Stochastik

5 ck – menschik
Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
Stochastik
Teil 1:
Deskriptive Statistik
101
Verkehrsdichte und Unfälle
Verwenden Sie für die Berechnung jeweils das geeignete Zentralmaß:
a) Die Schadenssumme für eine bestimmte Versicherungssparte zeigt folgende Verteilung:
Schadenssumme
Häufigkeit in Prozent
25
5
75
30
125
40
175
20
225
5
in EUR 1.000,-in Prozent
Berechnen Sie den Mittelwert und die Streuung dieser Verteilung. Wie groß sind Modus, Median und
Interquartilspannweite? Zeichnen Sie einen Boxplot für diese Verteilung.
µ = 120
 = 47,17
Modus =
125 = Median Inter: 75
b) Welchen Anteil der Gesamtschadenssumme machen die teuersten 10 % der Unfälle aus?
16,7 %
c) Die Zuwachsrate der Verkehrsdichte auf einer Straße betrug 3 Jahre lang 25 % und 5 Jahre lang 90 %. Wie hoch
ist die mittlere Zuwachsrate? Wie groß ist das Verkehrsaufkommen jetzt, wenn die Verkehrsdichte vor 8 Jahren
1.300 Fahrzeuge pro Tag war?
62,4 % durchschnittliches Wachstum
62.870
d) Wie hoch ist die mittlere Geschwindigkeit für folgende Situation:
70 % der Strecke werden mit
120 km/h
10 % der Strecke mit
20 km/h und
20 % der Strecke mit
80 km/h befahren.
75 km/h
102
Verwenden Sie für die folgenden Beispiele das geeignete Zentralmaß:
a. Die folgende Liste gibt die Einkommensverteilung einer Firma an:
Jahreseinkommen in 1.000 €
400
500
600
Häufigkeit in %
13
24
33
700
12
800
8
900
6
1000
?
Berechnen Sie die fehlende relative Häufigkeit, das arithmetische Mittel, die Streuung, den Modus und den
Median! Zeichnen Sie einen Boxplot für diese Verteilung. (4 612 153,8
600
600)
b. Eine schnellwachsende Pflanze wächst in 8 warmen, lichtreichen Monaten jeweils um 20 % pro Monat und in den
4 kühlen um 10 % pro Monat. Wie hoch ist die mittlere Wachstumsrate? 16,6
c. Ein Eisenbahnzug fährt 80 % einer Strecke mit 90 km/h, 15 % mit 40 km/h und den Rest mit 70 km/h. Wie hoch ist
seine mittlere Geschwindigkeit? 74,9
d. Ein Sparbuch wird die ersten 4 Jahre lang mit 3,4 %, im 5. Jahr mit 5 % und im 6. Jahr mit 8 % verzinst. Wie
hoch ist die durchschnittliche Verzinsung? 4,4
103
Verwenden Sie für die folgenden Beispiele das geeignete Zentralmaß und geben Sie den Rechengang an:
a. Die folgende Liste gibt die Einkommensverteilung in einer Firma an:
Jahreseinkommen in 1.000 €
40
50
60
70
80
90
Häufigkeit in %
13
24
33
12
8
6
100
?
Berechnen Sie die fehlende relative Häufigkeit, das arithmetische Mittel, die Streuung, den Modus, den Median
und die Interquartilspannweite! 4 61,2 15,4 60,0 60,0 20,0
b. Die Inflationsrate in einer Volkswirtschaft betrug 3 Jahre lang 5,5 %, ein Jahr lang – 2 % und 3 Jahre lang 8 %.
Wie hoch ist die durchschnittliche Inflationsrate? 5,44 %
c. Ein Eisenbahnzug fährt 70 % einer Strecke mit 100 km/h, 15 % mit 30 km/h und den Rest mit 70 km/h. Wie hoch
ist seine mittlere Geschwindigkeit? 70,7
© Mag. Wolfgang Streit
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Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
104
a) Die Niederschlagsmengen in einer bestimmten Region wurden wie folgt bestimmt:
Menge
0 - 10
10 - 20
20 - 30
30 - 40
in cm/h
Häufigkeit
25
32
26
Rest
in Prozent
Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und die Streuung dieser Daten. Als Merkmalswert ist das jeweilige
Klassenmittel zu nehmen! Rest = 17 %
µ = 18,5
=
10,3
b) Ermitteln Sie für folgende vollständige Liste den Modus und Median:
Merkmalswert
5
10
15
rel. Häufigkeit
14
35
26
fehlende Häufigkeit
20
?
in Prozent
25 % daher Modus = 10 Median = 15
c) Die mittlere Temperatur in einer Gegend sei 15,3 °C. Wie hoch war die Temperatur an 100 Sonnentagen, wenn
die mittlere Temperatur an den 265 anderen Tagen 10,5 °C war? 28 °C
105
Das Bruttonationalprodukt (BNP) einer Volkswirtschaft wuchs 4 Jahre lang mit 2,4 %, 3 Jahre lang mit 7,5 % und
10 Jahre lang mit 10,3 %. Wie hoch war die mittlere Wachstumsrate (verwenden Sie das geeignete Zentralmaß!).
Wie hoch war der Index am Ende dieser Zeiträume, wenn er am Anfang 230 war.
7,9 %
837,35
106
Wetter
a) Die Niederschlagsmengen in einer bestimmten Region wurden wie folgt bestimmt:
Menge
10
20
30
40
in cm/h
Häufigkeit
45
30
20
5
in Prozent
Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und die Streuung dieser Daten.
µ = 18,5
 = 9,1
b) Ermitteln Sie für folgende vollständige Liste den Modus und Median:
Merkmalswert
5
10
15
20
Häufigkeit
24
45
6
17
Modus = 10 Median = 10
c) Wüstengebiete wachsen in manchen Gegenden exponentiell: Die Ausbreitung dieser Wüstengebiete war 3 Jahre
lang 27 % pro Jahr und 6 Jahre lang 12 % pro Jahr. Wie hoch war die mittlere Wachstumsrate dieser Wüsten
(verwenden Sie das geeignete Zentralmaß)?
16,8 %
107
Wetter
a) Die Niederschlagsmengen in einer bestimmten Region wurden wie folgt bestimmt:
Menge
0 - 10
10 - 20
20 - 30
30 - 40
in cm/h
Häufigkeit
5
12
15
8
absolut
Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und die Streuung dieser Daten. Als Merkmalswert ist das jeweilige
Klassenmittel zu nehmen!
n = 40 µ = 21,5
=
9,37
b) Ermitteln Sie für folgende vollständige Liste den Modus und Median:
Merkmalswert
5
10
15
rel. Häufigkeit
14
35
6
fehlende Häufigkeit
20
?
in Prozent
45 % daher Modus = 20 Median = 15
c) Wüstengebiete wachsen in manchen Gegenden exponentiell: Die Ausbreitung dieser Wüstengebiete war 4 Jahre
lang 27 % pro Jahr und 6 Jahre lang 12 % pro Jahr. Wie hoch war die mittlere Wachstumsrate dieser Wüsten
(verwenden Sie das geeignete Zentralmaß)? 17,8 %
© Mag. Wolfgang Streit
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Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
108
a) Die Umsatzzahlen steigen 3 Jahre lang um je 26 % und 2 Jahre lang um 12 %. Wie hoch ist die
durchschnittliche Steigerungsrate? 20,2 %
b) Wie groß müssen die relativen Häufigkeiten der Merkmalswerte 200 und 500 sein, damit das harmonische
Mittel 400 beträgt?
16,6 % und 83,4 %
109
a) Der Holzzuwachs eines Baumes ist in den 8 Sommermonaten jeweils 4 % pro Monat, im Winter steigt die
Holzmasse nur um 0,5 %. Wie hoch ist der durchschnittliche Zuwachs pro Jahr? Verwenden Sie das geeignete
Zentralmaß! (2,8 %)
b) Wie groß müssen die relativen Häufigkeiten der Merkmalswerte 200 und 500 sein, damit das geometrische
Mittel 400 beträgt? (24,4 u. 75,6)
110
Berechnen Sie für die Krankenstandsdauer das arithmetische Mittel, die Streuung, den Median, den Modus und
die Interquartilspannweite!
Krankenstandsdauer
absolute Werte
xa = 10 d
5
17
10
10
15
8
Streuung = 5,43 d Modus = 5 d Median = 10 d
20
3
25
1
in Tagen
Interquartilspannweite = 10 d
111
Verwenden Sie für folgende Berechnungen das geeignete Zentralmaß:
Der Index für den Nutzholzpreis betrug im Jahr 1991 115,2 (fiktiv). Die relativen Zuwachsraten betrugen 3 Jahre
lang um 9 % und 4 Jahre lang 7 % zu. Ein Jahr lang sanken die Kosten um 9 %. Wie hoch war die mittlere
Zunahme in diesen 8 Jahren. Welchen Wert hatte der Index am Ende des Jahres 1999? 5.6 % 178,0
112
Wie hoch ist der mittlere Stundenlohn, wenn 30 % der Lohnsumme aus einem Stundenlohn von 8 EUR/h und 70
% aus einem Stundenlohn von 12 EUR/h stammen?
10,43
113
Supermarkt
a) Die Tagesumsätze einer Filiale betragen:
Umsätze (Intervallmittel) in 1.000 EUR
50
100
150
200
absolute Häufigkeit in Tagen
18
35
160
20
Ermitteln Sie das arithmetische Mittel, die Streuung, den Median und den Modus der Verteilung. Zeichnen Sie
einen Boxplot für diese Verteilung.
139 35,25 150 150
b) Die Gewinnänderungsraten betrugen in fünf hintereinanderliegenden Jahren:
5 % , 8 %, 15 % – 7% und – 9 %.
Ermitteln Sie die durchschnittliche Steigerungsrate. Wie hoch war der Gewinnindex am Ende der 5 Jahre, wenn er
am Anfang 120 war?
2 % 132,4
114
Gegeben seien folgende Liste mit absoluten Häufigkeiten:
Wert:
2
4
6
Häufigkeit
5
8
3
8
9
Berechnen Sie: arithmetisches und harmonisches Mittel, Streuung, Modus und Median.
5,28
4,08
2,32
8
4
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Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
115
Landwirtschaft
a) Ermitteln Sie aus der nachfolgenden Tabelle der relativen Häufigkeiten der Hektarerträge das arithmetische
Mittel, die Streuung, den Modus und den Median:
Ertrag pro Hektar in t/ha
relative Häufigkeit in Prozent
3
5
4
15
5
32
6
27
7
?
5,44 1,125 5 5
b) Die Ernteerträge ergaben in den angeführten Jahren folgende Änderungsraten:
Jahr
Änderung
1998
+3%
1999
–2%
2000
+ 10 %
2001
+5%
2002
–4%
Ermitteln Sie mit Hilfe des geeigneten Zentralmaßes die durchschnittliche Änderungsrate (Rechnung
anschreiben). Wie hoch ist der Index (bezogen auf 2000, dh. im Jahr 2000 ist der Index 100) im Jahr 2010, wenn
man die durchschnittliche Änderungsrate fortschreibt? 2,28 % 125,3
116
Das harmonische Mittel der Merkmalswerte 1000 und 700 ist 850. Mit welchen Häufigkeiten kommen die Werte
vor?
