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Ausgleichung ohne Linearisierung • Problematik • Lösen linearer, nicht überbestimmter Gleichungssysteme • Lösen nicht linearer, nicht überbestimmter Gleichungssysteme • Lösen nicht linearer, überbestimmter Gleichungssysteme Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel: Tachymeter Zeiss Elta 2 Modell für Fehlerkorrektur: Sinusschwingung Vergleich mit Laser-Interferometer Messstelle d [m] Differenz c [mm] 2,035 4,042 5,998 2,8 -1,6 -7,5 7,973 -7,1 -0,7 10,002 2 d [m] a3 c[mm ] a0 a1 d [m] a 2 sin U Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel: Fortsetzung Näherungswerte: mm a 3mm, a 0 , a20 5,6mm m 0 0 0 1 Gesucht: Wahrscheinlichste Werte der Parameter a0 bis a3 und ausgeglichene Beobachtungen di bzw. ci Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel: Lösung (1) Fehlender Näherungswert: c a0 a1d U a3 d arcsin 2 a2 Erstes Wertepaar: Fehlermeldung, da Ausdruck bei arcsin >1 2. Wertpaar verwendet: a3=3,6 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel: Lösung (2) Ableitungen der Bedingungsgleichungen: 2 d a3 2 a1 a2 cos d U U 1 c 1 a0 d a1 2 d a3 sin a2 U 2 d a3 2 a2 cos a3 U U Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel: Lösung (3) B-Matrix: Ableitungen nach c und d A-Matrix: Ableitungen nach a0 bis a3 Widerspruchsvektor w Gewichtsmatrix Einheitsmatrix Gleichungssystem BB T A T A k w 0 x 0 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel: Lösung (4) Auflösung liefert Unbekanntenzuschläge x und Verbesserungen v Hauptprobe: 1 x, l 2,9 2 x, l 4,3 3 x, l 0,1 4 x, l 4,4 5 x, l 2,7 Geht nicht auf! Iteration notwendig Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Einfach lösbar weil … Einfache, geschlossen Berechnung der Näherungswerte Wie geht man vor, wenn keiner der vier Näherungswerte gegeben ist? Konvergierende Iteration Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Lösen nicht überbestimmter Gleichungssysteme 2x 3y 1 0 x y 0 Gesucht: Lösung des Systems (gemeinsame Nullstellen der Polynome) Lösung: 2 3 x 1 1 1 y 0 Diagonalfom: 1 0 x 1 Lösung direkt 0 1 y 1 ablesbar! Gegeben: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Lösen nicht überbestimmter, nicht linearer Gleichungssysteme Gegeben: 2 Festpunkte, 2 Strecken zu Neupunkt Gesucht: Koordinaten des Neupunktes P1 P2 y 5 15 x 5 5 von nach s P1 N 8 P2 N 6 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Lösung (1) Funktionaler Zusammenhang: s N2 1 x1 x N y1 y N 0 2 2 s N2 2 x2 x N y2 y N 0 2 2 Ausmultipliziert: s x 0 x y 2 xN x1 2 y N y1 s x x 0 2 N 2 N 2 N1 x y 2 xN x2 2 y N y2 2 N 2 N 2 N2 2 1 x 2 2 mit den Unbekannten xN und yN Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil 2 1 2 2 Lösung (2) Einsetzen der bekannten Werte xN2 y N2 10 xN 10 y N 14 0 x y 10 xN 30 y N 214 0 2 N 2 N Keine ‚nette‘ Form der Darstellung (Lösung nicht direkt ablesbar) Lösung direkt ablesbar aus (ohne Beweis): x N2 y N2 10 x N 10 y N 14 0 57 yN 0 5 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Lösung (3) Gesuchte Lösung des Systems ist: 57 yN 5 49 x 10 x N 0 x N ,1 0,2 x N , 2 9,8 5 2 N Lösung der Aufgabe: y Lsg 1 11,4 Lsg 2 11,4 x 0,2 9,8 Frage: Wie sind wir auf das ‚nette‘ Gleichungssystem gekommen? Gröbner-Basis Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Gröbner-Basis Entwickelt von Buchberger in den 60erJahren des 20. Jahrhunderts Gegeben: System F von Polynomen Gesucht: Nullstellen von F F in System G transformiert, das ‚nettere‘ Eigenschaften hat F und G sind äquivalent Lösung von G ist auch Lösung on F Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Begriffe • Multivariate Polynome: Polynom in mehreren Variablen – Kombinationen von Variablen sind erlaubt (z.B. xy) • Bivariate Polynome: 2 Variable Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel Gegeben sind: bivariate Polynome g x 2 y 3 3 xy2 5 x f1 xy 2 y 2 2 f2 2 y x System von Polynomen F f1 , f 2 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Monomen Summanden: Monome Wichtigste Arten der Sortierung: – Nach dem Lexikon (lexikographisch) – Erst nach der Potenz, dann lexikographisch Im Beispiel: lexikographisch (erst nach y, dann nach x, dann absteigende Potenz) Erstes Monom: Führendes Monom Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Division/Reduktion (1) Einzelne Monome von g werden mit Hilfe von f1 und f2 eliminiert 2 2 3 Mögliche Division: h g 3 y f1 5x 6 y x y Reduziert g modulo f1 Das führende Monom von (3y)f1 muss eines der Monome von g eliminieren Mathematisch: g f h („g reduziert sich zu h modulo f1“) 1 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Division/Reduktion (2) Im Allgemeinen viele verschiedene Reduktionen möglich In unserem Beispiel: h2 g xy2 f1 5 x 3xy2 2 xy3 x4 y 1 2 h3 g x y f 2 5 x 3xy2 2 2 Somit: g f h2 und g f h3. 1 2 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Division/Reduktion (3) g F h bedeutet, dass sich g über die Funktionen aus F zu h reduzieren lässt Reduktion über eine endliche Anzahl von Schritten: g *F h Wenn nicht mehr weiter reduzierbar: h F Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Eigenschaften der Reduktion Terminierung – es gibt keine unendliche Kette von Reduktionsschritten Reduktion ist algorithmisch – für alle g und F gibt es einen Algorithmus, der eine reduzierte Form erzeugt Nicht-Eindeutigkeit – aus g und F können unterschiedliche Ergebnisse h und k erzeugt werden: h * g * k F F Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil F F Gröbner-Basis Set von Polynomen mit eindeutiger Reduktion Definition: F ist eine Göbner-Basis F ist eindeutig, also g , h, k h F *F g *F k F h k Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil S-Polynom Gegeben 2 Polynome Mit einem solchen Monom multipliziert, sodass die führenden Monome gleich sind S-Polynom ist die Differenz der beiden Polynome Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel: S-Polynom Gegeben: f1 xy 2 y f2 2 y 2 x2 Gesucht: S-Polynom Ergebnis: 1 S f1 , f 2 y f1 x f 2 2 1 3 2 S f1 , f 2 x 2 y 2 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Bestimmung Gröbner-Basis Gegeben: Beliebige Menge F von Polynomen Gesucht: Menge G von Polynomen, die eine Gröbner-Basis bilden Berechnung: Buchberger-Algorithmus Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Buchberger-Algorithmus (1) Setze G=F Für jedes Paar von Polynomen f1 und f2 G: – S[f1,f2] berechnen und zur reduzierten Form h vereinfachen – Wenn h = 0 dann nächstes Paar – Wenn h ≠ 0 dann zu G hinzufügen und iterieren Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Buchberger-Algorithmus (2) Lineare Polynome: Ergebnis entspricht der Gauß‘schen Elminiation Verallgemeinerung der Gauß‘schen Elimination Nähere Beschreibung: Dissertation Bruno Buchberger: http://www.risc.uni-linz.ac.at/people/buchberg/ Berechnung: Software-Pakete Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Was können wir jetzt? • Lösen von linearen Gleichungssystemen: z.B. Gauß‘sche Elimination • Lösen von nicht linearen Gleichungssystemen: Gröbner-Basis • Lösen von überbestimmten, linearen Gleichungssystemen: Methode der kleinsten Quadrate Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Lösen überbestimmter, nicht linearer Gleichungssysteme Direkte Anwendung der Gröbner-Basis nicht möglich Lösung von Awange und Grafarend: – Bestimmung der eindeutigen Lösungen über Gröbner-Basis – Lösungen als Beobachtungen betrachten und Genauigkeit über Fehlerfortpflanzung – Lösung nach Ausgleichung direkter Beobachtungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Vorteile dieser Lösung • Keine Linearisierung Somit keine Näherungswerte notwendig • Keine Iteration nötig • Für Detektion grober Fehler verwendbar (A 2) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel: Überbestimmter Bogenschnitt Bogenschnitt von 3 Punkten 3 eindeutige Lösungen N12, N13, N23 Zufällige Fehler bewirken Abweichungen Vorschlag von Gauß: Eindeutige Lösung über gewichtetes arithmetisches Mittel, Gewichte aus Distanzen Jacobi: Gewichte aus Determinanten der Lösungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Kombinationsansatz (1) Lineares Problem: a1 x b1 y y1 0 a2 x b2 y y2 0 a3 x b3 y y3 0 Aus je 2 Gleichungen eine Lösung: Lösungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil n 2 Kombinationsansatz (2) Gewichtetes arithmetisches Mittel 12 x12 23 x23 x 12 23 12 y12 23 y23 y 12 23 Gewichte aus 12 a1b2 a2b1 2 2 23 a2b3 a3b2 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Kombinationsansatz (3) Nicht lineares Problem: Gewichte über Fehlerfortpflanzung abzuleiten Liefert Varianz-Kovarianzmatrix Ausgleichung direkter Beobachtungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Zusammenfassung • Notwendige Linearisierung bei Ausgleichsproblemen kann zu Schwierigkeiten führen • Gröbner-Basis ermöglicht Lösung ohne Linearisierung (also auch ohne Näherungswerte) • Vorteile: Rechenaufwand abschätzbar, Wiederholung einfach • Nachteil: Mathematisch aufwändiger Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil
