Mathematik für Chemiestudierende I Präsenzübung am 9./10.11.16

Dr. G. Skoruppa
WS 2016/2017
Mathematik für Chemiestudierende I
Präsenzübung am 9./10.11.16
Aufgabe 1
a) Es seien

2
C = −2
−6

6
0 ,
2

0
D= 2
−1

1
0
2
Berechne 21 C − 2D.
b) Gegeben seien die Matrizen


1
0 −2
0 ,
A = 2 −1
2
5
2


4 −1
B =  2 −1
−2 −2
und die als Spalten- bzw. Zeilenvektoren deutbaren Matrizen
 
3
(
)
c =  0 , d = 1, −2, 3 .
−3
Berechne (ggfs. mit Falk-Schema) alle definierten Produkte Q · R mit Q, R aus
{A, B, c, d}. Prüfe dabei auch, ob man auch Q2 := Q · Q oder sogar Q3 := Q · Q ·
Q berechnen kann und ermittle ggfs. diese Potenzen mittels Falk mit möglichst
wenig Schreibarbeit.
Aufgabe 2
a) Bei reellen Zahlen kennt man Addition und Multiplikation, bei Vektoren Addition
und Skalarmultiplikation und bei Matrizen zus. dazu noch bei passendem Format
die Matrixmultiplikation. Nenne Regeln, die beim Rechnen in diesen drei Bereichen gleich sind und solche, die verschieden sind.
b) Nachdem insb. die für Matrizen gültigen und ungültigen Regeln diskutiert wurden: Diskutiere, ob für quadratische (n × n)-Matrizen die 1. binomische Formel
gilt.
Aufgabe 3 - Inverse
a) Untersuche, ob die folgenden Matrizen Inverse haben und bestimme diese ggfs.


(
)
3 2 0
3 2
A :=
, B :=  4 3 1
4 3
1 1 1
b) Man suche nach den Lösungen der LGSe
A⃗x = (1, 2)⊤ ,
A⃗x = (−1, 1)⊤ .
Aufgabe 4 - UVRe
a) Was versteht man unter einem Untervektorraum? Welcher spezielle Vektor des
umgebenden Vektorraums muss immer im UVR liegen?
b) Es sei V = R3 , U = { (x, y, z)⊤ ∈ R3 | z = 0 } und W = { (x, y, z)⊤ ∈ R3 | y = 0 }.
Zeige, dass U und W Untervektorräume von V sind. Bestimme dann U ∩ W und
untersuche, ob auch U ∩ W ein Untervektorraum von V ist.
c) Gilt immer, dass auch U ∩ W ein Untervektorraum von V ist, wenn U , W Untervektorräume von V sind? Bitte kurz argumentieren.
d) Gilt, dass auch U ∪ W ein Untervektorraum von V ist, wenn U , W Untervektorräume von V sind? Bitte kurz veranschaulichen.
}
{
e) Überlege in Abh. von a ∈ R, ob U = (x, y)⊤ ∈ R2 x + 7y = a ein UVR von R2 ist.
f) Es sei S := { A ∈ R2×2 | A⊤ = A },
Matrizen.
die Menge aller symmetrischen (2 × 2)-
i) Schreibe (mittels Parameter(n)) eine allgemeine Matrix aus S auf!
ii) Prüfe, ob S ein UVR von R2×2 ist.
Aufgabe 5 - Gruppenarbeit zu UVRen
Bei welchen der folgenden Mengen handelt es sich um UVRe? Weise die UVR-Eigenschaft
nach oder widerlege sie durch ein Gegenbeispiel!
}
(x, y, z)⊤ ∈ R3 x + 7y = a − z ,
{
}
Sei A ∈ Rm×n und U2 = ⃗x ∈ Rn A⃗x = ⃗0 ,
{
}
U3 = (x, y)⊤ ∈ R2 x2 = y 2 ,
{
}
U4 = (x1 , x2 , . . . , xn )⊤ ∈ Rn x1 = x2 = . . . = xn ,
{
}
U5 = (x, y, z)⊤ ∈ R3 x2 + y 2 + z 2 ≤ 3 ,
{
}
Sei A ∈ Rn×n und U6 = ⃗x ∈ Rn A⃗x = 3⃗x .
a) Sei a ∈ R und U1 =
b)
c)
d)
e)
f)
{