58,8 % 41,2 %
117
Die Inflationsraten betragen 5 mal 8 % und 3 mal 2 %. Wie hoch ist die mittlere Inflationsrate. Benützen Sie das
geeignete Zentralmaß. 5,7 %
118
Wie hoch ist die Interquartilspannweite für folgende Verteilung:
x
3
5
7
9
11
abs. Häufigkeit
5
7
10
12
3
(4)
119
Wie groß sind die relativen Häufigkeiten zweier Merkmalswerte (300 und 500), wenn das arithmetische
Mittel 430 beträgt? 35 % und 65 %
120
In einer Section-Control (Straßenstück, auf dem die Durchschnittsgeschwindigkeit der Autos gemessen
wird) mit einer erlaubten Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 km/h fährt ein Autofahrer 60 % der Strecke
mit 90 km/h, 5 % der Strecke mit 120 km/h (er überholt). Mit welcher Geschwindigkeit muss er den Rest
fahren, damit er nicht Strafe zahlt (damit die mittlere Geschwindigkeit 80 km/h ist)?
64,6 km/h
121
Erstellen Sie für die folgende Einkommensverteilung die Lorenzkurve und berechnen Sie den Ginikoeffizient.
Einkommen
Anzahl
10
300
20
1.000
40
1.700
80
500
122
Eine Tankstellenkette hat in den Shops von Filialen die Umsatzzahlen eines Tiefkühlprodukts jeweils über einen
Zeitraum von 15 Wochen beobachtet und der Größe nach festgehalten.
Umsatzzahlen:
12 12 12 12 18 18 18 18 18 23 23 23 23 23 24 24
Zeichnen Sie den entsprechenden Boxplot und tragen Sie die angegebenen Kennzahlen unter der Grafik ein:
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Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
m = 12
Q1 = 12
med = 18
Q3 = 23
M = 24
123
Der Begriff Section Control (Abschnittskontrolle) bezeichnet ein System zur Überwachung von Tempolimits im
Straßenverkehr, bei dem nicht die Geschwindigkeit an einem bestimmten Punkt gemessen wird, sondern die
Durchschnittsgeschwindigkeit über eine längere Strecke. Dies geschieht mithilfe von zwei Überkopfkontrollpunkten,
die mit Kameras ausgestattet sind. Das Fahrzeug wird sowohl beim ersten als auch beim zweiten Kontrollpunkt
fotografiert.
Die zulässige Höchstgeschwindigkeit bei einer bestimmten Abschnittskontrolle beträgt 100 km/h. Da die Polizei eine
Toleranz kleiner 3 km/h gewährt, löst die Section Control bei 103 km/h aus. Lenkerinnen von Fahrzeugen, die dieses
Limit erreichen oder überschreiten, machen sich strafbar und werden im Folgenden als „Temposünder“ bezeichnet.
Eine Stichprobe der Durchschnittsgeschwindigkeitnen von zehn Fahrzeugen ist in der nachfolgenden Tabelle
aufgelistet und im abgebildeten Boxplot dargestellt.
v in km/h 88
a)
b)
113 93
98
121 98
90
98
105 129
–
Bestimmen Sie den arithmetischen Mittelwert x;
und die empirische Standardabweichung s der
Durchschnittsgeschwindigkeiten in der Stichprobe!
Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen zur
Standardabweichung an!
103,3 km/h und 13,6 km/h
a) c) d)
Bestimmen Sie aus dem Boxplot der Stichprobe den
Median sowie das obere und untere Quartil! Geben
Sie an, welche zwei Streumaße aus dem Boxplot
ablesbar sind! Bestimmen Sie auch deren Werte! Median = 98 km/h, unteres Quartil = 93 km/h, oberes
Quartil = 113 km/h, Spannweite = 41 km/h, Quartilsabstand = 20 km/h
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5 ck – menschik
c)
124
Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
Es wird angenommen, dass die Zufallsvariable
die Anzahl der Temposünder unter zehn zufällig
ausgewählten Fahrzeuglenkern angibt. Kreuzen
Sie die zwei nicht zutreffenden Aussagen an und
begründen Sie anschließend, warum diese
Aussagen nicht zutreffen!
b) statt Varianz -Standardabweichung
c) statt absolut ---- relativ
Die folgende Grafik gibt die
Einkommensverteilung einer Firma an: auf der
x-Achse ist das Jahreseinkommen in GE
aufgetragen, die y-Achse zeigt die relative
Häufigkeit in Prozent. Ermitteln Sie den Modus
und den Median der Verteilung. Berechnen Sie
den Anteil am Gesamteinkommens, den die
„ärmsten“ (=wenig verdienenden) 10 % der
Belegschaft verdienen?
Modus = 80
Median = 80
Anteil = Error! = Error! = 3,7 %
125
Zwei Stoffe mit den Dichten 5.400 kg/m3 und 2.800 kg/m3 werden vermischt (Dichte = Masse pro
Volumen). Berechnen Sie die Dichte der Mischung, wenn 30 % der Gesamtmasse vom schwereren
Material und der Rest vom leichteren Material stammen. Verwenden Sie das geeignete Zentralmaß.
–1
0
0 

HM = 3;5.400 + 7;2.800
= 3.272,73 kg/m3

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
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Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
126
Beispiel 1:
a)
A:
B:
C:
D:
Supermarkt
In einem Supermarkt werden die Absatzzahlen pro
Woche der Produkte Almax, Bratfix und Cavox durch
folgende Boxplots beschrieben (Boxplot: unterer
Whisker = Minimum, untere Boxbegrenzung = 1.
Quartil, Strich in der Box = Median, obere
Boxbegrenzung = 3. Quartil, oberer Whisker =
Maximum.)
Bewerten Sie die folgenden Aussagen auf ihre
Richtigkeit und begründen Sie ihre Entscheidung:
In keiner Woche wurden mehr als 80 Stück von Cavox
abgesetzt.
In der Woche 13 wurden 30 Stück von Bratfix verkauft.
In der Hälfte der Wochen kann man mehr als 70 Stk.
von Almax verkaufen.
Es reicht, wenn man 120 Stk. von Bratfix pro Woche anbietet, denn mehr werden sicher nicht verkauft.
A richtig, denn der Boxplot endet bei 80,
B falsch, denn der Boxplot beginnt erst bei 40,
C richtig, denn der Median liegt bei 70,
D falsch, denn das Maximum von Bratfix liegt bei 150.
127
076
a)
b)
c)
Ermitteln Sie für die folgende Liste das arithmetische Mittel, die Streuung, den Modus, den Median
und die Interquartilspannweite.
x
5
8
10
20
abs. Häufigkeit
13
20
5
22
AM = 11,92  = 6,30 Modus = 20 Median = 8 IQS = 20 – 8 = 12
Aus einer Klasse mit 20 Schülern (15 Mädchen, 5 Burschen) soll eine Abordnung ausgewählt werden,
die aus je 2 Mädchen und 2 Burschen bestehen soll. Berechnen Sie die Anzahl der Möglichkeiten.
(15;2) · (;5;2) = 105 · 10 = 1 050
Die Einkommenssituation in zwei Staaten Anxivor
und Buchland wird wie folgt als Boxplot dargestellt:
(linker Whisker = Minimum, linker Boxrand = 1.
Quartil, Markierung in der Boxmitte = Median,
rechter Boxrand = 3. Quartil, rechter Whisker =
Maximum).
Als „arm“ gilt man in einer Volkswirtschaft, wenn
man weniger als 60 % des Medianeinkommens verdient. Berechnen Sie die Armutsgrenzen in Anxivor
und Buchland.
Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an:
Genau die Hälfte der Bevölkerung von Anxivor verdient weniger als 6 GE.
Manche der „Armen“ in Buchland verdienen mehr als die Hälfte der Gesamtbevölkerung
X
Anxivors.
Niemand in Anxivor verdient so viel wie die reiche Hälfte der Leute in Buchland
X
Die reichsten 25 % in Buchland verdienen mehr als 10 GE
X
Armutsgrenze Anxivor = 0,6 · 5 = 3 Armutsgrenze Buchland = 0,6 · 9 = 5,4
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Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
128
056
a)
Von einer Einkommensverteilung kennt man folgende Kenngrößen:
Modus = 50 GE, Median = 45 GE, Arithmetisches Mittel = 53 GE, Standardabweichung = 10 GE,
Interquartilspannweite = 20 GE
Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an:
Die Hälfte der Bevölkerung verdient mehr als 45 GE
x
Das Durchschnittseinkommen dieser Bevölkerung beträgt 50 GE
90 % der Bevölkerung verdient mehr als 63 GE (= 53 GE + 10 GE)
Die meisten Menschen verdienen 50 GE
x
b)
In einer Firma gibt es die folgenden Einkommensverteilung:
Einkommen in GE
0 bis 20 GE
von 20 bis 40 GE
von 40 bis 60 GE
Anzahl der Personen
600
300
100
Berechnen Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung, den Modus und den Median und
die Interquartilspannweite.
AM = 20  = 13,42 Modus = 10 Median = 10 IQS = 30 – 10 = 20
c)
Die Einkommensverteilung einer Volkswirtschaft ist:
Einkommen in GE
10
20
30
40
50
Anteil in Prozent
5
25
30
30
Rest
Als arm gilt man in einer Volkswirtschaft, wenn man weniger als 60 % des Medianeinkommens zur
Verfügung hat. Berechnen Sie den Armutsanteil in dieser Volkswirtschaft.
Median = 30 Armutsgrenze = 0,6 ⋅ 30 = 18 d.h. 5 % gelten als arm
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Teil 2:
201
202
Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
Kombinatorik
Wieviele Möglichkeiten gibt es, 30 verschiedene Artikel auf 5 Regalen anzuordnen?
Kürzen Sie (2n + 3;2n – 4) so weit wie möglich!
Error!
17.100.720
203 4 Kassiere sollen auf 7 nummerierte Kassen eingesetzt werden. Wieviele Möglichkeiten gibt es dafür?
840
204
a) In einem Glückspiel werden aus 20 Zahlen 7 Zahlen gezogen. Wieviele Möglichkeiten gibt es dafür. Wieviel
5-er (d.h. 5 richtige Zahlen) hat man, wenn man alle Möglichkeiten setzt? 1638 77.520
b) Schreiben Sie (n + 2;n – 1) als Bruch an und kürzen Sie so weit wie möglich? Error!
205
a) Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus 8 verschiedenen Buchstaben 5 auszuwählen?
56
b) Der genetische Code besteht aus einer Aneinanderreihung von 4 verschiedenen Basen (C, T, G, A) in der
DNA. Wie viele Möglichkeiten gibt es schon bei einer 10 Basen langen DNA? 1.048.576)
206
a) Wieviele Wörter (Buchstabenfolgen) kann man aus den Buchstaben des Wortes „Redewendung“ bilden?
(1.663.200)
b) Bei einem Turnier sollen je 3 Teilnehmer gegeneinander antreten. Wieviele verschiedene derartige
Dreiergruppen kann man aus 18 Teilnehmer bilden? (816)
207
a) Wieviele 4-stellige TAN-Codes lassen sich aus 13 Zeichen bilden (die Reihenfolge ist natürlich von
Bedeutung) 28.561
b) Bei einem Glücksspiel werden 3 Zahlen aus 15 möglichen gezogen. Wieviele Möglichkeiten gibt es dafür?
455
c) Wieviele Worte lassen sich aus den Buchstaben des Wortes „PAPIER“ bilden. 360
© Mag. Wolfgang Streit
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Teil 3:
301
Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
In einer Urne befinden sich 5 rote, 3 schwarze und 8 blaue Kugeln. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit 3 rote
und eine schwarze Kugel zu ziehen, wenn ohne Zurücklegen gezogen wird? (1,6 %)
302
Ein Spiel funktioniert so: Spieler A würfelt mit einem Spielwürfel. Wenn er die Augenzahlen 3 oder 6 würfelt,
darf er noch einmal würfeln und gewinnt das Spiel, wenn er mehr als 3 würfelt (wenn nicht, gewinnt B). Wird
beim ersten Mal nicht 3 oder 6 gewürfelt, kommt Spieler B an die Reihe und muss, um zu gewinnen die
Augenzahl 4 würfeln (wenn nicht, gewinnt A). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A bzw. B gewinnt?
Wenn A gewinnt, muss B EUR 10,-- zahlen, wenn B gewinnt, bekommt er EUR 30. Wie hoch ist die
Gewinnerwartung? Würden Sie dieses Spiel als B annehmen? Wie müssten sich die Gewinne verhalten, damit
das Spiel fair ist?
(72,2 % für A und 27,8 % für B, Gewinnerwartung: 0,96 für A und 1,11 für B, B muss 2,6 mal so viel wie
A gewinnen)
303
Ein Produkt wird auf 2 Maschinen A und B erzeugt. Die Produktionsanteile und Ausschussanteile sind:
Maschine
A
B
Anteil
60 %
40 %
Ausschuss
5%
?
Wie hoch ist der Ausschussanteil von B, wenn der Gesamtausschussanteil 6,2 % beträgt? (8)
304
70 % aller Bäume eines Waldes sind Nadelbäume, der Rest Laubbäume. 60 % der Laubbäume sind
geschädigt. Der Anteil der Nadelbäume unter den gesunden (nicht geschädigten) Bäumen ist 63,6 %. Wie
hoch ist der Anteil der gesunden Bäume unter den Nadelbäumen? 30 %
305
Auf einer Bundesstraße sind 70 % des Verkehrs Transit, davon 80 % Schwerverkehr, der Rest PKW‚s. Der Anteil
des Schwerverkehrs im Lokalverkehr ist 40 %.
Wie hoch ist der Anteil des Transitverkehrs im Schwerverkehr?
82,4 %
306
Ein Kassier erkennt Falschgeld mit einer Wahrscheinlichkeit von 97 %. Allerdings löst er auch in 1 % aller ihm
vorgelegten echten Geldscheine Alarm aus. 3 ‰ aller vorgelegten Geldscheine seien gefälscht! In einem Monat
werden ihm ca 7.000 Geldscheine vorgelegt.
a) Wie oft gibt dieser Kassier im Monat Alarm? 90 mal
b) Wie groß ist der Anteil der Fehlalarme (dh. wie groß ist der Anteil der Fälle: „echter Schein“ unter den
„Alarmfällen“?
77,4 %
307
Produktion
a) 3 Maschinen A, B und C mit den unten angeführten Produktionsanteilen erzeugen die folgenden
Ausschussanteile:
Maschine
Produktionsanteil
prod. Ausschuss
A
10 %
25 %
B
30 %
10 %
C
60 %
13 %
Es werden 200.000 Stück pro Monat erzeugt. Ein Ausschussstück verursacht Kosten von € 3,20. Wie groß ist
die Ausschusswahrscheinlichkeit insgesamt und die Kosten pro Monat dafür?
13,3 % 85.120,-b) Mit der Tabelle von a): Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Ausschussstück von A stammt?
18,8 %
c) Mit der Tabelle von a): Wie ist der Produktionanteil der Maschine A auf die beiden anderen Maschinen
aufzuteilen, damit die Ausschusswahrscheinlichkeit auf 12 % gesenkt werden kann? (im Verhältnis 1 : 2)
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5 ck – menschik
Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
d) Zwei Firmen X und Y beliefern den Markt mit je 2 Produkten A und B. X hat einen Marktanteil von 30 %, Y von
60 %. Y verkauft 20 % vom Produkt A, den Rest von B.
Der Marktanteil von X am Produkt B beträgt 28 % (d.h. 28 % der von B verkauften Produkte verkauft X.
Wie groß ist der Anteil des Produktes A bei der Firma X? A und B werden nur von X und Y verkauft. 37,7 %
308
Produktion
a) 3 Maschinen A, B und C mit den unten angeführten Produktionsanteilen erzeugen die folgenden
Ausschussanteile:
Maschine
Produktionsanteil
prod. Ausschuss
A
10 %
5%
B
40 %
10 %
C
50 %
3%
Es werden 200.000 Stück pro Monat erzeugt. Ein Ausschussstück verursacht Kosten von USD 3,20.
ist die Ausschusswahrscheinlichkeit insgesamt und die Kosten pro Monat dafür? 6,0 %
38.400,--
Wie groß
b) Mit der Tabelle von a): Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Ausschussstück von B stammt? 66,7 %
c) Mit der Tabelle von a): Die Produktion der Maschine B wird zu gleichen Teilen auf die Maschinen A und C
aufgeteilt. Wie groß ist die Kosteneinsparung im Vergleich zu a)? Um USD 15.360,-- (ds. 40 %) weniger als
bei a)
d) Zwei Firmen X und Y beliefern den Markt mit je 2 Produkten A und B.
X verkauft 40 % vom Produkt A, den Rest von B.
Y verkauft 20 % vom Produkt A, den Rest von B.
Der Marktanteil von X insgesamt beträgt 12 %, der von Y 88 %.
Wie groß ist der Marktanteil der Firma X nur beim Produkt B? (d.h. welchen Anteil von B verkauft die Firma X?)
9,3 %
309
In einer Landwirtschaft werden Weizen, Hafer und Roggen produziert. 20 % des Weizens, 40 % des Hafers und 30 %
des Roggens werden exportiert, der Rest im Inland vermarktet. Es soll immer doppelt so viel Weizen wie Hafer
produziert werden. Wie hoch sind die Weizen-, Hafer- und Roggenanteile, wenn der Anteil des Hafers im Export
44,4 % beträgt?
60 % Weizen, 30 % Hafer und 10 % Roggen.
310
60 % der Aufnahmswerber für eine BHS kommen aus einer Hauptschule, 30 % aus einer AHS, der Rest aus
Sonderformen. 20 % der Haupschüler, 60 % der AHS-Schüler und 10 % der Schüler aus Sonderformen werden
aufgenommen. Wie hoch ist der Anteil der AHS-Absolventen unter den Aufgenommenen? Wie viele Schüler werden
insgesamt aufgenommen, wenn sich 200 Schüler bewerben? (58 % 62)
311
20 % des PKW-Verkehrs und 60 % des LKW-Verkehrs auf einer hochrangigen Straße ist Transitverkehr. Wie hoch
ist der Anteil des Schwerverkehrs (LKW), wenn 38 % des Gesamtverkehrsaufkommens (LKW und PKW) auf den
Transit entfällt? (45 %)
312
Industrielle Fertigung
Ein Produkt wird von drei Maschinen hergestellt. Die Produktionsanteile und die Ausschusswahrscheinlichkeiten
sind wie folgt:
Maschine
A
B
C
Anteil
20
60
20
%
Ausschuss
5
8
12
%
Wie hoch ist der Anteil der Ausschussstücke im Verkauf?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ausschussstück (vor der Kontrolle) von C stammt.
(8,2 % 29,3 %)
© Mag. Wolfgang Streit
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5 ck – menschik
Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
313
Bei der Diagnose einer Krankheit werden die Wahrscheinlichkeiten für A mit 60 %, für B mit 35 % und für C mit 5
% bestimmt. Es wird ein Labortest gemacht, der bei Auftreten von A mit 20 %, bei B mit 80 % und bei C mit 8 %
positiv ausfällt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten der einzelnen Krankheiten, wenn der
Test positiv ausgefallen ist! 29,7 69,3 1,0
314
80 % der Frauen und 70 Prozent der Männer haben eine Prüfung bestanden. Wie hoch ist der Anteil der Frauen
insgesamt, wenn 23 % von allen Antretenden die Prüfung nicht bestehen. 70
315
18 % der erwerbsfähigen Bevölkerung sind über 50-jährig. Die Arbeitslosenrate beträgt in der Gruppe der
unter 50-jährigen 8% und in der Gruppe der über 50-jährigen 23 %. Wie hoch ist die Arbeitslosenrate
überhaupt? Wie hoch ist der Anteil der über 50-jährigen unter den Arbeitslosen? 10,7
38,7
316
35 % einer Testgruppe waren starke Raucher, davon sind 60 % an Lungenkrebs erkrankt. Von den Nichtrauchern
erkrankten nur 6 % an Lungenkrebs. Wie hoch war der Anteil der an Lungenkrebs erkrankten Personen ingesamt?
Wie hoch der Anteil der Raucher unter den Lungenkrebserkrankten?
24,9
84,3
317
60 % des Straßenverkehrs auf einer Strecke entfallen auf den Schwerverkehr, davon 90 % Transit. Der Anteil des
Transitverkehrs am Gesamtverkehr beträgt 66 %. Wie groß ist der Anteil des Transits am PKW-Verkehr. Wie
hoch ist der Anteil des Schwerverkehr am Transit? 30 81,8
318
a) Die Besucherverteilung eines Schulballes umfasst 30 % Schüler, 8 % Lehrer, der Rest entfällt auf „Sonstige“. 50
% der Schüler, 80 % der Lehrer und 40 % des Restes kaufen Tombolalose. 70 % aller Lose sind Gewinnlose. Wie
hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler gewinnt. Wie hoch ist der Anteil der Lehrer bei den Gewinnern?
10,5 13,9
319
Die Gesamtproduktion durchläuft eine Endkontrolle. Dabei werden 90 % aller Ausschussstücke entdeckt. Es werden
allerdings auch fälschlicherweise 5 % der „guten“ Stücke aussortiert. Wie hoch ist der Ausschussanteil nach der
Endkontrolle, wenn 15 % Ausschuss produziert wird? Wie hoch ist der Anteil der Ausschussstücke unter den
nicht ausgeschiedenen? 1,5 % 1,8 %
320
In einer Schule sind 60 % Mädchen und 40 % Burschen. 40 % der Mädchen und 80 % der Burschen treiben
regelmäßig Sport (Zahlen fiktiv, über das männliche Vorurteil des Verfassers möge milde hinweggesehen
werden). 40 % der Burschen üben den Sport im Verein aus, 80 % der Mädchen. Wie hoch ist der Anteil der
Vereinssportler in der Schule? Wie hoch ist der Anteil der Frauen unter den Vereinssportlern?
32 % 60 %
321
20 % aller Unfälle erfolgen mit Personenschaden, davon 10 % mit tödlichem Ausgang. Wie hoch ist der Anteil
der Unfälle mit tödlichem Ausgang unter allen Unfällen. Wie hoch ist der Anteil der Unfälle mit Personenschaden
unter den Unfällen mit nicht tödlichem Ausgang?
2 % 18,4 %
322Drei – Türen – Problem (Ziegenproblem, Monty-Hall-Dilemma)
In einer Quizshow („Let’s make a deal“) ist ein Hauptpreis (Auto) hinter einer von drei Türen, hinter den anderen
Türen sind Ziegen (kein Gewinn). Der Quizmaster kennt die Gewinntür. Der Kandidat wählt zuerst eine Tür.
Daraufhin öffnet der Quizmaster eine der beiden anderen (nie die Gewinntür) und fragt den Kandidaten, ob er bei
seiner ursprünglichen Wahl bleiben möchte. Wie hoch sind die Gewinnchancen bei „Wechseln“ oder „Bleiben“?
Lösung: Wechseln verdoppelt überaschenderweise die Gewinnchancen. 2/3 bzw. 1/3.
