufgabenblatt aus und fordere die
Schüler auf ihr Hausaugabenheft herauszunehmen und die HÜ aufzuschreiben.
Differenzierung: Es gibt Zusatzaufgaben dabei, die nur von Freiwilligen gelöst werden
kann – Plus als Belohnung.
Wichtig für mich. Nicht erst in der letzten Minute Hausübungen angeben, sonst könnte
es untergehen und die Hausübung an die Tafel schreiben.
Kinder zur
Genauigkeit
erziehen
Tafel, Kreide
Aufgabenheft
Hausaufgabenblatt
10.
11.
Worauf ich bei der Durchführung des Unterrichts besonders achten möchte

Ich möchte mich bemühen, dass ich den Stoff möglichst einfach und verständlich
erkläre, so, dass möglichst alle Schüler mitkommen.

Es ist mir sehr wichtig, dass die Schüler genau, sorgfältig und selbständig arbeiten.

Ich möchte besonders darauf achten, dass ich angemessen lobe und ermahne.

Außerdem möchte ich noch darauf achten, dass ich deutlich artikuliere und eventuell
nonverbale Gesprächsführung verwende.
Nachbereitung - Anmerkungen für die zukünftige Unterrichtsplanung
11.1 Rückmeldungen der Ausbildungslehrerin (des Ausbildungslehrers)
11.2
Persönliche Anmerkungen
11.3
Anmerkungen für die zukünftige Unterrichtsplanung