Ausgleichungsrechnung I
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Datenanalyse und deskriptive Statistik • • • • Einleitung Explorative Datenanalyse Kennwerte statistischer Verteilungen Statistik in der Messtechnik Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Einleitung Statistik: Zweig der angewandten Mathematik zerfällt in – Deskriptive Statistik: Beschreibt Datenmengen – Induktive Statistik: Schließt von kleinem Ausschnitt auf das Ganze (siehe Kapitel 8 ) Ziel: Verständnis der statistischen Konzepte Vorgangsweise: Empirische Betrachtung anhand geodätischer Messungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Aufgaben der deskriptiven Statistik Wir beschreiben die ‚Wirklichkeit‘ oft mit Zahlen, z.B. – Jahresbilanz eines Unternehmens – Verhältnis Waldflächen – Gesamtfläche eines Landes –… Mit deskriptiver Statistik stellen wir die Zahlen zusammen Aussagen über Struktur und Gesetzmäßigkeiten Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel 1 Distanz mehrfach mit einem Maßband d [m] gemessen 1 5,24 Was können wir herauslesen? 2 5,28 Häufigkeit der Einzelwerte 3 5,22 Minimum/Maximum 4 5,23 Lücke? 5 5,24 Bessere Ergebnisse bei mehr Messungen? Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel 1 Fortsetzung 80 Messungen Minimum ist kleiner geworden Lücke schmaler Problem bleibt: welchen Wert verwenden wir zum Rechen? Aus der Praxis möglicherweise bekannt: Mittelwert Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel 2 Strecke mit 3 Geräten gemessen Charakterisierender Wert? Mittelwert 574,751 m Ausreißer? Messreihe x DI1600 3mm+2ppm Messreihe y DI2002 1mm+1ppm Messreihe z ME5000 0,2mm+0,2ppm 574,775 574,772 574,775 574,777 574,777 574,775 574,773 574,777 574,776 574,770 574,173 574,775 574,775 574,774 574,775 574,772 574,773 574,774 574,776 574,774 574,776 574,776 574,773 574,779 574,774 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Skalenniveaus • • • • • Nominalskala: Identität kategorisch Ordinalskala: Ordnungsrelation Intervallskala: Differenzen metrisch Rationalskala: Quotienten Absolutskala: natürliche Maßeinheit repräsentieren physikalische Größen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Nominalskala Werte dienen nur zur Benennung z.B. Beruf, Geschlecht, Blutgruppe Erfüllt sind folgende Bedingungen – Reflexivität: a = a – Symmetrie: a = b b = a – Transitivität: a = b b = c a = c Sortieren nicht erlaubt! Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Ordinalskala Reihung der Werte z.B. Resultat eines Wettbewerbs, militärischer Rang, akademischer Grad Keine Aussage über die Abstände der Klassen Erfüllt sind folgende Bedingungen – Konnexivität: es gilt immer a > b oder a < b oder a = b – Transitivität: a > b b > c a > c Spezialfall: Rangskala – jeder Wert genau einmal vertreten Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Intervallskala Differenzen von Werten sind vergleichbar Aber: Kein absoluter Nullpunkt, Verhältnisse sind also nicht sinnvoll z.B. Temperatur in Grad Celsius, geogr. Länge Zusätzliche Operationen: Addition, Subtraktion Mittelbildung möglich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Verhältnis-/Rationalskala Besitzt absoluten Nullpunkt z.B. Temperatur in Kelvin, Distanz zwischen zwei Punkten Multiplikation und Division möglich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Absolutskala Entspricht einer Rationalskala, aber: Es gibt eine natürliche Maßeinheit Maßeinheit meist: Stück (im weitesten Sinne) z.B. Anzahl der Teilnehmer Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Skalenniveaus in Vermessung und Geoinformation Vermessung: i.A. metrische Daten (also Intervall- oder Rationalskala) GIS: Metrische Daten möglich (z.B. Straßenbreite, Lichtintensität einzelner Bildpunkte) Oft aber auch kategorische Daten (Bodenbedeckung, Eigentümer, …) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Methoden der explorativen Datenanalyse Ausgangspunkt: Ungefähre Vorstellung, wie unsere Datenmenge aussehen sollte (stochastisches Modell) Daten, die nicht ins Modell passen, sollen eliminiert werden: Ausreißer Im Beispiel 2: Messwert 574,173m (Messfehler, Schreibfehler???) Nachträgliches Ändern von Daten problematisch Eliminieren Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Erster Schritt Überblick verschaffen Urliste muss also anschaulich dargestellt werden 2 Möglichkeiten – Tabellarische Darstellung – Grafische