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5 ck – menschik
Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
323
Zwei Maschinen erzeugen ein Produkt. Der Ausschussanteil von A ist 5 % und der von B 8 %. Der Gesamtausschuss
beträgt 7,1 %. Wie hoch sind die Produktionsanteile der Maschinen?
30 % und 70 %
324
Ein Landwirt hat 60 % Getreide und 40 % sonstige Feldfrüchte. Der biologisch erwirtschaftete Anteil beim
Getreide ist 10 %, bei den Nichtgetreidesorten 20 %. Wie hoch ist der Gesamtanteil an Bio-Produkten? Wie hoch
ist der Anteil von Getreide an den Bioprodukten? 14 % 42,9 %
325
60 % des PKW-Verkehrs entfällt auf Transitverkehr, aber 90 % des LKW-Verkehrsaufkommens. Wie hoch ist der
Anteil des LKW-Verkehrs, wenn 81 % des gesamten Verkehrsaufkommens Transitverkehr ist? Wie hoch ist der
Anteil des Schwerverkehrs am Transitverkehr? 70 % 78 %
326
20 % einer Population sind unter 25-jährig, 35 % über 50-jährig. Die Arbeitslosenraten betragen:
18 % bei den unter 25-jährigen, 12 % bei den über 50-jährigen und 6 % beim Rest. Wie hoch ist die
Arbeitslosenrate insgesamt? Wie hoch ist der Anteil der unter 25-jährigen unter den Arbeitslosen? 10,5 %
34,3 %
327
70 % der Zecken in einer Region können FSME übertragen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, von einer
FSMEZecke befallen zu werden, wenn die Gesamtinfektionswahrscheinlichkeit 1,5 % beträgt? (Für die Infektion
muss man von einer infizierten Zecke befallen werden!) 2,1 %
328
65 % des PKW-Verkehrs entfällt auf Transitverkehr, aber 88 % des LKW-Verkehrsaufkommens. Wie hoch ist der
Anteil des LKW-Verkehrs, wenn 74,2 % des gesamten Verkehrsaufkommens Transitverkehr ist? Wie hoch ist der
Anteil des Schwerverkehrs am Transitverkehr? 40 %
47,4 %
329
In einer Fabrik werden Werkstücke auf 3 Maschinenbänken hergestellt: A erzeugt 60 % aller Werkstücke, B
und C teilen sich den Rest. Die Ausschusswahrscheinlichkeiten betragen:
für A
20 %
für B
30 %
für C
10 %
nach der Produktion wird kontrolliert und die Kontrolle entdeckt 90 % aller Ausschussstücke, nimmt
allerdings auch 20 % der „guten“ irrtümlicherweise aus dem Verkauf.
Wie hoch ist die Ausschussquote vor der Kontrolle?
20 %
Wie hoch ist der Ausschussanteil in den verkauften Stücken?
3%
330
Eine Population von Arbeitsfähigen teilt sich in über 45-jährige (im Folgenden „Alte“) und unter 45-jährige
(im Folgenden „Junge“). 5 % der Jungen sind arbeitslos. Die Arbeitslosenrate bei den Alten ist 4 mal so
groß. Wie hoch ist der Anteil der Alten in der Population, wenn die Gesamtarbeitslosenquote 8 % beträgt?
20 %
331
Zwei Maschinen erzeugen ein Produkt. Die Maschine A hat einen Ausschussanteil von 20 %, die Maschine B von
10 %. 4000 von 7000 Ausschusstücken stammen aus der Produktion von A. Wie groß ist der Anteil von A an der
Gesamtproduktion? 40 %
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Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
332
Krankheiten
Nach der ersten Untersuchung werden die Wahrscheinlichkeiten für die Erkrankung eines Patienten an der Krankheit
A bzw. B mit 30 % und 70 % ermittelt. Ein Labortest ergibt ein positives Resultat, wenn die Krankheit vorliegt, u.
zw. mit: A … 80 %, bei B … 5 % .
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Vorliegen dieser Krankheiten, wenn der Test ein positives Resultat
erbracht hat.
0,873
0,127
333
c274
a) Der BSE-Test sei mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % zuverlässig (dh. er ist bei 95 % aller mit BSE
infizierten und getesteten Rinder positiv, allerdings auch bei 5 % aller nicht mit BSE infizierten Rinder). 0,2
% aller Rinder seien BSE infiziert. Wie groß ist der Anteil der tatsächlich an BSE erkrankten Rinder unter den
positiv getesteten? (3,7)
b) Spieler A bietet folgende Wette an: Bei Freiwürfen auf einen Basketballkorb will er von 3 Würfen mindestens
2 mal treffen. Seine Trefferquote beim ersten Wurf ist 80 %. Beim 2. Wurf hängt es davon ab, ob er schon
getroffen hat: war der erste Wurf ein Fehlwurf, sinkt seine Trefferquote auf 50 % (Nervosität), sonst bleibt
seine Quote bei 80 %. Der dritte Wurf (findet nur statt, wenn wenigstens einer der beiden anderen ein
Fehlwurf war) hat eine Trefferquote von 60 %. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten für 2, 1 oder 0
Treffer?
Wenn A es schafft, bekommt er für einen Einsatz von EUR 10 einen Gewinn von EUR 20. Ist das Spiel fair?
(79,6 16,4 4 - nein A gewinnt mit einer Gewinnerwartung von 1,58)
334
In einer Stadt wird nachts ein Mann beraubt. Das Opfer behauptet, der Täter sei ein Farbiger gewesen. Nehmen wir
an, seine Einschätzung sei zu 80 % sicher. In dieser Stadt ist der Anteil der Schwarzen 10 %. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit handelt es sich bei dem Täter tatsächlich um einen Schwarzen?
(31 %)
L: W(S/T) = Error!
Teil 4:
Diskrete Verteilungen
401
Stadtverkehr und Staus
a) Die Wahrscheinlichkeit bei einer ampelgeregelten Kreuzung stehenbleiben zu müssen, sei 30 %. Auf einer
Strecke gibt es 4 Ampeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens dreimal stehenbleiben zu müssen.
Verwenden Sie eine geeignete Verteilung!
8,37 %
b) Die Anzahl der wartenden Fahrzeuge vor einer „roten“ Ampel ist poissonverteilt mit dem Mittelwert 5. Wie hoch
ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 3 Fahrzeuge vor dieser Ampel anzutreffen?
26,5 %
402
Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Fehler in der Bremsanlage eines Fahrzeuges bei einer Routineüberprüfung entdeckt
wird sei 15 %. Wie oft muß ein Fahrzeug überprüft werden, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens einer
Entdeckung mindestens 80 % beträgt? Verwenden Sie eine geeignete Verteilung!
n = 9,9
403
Supermarkt
a) Die Anzahl der Personen in der Warteschlange eines Supermarktes ist poissonverteilt.
Wie groß ist der Mittelwert der Verteilung, wenn in 80 von 180 Fällen mehr als 3 Leute in der Warteschlange zu
finden sind? µ = 3,41
b) In einer Lieferung von 50 Orangen sind 10 verdorben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Stichprobe
von 20 Orangen (Ziehung ohne Zurücklegen) mindestens 3 verdorbene zu finden?
86,1 %
c) Ungefähr 1 % der Konsumenten sind Ladendiebe. Wie oft muß man kontrollieren, damit man mit 90 %
Wahrscheinlichkeit mindestens einen Ladendieb faßt? (Binomialverteilung)
229,1
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Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
404
a) Aus einer Warenprobe mit 30 Stück Umfang wird eine Stichprobe von 4 Stück gezogen (ohne Zurücklegen).
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2 Stück fehlerhafte Stücke zu erwischen, wenn der Anteil der
fehlerhaften Stücke in der Grundgesamtheit 20 % beträgt? 16,9 %
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit im Beispiel 2.a), wenn man mit Zurücklegen zieht?
18,1 %
405
a) Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer Stunde eines Sommergewitters mehr als 30 Blitze beobachtet werden, ist
15 %. Wie groß ist der Mittelwert der zugrundeliegenden Verteilung? 25,3
b) Im Schnitt ist die Krankenstandsdauer eines Dienstnehmers 15,3 Tage / Jahr. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, zwischen 8 und 12 Tage (inklusive) lang krank zu sein? 22,9
406
a) Ein Spieler weiß, daß in einer großen Menge von Losen 20 % Gewinnlose sind. Wieviele Lose muß er kaufen,
damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % mindestens 4 Trefferlose erwischt? 32
b) Wie groß muß der Veranstalter die Trefferwahrscheinlichkeit machen, damit die Spieler bei 10 gekauften
Losen mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % mindestens 1 Treffer landen? 15
407
a) Ein Tennisspieler hat einen Anteil von 60 % „guter“ Aufschläge beim Service. Wie oft muss er aufschlagen,
damit er mit mindestenst 90 % Wahrscheinlichkeit mindestens 8 mal „gut“ aufschlägt?
17
b) Die Anzahl der Blitze in einem Sommergewitter ist poissonverteilt und in 95 % aller Gewitter gibt es weniger als
18 Blitze. Wie groß ist der Mittelwert? µ = 11,63
408
Die Wahrscheinlichkeit, Ausschuss zu produzieren beträgt in einer Produktionsanlage 2 %. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit in einem Los von 100 Stück mindestens 3 Ausschussstücke zu erwischen.
32,3 %
409
. Bei einer Supermarktkassa warten Leute mit einem Mittelwert von 3,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
mehr als 6 Leute warten? 7,3 %
410
Die Anzahl der Blitze in einem Sommergewitter ist durchschnittlich 15,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass es weniger als 10 Blitze gibt?
6,1 %
411
Die Wahrscheinlichkeit, Ausschuss zu produzieren beträgt in einer Produktionsanlage 1 %. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit in einem Los von 160 Stück kein Ausschussstück zu erwischen. 20 %
412
a) Die Anzahl der Krankenstände pro Arbeitsstunde in einem Betrieb ist poissonverteilt mit dem Mittelwert 13. Wie
groß ist der Anteil der Arbeitsstunden, in denen
mehr als 15 Krankenstände auftreten
zwischen 12 und 20 (incl.) Krankenstände auftreten?
23,6 %
62,2 %
b) Wie groß ist der Mittelwert der Krankenstände, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als 20 Leute krank
sind 80 % beträgt? µ = 17,08
c) 20 % einer Population leiden an einer infektiösen Krankheit. Nach mehr als 5 Kontakten mit infizierten Personen
erkrankt man selbst. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zu erkranken, wenn man mit 15 Leuten in Kontakt
kommt?
Verwenden Sie die Binomialverteilung! 6,1 %
d) Nach wievielen Kontakten (sonstige Angaben wie c)) erkrankt man mit 90 % Wahrscheinlichkeit? n = 44
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Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
413
Die Anzahl der Blitze in einem Sommergewitter ist durchschnittlich 15,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
es mehr als 18 Blitze gibt? 20,2 %
414
Die Anzahl der Leute, die bei der Anmeldung angestellt sind, ist poissonverteilt mit dem Mittelwert 15. Wie hoch ist
die Wahrscheinlichlichkeit auf nicht mehr als 10 Leute in der Warteschlange zu treffen? Wie hoch ist der Mittelwert
einer Poissonverteilung, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass man sofort drankommt 8 % ist? (11,8 % 2,52)
415
22 % aller auftretenden Hagelgewitter vernichten die Ernte eines betroffenen Feldes. Man muss mit 14 Gewittern in
einem bestimmten Gebiet rechnen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als 5 Ernten zerstört
werden. Mit welcher Maximalzahl an vernichteten Ernten muss der Bauer rechnen, wenn er zu 99 % sicher sein
will? Verwenden Sie die Binomialverteilung! (93,4 % 7 )
416
Auf einer bestimmten Fahrstrecke gibt es 7 Ampeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einer Ampel stoppen muss
ist 45 %. Berechnen Sie die gesamte Verteilung, d. h. die Wahrscheinlichkeiten,dass man 0 mal, 1 mal usw. stehen
bleiben muss! Wie hoch müsste die Einzelwahrscheinlichkeit sein, damit man mit 50 %-iger Wahrscheinlichkeit nie
stehenbleiben muss? (1,5 8,7 21,4 29,2 23,9 11,7 3,2 0,37
9,43 %)
417
Die Anzahl der Fehler in einem Werkstück ist poissonverteilt mit µ = 10. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,
unter 6
über 13
zwischen 6 und 12 (incl.) Fehler
in einem Werkstück zu finden? (6,7 13,6 72,5)
418
a) Die Anzahl der Krankenstandstage während einer Grippeepidemie in einer Firma ist poissonverteilt mit dem
Mittelwert 8,2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit , dass jemand mehr als 12 Tage lang krank ist. Welche
Krankenstandsdauer wird nur in 5 % aller Fälle überschritten? 7,4 13
b) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Impfung wirkt, sei 80 %. Für eine erfolgreiche Immunisierung sind mindestens
3 wirksame Impfungen erforderlich. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit einer Immunisierung, wenn man 5 mal
geimpft wird? Wie viele Impfungen muss man durchführen, wenn die Wahrscheinlichkeit einer Immunisierung
mindestens 99 % werden soll? 94,2 6,4
419
a) Die Anzahl der Fehler in einer schriftlichen Arbeit ist poissonverteilt mit dem Mittelwert 8. Wie groß sind die
Wahrscheinlichkeiten:
weniger als 5 Fehler zu finden
zwischen 3 und 10 Fehler zu finden
genau 8 Fehler zu finden
10
80,2
14
b) Bei einer Vokabelprüfung sollen mindestens 18 von 20 Vokabeln gewusst werden, um zu bestehen. Die
Wahrscheinlichkeit ein Vokabel zu wissen, sei 80 %. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Prüfung
bestanden? Welche Sicherheit muss man erreichen, wenn man die Prüfung mit 90 %-iger Wahrscheinlichkeit
bestehen will? Verwenden Sie die Binomialverteilung (welche Eigenschaft muss die Anzahl der zu wissenden
Vokabeln haben, damit man binomial rechnen kann?) 20,6 % 0,94
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Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
420
Ein medizinischer Test wird 5 mal durchgeführt. Die Wahrscheinlichkeit, dass er positiv ausgeht ist bei einem
Einzelexperiment 20 %. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Test mehr als 3 mal positiv ausgeht?
Verwenden Sie die Binomialverteilung. 0,7 %
421
a) Die Anzahl der Fehler in einer Schularbeit sei poissonverteilt mit dem Mittelwert 4,2. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als 6 und nicht weniger als 3 Fehler auftreten?
65,7
b) Wie hoch ist der Mittelwert einer Poissonverteilung, wenn mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % 0
Merkmalwerte auftreten?
0,223
422
In einem Krankenhaus werden pro Tag im Schnitt 3,7 Patienten mit der Krankheit A eingeliefert. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit, dass einmal mehr als 5 Patienten eingeliefert werden? Wieviele Tage im Jahr werden 0
Patienten mit A eingeliefert? Verwenden Sie die Poissonverteilung. 17 % 9
423
Supermarkt
a) In einer Lieferung von 20 Südfrüchten sind 8 verdorben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer
Stichprobe von 7 Stück höchstens 2 verdorbene Früchte gefunden werden. Verwenden Sie die hypergeometrische
Verteilung. 39,1 %
b) Die Anzahl der Leute, die bei der Kassa angestellt sind, ist poissonverteilt mit einem bestimmten Mittelwert. Wie
groß ist dieser Mittelwert, wenn die Wahrscheinlichkeit, an der Kassa niemand anzutreffen 10 % ist? 2,3
c) Ein Lebensmittelproduzent vereinbart mit dem Supermarkteinkäufer einen Ankaufstest: Es wird eine Stichprobe
vom Umfang 30 gezogen. Werden in dieser Stichprobe mehr als 3 Ausschussstücke gefunden, wird die Lieferung
abgelehnt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lieferung angenommen wird, wenn der Ausschussanteil
des Produzenten 15 % beträgt? Verwenden Sie die Binomialverteilung.
32,2
424
a) Die Wahrscheinlichkeit einer Verkehrskontrolle ist bei einer Fahrt 2 %. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei
60 Fahrten ohne Kontrolle durchzukommen? Verwenden Sie die Binomialverteilung! 29,8
b) Wie oft muss man fahren, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % mindestens einmal kontrolliert wird?
(p wie oben 2 %, binomial) 114
425
Von 50 Superlosen für die Verlosung der Hauptpreise sind nur 10 Gewinnlose. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit mindestens 1 Hauptpreis zu gewinnen, wenn man 15 Superlose gekauft hat? Verwenden Sie
die geeignete Verteilung. 98,2
426
Die Anzahl der Lose, die pro Person verkauft werden, ist poissonverteilt mit dem Mittelwert 8. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass jemand zwischen 4 und 6 (inklusive) Losen kauft? 27,1
427
Für die Zulieferung werden 2 Spediteure beauftragt. Spedition A hat eine mittlere Lieferdauer von 5,2 Tagen, B
eine von 3,5 Tagen. Lieferungen mit einer Dauer von über 6 Tagen gelten als verspätet. Wie hoch ist der Anteil
der verspäteten Lieferungen, wenn A 30 % und B 70 % der Lieferungen übernimmt? Verwenden Sie die
Poissonverteilung für die Berechnung der verspäteten Lieferanteile! 0,268 0,065
0,126
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Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
428
Für eine Vokabelprüfung sollen aus einer großen Anzahl von Vokabeln mindestens 90 % bei einer geprüften
Anzahl von 20 gekonnt werden. Wie hoch muss Ihre Sicherheit für ein einzelnes Vokabel werden, damit diese
Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % bestanden wird?
92,2 %
429
Die Anzahl von Gewittern in einem Jahr in einer bestimmten Region ist poissonverteilt. Wie hoch ist der
Mittelwert der Verteilung, wenn mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % nicht mehr als 40 Gewitter auftreten?
35,5
430
a) Aus einer Sammlung von 20 Hausübungen werden 4 zufällig ausgewählte bewertet. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit, mehr als 3 fehlerhafte Hausübungen zu erwischen, wenn insgesamt 6 Hausübungen fehlerhaft
sind. Benutzen Sie die geeignete Verteilung! 0,3 %
b) Die Anzahl der Fehlstunden pro Schuljahr ist poissonverteilt mit dem Mittelwert 25. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler
mehr als 30
weniger als 20
aufweist?
13,7 % 13,4%
c) Bei einer Vokabelprüfung werden aus einer sehr großen Anzahl von Vokabeln 30 abgeprüft. Um zu bestehen
müssen mindestens 25 gewusst werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „bestehen“, wenn die Sicherheit
des Schülers bei einem Vokabel 80 % ist. Welche Sicherheit muss der Schüler erreichen, wenn er mit 95 %-iger
Sicherheit durchkommen will. Wieviele Vokabeln muss der Lehrer abprüfen, damit bei einer Schülersicherheit
von 90 % die Durchfallquote nur 1 % ist?
42,8 % 91 % 32,1
431
Die Anzahl der Regentage in den Sommermonaten ist poissonverteilt mit µ = 25,4. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass man mehr als 25 Regentage erlebt. Welche Maximalzahl von Regentagen kann in der
Werbung garantiert werden, wenn man nur in 1 % aller Fälle über diesem Wert liegen will? 48 % 38
432
Erfahrungsgemäß gibt es bei der Buchung von Reisen einen Anteil von 15 % Reklamationen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 10 Reklamationen, bzw. keine Reklamation stattfindet, wenn man 80
Buchungen zufällig auswählt? 67 % 0 %
433
Aus einer Lieferung von 20 Stück wird eine Stichprobe von 5 Stück gezogen. In der Lieferung sind 4
Ausschussstücke. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe weniger als 2, bzw. kein
Ausschussstück enthalten ist? 75,2 % 28,2 %
434
Auf einem Straßenstück gibt es 6 geregelte Kreuzungen. Die Wahrscheinlichkeit, stoppen zu müssen ist bei jeder
Kreuzung 60 %. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, nie stoppen zu müssen, bzw. mehr als 3 mal stoppen zu
müssen? 0,4 % 54,4 %
435
Die Wahrscheinlichkeit, zu einem nach einer Bewerbung zu einem Vorstellungsgespräch eingeladen zu werden,
sei 40 %. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird man zu mindestens drei Vorstellungen eingeladen, wenn man 20
Bewerbungsschreiben versendet. Verwenden Sie die Binomialverteilung. Wie viele Bewerbungen muss man
schicken, wenn man mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % mindestens drei Vorstellungen haben möchte?
99,6 % 12 Bewerbungen
436
Die Anzahl der FSME – Fälle pro Jahr in einer Population ist poissonverteilt. Wie hoch ist der Mittelwert der
Verteilung, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 30 Fälle auftreten nur mehr 2 % ist? µ = 20,7
437
Aus einer Lieferung von 30 Stück wird eine Stichprobe von 6 Stück ohne Zurücklegen gezogen. In der Lieferung
sind 4 Ausschussstücke. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe weniger als 2, bzw. kein
Ausschussstück enthalten ist? Verwenden Sie die korrekte Verteilung!
83,1 % 38,8 %
438
© Mag. Wolfgang Streit
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Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
Auf einem Straßenstück gibt es 10 geregelte Kreuzungen. Die Wahrscheinlichkeit, stoppen zu müssen ist bei jeder
Kreuzung 30 %. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, nie stoppen zu müssen, bzw. mehr als 3 mal stoppen zu
müssen? 2,8 % 35 %
Teil 5:
Stetige Verteilungen
501
Die Durchfahrtszeiten für ein Ortsgebiet sind stetig verteilt. Ermitteln Sie eine Gleichung für diese
Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) (x … Durchfahrtszeit in Minuten) mit folgenden Bedingungen:
Dreifachnullstelle an der Stelle 0
Nullstelle bei x = 50
Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion für das Intervall [0 / 50 ] mit den üblichen Bedingungen für
Wahrscheinlichkeitsdichten!
F(x) = Error!
d) Die Durchfahrtszeiten für ein Ortsgebiet sind stetig verteilt. Die Gleichung für diese
Wahrscheinlichkeitsverteilung F(x) (x … Durchfahrtszeit in Minuten) laute:
F(x) = Error! in [ 0 / 40 ]
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß man
mehr als 32 Minuten,
weniger als 12 Minuten,
zwischen 15 und 25 Minuten braucht!
26,3 %
3%
31 %
502
Verkehrsdichte und Unfälle
a) Die Geschwindigkeit von Autos bei Tempokontrollen ist mit der Dichte f(x) = k x (180 – x) in [0 / 180] verteilt.
Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion diese Dichte!
F(x) = Error!
Rechnen Sie die folgenden Punkte mit F(x) = Error! in [0 / 200].
b) Welcher Anteil der Verkehrsteilnehmer fährt schneller als 150 km/h? 15,6 %
c) Welcher Anteil der Verkehrsteilnehmer fährt weniger als 80 km/h?
35,2 %
d) Welcher Anteil der Verkehrsteilnehmer fährt zwischen 90 und 110 km/h?
14,95 %
e) Welche Geschwindigkeit wird von 80 % der Verkehrsteilnehmer nicht überschritten?
f) Welches ist die häufgste Geschwindigkeit?
142,6 km/h
x = 100
503
a) Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion für die Dichte f(x) = k x (8 – x) in [0 / 8 ]. F(x) = Error!
b) Die Abgabemenge Benzin bei einer Tankstelle ist mit der Verteilungsfunktion
F(x) = 1 – e – 0,1 x verteilt (x in 1.000 Liter). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß mehr als 4.000 Liter
verkauft werden! 67 %
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5 ck – menschik
Beispielsammlung Stochastik
504
Die Funktion f(x) =
Mai 16
Error! ist eine Dichte im Bereich [0 /  ). Berechnen Sie die Verteilungsfunktion. Wie
hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Merkmalswert zwischen 3 und 5 liegt?
F(x) = Error!
10,3 %
505
Die Neuschneemenge x pro Tag gehorcht der stetigen Verteilung mit der Dichte
f(x) = k (x3 – 230x2 + 12.600x).
Wo hat diese Funktion Nullstellen. Bestimmen Sie ein geeignetes vernünftiges Definitionsintervall für diese
Dichtefunktion und dann die zugehörige Verteilungsfunktion!
bei x = 0, x = 90 und x = 140. Intervall [0 / 90] k = 8,66 · 10 –8 = Error!
F(x) = Error!
506
Volkswirtschaft
a) Die Einkommensverteilung in einer Volkswirtschaft ist stetig wie f(x) = k (x4 + bx3 + dx2) in [ 0 / 100]. Ermitteln
Sie die Parameter b und d so, dass das häufigste Einkommen € 15.000,-- beträgt und das höchste Einkommen €
100.000,-- beträgt (d.h. die Dichte f(x) soll bei x = 100 eine Nullstelle haben)! x in 1.000 EUR
b = – 123,225 und d = 2.322,58
b) Die Dichte von a) sei f(x) = k x2 (x – 100)2 in [ 0 / 100]. Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion für diese Dichte!
F(x) = Error!
c) Skizzieren Sie die Funktion f(x) = x2 (x – 100)2 in [ – 20 / 120]. Berechnen Sie dazu Nullstellen und
Extremwerte!
Doppelnullstellen bei (0/0);0 und (100;0);0 Extremwert bei (50/ 6.250.000);0
Es sei F(x) = Error! für das Intervall und die Bezeichnungen für a).
Berechnen Sie den Anteil der Bevölkerung, der
d) weniger als € 12.000,-1,4 %
e) mehr als € 40.000,-- verdient
68,3 %
f) Wie groß ist der Betrag, der nur von einem Zehntel der Bevölkerung im Einkommen übertroffen wird?
( x = 75,336)
507
Die Neuschneemenge x pro Tag gehorcht der stetigen Verteilung f(x) = k x (x – 150). Wo hat diese Funktion
Nullstellen. Bestimmen Sie ein geeignetes vernünftiges Definitionsintervall für diese Dichtefunktion und dann die
Verteilungsfunktion.
F(x) = Error!
508
Volkswirtschaft
a) Die Einkommensverteilung in einer Volkswirtschaft ist stetig wie f(x) = k x3 ebx in [ 0 /  ]. Ermitteln Sie den
Parameter b so, dass das häufigste Einkommen € 15.000,-- beträgt. x ist dabei das Jahreseinkommen in 1000 €.
– 0,2
b) Die Dichte von a) sei f(x) = k x3 e–0,15x in [ 0 /  ]. Ermitteln Sie die Gleichung der Verteilungsfunktion.
F(x) = 1 – e–0,15x (0,0005625x3 + 0,01125x2 + 0,15x + 1)
c) Skizzieren Sie die Funktion f(x) = x3 e–0,3x in [ –5 / 30 ]. Berechnen Sie dazu Nullstellen und Extremwerte!
Dreifachnullstelle bei (0 / 0);0 und E (10 / 49,8);0
e –0
für das Intervall und die Bezeichnungen für a).
(9x + 90x + 600x + 2.000);2.000
Berechnen Sie den Anteil der Bevölkerung, der
d) weniger als € 10.000,-35 %
Es sei F(x) = 1 – 3x
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3
2
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5 ck – menschik
Beispielsammlung Stochastik
e) mehr als € 30.000,-- verdient
2,1 %
f) Wie groß ist der Betrag, den die Hälfte der Bevölkerung höchstens verdient?
Mai 16
€ 12.240,--
509
Die Neuschneemenge x pro Tag gehorcht der stetigen Verteilung f(x) = k (x – 100)(x – 150). Wo hat diese
Funktion Nullstellen. Bestimmen Sie ein geeignetes vernünftiges Defintionsintervall für diese Dichtefunktion und
dann den Normierungsfaktor k! Stellen Sie k als Bruch dar!
x aus [0 / 100] Error!
510
Unwetter
Die Dauer von Unwettern ist mit f(x) = k x ebx ( x ist die Dauer in Stunden) verteilt. Ermitteln Sie den Parameter b
so, dass die häufigste Unwetterdauer bei 20 Minuten liegt.
Rechnen Sie mit f(x) = k x e–2x im Intervall [0 /  ) weiter:
Ermitteln Sie die häufigste Unwetterdauer!
Ermitteln Sie einen geeigneten Normierungsfaktor und eine geeignete Verteilungsfunktion! Welche
Unwetterdauer wird nur in 10 % aller Fälle überschritten? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Unwetter
nicht mehr als 12 Minuten dauert? (b = – 3 0,5 h F(x) = 1 – e–2x (2x + 1) 1,94 6,2 %)
511
Die Verteilung der Staulängen sei mit der Dichte f(x) = Error! verteilt. (x ist die Staulänge in km). Ermitteln Sie
einen Normierungsfaktor im Bereich [0 / 15]. Gegen welchen Wert strebt die Dichte für x  ? Was geschieht,
wenn man die Funktion über [0 /  ) normieren will?
(F(x) = 0,24707 ln(x2 + 4) – 0,34512 F(x) divergiert und kann daher nicht über [0 /  ) normiert werden!)
512
Volkswirtschaft
a) Die Einkommensverteilung in einer Volkswirtschaft ist mit f(x) = k · x · ebx verteilt. x ist das Einkommen in GE.
Ermitteln Sie den Parameter b so, dass der häufigste Wert bei x = 5 GE liegt.
Rechnen Sie mit f(x) = k x e– 0,1 x in [0 /  ) weiter:
Ermitteln Sie einen geeigneter Normierungsfaktor k für diesen Bereich. Wie hoch ist das Einkommen, das nur von
1 % der Bevölkerung übertroffen wird? –0,2 66,4
b) Ermitteln Sie für die Dichtefunktion f(x) = Error! im Bereich [0 / 10] einen geeigneten Normierungsfaktor k.
Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion. Kann F(x) = 0,03 x (x – 10) in [0 / 10] eine Verteilungsfunktion sein?
Begründen Sie Ihre Antwort.
0,16 ln (x3 + 2) – 0,11
nein, weil F(10)  1
513
Die Lebensdauer von Bauteilen ist mit einer Dichte von f(t) = Error! mit t  [ 0 /  ). t ist die Betriebsdauer bis
zum Ausfall in 1000 Stunden. Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F(t) mit den üblichen
Normierungsbedingungen. Wann sind 90 % aller Bauteile ausgefallen. Welcher Anteil der Bauteile ist nach
10.000 Betriebsstunden noch nicht ausgefallen? F(t) = Error!
nach 92.434 h
0,56
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Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
514
Wetter
a) Die Niederschlagsmenge pro Zeiteinheit x in l/m2 gehorcht folgender stetiger Verteilung: f(x) = k x ebx in [0 / ).
Ermitteln Sie den Parameter b so, dass die häufigste Regenmenge bei x = 8 l/m2 auftritt. Berechnen Sie den
Normierungsfaktor für diese Dichte! ( –0,125 k = Error! )
x e–0
b) Die Dichtefunktion f(x) für Teil a) sei f(x) = 1x
in [0 / ). Berechnen Sie die Verteilungsfunktion. Wie hoch
;100
ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Niederschlagsmenge größer als 20 l/m2 ist? Welcher Niederschlagswert wird
mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % überschritten? (1 – 0,1 · e– 0,1x (x + 10)
40,6 % 5,3 l/m2
515
Die Funktion f(x) = Error! soll die Dichte einer stetigen Verteilung sein. Ist das für das Intervall x  [0 / )
möglich? Wenn ja, berechnen Sie k, wenn nein, begründen Sie Ihre Antwort! Wie ändert sich die Situation für
das x-Intervall [0 / 10]? (divergiert, nein 1,44 ln(x + 10) – 3,32 )
516
Die Anzahl der für Breitensport aufgewendeten Zeit (in Minuten) pro Tag ist mit F(x) = k x 3 (50 – x)2 verteilt
(Verteilungsfunktion). In welchem Intervall kann diese Funktion eine Verteilungsfunktion sein. Wie hoch ist k?
Bei welcher Sportausübungszeit liegt das Maximum der Verteilung. Welcher Anteil der Leute macht mehr als 25
Minuten Sport pro Tag? [0 / 30] 1/10.800.000 17,8 min 9,6 %
517
Produktion
a) Die Lebensdauer eines Produktes ist mit einer Dichte f(x) = kx3 ebx über dem Intervall [0 , ∞ ) verteilt. Ermitteln
Sie den Parameter b so, dass bei x = 5 Jahren die Ausfallswahrscheinlichkeit maximal ist! Ermitteln Sie die
Verteilungsfunktion F(x)!
e–0
F(x) = 1 – 6x
3
2
(9x + 45x + 150x + 250);250
b) Der Energieverbrauch in einem Industriebetrieb ist mit einer Dichte f(x) verteilt. (x ist der Energiebedarf in
MWh). Ermitteln Sie eine Dichtefunktion aus folgenden Daten:
f(x) soll eine Doppelnullstelle bei x = 0 und eine Dreifachnullstelle bei x = 30 haben.
Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion und den wahrscheinlichsten Energieverbrauch.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man unter 25 MWh Energie verbraucht?
Wie hoch ist der Energieverbrauchswert, der nur in 20 % aller Fälle überschritten wird?
k((x – 30)3 x2 f(x) = Error! F(x) = Error! 12MWh 99,1 % 17,6
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Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
518
Die Dichte f(x) = Error! hat den häufigsten Wert bei x = 10. Ermitteln Sie die Parameter k und b im Bereich [0
/ 20] und die Verteilungsfunktion. b = 100 k = 1,24266 F(x) = 0,621 ln(x 2 + 100) – 2,86135
519
Ermitteln Sie den Normierungsfaktor für die Dichte f(x) = Error! im Bereich [0 / 20]. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit, dass x mindestens 13 ist?
k = 1,24266 38,5 %
520
Die Krankheitsdauer ist stetig verteilt mit folgender Dichte f(x) = Error!. Ermitteln Sie b so, dass die maximale
Krankheitsdauer bei x = 8 Tagen liegt. Ermitteln Sie einen Verteilungsfunktion über dem Intervall [0 / 20]! Ist die
Verteilung über [0 /  ) normierbar? b = 64
F(x) = 0,5 ln(x2 + 64) – 2,1
über  ist die Verteilung wegen der Divergenz von ln nicht normierbar.
521
a) Die Lebensdauer eines Produktes ist mit einer Dichte f(x) = kx2 ebx verteilt. Ermitteln Sie den Parameter b so,
dass bei x = 5 Jahren die Ausfallswahrscheinlichkeit maximal ist! Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion F(x) über
e–0
dem Intervall [0 / )! b = – 0,4
F(x) = 1 – 4x
2
(2x + 10x + 25);25
b) Der Energieverbrauch in einem Industriebetrieb ist mit einer Dichte f(x) verteilt. (x ist der Energiebedarf in
MWh). Ermitteln Sie eine Dichtefunktion aus folgenden Daten:
f(x) soll eine Doppelnullstelle bei x = 0 und eine Nullstelle bei x = 30 haben.
Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion und den wahrscheinlichsten Energieverbrauch.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man unter 25 MWh Energie verbraucht?
Wie hoch ist der Energieverbrauchswert, der nur in 20 % aller Fälle überschritten wird?
k(x – 30) x2 wahrscheinlichster Wert = 20 MWh F(x) = Error!
W(x  25) = 86,8 %
F(x) = 0,8  x = 23,6 MWh
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Teil 6:
Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
Normalverteilung und ihre Anwendung
601
Jahresfahrleistungen
Die Anzahl der gefahrenen Kilometer mit PKW‚s ist normalverteilt mit dem Mittelwert 25.000 km und der Streuung
5.800 km.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß
a) mehr als 30.000 km gefahren wird
19,4 %
b) weniger als 12.000 km gefahren wird
1,3 %
c) zwischen 20.000 und 30.000 km Jahresfahrleistung auftritt
61,2 %
d) Welche Kilometerleistung wird nur in 10 % aller Fälle überschritten?
32.435,6 km
602
Die Körpergröße ist normalverteilt mit µ = 177 cm mit einer Streuung von 13 cm. Wie viele Menschen von
30.000 sind
a) größer als 195 cm
2.490
b) zwischen 170 und 190 cm groß
16.380
603
a) Wie groß ist die Streuung der normalverteilten Kosten einer Produktion mit dem Mittelwert 43.000,-- , wenn
die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 60.000,-- an Kosten auftreten, 95 % beträgt.  = 10.335
b) Die Produktion von Schrauben streut mit 0,5 % um den Mittelwert 60 mm. Alle Schrauben außerhalb von 60
mm  1 % gelten als Ausschuss. Wie hoch ist der Ausschussanteil? 4,6 %
604
a) Die Anzahl der aufgetretenen Fehlstunden in einer Firma ist normalverteilt mit µ = 50 und  = 10,3. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, daß weniger als 30 Fehlstunden auftreten?
2,6 %
b) Man möchte mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % eine maximale Fehlstundenanzahl garantieren. Wie groß
ist diese Anzahl?
x = 74
605
Eine Maschine streut mit der Streuung 3 um den Mittelwert 48. Sie soll Werkstücke mit dem Wert 50 herstellen.
Alles, was außerhalb von 50 ± 10 % liegt, gilt als Ausschuss. Wie hoch ist der Ausschussanteil, den diese
Maschine produziert? 16,9 %
606
Die Niederschlagsmenge ist normalverteilt mit dem Mittelwert 380 cm/Jahr und der Streuung 93 cm/Jahr. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 200 und 300 cm/Jahr Niederschlag fällt?
17 %
607
Eine Maschine produziert Werkstücke mit µ = 250 cm und  = 4 cm. Jedes Werkstück unterhalb von 246 cm gilt
als Ausschuss. Wie hoch ist der Ausschussanteil?
15,9 %
608
Eine Maschine füllt Flaschen mit µ = 1,95 l. Als Ausschuss gilt eine Überschreitung der Sollmenge von 2 l um
mehr als 4 %. Wie groß darf die Streuung sein, damit man weniger als 3 % Ausschuss produziert? 0,07
609
Die Niederschlagsmenge ist normalverteilt mit dem Mittelwert 380 cm/Jahr. Wie hoch ist die Streuung dieser
Verteilung, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 500 cm/Jahr Regen fällt nur 10 % ist? 93,6
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Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
610
Eine Maschine produziert Werkstücke mit µ = 250 cm und  = 4 cm. Der Sollwert beträgt 255 cm mit einer
erlaubten Abweichung von 2 %. Wie hoch ist der Ausschussanteil? Wie stark reduziert sich der Ausschussanteil,
wenn man die Maschine mit µ = 255 und  = 4 cm laufen lässt? 49,6 % 20,2 %
611
Eine Maschine soll Wellen mit einem Durchmesser von 200  5 % erzeugen. Ein Stück Ausschuss kostet € 0,30.
Es werden 10.000 Stk. erzeugt. Wie hoch darf die Streuung der Maschine sein, wenn ihre Produktion
normalverteilt um den Mittelwert 200 streut und die Kosten € 1.000 nicht übersteigen soll? (10,34)
612
Schule
a) Die Anzahl der angemeldeten Schüler in einer Schule ist normalverteilt mit dem Mittelwert 170 und der Streuung
20. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten,
dass sich weniger als 130
mehr als 160
zwischen 150 und 170
Schüler anmelden.
(2,3 %
69,1 %
34,1 %)
b) Mit welcher Maximalzahl von Anmeldungen kann der Direktor rechnen, wenn dieser Wert nur in 3 % aller Fälle
überschritten werden soll? (µ = 170,  = 20)
L: 207,6
613
.
Von 200 befragten Leuten wollen 120 ein Volksbegehren unterschreiben. Ermitteln Sie ein Konfidenzintervall
auf dem 80 % Signifikanzniveau für den wahren Anteil der Befürworter. [55,6 % / 64, 4 % ]
614
Defekte Fahrzeuge und Sicherheit
a) Bei einer Befragung stellt sich heraus, daß von 350 befragten Leuten 200 für „Lichtfahrer sind sichtbarer“ sind.
Berechnen Sie ein Konfidenzintervall auf dem Signifikanzniveau 92 % für den Anteil der Befürworter dieser
Aktion. (Zahlen fiktiv)
[ 52,5 % ; 61,6 % ]
b) Zeichnen Sie eine Prüfplankurve für folgende Werte:
Es werden 30 Fahrzeuge überprüft.
Die Annahmekennzahl ist 4.
Maßstab: x - Achse: 1 cm … 5 Prozentpunkte
y - Achse: 1 cm … 10 Prozentpunkte.
Wie hoch ist das Produzentenrisiko für einen Ausschussanteil von 40 %?
615
Vor einer Wahl werden 200 Leute befragt. 83 geben an die Partei X wählen zu wollen. Ermitteln Sie ein 80 % Konfidenzintervall für den wahren Wähleranteil von X.
Wieviele Leute müssen befragt werden, damit die Unsicherheit (=halbe Breite des Konfidenzintervalls) kleiner
als 0,5 Prozentpunkte wird?
[37,0 % / 46,0 %] 15.960
616
Bei einer Befragung von 250 Leuten ergibt sich ein Anteil von 60 % Durchimpfungsrate (d.h. 60 % der Befragten
waren gegen eine bestimmte Krankheit geimpft. Ermitteln Sie ein 2,5 -  - Konfidenzintervall für die wahre
52
Durchimpfungsrate. Wie hoch ist das Signifikanzniveau? 3 %;67
98,8 %
7%
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Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
617
a) Um den Anteil der Bauern zu schätzen, die eine Versicherung abschließen wollen, wird eine Umfrage
durchgeführt. 320 von 500 befragten Bauern wollen sich versichern lassen. Ermitteln Sie ein Konfidenzintervall
mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 8 % für den wahren Anteil. ( [60,24 / 67,8] )
b) Die Schadenssumme ist normalverteilt mit dem Mittelwert EUR 80.000,-. Die Versicherung weiß, dass 80 % aller
Fälle unter EUR 130.000,- liegen. Berechnen Sie die Streuung der Verteilung! (59.382)
618
Bei der Lieferung von Ersatzteilen wird eine Stichprobenüberprüfung vereinbart: Die Lieferung wird
angenommen, wenn nicht mehr als 5 % Ausschuss in einer Stichprobe vom Umfang 180 enthalten sind. Zeichnen
Sie eine Prüfplankurve (kein Ausdruck !!) in einem vernünftigen Bereich und mit geeignetem Maßstab! Wie hoch
ist das Produzentenrisiko bei einem wahren Ausschussanteil von 4 %? 24,7 %
619
a) Eine Maschine soll Werkstücke mit der Zugfestigkeit 2.500  2 % herstellen. Alles außerhalb dieser Norm gilt
aus Ausschuss und verursacht Kosten von EUR 0,2. Es werden insgesamt 30.000 Stück dieses Werkstückes
erzeugt. Ermitteln Sie die Gleichung der Kosten (abhängig von ), wenn die Maschine mit der Streuung  um den
Mittelwert 2.500 streut! Wie hoch darf  sein, wenn nicht mehr als EUR 1.000,-- an Kosten auftreten darf? (
12000 (1 – (50/)) 36,153)
b) Eine andere Maschine erzeugt Werkstücke mit der mittleren Zugfestigkeit 3.000 und streut mit  = 15. Welche
untere Grenze kann der Erzeuger garantieren, wenn nur 1 % der Produktion unterhalb dieser Grenze liegen soll?
(2.965,11)
621
a) Die Lebensmittelkette vereinbart mit einem Produzenten folgende Prüfplanbedingung: Annahmekennzahl 20 bei
einem Stichprobenumfang von 100 Stück. Skizzieren Sie fachlich richtig die Prüfplankurve. Wie hoch ist das
Konsumentenrisiko bei einem wahren Ausschussanteil von 15 %? 92 %
b) Ein Lebensmittelproduzent will sein Ablehnrisiko mit 20 % minimieren. Er weiß, dass sein wahrer
Ausschussanteil 10 % ist. Welche Bedingungen (Annahmekennzahl) muss er dem Käufer für eine Prüfplankurve
anbieten, damit sein Ablehnrisiko höchstens 20 % bei einem Stichprobenumfang von 50 ist? 7
c) Der Umsatz eines Produktes ist normalverteilt mit µ =EUR 80.000,- bei einer Streuung von EUR 15.000,--. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Umsatz unter EUR 60.000,--? Ermitteln Sie ein zum Mittelwert
symmetrisches Intervall, in dem 90 % aller Werte liegen. 9,1 % [55.325 / 104.675]
d) Das Einkommen von Angestellten einer Firma ist normalverteilt mit dem Mittelwert 80 GE. Nur 10 Prozent der
Leute verdienen mehr als 100 GE. Wie groß ist die Streuung der Verteilung? 15,6
e) Ermitteln Sie ein 2 -  - Intervall für den wahren Anteil, wenn 450 von 1000 Leuten angeben, mit den
Lebensumständen zufrieden zu sein? Wie groß ist das Konfidenzniveau? [41,85 / 48,15] 95,4 %
622
Die Anzahl der Studienanfänger in einem Jahr ist normalverteilt mit µ = 4.000 und  = 800. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 2.000 Leute ihr Studium beginnen. Welche Zahl an Studienanfängern wird
mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % nicht übertroffen? 5643
623
a) Die Lebensdauer eines Bauteils ist normalverteilt mit dem Mittelwert 8.000 h und der Streuung 350 h. Wie
viele von 10.000 Bauteilen werden länger als 9.000 h funktionieren? 21
b) Welchen Minimalwert der Lebensdauer kann die Erzeugerfirma garantieren, wenn nur 5 % der Produktion
unter diesem Wert liegen?
7.424
624
a) Bei einer Umfrage geben 60 von 500 Befragten an, ein bestimmtes Produkt zu kennen. Geben Sie ein 99 % Konfidenzintervall für den wahren Anteil an! [8,3 / 15,7]
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5 ck – menschik
Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
b) Eine Maschine erzeugt Bauteile mit einem Sollwert von 200 mm. Jede Abweichung vom Sollwert um mehr als
5 % gilt als Ausschuss. Wie hoch ist der Ausschussanteil, wenn die Maschine bei der Erzeugung mit 6 mm um
den Mittelwert 200 streut. 9,6
625
Gesundheit
a) Die Kosten für die Behandlung eines Patienten streuen mit  = 2.500 um den Mittelwert 8.200,--. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass eine Betreuung nicht mehr als 13.000,-- kostet? Verwenden Sie die Normalverteilung.
97,3
b) In einem Test wird die Wirksamkeit eines Medikamentes getestet: 400 von 500 Personen geben an, dass eine
Verbesserung eingetreten ist. Geben Sie ein Konfidenzintervall auf dem 85 % - Niveau für den wahren Anteil der
Leute, bei denen eine Verbesserung eingetreten ist, an!
[77 / 83]
626
Die durchschnittliche Streckenlänge bei einer Fahrt sei 20,5 km. Berechnen Sie die Streuung der
Normalverteilung, wenn nur 8 % aller Fahrten länger als 40 km sind. 13,9
627
Schulball
Man weiß aus vergangenen Festen, dass die Menge an Sekt normalverteilt mit µ = 320 l bei einer Streuung von 50
l ist. Welche Menge an Sekt muss bereitgestellt werden, damit man mit 95 % Wahrscheinlichkeit nicht
ausverkauft werden kann. 402,2
628
. Eine Abweichung um mehr als 3 % vom Sollwert 88 cm gilt als Ausschuss. Wie hoch ist der Ausschussanteil,
abhängig von der Streuung, wenn die Maschine mit dem Mittelwert 87,5 cm arbeitet? Wie hoch darf die Streuung
höchstens sein, wenn der Ausschussanteil nur 10 % betragen darf? s = 1,52
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5 ck – menschik
Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
629
Qualitätssicherung
a)Stahlblechplatten sollen mit einer Stärke von 5 mm  8 % hergestellt werden. Alle Platten außerhalb dieser
Toleranzgrenzen gelten als Ausschuss. Bei einer Stichprobe ergibt sich folgendes Bild:
Stärke in mm
Anzahl
4,2
3
4,4
15
4,6
33
4,8
48
5,0
59
5,2
60
5,4
24
5,6
10
5,8
2
Ermitteln Sie das arithmetische Mittel, die Streuung, den Modus und den Median dieser Stichprobe.
Die Stärken der Platten seien normalverteilt mit dem Mittelwert 4,9 mm und der Streuung 0,2 mm. Welcher
Anteil der Produktion ist als Ausschuss zu erwarten? (4,98 0,32 5,2 5 7,3 %)
b) In der Fabrik wird eine Stichprobe vom Umfang 500 gezogen, es zeigen sich dabei 22 Ausschussstücke. Ermitteln
Sie ein Konfidenzintervall für den wahren Ausschussanteil auf dem Signifikanzniveau 98 %. 2,3 % bis 6,5 %
c) Die Längen von Stahlbolzen sind normalverteilt mit dem Mittelwert 55 mm und der Streuung 0,5 mm. Es sollen
ein oberer Grenzwert (OGW) und ein unterer Grenzwert (UGW) so ermittelt werden, dass nur 5 % der Produktion
oberhalb des OGW und 2 % unterhalb des UGW liegen. Ermitteln Sie den OGW und den UGW. In die
Produktion wird eingegriffen, wenn der OGW über- bzw. der UGW unterschritten wird. Berechnen Sie die
Eingriffswahrscheinlichkeiten, wenn der Mittelwert auf den Wert 55,1 driftet. 53,97 55,82
8,7 %
630
Schule
Für einen Übungsblock ist eine große Anzahl von Beispielen zu rechnen. Der Lehrer kontrolliert über eine
Stichprobe von 20 Beispielen. Als „bestanden“ gilt der ÜB, wenn nicht mehr als 4 Beispiele falsch sind.
Berechnen Sie die Gleichung der Prüfplankurve für diese Situation. Geben Sie das Risiko des Schülers für die
wahren Anteile an falschen Beispielen von 0%, 5%, 10 %, 15 %, 20%, 25%, und 30% an. Stellen Sie die
Prüfplankurve grafisch dar (Zeichnung mit Dreieck – keine Handskizze). Den Schülern ist dieses Risiko zu groß,
sie wollen eine Stichprobe, die ihr Risiko bei einem wahren Fehleranteil von 15 % auf 5 % minimiert. Wie groß
muss dazu der Stichprobenumfang sein (der tolerierte Fehleranteil in der Stichprobe sei dabei so groß wie
vorher)? 0 0 7 27 50 70 84
137
631
a) Um die Beliebtheit von Fingerhakeln zu ermitteln, werden 1.200 Leute zufällig ausgewählt und befragt. 140
davon geben an, dass sie Fingerhakeln furchtbar gerne ausüben. Geben Sie ein 2- Konfidenzintervall für den
wahren Anteil an Fingerhaklern an. Wie hoch ist die Irrtumswahrscheinlichkeit? Wenn die untere Grenze für den
Anteil der Bewunderer von Fingerhakeln oberhalb von 10 % liegt, wurde die Befragung in Bayern gemacht.
Wurde die Befragung in Bayern gemacht oder nicht? 95,5 % [9,8 % / 13,5 % ]
b) Der Skistar Herbert Huber gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % ein Rennen, bei dem er antritt. In einer
Saison gibt es 15 Rennen für ihn. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 12 Rennen gewinnt?
Die Anzahl der Weltcuppunkte für ihn ist normalverteilt mit dem Mittelwert 890. Wie hoch ist die Streuung, wenn
er mit 90 %-iger Sicherheit mehr als 820 Weltcuppunkte macht? 64,8 % 54,6 WCP
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Die Erträge eines landwirtschaftlichen Betriebes sind normalverteilt mit dem Mittelwert 5,5 t/ha und der Streuung
1,2 t/ha. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man weniger als 4,5, bzw. mehr als 7 t/ha Ertrag
erwirtschaftet. Wie groß muss c sein, damit 90 % aller Erträge im Intervall 5,5  c liegen? 20,2 % 10,6 %
[3,5 / 7,4 ]
633
Tourismus
a) Die Anzahl der Nächtigungen sei normalverteilt mit µ = 280. Wie hoch ist die Streuung, wenn die
Wahrscheinlichkeit, dass man mehr als 400 Nächtigungen hat nur mehr 5 % ist? 73
b) Ermitteln Sie ein Konfidenzintervall für den wahren Anteil zufriedener Gäste auf dem Signifikanzniveau 90 % für
folgende Umfragedaten: 65 von 80 befragten Urlaubern waren zufrieden! 74 % bis 88 %
© Mag. Wolfgang Streit
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5 ck – menschik
Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
634
Für die Prüfung einer Lieferung wird eine Stichprobenprüfung vereinbart: Die Lieferung wird angenommen, wenn
in einer Stichprobe vom Umfang 50 nicht mehr als 10 % Ausschuss enthalten ist. Zeichnen Sie die Prüfplankurve
für diese Situation. Ermitteln Sie dafür die Annahmewahrscheinlichkeiten für p = 0 %, 5 %, 10 % 15 % und 20
%! Die Zeichung soll fachlich richtig sein und die richtigen Werte aufweisen (keine Handskizze)
100 % 94,8 % 50 % 16,1 % 3,9 %
635
Straßenverkehr
a) Die Wegzeit zur Arbeit (Schule) ist normalverteilt mit µ = 48 Minuten und  = 12 Minuten. Wie oft wird man
mehr als 60 Minuten brauchen, wenn man pro Jahr 300 mal diesen Weg zurücklegen muss? Wie oft braucht man
weniger als 40 Minuten? 48 mal 76 mal
b) Bei der Produktion von Autoreifen muss eine Breite von 210 mm  1 % eingehalten werden. Ermitteln Sie die
Gleichung der Funktion Ausschusskosten, abhängig von der Streuung der Produktion K( ). Die
Gesamtproduktion beträgt 80.000 Stk. und ein Stück Ausschuss verursacht Kosten von EUR 1,70. Die Produktion
ist auf den Mittelwert 210 eingepegelt. Wie hoch sind die Ausschusskosten bei einer Streuung von 1 mm. Wie
groß darf die Streuung sein, damit die Ausschusskosten nicht über EUR 10.000 klettern? [207,9 / 212,1] 4.859
EUR 1,17
636
Eine Maschine streut um den Mittelwert 102 mm. Sie soll Werkstücke mit dem Sollwert 100  3 % erzeugen. Wie
hoch darf die Streuung sein, damit man nicht mehr als 10 % Ausschuss erhält?
0,78
637
Arbeitsmarkt
a) Die Arbeitslosendauer ist normalverteilt mit dem Mittelwert µ = 18 Wochen und der Streuung 8,3 Wochen. Wie
hoch sind die Wahrscheinlichkeiten
weniger als 5 Wochen arbeitslos zu sein
zwischen 10 und 20 Wochen arbeitslos zu sein
mehr als 25 Wochen arbeitslos zu sein?
5,9 % 42,8 % 20 %
b) Wie hoch ist die Streuung der Arbeitslosendauer, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass man länger als 30 Wochen
lang arbeitslos bleibt 5 % ist. Der Mittelwert der Arbeitslosendauer soll weiterhin 18 Wochen sein. 7,3 Wochen
638
Zecken
In 35 Fällen von 1.500 FSME-Impfungen treten Nebenwirkungen auf. Geben Sie ein Konfidenzintervall für den
wahren Anteil der Nebenwirkungen auf dem 99 % - Signifikanzniveau an!
1,3 und 3,3 %
639
Eine Maschine soll Stahlwellen mit dem Normdurchmesser 50 mm erzeugen. Jede Welle, deren Durchmesser um
mehr als 5 % von der Norm abweicht, gilt als Ausschuss. Die Maschine streut mit der Streuung 2 mm um den
Mittelwert 51 mm. Welchen Ausschussanteil wird diese Maschine produzieren? Wie hoch ist der Anteil der zu
großen Wellen am Gesamtausschuss?
26,7 % 85 %
640
Straßenverkehr
a) Die Wegzeit zur Arbeit (Schule) ist normalverteilt mit µ = 38 Minuten und der Streuung 15 Minuten. Wie oft
wird man mehr als 50 Minuten brauchen, wenn man pro Jahr 300 mal diesen Weg zurücklegen muss? Welche
Maximalwegzeit muss man einplanen, wenn man nur in 1 % aller Fälle über diesem Wert liegen möchte?
64 mal 72,9
b Bei der Produktion von Autoreifen muss eine Breite von 200 mm  1 % eingehalten werden. Die Produktion ist
auf den Mittelwert 200 eingepegelt. Wie groß darf die Streuung sein, damit der Ausschussanteil nicht über 5 %
beträgt?  = 1,02 mm
© Mag. Wolfgang Streit
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5 ck – menschik
© Mag. Wolfgang Streit
Beispielsammlung Stochastik
Mai 16
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