Zufallsvektor
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Zufallsvektoren • • • • Zufallsvektoren Funktionen eines Zufallsvektors Monte-Carlo-Methode Unscharfe Vektoren Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Begriffe Zufallsvektor: mehrdimensionale Zufallsvariable – ein Vektor, dessen Elemente Zufallsgrößen sind Zufallsvektor in der Vermessung: L Beobachtungsvektor l: Realisierung eines Zufallsvektors Elemente im Beobachtungsvektor: Messwerte Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Zufallsvektor • Hat einen Erwartungswert und einen wahren Wert • Hat wahre, systematische und zufällige Abweichungen • Besitzt eine Verteilungs- und Dichtefunktion wie bei Zufallsvariable aber b a mehrdimensional F ( a, b) P ( X a, Y b) f ( x, y)dx dy Dichtefunktion des Zufallsvektors Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Kovarianz ‚Gemeinsame‘ Streuung zweier Zufallsgrößen Cov( X ,Y ) XY E[( X E ( X ))(Y E (Y ))] 1 n n xi x yi y i 1 1 T εxε y n Bei unabhängigen Größen: Cov(X,Y)=0 Positive Kovarianz: Größen verhalten sich tendenziell eher gleich, sonst entgegengesetzt Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Kovarianzmatrix Varianzen und Kovarianzen eines Zufallsvektors 12 12 1n 21 22 2 n xx 2 n2 n n1 Auch: Varianz-Kovarianz-Matrix Auch aus empirisch abgeschätzten Kovarianzen, dann mit Cxx bezeichnet Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Korrelation Kovarianz abhängig von der Dimension der beiden beteiligten Größen Normierung durch Division durch Standardabweichungen: Korrelationskoeffizient (dimensionslos) r XY Cov( X , Y ) XY Var( X ) Var(Y ) X Y bzw. rxy -1 r (r) +1 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil s xy sx s y Woher kommt die Korrelation? Viele Einflüsse auf Messungen (Atmosphäre, Aufstellung, Schwerefeld,...) Einflüsse nicht vollständig erfasst Einflüsse wirken auf eine Gruppe von Beobachtungen in ähnlicher Weise Korrelation Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Arten der Korrelation mathematisch korrelierte Größen: Unabhängige Messgrößen, gemeinsames Berechnungsmodell physikalisch korrelierte Größen: Korrelierte Messgrößen gemischt korrelierte Größen: Korrelierte Messgrößen in gemeinsamem Berechnungsmodell Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Korrelationsmatrix Zusammengefasste Korrelationskoeffizienten Hauptdiagonale: 1 1 r 21 Rxx r n1 r12 r1n 1 r2n rn2 1 1 r12 r21 1 bzw. rn1 rn 2 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil r1n r2 n 1 Stochastische Abhängigkeit Beispiel: Würfeln – Wetterprognose • Würfeln: Wahrscheinlichkeit unabhängig vom letzten Wurf • Wetter: Temperatur stark vom Wetter des Vortrages abhängig Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(X=a|Y=b) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Bedingte Wahrscheinlichkeit (1) Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses X = a unter der Bedingung, dass Y = b bereits eingetreten ist. P(X=a|Y=b) X und Y stochastisch unabhängig, wenn gilt P(X=a|Y=b) = P(X=a) Korrelationskoeffizient: Maß für den linearen stochastischen Zusammenhang Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Bedingte Wahrscheinlichkeit (2) Zwei Komponenten eines Zufallsvektors sind unkorreliert, wenn sie stochastisch unabhängig sind Umkehrschluss nicht immer zutreffend (bei Normalverteilung ist der Umkehrschluss zutreffend) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Anmerkungen zur Korrelation Korrelation betrachtet die Variablen als gleichwertig: Abhängigkeit zwischen X und Y Korrelation beschreibt keine expliziten kausalen Zusammenhänge Korrelation beschreibt nur den linearen Zusammenhang (nicht: Abhängigkeit schlechthin) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Funktionen eines Zufallsvektors • Abweichungen von Funktionen eines Zufallsvektors • Übergang von der Abweichung zur Standardabweichung • Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Abweichungen von Funktionen eines Zufallsvektors Gegeben: Messwerte x1,…, xn mit Abweichungen Dx1, …, Dxn Gesucht: Abweichung Dx für Funktion f(x1,…, xn) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Eindimensionaler Fall y=f(x) y0+Dy=f(x0)+Dy=f(x0+Dx) Frage: Wie groß ist Dy bzw. die Standardabweichung von y Taylorreihe: f(x0+dx)=f(x0)+f‘(x0)dx Dy = f‘(x0)dx Verallgemeinerung: n f Dy dxi xi i 1 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Übergang zur Standardabweichung Varianz = Quadratsumme der Abweichungen dividiert durch Anzahl der Freiheitsgrade 2n n n 2 n 2 2 2 nn n n n f 1 f 1 f f 1 f f f f f f f f f 2 2 2 2 f 2 2 y Dy 2 Dy22fDy 2 Summieren: Quadrieren: D 2 2 x ik kj iji ix x x i ij kij kj xi i 1 fxixij x i k j 1 x x i , k 1 ; i k x x x x x x i i i 1 i k i i i i k k j 1 j i11 j 1 i 1ij1 1 i , k 1;iji ,k1ki, k1;i1;ki k n f2 i i xi2 Wenn die Messgrößen stochastisch unabhängig sindij Varianzfortpflanzungsgesetz für stochastisch unabhängige Beobachtungen Einfaches Fehlerfortpflanzungsgesetz Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Kovarianzfortpflanzungsgesetz Parameter nicht stochastisch unabhängig: n f 2 f f 2 2 xi 2 f ik x xi xk i 1 i i , k 1 ; i k n In Matrizenschreibweise: 2f f T Σ xxf Mehrere Funktionen: Σ ff FΣ xx FT Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Monte-Carlo-Methode Varianzfortpflanzungsgesetz und Kovarianzfortpflanzungsgesetz sind Näherungslösungen (abgebrochene Taylor-Entwicklung) Exakte Lösung: Monte-Carlo-Methode Verteilung der Parameter eine Realisierung ein Ergebnis Oft wiederholt Verteilung des Funktionsergebnisses Genauigkeit der Abschätzung proportional D n n Versuche, D … konst. Faktor Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Unscharfe Vektoren Vektoren, bei denen die Elemente unscharfe Zahlen sind n Charakterisierende Funktion X IR 0,1 d-Schnitt ist Teilmenge des IRn n f : IR IR und ist eine Funktion ist dann unscharfe Zahl * Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Zusammenfassung Mehrdimensionale Zufallsereignisse (z.B. geodätische Messungen) werden in Zufallsvektoren zusammengefasst Gemeinsame Streuung von Zufallsereignissen: Kovarianz Zusammengefasst in Kovarianzmatrix Lineare stochastische Abhängigkeit: Korrelation Kovarianzfortpflanzungsgesetz beschreibt Auswirkung von Varianzen auf Funktion Exakte Lösung: Monte-Carlo-Methode Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil
