Ausgleichungsrechnung I
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Bestimmung von Näherungskoordinaten • • • • Iterative Ausgleichung Herkömmliche Ansätze Direkter Ansatz Strategie für 3D-Netze Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Problemstellung • Bisher: Näherungskoordinaten Teil der Aufgabenstellung • Manuelle Aufbereitung: Zusätzlicher Aufwand vernachlässigbar, Netzbild von Bearbeiter verwendet um Koordinaten zu bestimmen • Automatische Bearbeitung der Ausgleichung erwünscht (automatischer Datenfluss) • Voraussetzung: Automatische Bestimmung von Näherungskoordinaten Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Voraussetzungen • Koordinatensystem definiert – entsprechende Anzahl an Koordinaten bzw. Punkten (näherungsweise) bekannt • Rohdaten aufbereitet – Korrekturen an die Beobachtungen angebracht (Achtung: Gauß-Krüger-Verzerrung ist abhängig von den y-Koordinaten) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Iterative Ausgleichung • Methode der kleinsten Quadrate: Benötigt lineare Verbesserungsgleichungen • Linearisierung durch Taylor-Reihe • Eindimensionaler Fall 2 1 f x 2 x2 2 X X X X X X 0 0 f f X0 x f X0 • Voraussetzungen: – Funktionsverlauf stetig – Näherungswerte hinreichend genau bekannt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Anwendung in der Vermessung • Stetiger Funktionsverlauf meist gegeben • Bestimmung von Näherungskoordinaten ist problematisch • Indiz für Güte der Näherungskoordinaten: Haupt- oder Schlussprobe Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Iterative Ausgleichung • Durchgeführt, wenn Differenzen in Hauptprobe größer als nach Rechenschärfe zu erwarten • Matrix A und Vektor w (l) neu bestimmt • Ergebnis der Ausgleichung als neue Näherungswerte verwendet, also 1. Iteration : X 0 X 1 X 0 x1 2. Iteration : X 01 X 1 X 2 X 1 x2 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Abbruchskriterium • Definiert für Ergebnis der Hauptprobe oder Parametervektor x • Beispiel: Norm von x kleiner als Grenzwert • Weiterer Ansatz: Wenn x annähernd Null, dann v=Ax-l=-l, Kriterium lTl-vTv ≤ e • Verfahren konvergiert jedoch nur, wenn Näherungswerte gut genug! Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Herkömmliche Ansätze • Höhennetze: Näherungswerte nicht relevant (lineare Gleichungen) • Lagenetze: Häufig angelehnt an manuelle Bestimmung (von bekannten Punkten mit Methoden der Punktbestimmung) • Problem: Wenn nicht möglich • Festpunkte A, B, Streckennetz Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Direkter Ansatz (1) • Nachteil herkömmlicher Methoden: nicht leicht programmierbar (unterschiedliche Algorithmen verschieden kombiniert) • Ideal: Lösung mit linearen Beobachtungsgleichungen, also lineare Beziehungen zwischen den Koordinaten X ij sij cos tij sij cosrij oi Yij sij sin tij sij sin rij oi Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Direkter Ansatz (2) • Abgeleitete Größen: Koordinatendifferenzen – als Beobachtungen eingeführt: X ij vxij X j 0 X i 0 Yij vyij Y j 0 Yi 0 • Bedingung: Orientierungen bekannt g • Es gilt: oi o j rij rji 200 • Orientierungen als Unbekannte rij vij oi o j 200 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil g Direkter Ansatz (3) • Für gut eingebundenen Punkt wird Orientierung gewählt (meist Null) • Alle anderen Orientierungen in Abhängigkeit von der gewählten Orientierung bestimmt • Somit Orientierung der x-Achse des lokalen Systems abhängig von diesem Punkt • Vorsicht: Grobe Fehler möglich Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Direkter Ansatz (4) • Für zusammenhängenden Teil jetzt Aufstellen von linearen Gleichungen für Koordinatendifferenzen möglich • Nicht bestimmte Punkte (Polarpunkt, VWS, RWS, BS) zusätzlich berechnet • Koordinaten im übergeordneten System mittels Transformation Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Strategie für 3D • Direkter Ansatz wie bei 2D nicht möglich (wäre numerisch nicht stabil) • Aufspalten in Lage- und Höhennetz aber stabil Getrennte Bestimmung der Näherungskoordinaten für Lage und Höhe • Wichtig: Bearbeitung der Messwerte (Raumstrecken in horizontale Strecken und Höhenunterschiede) • GPS-Punkte im gewünschten Datum – meist genau genug Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
