Abituraufgabe - Mathematik und ihre Didaktik
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Testen von
Hypothesen
Julia Antoniuk
Jessica Gottschalk
Susana de Miguel
Die beiliegende Aufgabe wurde in Mecklenburg-Vorpommern
als Beispielaufgabe für das Abitur 2008 für einen Leistungskurs
veröffentlicht.
1.
Lösen Sie die Aufgabenteile 3.3 und 3.4 unter Verwendung des
Ergebnisses der Teilaufgabe 3.2 vollständig. Diskutieren Sie die
Formulierung von Aufgabenteil 3.4 kritisch.
2.
a) Entwerfen Sie einen Erwartungshorizont zur Bewertung der
Schülerleistungen für diese beiden Teilaufgaben. Verteilen Sie
insgesamt 20 Punkte und ordnen Sie die erwarteten Leistungen
den Anforderungsbereichen I bis III zu.
b) Worin sehen Sie die größten Schwierigkeiten dieser
Aufgabe?
c) Mit welchen Schülerfehlern rechnen Sie?
Lösung 3.1:
a) P(" Zahl endet mit 111" ) P("3 - mal Erfolg mit pErfolg 0,7" ) (0,7)3
b) P(" Zahl ist größer als 6661666" ) P(" Zahl beginnt mit 6666" )
P("4 - mal Erfolg mit pErfolg 0,3" ) (0,3) 4
Mögliche Fehler:
a)
b)
Sch. erkennen nicht, dass die ersten vier Ziffern keine Rolle
spielen und versuchen mit allen Ziffern zu rechnen.
Sch. erkennen nicht, dass die Zahlen, bei denen die ersten vier
Ziffern 6 sind, größer als 6 661 666 sind.
Sch. erkennen nicht, dass nur die ersten vier Ziffern eine Rolle
spielen.
Lösung 3.2:
Das kann als Bernoulli-Kette interpretiert werden.
P (Gewinnlos )
P (" mehr als 3 - mal Erfolg mit pErfolg 0,3 und 7 Versuchen" ) ... 0,126
Mögliche Fehler:
•
Sch. erkennen nicht, dass die Anzahl der Sechsen k { 4 ,5,6 ,7 } ,
aber nicht k { 3 ,4 ,5,6 ,7 }
•
Sch. interpretieren das Spiel nicht als Bernouli-Kette.
Lösung 3.3:
Hypothese { " Anzahl der Gewinnlose ok" }
{ " Wahrschein lichkeit für Gewinnlos 0,126 }
Ablehnungsbereich
{ " mehr als k Gewinnlose unter den 200 untersucht en Losen" }
1
P ( " Fehler 1. Art" )
10
Fehler 1. Art = Ablehnen, obwohl die Hypothese richtig ist.
1
P ( " Fehler 1. Art" ) P ( " Ablehnung mit pGewinn 0,126" )
10
P ( " mehr als k - mal Erfolg bei 200 Versuchen und pErfolg 0,126" )
X Anzahl Gewinnlose
Erwartungs wert : E ( X ) n p 200 0 ,126 25,2
Nach Tabelle gilt dies für k = 31
Mögliche Fehler:
•
•
Sch. erkennen nicht, dass es sich hier um Fehler 1.Art handelt.
Sch. verwechseln die Wahrscheinlichkeiten 0,1 und 0,126.
Aufgabenstellung 3.4:
Formulierung ist schwer verständlich
Besser:
Angenommen der Automat gibt Gewinnlose mit einer
Wahrscheinlichkeit p=0,15 aus. Nutzen Sie die Entscheidungsregel
aus 3.3, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass dieser
Fehler nicht erkannt wird.
Oder :
Berechnen Sie den Fehler 2. Art, falls die tatsächliche
Gewinnwahrscheinlichkeit p=0,15 ist (unter der
Entscheidungsregel aus 3.3).
Lösung 3.4:
Bernoulli-Kette
Anzahl überprüfte Lose
Neue Gewinnwahrscheinlichkeit
n=200
p=0.15
X= Anzahl Gewinnlose
E(X)=n·p=200·0,15=30
Berechnung des Erwartungswerts
Wahrscheinlichkeit, dass fehlerhafte Gewinnwahrscheinlichkeit nicht
erkannt wird (Fehler 2. Art) mit Entscheidungsregel aus 3.3
(„0 bis 31 Treffer“ bilden Annahmebereich) :
aufsummierte Wahrscheinlichkeit (s.Tabelle)
62.47%
Aufsummierte Wahrscheinlichkeiten für p=0.15 und n=200
k
28
29
30
P( X k ) 0.3914 0.4697 0.5485
31
32
33
34
0.6247
0.6958
0.7596
0.8150
Beurteilung des Tests
Anzahlen im Bereich des Erwartungswerts (z.B. 29, 30, 31)
sind wahrscheinlich.
Entscheidungsregel aus 3.3
(„0 bis 31 Treffer“ bilden Annahmebereich)
Werte liegen alle im Annahmebereich
Bei Ausgabe von fehlerhaften Gewinnlosen, deren
Wahrscheinlichkeit sich nur geringfügig von der angestrebten
Wahrscheinlichkeit unterscheidet, ist die gewählte
Entscheidungsregel nicht geeignet.
Verbesserung des Testergebnis durch Erhöhung der Anzahl der
geprüften Lose
Mögliche Fehler:
•
•
Sch. verwechseln Fehler 1. Art und Fehler 2. Art.
Sch. verwenden die Irrtumswahrscheinlichkeit von 10% aus dem
Aufgabeteil 3.3.
Lösung 3.5:
Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „Sonderlos“:
Modell: Bernoulli-Kette.
n 4; p 0,7; k 2
4
P( Sonderlos ) 0,7 2 0,32 0,2646 26,5%
2
Mögliche Fehler:
•
Sch. erkennen nicht, dass nur die ersten vier Ziffern eine Rolle
spielen.
Lösung 3.6:
Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „Gewinnlos und zugleich
Sonderlos“:
3
P(" Zwei _"6" _ auf _ den _ letzten _ drei _ Stellen" ) 0,32 0,7 0,189 18,9%
2
3
P(" Drei _"6" _ auf _ den _ letzten _ drei _ Stellen" ) 0,33 0,7 0 0,027 2,7%
3
P(" Gewinlos _ und _ zugleich _ Sonderlos" ) 0,265 0,216 0,05724 5,7%
Mögliche Fehler:
•
•
Sch. denken, dass es sich hier um bedingte Wahrscheinlichkeiten
handelt und lösen die Aufgabe dementsprechend.
Sch. vergessen eine der beiden Möglichkeiten (dass die „6“ zwei
oder drei mal auf den letzten 3 Stellen auftreten darf)
Erwartungshorizont zur Bewertung
Aufgabe BE
3.1
1
1
3.2
1
1
1
3.3
1
1
1
1
1
Summe 10
Anforderung
P („Zahl endet mit 111“) berechnen
P („Zahl ist größer als 6661666“) berechnen
Modell festlegen
Modellparameter bestimmen
P („Gewinnlos“) berechnen
Modell festlegen
Annahmebereich bestimmen
Erwartungswert berechnen
kritischen Wert mit Tabelle bestimmen
Formulierung der Entscheidungsregel
Erwartungshorizont zur Bewertung
Aufgabe BE Anforderung
3.4
1 Modell festlegen
1 Erwartungswert berechnen
1 Fehler 2. Art mit Tabelle bestimmen
1 Beurteilung des Test
1 Verbesserungsvorschlag für den Test
3.5
1 Modell festlegen
1 P („Sonderlos“) berechnen
3.6
1 Zwischenwerte berechnen
P(„2-mal 6“); P(„3-mal 6“)
1 Berechnung unter Verwendung der Summenregel
1 Berechnung unter Verwendung des
Multiplikationssatz
Summe 10
Summe insgesamt: 20 BE
Zuordnung der Anforderungsbereiche I-III
3.1
I
3.2
II
3.3
II
3.4
II+III
3.5
3.6
I
II
Reproduktion: Anwendung von
Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm
Zusammenhang herstellen: Spiel mit Gewinnlos als
Bernoullikette erkennen
Zusammenhang herstellen: Versuch kann als
Bernoullikette gesehen werden
Zusammenhang herstellen: Fehler 2. Art mit neuem
Modellparameter
Reflektion/ Interpretation des gewählten Test
Reproduktion: Anwendung Bernoullikette
Zusammenhang herstellen: 2-stufiges
Zufallsexperiment; Pfadwahrscheinlichkeiten
mit Bernoullikette berechnen
Worin sehen Sie die größten Schwierigkeiten dieser Aufgabe?
1.
2.
3.
4.
Bei Aufgabe 3.1 kann es sein, dass die Schüler alle Ziffern
betrachten wollen.
Die gegebene Tabelle kann für Schüler schwierig zu verstehen
sein. (Tabelle unklar, man muss erraten, dass hier die
Binomialverteilung gemeint ist.)
Die Hypothese und den Ablehnungsbereich richtig festlegen.
Aufgabe 3.4 ist sehr schwer verständlich (siehe oben).
