Fourierreihen und FFT - Montanuniversität Leoben

Fourierreihen und FFT
9. Vorlesung
170 004 Numerische Methoden I
Clemens Brand und Erika Hausenblas
Montanuniversität Leoben
2. Juni 2016
Gliederung 9. Vorlesung
1
Fourierreihe
Aufgabenstellung
Basisvektoren und Basisfunktionen
Fourierreihen Beispiele
Diskrete Fourierreihe
Fast Fourier Transform FFT
Alising, Denoising
mögliche Prüfungsfragen
Clemens Brand und Erika Hausenblas
2. Juni 2016
2 / 30
Fourierreihe
Gegeben:
Sei
T T
→R
f : − ,
2 2
eine Funktion (die auf ganz R periodisch fortgesetzt wird).
Die zu approximierende Funktion
1.2
Beispiel
1
f(t)
0.8
f : [−1, 1 ]
t
→ R
(
7→
0.6
0.4
1
0
Clemens Brand und Erika Hausenblas
falls − 1/7 ≤ x ≤ 1/7,
sonst.
0.2
0
−1
−0.5
0
t
0.5
2. Juni 2016
1
3 / 30
Fourierreihe
Gegeben:
Sei
T T
f : − ,
→R
2 2
eine Funktion (die auf ganz R periodisch fortgesetzt wird).
Beispiel
f : [−1, 1 ] →
t
7→
R
(
1
0
falls − 1/7 ≤ x ≤ 1/7,
sonst.
Aufgabe:
Zahlen a0 , a1 , b1 , a2 ,... zu finden, sodass gilt
f (t) ∼ a0 + a1 cos(2πt) + b1 sin(2πt) + a2 cos(4πt) + · · ·
Clemens Brand und Erika Hausenblas
2. Juni 2016
4 / 30
Fourierreihe
Gegeben:
Sei
T T
f : − ,
→R
2 2
eine Funktion (die auf ganz R periodisch fortgesetzt wird).
Beispiel
f : [−1, 1 ] →
t
7→
R
(
1
0
falls − 1/7 ≤ x ≤ 1/7,
sonst.
Aufgabe:
Zahlen a0 , a1 , b1 , a2 ,... zu finden, sodass gilt
f (t) ∼ a0 + a1 cos(2πt) + b1 sin(2πt) + a2 cos(4πt) + · · ·
Clemens Brand und Erika Hausenblas
2. Juni 2016
4 / 30
Fourierreihe
Gegeben:
Sei
T T
f : − ,
→R
2 2
eine Funktion (die auf ganz R periodisch fortgesetzt wird).
Beispiel
f : [−1, 1 ] →
t
7→
R
(
1
0
falls − 1/7 ≤ x ≤ 1/7,
sonst.
Aufgabe:
Zahlen a0 , a1 , b1 , a2 ,... zu finden, sodass gilt
f (t) ∼ a0 + a1 cos(2πt) + b1 sin(2πt) + a2 cos(4πt) + · · ·
Clemens Brand und Erika Hausenblas
2. Juni 2016
4 / 30
Fourierreihe
Gegeben:
Sei
T T
f : − ,
→R
2 2
eine Funktion (die auf ganz R periodisch fortgesetzt wird).
Aufgabe:
Zahlen a0 , a1 , b1 , a2 ,... zu finden, sodass gilt
2πt
4πt
f (t) = a0 + b1 sin
+ b2 sin
+ ...
T
T
2πt
4πt
+ a1 cos
+ a2 cos
+ ...
T
T
∞ X
2nπt
2nπt
bn sin
= a0 +
+ an cos
.
T
T
n=1
Clemens Brand und Erika Hausenblas
2. Juni 2016
5 / 30
Unser Beispiel
a0 = 1/7, a1 =
1
π
cos( π7 ), a2 = .. und b1 = b2 = · · · = 0.
Näherung bis zum zweiten Mode
Näherung bis zum fünften Mode
1
1.2
Approximation
Exakte Funktion
0.9
Approximation
Exakte Funktion
1
0.8
0.8
0.7
0.6
0.6
0.5
0.4
0.4
0.3
0.2
0.2
0
0.1
0
−1
−0.5
0
t
0.5
Clemens Brand und Erika Hausenblas
1
−0.2
−1
−0.5
0
t
0.5
1
2. Juni 2016
6 / 30
Unser Beispiel
a0 = 1/7, a1 =
1
π
cos( π7 ), a2 = .. und b1 = b2 = · · · = 0.
Näherung bis zum zehnten Mode
Näherung bis zum zwanzigsten Mode
1.2
1.2
Approximation
Exakte Funktion
Approximation
Exakte Funktion
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
−0.2
−1
0
−0.5
0
t
0.5
Clemens Brand und Erika Hausenblas
1
−0.2
−1
−0.5
0
t
0.5
1
2. Juni 2016
7 / 30
Unser Beispiel
a0 = 1/7, a1 =
1
π
cos( π7 ), a2 = .. und b1 = b2 = · · · = 0.
Näherung bis zum vierzigsten Mode
Näherung bis zum achsigsten Mode
1.2
1.2
Approximation
Exakte Funktion
Approximation
Exakte Funktion
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
−0.2
−1
0
−0.5
0
t
0.5
Clemens Brand und Erika Hausenblas
1
−0.2
−1
−0.5
0
t
0.5
1
2. Juni 2016
8 / 30
Basisvektoren ⇐⇒ Basisfunktionen
   
1
0
0 , 1
0
0
und
 
0
0
1
sin
cos
Clemens Brand und Erika Hausenblas
2nπt
T
: n ∈ IN
und
2nπt
: n ∈ IN
T
2. Juni 2016
9 / 30
Basisvektoren ⇐⇒ Basisfunktionen

     

3
1
0
0
−2 = 3 0−2 1+4 0
4
0
0
1
Clemens Brand und Erika Hausenblas
f (t) = a0
∞
X
2nπt
+
bn sin
T
n=1
∞
X
2nπt
.
+
an cos
T
n=1
2. Juni 2016
10 / 30
Basisvektoren ⇐⇒ Basisfunktionen
 
 
 
 
x1
1
0
0
x2  = x1 0+x2 1+x3 0
x3
0
0
1
Clemens Brand und Erika Hausenblas
f (t) = a0
∞
X
2nπt
+
bn sin
T
n=1
∞
X
2nπt
.
+
an cos
T
n=1
2. Juni 2016
11 / 30
Basisvektoren ⇐⇒ Basisfunktionen
zweiter Fourierkoeffizient (cosinus) auf [−1,1]
1
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
cosinus(2 t π)
cosinus( t π)
erster Fourierkoeffizient (cosinus) auf [−1,1]
1
0.8
0
−0.2
0
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8
−1
−1
−0.8
−0.5
0
t
0.5
1
−1
−1
−0.5
0
t
Abbildung: Die ersten Basisfunktion der Familie cos
Clemens Brand und Erika Hausenblas
0.5
nπt
T
1
: n ∈ IN .
2. Juni 2016
12 / 30
Basisvektoren ⇐⇒ Basisfunktionen
siebter Fourierkoeffizient (cosinus) auf [−1,1]
1
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
cosinus(7 t π)
cosinus(3 t π)
dritter Fourierkoeffizient (cosinus) auf [−1,1]
1
0.8
0
−0.2
0
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8
−1
−1
−0.8
−0.5
0
t
0.5
1
−1
−1
−0.5
0
t
Abbildung: Die ersten Basisfunktion der Familie cos
Clemens Brand und Erika Hausenblas
0.5
nπt
T
1
: n ∈ IN .
2. Juni 2016
13 / 30
Basisvektoren ⇐⇒ Basisfunktionen
   
x1
1
x1 = x2  · 0 ;
x3
0
   
0
x1
x2 = x2  · 1 ;
0
x3
   
x1
0
x3 = x2  · 0 ;
x3
1
Clemens Brand und Erika Hausenblas
bk
ak
=
=
T /2
1
T
Z
1
T
Z
f (t) sin
−T /2
T /2
2kπt
T
f (t) cos
−T /2
2kπt
T
dt, k ≥ 1,
dt k ≥ 1,
und
a0
=
1
T
Z
T /2
f (t) dt.
−T /2
2. Juni 2016
14 / 30
Die Fourierreihe
Original
1
0.9
0.8
0.7
f(t)
0.6
(
0.5
f (t) =
0.4
0.3
1+
1−
2t
T
2t
T
für − T2 ≤ t ≤ 0,
für 0 < t ≤ T2 .
0.2
0.1
0
−1
−0.5
Clemens Brand und Erika Hausenblas
0
t
0.5
1
2. Juni 2016
15 / 30
Die Fourierreihe
0−te Näherung
1.5
1
0.5
t
7→
1
2
0
−0.5
−1
−0.5
Clemens Brand und Erika Hausenblas
0
t
0.5
1
2. Juni 2016
16 / 30
Die Fourierreihe
1−te Näherung
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
t
0.4
0.3
7→
1
4
+
cos(πt);
2 π2
0.2
0.1
0
−1
−0.5
Clemens Brand und Erika Hausenblas
0
t
0.5
1
2. Juni 2016
17 / 30
Die Fourierreihe
2−te Näherung
1
0.9
0.8
0.7
0.6
t
0.5
0.4
0.3
0.2
7→
1
4
+
cos(πt)
2 π2
4
+ 2 cos(3πt) ;
9π
0.1
0
−1
−0.5
Clemens Brand und Erika Hausenblas
0
t
0.5
1
2. Juni 2016
18 / 30
Die Fourierreihe
3−te Näherung
1
0.9
0.8
0.7
0.6
t
0.5
0.4
0.3
0.2
7→
1
4
+
cos(πt)
2 π2
1
1
+ cos(3πt) +
cos(3πt) ;
9
25
0.1
0
−1
−0.5
Clemens Brand und Erika Hausenblas
0
t
0.5
1
2. Juni 2016
19 / 30
Die Fourierreihe
4−te Näherung
1
0.9
0.8
0.7
t
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−1
−0.5
Clemens Brand und Erika Hausenblas
0
t
0.5
7→
1
4
+
cos(πt)
2 π2
1
1
+ cos(3πt) +
cos(5πt)
9
25
1
+
cos(7πt) ;
49
1
2. Juni 2016
20 / 30
Die Fourierreihe
Die Quadratfunktion
Sei dazu f (t) = t 2 − 0.52 . Im ersten Bild sehen Sie die Funktion und die
Näherung für N = 1, 2, 3, 5, 10 und 20.
a
a
0
0
0
0
−0.05
−0.05
−0.1
−0.1
−0.15
−0.15
−0.2
−0.2
−0.25
−0.5
−0.25
0
−0.5 ≤ t ≤ 0.5
Clemens Brand und Erika Hausenblas
0.5
−0.5
0
−0.5 ≤ t ≤ 0.5
0.5
2. Juni 2016
21 / 30
Die Fourierreihe
Die Quadratfunktion
Sei dazu f (t) = t 2 − 0.52 . Im ersten Bild sehen Sie die Funktion und die
Näherung für N = 1, 2, 3, 5, 10 und 20.
a
a
0
0
0
0
−0.05
−0.05
−0.1
−0.1
−0.15
−0.15
−0.2
−0.2
−0.25
−0.5
−0.25
0
−0.5 ≤ t ≤ 0.5
Clemens Brand und Erika Hausenblas
0.5
−0.5
0
−0.5 ≤ t ≤ 0.5
0.5
2. Juni 2016
22 / 30
Die Fourierreihe
Die Quadratfunktion
Sei dazu f (t) = t 2 − 0.52 . Im ersten Bild sehen Sie die Funktion und die
Näherung für N = 1, 2, 3, 5, 10 und 20.
a
a
0
0
0
0
−0.05
−0.05
−0.1
−0.1
−0.15
−0.15
−0.2
−0.2
−0.25
−0.5
−0.25
0
−0.5 ≤ t ≤ 0.5
Clemens Brand und Erika Hausenblas
0.5
−0.5
0
−0.5 ≤ t ≤ 0.5
0.5
2. Juni 2016
23 / 30
Die Diskrete Fourierreihe
Gegeben:
Sei f : [−π, π] → R eine Funktion, π = {−π = t0 < t1 < . . . < tN−1 = π}
eine Partition des Intervalls [−π, π] und f = (f0 , . . . , fN−1 ) die
Funktionswerte der Funktion auf der Partition.
Es gilt ja:
ck
=
1
T
Z
T /2
f (t) e −iωk t dt
−T /2
Approximation des Integrals durch eine Summe:
ck
∼ fˆ(k) :=
N
X
e−
2iπ
(j−1)(k−1)
N
f (tj ).
j=1
Clemens Brand und Erika Hausenblas
2. Juni 2016
24 / 30
Die Diskrete Fourierreihe
Gegeben:
Sei f : [−π, π] → R eine Funktion, π = {−π = t0 < t1 < . . . < tN−1 = π}
eine Partition des Intervalls [−π, π] und f = (f0 , . . . , fN−1 ) die
Funktionswerte der Funktion auf der Partition.
Es gilt ja:
ck
=
1
T
Z
T /2
f (t) e −iωk t dt
−T /2
Approximation des Integrals durch eine Summe:
ck
∼ fˆ(k) :=
N
X
e−
2iπ
(j−1)(k−1)
N
f (tj ).
j=1
Clemens Brand und Erika Hausenblas
2. Juni 2016
24 / 30
Die Diskrete Fourierreihe
Gegeben:
Sei f : [−π, π] → R eine Funktion, π = {−π = t0 < t1 < . . . < tN−1 = π}
eine Partition des Intervalls [−π, π] und f = (f0 , . . . , fN−1 ) die
Funktionswerte der Funktion auf der Partition.
Es gilt ja:
ck
=
1
T
Z
T /2
f (t) e −iωk t dt
−T /2
Approximation des Integrals durch eine Summe:
ck
∼ fˆ(k) :=
N
X
e−
2iπ
(j−1)(k−1)
N
f (tj ).
j=1
Clemens Brand und Erika Hausenblas
2. Juni 2016
24 / 30
Die Diskrete Fourierreihe
Gegeben:
Sei f : [−π, π] → R eine Funktion, π = {−π = t0 < t1 < . . . < tN−1 = π}
eine Partition des Intervalls [−π, π] und f = (f0 , . . . , fN−1 ) die
Funktionswerte der Funktion auf der Partition.
Es gilt ja:
ck
=
1
T
Z
T /2
f (t) e −iωk t dt
−T /2
Approximation der Rücktransformierten:
N
1 X − 2iπ (−(j−1)(k−1)) ˆ
f (tj ) ∼ f (j) :=
e N
f (k).
N
k=1
Clemens Brand und Erika Hausenblas
2. Juni 2016
25 / 30
Die schnelle Fouriertransformation
Die Gleichung der Kurve lautet
f (x) = 0.3 exp(−0.9t) (sin(10πt) + cos(0.2πt) − sin(5πt)) .
Sine Wave Signal
Power Spectrum of a Sine Wave
7
The inverse Fourier Signal
35
6
30
5
6
5
2
Amplitude
3
3
Power
Amplitude
4
25
4
20
15
1
2
1
0
10
0
−1
5
−1
0
−2
−2
−3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
1
2
Time (s)
3
4
5
Frequency (Hz)
6
7
8
9
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time (s)
Abbildung: Approximation der Funktion mittels der FFT (17 Datenpunkte)
Sine Wave Signal
Power Spectrum of a Sine Wave
90
7
6
80
6
5
5
70
4
4
60
2
Amplitude
3
Power
Amplitude
The inverse Fourier Signal
7
50
40
1
30
0
−3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time (s)
0
1
−1
10
−2
2
0
20
−1
3
−2
0
5
10
15
Frequency (Hz)
20
25
30
−3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time (s)
Abbildung: Approximation der Funktion mittels der FFT (51 Datenpunkte)
Clemens Brand und Erika Hausenblas
2. Juni 2016
26 / 30
Alising
Alising:
Als Alias-Effekte (auch Aliasing-Effekte oder kurz Aliasing) werden im
Bereich der Signalanalyse Fehler bezeichnet, die auftreten, wenn im
abzutastenden Signal Frequenzanteile vorkommen, die höher als die halbe
Abtastfrequenz sind, oder, mit anderen Worten, ein Signal in zu großen
Abständen abgetastet wurde.
Urspruengliche Kurve
Approximation
2
Approximation und exakte Kurve
2
eigentliche Kurve
Abtastpunkte
1.5
2
Approximation
ifft
1.5
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0
0
0
−0.5
−0.5
−0.5
−1
−1
−1
−1.5
−1.5
−1.5
−2
0
2
4
6
8
10
t
−2
0
2
4
6
8
Exakte Kurve
Approximation
Abtastpunkte
1.5
10
−2
0
2
t
4
6
8
10
t
Abbildung: Der Alising Effekt
Clemens Brand und Erika Hausenblas
2. Juni 2016
27 / 30
Denoising
5
Amplitude
Amplitude
5
0
−5
0
−5
0
0.5
1
1.5
2
Time (s)
2.5
3
3.5
4
0
4
2
0
0.5
1
1.5
2
Time (s)
2.5
3
3.5
4
6
Amplitude
Amplitude bin da
6
0
5
10
Frequency (Hz)
15
4
2
0
20
0
5
10
Frequency (Hz)
15
20
Amplitude
5
6
0
−5
4
0
0.5
1
2
1.5
2
Time (s)
2.5
3
3.5
4
6
Amplitude
0
−2
4
2
−4
−6
−0.2
0
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Clemens Brand und Erika Hausenblas
0
5
10
Frequency (Hz)
15
20
2. Juni 2016
28 / 30
Denoising
Clemens Brand und Erika Hausenblas
2. Juni 2016
29 / 30
mögliche Prüfungsfragen
Fouriertransfomierte
Hier im Bild ist die Fouriertransformierte abgebildet. Wie
könnte die zugehörige Funktion aussehen:
3
2.5
2
Amplitude
I
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
Omega
I
Können Sie den Begriff „Alising“ erklären.
8
10