Darstellung Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Tabellarische Darstellung Einteilung der Daten in Klassen Zu jeder Klasse werden Häufigkeiten angegeben (wie viele Werte sind in der Klasse) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Klassenbildung Aufteilung des Wertebereiches in Teilbereiche (Klassen) – Vollständige Überdeckung des Wertebereiches Wenige Klassen: Übersichtlich aber großer Informationsverlust für n 25 5 Faustformeln: m n für 25 n 100 1 4,5 lg n für 100 n 6 m 20 m 10 lg n Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Klassengrenzen d xmax xmin m Klassenbreite: Bei offenen Klassen liegen die xmin und xmax in den offenen Klassen (erste und letzte Klasse) Arithmetischer Mittelwert der Klassengrenzen: Klassenmitte Oft nur mehr Klassenmitte und Häufigkeit gegeben Werte auf Klassengrenze fallen halb in jede Klasse Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Häufigkeitstabellen (1) Anzahl der Elemente pro Klasse Unterscheidung – absolut – relativ – Häufigkeit – Häufigkeitssumme Absolute Häufigkeit ki – Probe m ki n i 1 Absolute Häufigkeitssumme: Anzahl der Werte, die einen bestimmten Wert nicht übersteigen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Häufigkeitstabellen (2) ki Relative Häufigkeiten hi – Probe hi n m hi 1 i 1 Relative Häufigkeitssumme: Absolute Häufigkeitssumme dividiert durch Gesamtzahl der Beobachtungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Häufigkeitstabellen (3) I Klassengrenzen -mitte k K h H 1 - 574,7705 574,770 1 1 0,042 0,042 2 574,7705 574,7715 574,771 0 1 0 0,042 3 574,7715 574,7725 574,772 2 3 0,083 0,125 4 574,7725 574,7735 574,773 3 6 0,125 0,250 5 574,7735 574,7745 574,774 4 10 0,167 0,417 6 574,7745 574,7755 574,775 6 16 0,250 0,667 7 574,7755 574,7765 574,776 4 20 0,167 0,833 8 574,7765 574,7775 574,777 3 23 0,125 0,958 9 574,7775 574,7785 574,778 0 23 0 0,958 10 574,7785 + 574,779 1 24 0,042 1,000 Summe 24 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil 1 Darstellung als Funktion (empirische) Verteilungsfunktion Ordnet jedem Beobachtungswert die absolute (relative) Häufigkeit(ssumme) zu 0 für - x 574,7695 z.B. 1 K x 1 3 für für für 574,7695 x 574,7705 574,7705 x 574,7715 574,7715 x 574,7725 Die Sprungstellen lassen sich vermeiden Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Graphische Darstellungen • Histogramm • Kurvendarstellung • Stamm-und-Blatt-Plan Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Histogramm 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil 8 9 10 Kurvendarstellung Direkte Darstellung der Werte möglich, aber: Sortierung notwendig! sonst: anderes Ergebnis Entspricht: Häufigkeitssummenkurve Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Relative Häufigkeitssummenkurve 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 1 2 3 4 5 6 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil 7 8 9 10 Stamm-und-Blatt-Plan K [cm] 1 57477 0 1 K [cm] 57477 0 3 22 1 6 333 6 10 4444 16 4444555555 16 555555 23 6666777 20 6666 24 9 23 777 23 24 9 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil 22333 Kennwerte empirischer Häufigkeitsverteilungen (1) Häufigkeitsverteilung: Zusammenhang zwischen Beobachtungswerten und Häufigkeiten • Einzelnes Merkmal: univariate Verteilung • Zwei Merkmale: bivariate Verteilung • Sonst: multivariate Verteilung Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Kennwerte empirischer Häufigkeitsverteilungen (2) Kenngrößen charakterisieren – Lage – Streuung – Form Jeder Messwert hat Rangzahl (Ordnungsnummer in der Folge der Beobachtungen) Üblicherweise berechnet aus großen Beobachtungsreihen (n=10 absolutes Minimum, oft n>100) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Lagekennwerte (1) • • • • Minimaler/maximaler Wert n 1 x xi Arithmetisches Mittel n i 1 Geometrisches Mittel x x Quantile: Zerlegt die Datenmenge in zwei Bereiche – a-Quantil trennt a% der Daten ab (z.B. 0,1-Quantil oder 10%-Quantil) n 1 • Median: 0,5-Quantil – r1/ 2 2 auch: * n n i 1 i Perzentil Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Lagekennwerte (2) • Quartile: 0,25- und 0,75-Quantil r1/ 4 n 1 1 2 , 2 r3 / 4 n 1 1 2 n 2 • Modalwert: Am häufigsten vorkommender Wert Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Streuungskennwerte • Spannweiten – Spannweite – Quartilsspannweite • Empirische Varianz: D=xmax-xmin D0,25=x3/4-x1/4 n 1 xi x 2 s2 n 1 i 1 • Empirische Standardabweichung: s s 2 s • Empirischer Variationskoeffizient: vx 100 % x Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Zentrieren und Standardisieren • Zentrierter Beobachtungswert xi x • Standardisierter Beobachtungswert xi x s Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Form-Kennwerte • Schiefe: 3. Potenz der standardisierten 3 n Beobachtungswerte 1 1 xi x n i 1 s 3. standardisierte zentrale Moment4 n 1 xi x • Wölbung (Kurtosis): 2 n s i 1 4. standardisierte zentrale Moment 4 n 1 xi x • Exzess: 3 2 n Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil i 1 s Eigenschaften • Resistenz: Verhalten bei Ausreißern – Median hohe Resistenz, Mittelwert niedrige • Optimalitätseigenschaften: Lagekennwerte sollen die Datenmenge ‚optimal‘ repräsentieren n erfüllte Kriterien: xi x1/ 2 min i 1 bzw. n 2 xi x min i 1 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Statistische Begriffe in der Messtechnik (1) • Wahrer Wert: Tatsächlicher Wert des Merkmals (ist leider unbekannt, kann aber explizit vorgegeben sein – Winkelsumme) • Quasi-wahrer Wert: Hochgenaue Messung, deren Abweichung vom wahren Wert so gering ist, dass sie im vorliegenden Fall vernachlässigt werden kann (auch: richtiger Wert, Sollwert) • Erwartungswert: Mittelwert aller theoretisch möglichen Messwerte (Schätzwert: empirischer Mittelwert) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Statistische Begriffe in der Messtechnik (2) • Abweichung: Differenz Messgröße (Ist-Wert) – Bezugsgröße (Soll-Wert) • Wahre Abweichung: Bezugsgröße ist der wahre Wert Systematischer + zufälliger Anteil • Systematische Abweichungen: Mathematisches/physikalisches Modell nicht richtig • Zufällige Abweichungen: Nicht beherrschbare, nicht einseitig gerichtete Einflüsse (stochastische Einflüsse) • Grober Fehler: Irrtümer (durch Kontrollen eliminiert) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Deskriptive Statistik im Vermessungswesen Unterschied systematische – zufällige Abweichungen schafft Probleme Elimination zufälliger Abweichungen durch Mittelbildung Elimination systematischer Einflüsse durch – Messanordnung (z.B. 2 Fernrohrlagen, Nivellement aus der Mitte) – rechnerische Korrektur (z.B. atmosphärische Korrekturen, Prismenkonstante) Annahme im weiteren Verlauf der Vorlesung: Keine systematischen Einflüsse vorhanden Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Bekannter Erwartungswert Quasi-wahrer Wert m bekannt (z.B. Messung des Nullwinkels) Zufällige Abweichungen: ei = xi – m in Vektor e zusammengefasst Maß für die Streuung: (theoretische) Standardabweichung εT ε auch: mittlerer Fehler n (Statistik: empirisch) Erwartungswert bekannt, ich verbrauche also keine Messung um einen Erwartungswert zu bestimmen. Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Empirische Schätzung des Erwartungswertes n Schätzwert für den Erwartungswert: 1 x xi arithmetisches Mittel n i 1 Verbesserung vi x xi Empirische Standardabweichung T v v s n 1 negative Abweichung Diesmal n-1, da wir den Schätzwert für den Erwartungswert bestimmen müssen! Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Weitere Kennwerte • Arithmetisches Mittel der VerbesserungsAbsolutbeträge (durchschnittlicher Fehler) 1 t n n vi i 1 • Median der Verbesserungs-Absolutbeträge (wahrscheinlicher Fehler) r v 1 / 2 • Bei großem n gilt: s t 5 t bzw. r 2 s 2 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil 4 3 Weitere übliche Fehlermaße • Relativer Fehler: Standardabweichung in Relation zur Messgröße z.B. Strecke von 1km und =5mm 5 5 106 5mm / km 5 ppm m 1000000 • Helmert‘scher Punktlagefehler: Standardabweichung der Koordinaten bekannt: 2 2 mH s x s y Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Genauigkeit – Präzision Richtigkeit • Genauigkeit: Wie genau stimmen die Messdaten mit dem Bezugswert überein? Zusammengesetzt aus Präzision (innere G.) und Richtigkeit (äußere G.) • Präzision: Wie gut ist die Wiederholbarkeit der Messungen? • Richtigkeit: Wie gut stimmen Erwartungswert und wahrer Wert überein? Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Zusammenfassung • Datenmengen werden mit Kenngrößen charakterisiert • Darstellung erfolgt meist graphisch (Histogramm oder Häufigkeitssummenkurve) • Oft wird eine Klasseneinteilung vorgenommen • Physikalische Größen haben einen unbekannten ‚wahren Wert‘ • Die Abweichungen werden Fehler genannt (zufällig, systematisch, grob) • Zufällige Fehler auch Verbesserungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil
