Unscharfe Optimierung - Fakultät für Mathematik und Informatik

Unscharfe Optimierung
Wintersemester 2005/2006
Unscharfe Optimierung
Vorlesung
Dienstags, 09.15–11.00,
MIB-1107
Übung
Dienstags (gerade Woche),
11.00–13.00,
MIB-1107
Veranstalter
Dr. Tatiana Starostina
E-mail: [email protected]
Tel. 3786
Sprechstunde nach Vereinbarung
Unscharfe Optimierung
Literatur
1). M. Delgado, J. Kacprzyk, J.-S. Verdegay, M.A. Vila (ed.)
Fuzzy Optimization: Recent Advances
Physica-Verlag, Heidelberg, 1994.
2). H. Bandemer and S. Gottwald
Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, Fuzzy Methods with Applications
John Wiley & Sons, Chichester 1995.
3). H.-J. Zimmermann
Fuzzy Set Theory and its Applications
2nd ed., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991.
4). C.R. Bector, Suresh Chandra
Fuzzy Mathematical Programming and Fuzzy Matrix Games
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2005.
Unscharfe Optimierung
Überblick
Optimierung
1) im Sinne der Mathematik:
die Bestimmung optimaler zulässiger Punkte eines Optimierungsproblems
hinsichtlich einer gegebenen Zielfunktion
2) in der Informatik:
die Verbesserung der Effizienz eines Computerprogramms
3) Umgangssprachlich:
meist eine Verbesserung eines Vorgangs oder Zustands bzgl. Qualität,
Kosten, Geschwindigkeit, Effizienz und Effektivität.
Unscharfe Optimierung
Überblick
Mathematische
Optimierung
Diskrete
Optimierung
Parametrische
Optimierung
Nichtlineare
Optimierung
Dynamische
Optimierung
Lineare
Optimierung
Konvexe
Optimierung
Nichtkonvexe
Optimierung
Minimieren oder maximieren
x X
,
wobei f(x) – Zielfunktion des Optimierungsproblems;
x – zulässige Lösung;
X – zulässiger Bereich.
f(x),
Unscharfe Optimierung
Problembereich „Unschärfe“
bei Optimierungsmodellen
Optimierungsmodell
Algorithmus
Modellbeschreibung
Daten
Problembereich „Unschärfe“
Unscharfe Optimierung
Die Bedeutung der unscharfen Daten
und Modelle
Unscharfe Daten:
„X gehört zu den großen Menschen“:
Jemand, der 1,60 m groß ist, wird mit einer Zugehörigkeit von 0,2
zu den großen Menschen gerechnet.
Dagegen wird jemand, der 1,85 m groß ist, mit einer Zugehörigkeit von 0,8
zu den großen Menschen gerechnet.
Die Aussage „Y ist dick“
hängt von den Attributen Körpergröße, Körperumfang und Gewicht ab.
Unscharfe Optimierung
Die Bedeutung der unscharfen Daten
und Modelle
Unscharfe Daten:
Die Auffassung über die Daten beeinflusst auch die Werte von Daten.
Beispiel:
Die Frage ist „Wann schließen die Geschäfte?“
Die Antwort „Um 18 Uhr“.
Das kann bedeuten:
1) alle Geschäfte sind um 18 Uhr zu;
2) einige Geschäfte schließen bereits um 17 Uhr, andere dagegen erst
um 20 oder 21 Uhr.
Eine entsprechende Zugehörigkeitsverteilung zur Aussage „Die Geschäfte
sind geschlossen“ lässt sich dann über die Zeit aufstellen.
Unscharfe Optimierung
Die Bedeutung der unscharfen Daten
und Modelle
Scharfe Zahl:
Unscharfe Zahl:
x = „etwa 18“
x =18
 (x)
 (x)
1
1
18
x
17
18
21
x
Unscharfe Optimierung
Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle
(a)
See
Unscharfe Daten:
Wald
Scharfe und
unscharfe Regionen
(a) scharfe
Darstellung;
(b) unscharfe
Darstellung
1
1
1
1
1
1
1
1
1
.9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
.4
1
1
1
1
1
1
1
1
.8
.1
1
1
1
1
1
1
1
.8
.4
0
.9
1
1
1
.9
.8
.7
.4
.1
0
.5
.5
.7
.6
.4
.5
.2
0
0
0
0
.1
.2
.1
.1
.1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Unscharfe Region: See
(b)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
.1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
.6
0
0
0
0
0
0
0
0
.2
.9
0
0
0
0
0
0
0
.2
.6
.1
0
0
0
.1
.2
.3
.6
.9
.5
.5
.3
.4
.6
.5
.8
1
1
1
.9
.8
.9
.9
.9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
Unscharfe Region: Wald
Unscharfe Optimierung
Die Bedeutung der unscharfen Daten
und Modelle
Unscharfe Modelle:
Beispiele:
v1
0,2
1/5
0,9
1
v2
0,5
0,4
0,3
v3
v4
0,7
1
x1
0,1
v5
y1
1/9
z1
1/5
1/2
1/8
x2
y2
1/4
1/3
x3
1
1/3
1/6
y3
1
1/6
1/7
z2
1/9
y4
Unscharfer Graph
2/3
Unscharfe Relation
2/3
z3
Unscharfe Optimierung
Arten der Unschärfe
„Unschärfe“:
•
•
nichtexakte Bedeutung des Wortes oder
mangelnde Information und die fehlende Möglichkeit, einen Begriff
exakt beschreiben zu können
Abb. Arten der Unsicherheit
Unsicherheit
zufällige
Unsicherheit

Wahrscheinlichkeiten für das
Eintreten von Ereignissen
emotionale
Unsicherheit

menschliche
Empfindungen
informelle
Unsicherheit

Komplexität in der
Beschreibung des Begriffs
Unscharfe Optimierung
Quellen der Unschärfe
nicht genug Informationen
liegen in der augenblicklichen
Situation vor
das Erfassen und
Abbildendes Systems ist
subjektiv verschieden
Unschärfe
Unscharfe Optimierung
Klassische Mengen
Es sei X die Grundmenge und A eine Teilmenge von X:
A X .
Ein Element gehört in der klassischen Mengenlehre entweder
zu einer Menge A, oder aber es gehört nicht zu dieser Menge.
Wenn ein Element x von X zu A gehört, schreibt man:
x  A.
Definition.
Es sei X eine Grundmenge und A eine Teilmenge von X.
Dann heißt die Funktion χA: X →{0,1} mit
1, x  A
0, x  A
A  
Indikatorfunktion oder charakteristische Funktion der Menge A.
Unscharfe Optimierung
Unscharfe Menge
zur Modellierung der Unschärfe
~
A ist eine unscharfe Teilmenge von X, wenn die Zugehörigkeit der Elemente x von
~
X zu A durch eine Zugehörigkeitsfunktion  A~ ( x) charakterisiert wird.
Die Werte der Zugehörigkeitsfunktion liegen im Intervall [0,1].
Beispiel:
~
~
 A~ ( x ) =0 wenn x  A
,  A~ ( x) =1 wenn x  A vollständig,
~
 A~ ( x) =0,8 wenn x  A
mit einem der Zahl 0,8
entsprechenden Zugehörigkeitsgrad.
Definition.
Ist X eine Menge (von Objekten, die hinsichtlich einer unscharfen Aussage zu
bewerten sind), so heißt
~
A :  x,  A~ ( x) : x  X .
eine unscharfe Menge auf X.
 A~ ( x) wird Zugehörigkeitsfunktion genannt und ist eine reellwertige Funktion,
 A~ ( x)  [0; 1] , x X .
Unscharfe Optimierung
Unscharfe Menge
zur Modellierung der Unschärfe
Beispiel: (Modellierung unscharfer Begriffe)
Unscharfe Begriffe in der Umgangssprache:
”groß“, ”klein“, ”schnell“, ”reich“, ”schön“, ”warm“, ”kalt“, ”heiß“ usw.
Kontext beachten!
Beispiel:
Betrachten den unscharfen Begriff ”klein“ mit Bezug auf Kosten.
Grundmenge: X = {10, 20, 50, 100, 150, 200, 400, 700, 1000}.
„Kleine“ Kosten: {(10; 1), (20; 0,97), (50; 0,85), (100; 0,75), (150; 0,7),
(200; 0,6), (400; 0,5), (700; 0,25), (1000; 0,1)}.
Unscharfe Optimierung
Unscharfe Menge
zur Modellierung der Unschärfe
Beispiel:
Abb. A): Menge A - die Menge der günstigen Preise für ein Paar Schuhe.
Dann stellt 49,98 EURO noch einen günstigen Preis dar, dagegen würde ein um 3
Cent höherer Preis von 50,01 EURO nicht mehr als günstig angesehen werden.
Abb. B): Darstellung der unscharfen Menge der günstigen Preise für ein Paar
Schuhe.
Die Gleichung  (x) = 0,7 besagt, dass der Wert x=23 mit dem Zugehörigkeitsgrad
=0,7 als günstiger Preis angesehen wird.
 (x)
 (x)
A
1
Abb. A)
25
~
A
1
50
x
25
50
x
Abb. B)
Unscharfe Optimierung
Unscharfe Mengen
Unscharfe Mengen werden durch Zugehörigkeitsfunktionen (ZGF) repräsentiert.
Die Art der Darstellung ist von Grundmenge X abhängig
X hat endlich viele Elemente
Besitzt X sehr viele Elemente
oder ist X ein Kontinuum,
z.B. kontinuierliche Messgrößen

parametrische Darstellung von ZGF

diskrete Darstellung von ZGF
 (x )
1
0,9
0,7
0,6
0,4
0,3
1 3 4
7
9
12
x
Unscharfe Optimierung
Unscharfe Mengen
Operationen
~
A
~
und B seien zwei unscharfe Teilmengen der Grundmenge X:
~
~
A  X , B  X.
Grundmenge X :
Enthaltensein A~  X:
Komplement:
Schnittmenge:
Vereinigung:
 X ( x)  1
 A~ ( x)   X ( x)
 A~ ( x)  1   A~ ( x)
 A~ B~ ( x)  min (  A~ ( x),  B~ ( x))
 A~B~ ( x)  max (  A~ ( x),  B~ ( x))
 A~B~ ( x)   A~ ( x)   B~ ( x)





Algebraisches Produkt:
Algebraische Summe:
 A~ ˆ B~ ( x)   A~ ( x)   B~ ( x)   A~ ( x)   B~ ( x)
Differenz:
 A~ \ B~ ( x)   A~B~ ( x)
Disjunkte Summe:
 A~ B~ ( x)   ( A~ B~ )  ( A~ B~ ) ( x)
x X .
Unscharfe Optimierung
Klassifizierung der unscharfen
Optimierungsprobleme
Unscharfe
Optimierungsprobleme
Unscharfe Modelle
Unscharfe
Graphen
Unscharfe
Relationen
Modelle mit
unscharfen Daten
Unscharfe Optimierung
Optimierungsmodelle mit unscharfen Daten
Optimierungsmodelle
Unscharfe
Diskrete
Optimierungsmodelle
Unscharfe
Lineare
Optimierungsmodelle
Unscharfe
Nichtlineare
Optimierungsmodelle
Unscharfe
Parametrische
OptimierungsUnscharfe modelle
Dynamische
Optimierungsmodelle
Unscharfe
Entscheidungen
Entscheidungen mit
mehreren Zielen
Entscheidungen mit
mehreren Attributen
Unscharfe Optimierung
Unscharfe Graphen
Es gibt zwei Typen von unscharfen Graphen.
Definition 1
~
~
Ein unscharfer ungerichteter Graph des ersten Typs G  (V , E ) besteht aus
zwei Mengen:
V ist eine nichtleere scharfe Menge von Knoten, V  {vi } , iI = {1,2,...,n};
~
E  {(  E (vk , v j ) /( vk , v j )) : vk , v j V } ist eine unscharfe Menge von Kanten,
wobei vk , v j V und  E (vk , v j ) - der Wert der Zugehörigkeitsfunktion  E
für die Kante (vk , v j ) , k , j  1,..., n .
Beispiel 1
v1
0,2
0,9
1
v2
0,1
v5
0,5
0,4
0,3
v3
v4
0,7
~
~
G  (V , E ) ,
V  {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 },
~
E  {( 0,9 /( v1 , v2 )), (0,5 /( v2 , v3 )),
(0,7 /( v3 , v3 )), (0,3 /( v2 , v4 )),
(0,1 /( v2 , v5 )), (1 /( v1 , v4 )),
(0,4 /( v4 , v5 )), (0,2 /( v5 , v5 ))}.
Unscharfe Optimierung
Unscharfe Graphen des ersten Typs
Definition 2
~
~
G

V
,
E
Ein unscharfer gerichteter Graph des ersten Typs
besteht aus zwei
Mengen: V ist eine scharfe Menge von Knoten, V  {vi } , iI = {1,2,...,n};
~
E  {(  E ( vk , v j ) / vk , v j ) : vk , v j  V } ist eine unscharfe Menge von Kanten
oder Pfeilen, wobei
und  E ( vk , v j ) ist der Wert der
vk , v j V  V
Zugehörigkeit der gerichteten Kante
vk , v j
zur unscharfen Menge der
~
gerichteten Kanten (Pfeilen) E .
Beispiel 2
0,1
~
~
G  V,E
v1
0,9
V  {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } ,
0,4
v2
0,7
v5
(1 / v 4 , v3 ), (0,6 / v 4 , v5 ),
1
v4
~
E  {( 0,4 / v1 , v 2 ), (0,8 / v3 , v 4 ),
(0,7 / v 2 , v5 ), (0,5 / v1 , v3 ),
0,5
0,6
,
0,8
v3
(0,1 / v5 , v5 ), (0,9 / v5 , v1 )}.
Unscharfe Optimierung
Die Mengen der Nachbarn, Vorgänger und
Nachfolger in unscharfen Graphen
~
~
G

(
V
,
E
) eine Kante
Gibt es in einem ungerichteten unscharfen Graphen
( vk , v j ), so heißen vk Nachbar von v j und v j Nachbar von vk .
~
N (vk ) - die Menge der Nachbarn eines Knotens vk .
~
~
Gibt es in einem gerichteten unscharfen Graphen G  V , E
vk , v j
einen Pfeil
, dann heißen vk Vorgänger von v j und v j Nachfolger von vk .
~
P (vk ) - die Menge der Vorgänger eines Knotens vk ;
~
S (vk ) - die Menge der Nachfolger von vk .
~
~
~
Die Mengen N (vk ) , P (vk ) und S (vk ) sind unscharf.
Unscharfe Optimierung
Die Mengen der Nachfolger
in unscharfen Graphen
Beispiel
~
~
E
,
V

G
Wir definieren den gerichteten unscharfen Graph
~
~
Beispiel 2 in folgender Form: G  (V , S ) :
v1
V  {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 },
~
S (v1 )  {( 0,4 / v2 ), (0,5 / v3 )} ;
~
S (v2 )  {( 0,7 / v5 )} ;
~
S (v3 )  {( 0,8 / v4 )} ;
~
S (v4 )  {(1/ v3 ), (0,6 / v5 )} ;
~
S (v5 )  {( 0,9 / v1 ), (0,1/ v5 )} .
0,1
0,9
0,4
v2
0,7
v5
0,5
0,6
1
v4
0,8
v3
aus dem
Unscharfe Optimierung
Matrixform der unscharfen Graphen
Sei V  {v1 ,..., vn } die Knotenmenge des unscharfen Graphen (Digraphen).
~
~
Dann heißt die dem unscharfen Graphen des ersten Typs G  (V , E ) zugeordnete
~
U
(
G
n×n Matrix V )  ukj
mit den Elementen u kj   E (vk , v j ) , k , j  1,..., n
nn
~
Adjazenzmatrix von G .
~
~
G

V
,
E
Für einen unscharfen gerichteten Graph
~
U V G  u kj
nn
wird eine Adjazenzmatrix
mit u kj   E vk , v j , k , j  1,..., n gebildet.
Beispiel 3
v1
v1
~
UV (G) 
v2
v3
v4
v5
Ein
0
0,9
0
1
0
unscharfer
v2
v3
v4
v1
v5
0,9 0 1 0
0 0,5 0,3 0,1
0,5 0,7 0 0
0,3 0 0 0,4
0,1 0 0,4 0,2
ungerichteter
v1
~
UV G 
v2
v3
v4
v5
Graph
hat
v2
v3
v4
v5
0 0,4 0,5 0 0
0 0 0 0 0,7
0 0 0 0,8 0
0 0 1 0 0,6
0,9 0 0 0 0,1
immer eine symmetrische
Adjazenzmatrix. D.h.  k , j  1,..., n gilt:  E (vk , v j ) =  E (v j , vk ) .
Unscharfe Optimierung
Unscharfe Graphen des zweiten Typs
~
A ist eine Grundmenge. Gegeben ist eine unscharfe Menge V in A,
~
V
wobei  {(  A (v) / v)} , v A .
Definition 3
~
~ ~
Ein Graph G  (V , E ) ist ein unscharfer ungerichteter Graph des zweiten
Typs, wenn
~
~
~
 n und
V
)}
v
/
)
v
(

{(

V
V eine unscharfe Menge von Knoten ist:
, v A ,
A
~
E  {(  E (vk , v j ) /( vk , v j )} ist eine unscharfe Menge von Kanten, wobei
~
vk , v j  V , k , j  1,..., n . Hier V heißt Träger der Menge V .
~
V ist die Mächtigkeit oder Kardinalität.
Als Träger V bezeichnet man den Bereich der Grundmenge A, dem eine
Zugehörigkeit μV>0 zugeordnet ist.
Unscharfe Optimierung
Unscharfe Graphen des zweiten Typs
~
A ist eine Grundmenge. Gegeben ist eine unscharfe Menge V in A,
~
V
wobei  {(  A (v) / v)} , v A .
Definition 4
~
~ ~
Ein Graph G  V , E ist ein unscharfer gerichteter Graph des zweiten Typs,
wenn
~
~
~
V eine unscharfe Menge von Knoten ist: V  {(  A (v) / v)} , v A , V  n
~
E
 {(  E vk , v j / vk , v j } ist eine unscharfe Menge von gerichteten
und
Kanten (Pfeilen), wobei vk , v j V , k , j  1,..., n und V ist der Träger der
~
V
Menge .
Unscharfe Optimierung
Unscharfe Graphen des zweiten Typs
Beispiel 4
~
~
~ ~
G  (V , E ) , V  {(1/ v1 ), (0,7 / v2 ), (0,2 / v3 ), (0,4 / v4 ), (0,8 / v5 )} ,
~
E  {( 0,6 /( v1 , v3 )), (0,8 /( v1 , v5 )), (0,7 /( v2 , v3 )), (0,3 /( v2 , v4 )), (0,9 /( v3 , v4 )), (0,1/( v3 , v5 )),
(0,4 /( v4 , v4 )), (0,5 /( v5 , v2 ))}.
Beispiel 5
~
~ ~
~
G  V , E , V  {( 0,2 / v1 ), (0,6 / v2 ), (0,9 / v3 ), (0,5 / v4 ), (0,7 / v5 )} ,
~
E  {( 0,6 / v1 , v2 ), (0,3 / v2 , v3 ), (0,9 / v2 , v5 ), (0,5 / v3 , v3 ), (0,8 / v3 , v4 ),
(0,4 / v3 , v5 ), (0,2 / v5 , v5 ), (1 / v5 , v1 )}.
1
0,2 v1
v1
0,8
0,6
0,8
v5
0,7
0,5
v2
0,1
0,7
0,4
v4
0,4
0,3
0,9
1
0,2
v3
0,2
0,6
0,6
0,9
v5
0,7
v2
0,4
0,3
0,5
v4
0,9
v3
0,8
0,5
Unscharfe Optimierung
Transformation der unscharfen Graphen
Unscharfer
gerichteter Graph
des zweiten Typs
~ ~ ~
G  V,E

Unscharfer
gerichteter Graph
des ersten Typs
~
~
G'  V , E '
gekoppelte Graphen
~
V
In diesem Fall ist V der Träger der Menge
und die unscharfe Menge von
~
gerichteten Pfeilen E ' ist die folgende:
~
E '  {(  E ' ( vk , v j ) / vk , v j ) : vk , v j  V } , wobei vk , v j  V  V und die Funktion
 E ' ( vk , v j )   E ( vk , v j ) & V (vk ) & V (v j ) .
Mit minimax Operation:
 E ' ( vk , v j )  min (  E ( vk , v j ), V (vk ), V (v j )) .
Mit Wahrscheinlichkeitsrechnung:
 E ' ( v k , v j )   E ( v k , v j )  V ( v k )  V ( v j ) .
Unscharfe Optimierung
Eingangs- und Ausgangsgrad
eines Knotens in unscharfen Graphen
Die Anzahl der Nachbarn eines Knotens v i eines Graphen heißt
Grad  (vi ) von v i .
Die Anzahl der Nachfolger eines Knotens v i eines gerichteten

Graphen heißt positiver Grad oder Ausgangsgrad  (vi ) von v i .
Die Anzahl der Vorgänger eines Knotens v i heißt negativer Grad

oder Eingangsgrad  (vi ) :
 (vi )  N (vi ) ;
  (vi )  S (vi ) ;
  (vi )  P(vi ) .
~
Hier, N (vi ) ist der Träger der unscharfen Menge N (vi ) der Nachbarn
des Knotens v i .
S (vi ) und P (vi ) sind entsprechend die Träger der unscharfen
~
~
P
S
(
v
)
Menge
der Nachfolger und der Menge (vk ) der Vorgänger
i
des Knotens v i .
Unscharfe Optimierung
Numerische Charakteristiken der Knoten
der unscharfen Graphen
Konjunktiver Eingangsgrad des
Knotens vi :
 & (vi )  &
 E (v j , vi )
Konjunktiver Ausgangsgrad des
Knotens vi :
 & (vi )  &
 E (vi , v j )
Disjunktiver Eingangsgrad des
Knotens vi :
  (vi )  
 E (v j , vi )
Disjunktiver Ausgangsgrad des
Knotens vi :
  (vi )  
 E (vi , v j )
v j P ( vi )
v jS ( vi )
v j P ( vi )
v j S ( vi )
Mittelwert des Eingangsgrads
des Knotens vi :
 av (vi ) 
1
P(vi )
Mittelwert des Ausgangsgrads
des Knotens vi :
 av (vi ) 
1
S (vi )

 E (v j , vi )

 E (vi , v j )
v j P ( vi )
v j S ( vi )
Unscharfe Optimierung
Unscharfe Teilgraphen
Definition 6
~
~
Ein unscharfer Graph H  (V ' , E ' ) heißt Teilgraph des Graphen
~
~
G  (V , E ) ,
wenn
V ' V
und
~ ~
E' E ,
wobei
~
E '  {(  E ' (vl , vs ) /(vl , vs )) : vl , vs V '} und  E ' (vl , vs )   E (vl , vs )
 vl , vs V ' .
Definition 7
Ist V '  V , so hat der durch V ' induzierte Teilgraph
~
~
~
~
H  (V ' , E ' ) von G  (V , E ) die Knotenmenge V ' und enthält
~
genau alle Kanten (vl , vs ) von G mit vl , vs V ' , wobei
~
E '  {(  E ' (vl , vs ) /(vl , vs )) : vl , vs V '} und  E ' (vl , vs )   E (vl , vs ) ,
 vl , vs V ' .
Unscharfe Optimierung
Unscharfe Teilgraphen
~
~
G  (V , E )
Beispiel 6
v1
0,4
v2
0,7
v3
0,5
0,9
v4
0,8
v5
0,1
0,6
0,3
~
H2
~
H1
v3
v1
v4
0,8
0,9
0,1
0,6
~
H1
v5
0,3
und
~
H2
sind induzierte unscharfe
~
~
Teilgraphen von G  (V , E )
Unscharfe Optimierung
Unscharfe Teilgraphen
Beispiel 7
~
~
G  (V , E )
v1
v2
0,7
0,4
v3
0,5
v4
0,8
0,9
0,1
0,6
0,3
v1
v2
0,6
0,3
v5
~
H3
0,5
v3
v4
0,8
v5
0,2
0,3
~
~
~
H 3 ist ein unscharfer Teilgraph von G  (V , E )
Unscharfe Optimierung
Unscharfes Enthaltsein und unscharfe
Gleichheit von unscharfen Graphen
~
~
G
G
Der Grad des Enthaltenseins des Graphen 1 im Graphen 2 wird
wie folgt definiert:
~ ~
 (G1 , G2 )  &
&
( 1 v ( y )   2 v ( y )) .
~ ~
 (G2 , G1 )  &
&
(  2 v ( y )  1 v ( y )) .
vV1 yV1 V2
Ein Wert
vV2 yV1 V2
~
~
G
G
heißt der Grad des Enthaltenseins des Graphen 2 im Graphen 1 .
Ein Wert
~ ~
~ ~
~ ~
 (G1 , G2 )   (G1 , G2 ) &  (G2 , G1 ) .
heißt der Grad der unscharfen Gleichheit von unscharfen Graphen
~
~
G1 und G2 .
Unscharfe Optimierung
Unscharfes Enthaltsein und unscharfe
Gleichheit von unscharfen Graphen
Beispiel 8
v1
~
G1
~
G2
0,3
0,6
0,5
v1
v3
v2
0,8
0,7
0,2
v3
v2
~ ~
 (G1 , G2 )  0,7

~ ~ ~
G1 
G2
~ ~
 (G2 , G1 )  0,8

~ ~ ~
G2  G1
~ ~
 (G1 , G2 )  0,7
~ ~ ~
G1  G2
Unscharfe Optimierung
Operationen von unscharfen Graphen
~
~
~
~
G

V
,
S
G

V
,
S
Es seien 1
und 2
unscharfe gerichtete Graphen.
2
2
1
1
Definition 8
Ein unscharfer Graph
~ ~
~
G1  G2  V1  V2 , S
~
~
~
~
wird die Vereinigung von G1  V1 , S1 und G2  V2 , S 2 genannt, wobei
~
~
~
(v  V1  V2 ) ist ( S  (v)  S1 (v)  S 2 (v)) .
Definition 9
Ein unscharfer Graph
~ ~
~
G1  G2  V1  V2 , S
~
~
~
~
G

V
,
S
G

V
,
S
wird der Durchschnitt von 1
und 2
genannt, wobei
1
1
2
2
~
~
~
(v  V1  V2 ) ist ( S  (v)  S1 (v)  S 2 (v)) .
Unscharfe Optimierung
Operationen von unscharfen Graphen
Definition 10
Ein unscharfer Graph
~
~
G1  V1 S1
~
~
G

V
,
S
wird das Komplement von 1
genannt, wobei
1
1
~
~
S1 (v)  V \ S1 .
Definition 11
Ein unscharfer Graph
~ ~
~
G1 \ G2  V1 \ V2 , S \
~
~
~
~
G

V
,
S
G

V
,
S
wird Differenz von 1
genannt, wobei
1
1 und
2
2
2
~
~
~
(v  V1 \ V2 ) ist ( S \ (v)  S1 (v)  S 2 (v)) .
Unscharfe Optimierung
Operationen von unscharfen Graphen
Definition 12
Ein unscharfer Graph
~
~
~
G1  G2 : V1  V2 , S 
~
~
~
~
G

V
,
S
G

V
,
S
wird disjunkte Summe von 1
und 2
2
2
1
1
wobei

genannt,

~
~
~
~
~
(v  V1  V2 ) ist S  (v)  ( S1 (v)  S 2 (v))  ( S1 (v)  S 2 (v)) .
Unscharfe Optimierung
Operationen von unscharfen Graphen
1
v1
v3
0,6
0,3
0,8
v1
0,9
v3
1
0,3
0,4
0,2
v4
v2
0,5
0,8
0,7
0,4
0,2
v2
v4
0,8
0,2
v1
v5
0,3
0,3
v4
0,5
v2
0,8
0,2
~
~
G1  G2
0,8
v2
v5
0,6
0,3
0,6
0,8
v4
0,7
0,8
0,9
0,6
0,4
v5
v1
0,8
1
1
v1
0,2
~ ~
G1 \ G2
~
G2
v3
0,3
~
G1
1
v3
0,6
0,6
0,7
v2
~ ~
G1  G2
~ ~
G1  G2
~
G1
1
0,6
1
0,8
v3
1
0,3
1
1
v4
0,5
Unscharfe Optimierung
Operationen von unscharfen Graphen
Definition 13
~
~
~
G

V
,
S
G
Ein unscharfer Graph  heißt das Produkt von Graphen 1
1
1
~
~
~
G2  V2 , S 2 . G wird definiert als
und
~
~ ~
~
G  G1  G2  V1  V2 , S ,
wobei V1 V2 kartesisches Produkt der Mengen von Knoten V1 und V2 ist;
~ ~ ~
S  S1  S 2 .
Dabei wenn
und


~
(vi V1 ) ist S1 (vi )  {( 1 (vk ) / vk ) | vk V1}


~
(y j V2 ) ist S 2 ( y j )  {(  2 ( y j ) / y j ) | y j V2 } ,
dann


~
((vi , y j ) V1 V2 ) ist S (vi , y j )  {(  (vi , y j ) /(vi , y j )) | (vi , y j ) V1 V2 } ,
wobei
  (vi , y j )  min{ 1 (vi ),  2 ( y j )} .
Unscharfe Optimierung
Operationen von unscharfen Graphen
Beispiel
~
G2
~
G1
v1
0,6
v2
y1
1
y2
0,8
~
~ ~
G

G
Kartesisches Produkt 
1  G2 :
(v1 , y2 )
0,8
0,6
(v1 , y1 )
0,6
(v2 , y2 )
0,7
(v1 , y3 )
(v 2 , y 3 )
0,7
y3
Unscharfe Optimierung
Operationen von unscharfen Graphen
Definition 14
Ein unscharfer Graph
~
~ ~
~
G  G1  G2  (V1  V2 , S  )
~
~
G
G
wird Summe von unscharfen Graphen 1 und 2 genannt, wobei
V1 V2 kartesisches Produkt der Mengen von Knoten V1 und V2 ist,
und
~
~
~
((vi , y j ) V1 V2 ) ist S  (vi , y j )  ( S1 (vi ) { y j })  ({vi } S 2 ( y j )) .

Beispiel
v1

~
~ ~
G  G1  G2
~
G1
0,6
(v1 , y2 )
v2
1
(v2 , y1 )
0,6
~
G2
1
0,6
(v2 , y2 )
0,8
y1
0,8
y2
0,7
y3
1
0,7
(v1 , y3 )
0,7
(v1 , y1 )
0,6
0,8
(v 2 , y 3 )
0,8