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Mathematik ohne Regeln und Formeln? Konsequent das Verständnis auf Basis der Anschauung stabilisieren FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Übersicht über den Vortrag • Theoretische Aspekte – Woher kommt die Dominanz der Regeln und Formeln im MU und worin liegt das Problem? – Wie kann die Nachhaltigkeit des Lernens auf Basis der Anschauung gefördert werden? • Erläuterung an Beispielen – Bruchrechnung – Geometrie FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Woher kommt die Dominanz der Regeln und Formeln? • • • • • • Verbreitetes Bild von der Mathematik Jahrhunderte alte Unterrichtstradition Ausrichtung auf schnelles Rechnen Vorgaben in Schulbüchern Regeln und Formeln scheinen einfach Versuchte Anpassung an lernschwache Schüler Trotzdem sind die Resultate eines auf Regeln und Formeln basierenden Unterrichts unzufriedenstellend! FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Kritischer Blick auf die Regel- und Formelgläubigkeit • Verbreitetes Bild von der Mathematik: Abstrakt, formal, exakt Unterscheidung zwischen Entstehungsprozess („Mathematik treiben“) und Darstellung der Ergebnisse FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Gerade in der alltäglichen Anwendung kommt es oft nur auf grobe Schätzungen an Hartmann/Loska • Jahrhunderte alte Unterrichtstradition und Ausrichtung auf schnelles Rechnen – Schon seit Adam Ries Training von Regeln – Gut trainierte Algorithmen ermöglichen schnelles Rechnen auch mit großen Zahlen Veränderte Bildungs- und Lernziele auch für den Mathematikunterricht: Argumentieren, Ordnen, Sensibilität für Phänomene, Abschätzen … Neue Technologien (Taschenrechner, Computer, …) FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska • Vorgaben in Schulbüchern (1) Anschauliche und evtl. handlungsorientierte Hinführung (2) Ableitung einer Regel oder Formel (3) Regel bzw. Formel wird im folgenden Aufgabenteil trainiert Die anschauliche Hinführung wird als bloßes Mittel gesehen. Die Anschauung gerät in Vergessenheit und kann nicht zur Stabilisierung des Verständnisses genutzt werden. FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska • Regeln und Formeln scheinen einfach – Die kognitive Anforderung bei Anwendung einer Regel ist gering Es gibt aber eine Vielzahl von Regeln! Regeln werden vergessen, verwechselt und vermischt. Manche Aufgaben werden durch unreflektierte Anwendung von Regeln kompliziert und damit fehleranfällig. FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska • Versuchte Anpassung an lernschwache Schüler – Lehrer haben Bedenken, dass verständnisbasiertes Arbeiten die kognitive Fähigkeit lernschwacher Schüler übersteigen könnte – Drill einer Regel führt zu gewissen Erfolgen Der schnelle Erfolg ist jedoch nicht nachhaltig. Die Forschung zeigt: Gerade bei lernschwachen Schülern ist vermehrtes Training auf Kosten anschaulicher Vorstellungen kontraproduktiv. Stupides Regelanwenden wirkt auf Dauer auch auf schwächere Schüler demotivierend. FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Konsequenz: So weit es geht auf Formeln und Regeln verzichten! FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Wie kann stattdessen die Nachhaltigkeit des Lernens gefördert werden? • Wenige, gut gesicherte Kernmodule bilden das Fundament des Wissens • Weitergehende Problemstellungen werden auf diese Kernmodule zurückgeführt FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Wie erfolgt die Sicherung der Kernmodule? • Konsequente Grundlegung durch die Anschauung – Anschauliche Herleitungen werden zum eigenen Unterrichtsziel – Die Anschauung muss durchgängig aufrechterhalten werden • Enge Verzahnung von Handlung, Bild und Notation – Wechselseitige Übungen zur Verknüpfung von Notation und Anschauung – Begleitung der abstrakten Notation durch geeignete Sprechweisen, die auf die Anschauung referieren • Training – Trainiert wird anstelle der Regeln die Anschauung • Implizite Wiederholung – Rückführung weitergehender Probleme führt zu permanenter Wiederholung über Jahrgangsstufen hinweg FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Rückführung weitergehender Problemstellungen auf die Kernmodule • Erfolgt ebenfalls auf Basis des Verständnisses und der Anschauung FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Warum wird durch dieses Vorgehen die Nachhaltigkeit des Lernens gefördert? • Alle Inhalte bleiben auf Anschauung gestützt • Insgesamt weniger Inhalt zu lernen • Inhalt besser vernetzt • Kerninhalte werden häufiger wiederholt • Verständnisbasierter Unterricht ist motivierender FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Beispiel Bruchrechnung FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Übliche Vorgehensweise • Rechenregeln werden zumindest teilweise anschaulich mithilfe von Bildern abgeleitet • Die Rechenregeln werden gelernt • Das Rechnen mithilfe der Rechenregeln wird zunächst isoliert, später auch vermischt trainiert FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Fallbeispiele Fallbeispiel 1: Schüler der 9. Jgst. sollen 1/5 +1/5 rechnen. Ein erheblicher Anteil erhält als Ergebnis 2/10. Einige der Schüler kürzen und erhalten damit wieder 1/5. Nur einige sehen in diesem Ergebnis ein Problem Fallbeispiel 2: Ein guter Schüler rechnet die Aufgabe 6/7:3 folgendermaßen 6 1 6 1 6 6 3 2 1 2 :3 : 7 3 7 3 7 7 1 7 1 7 FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Die quasikardinale Vorstellung: Ein wichtiges Kernmodul der Bruchrechnung Man betrachtet gleiche Bruchstücke hinsichtlich ihrer Anzahl und rechnet wie mit nat. Zahlen (Quasikardinaler Aspekt) Aus diesem Kernmodul ergeben sich unmittelbar folgende Operationen: •3 = 2 3 5 7 7 7 3 2 6 7 7 FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten :3 = 2 6 3 7 7 6 6:3 2 :3 7 7 7 Hartmann/Loska Kernmodul Stammbruch durch ganze Zahl Bei der Division durch eine ganze Bei der Division durch eine ganze Zahl, erhält man ein Zahl, erhält man ein kleineres kleineres Bruchstück. Bruchstück. 3 Welche Sorte erhält man? = Welche Sorte erhält man? Bei 1/7 braucht man 7 Bruchstücke um den Kreis zu füllen 1 Bei 7 braucht man 7 Bruchstücke Jetzt braucht man die dreifache Anzahl, um den Kreis zu füllen nämlich 7•3 Der Bruchteil ist also Jetzt braucht man die dreifache 1 .3 Anzahl,des nämlich 7 Ganzen. 73 1 Der Bruchteilnachhaltig ist alsounterrichten des FOKUS – Mathematik Ganzen. 1 7 3 = 1 7 3 Hartmann/Loska Bruch durch ganze Zahl Was ist 4/7:3 ? 1 7 4 7 3 ist vier mal soviel 4 7 FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten 3 = 1 7 3 4 3 = 7 3 Hartmann/Loska Multiplikation zweier Brüche Kernmodul „Bruch mal = Bruchteil von“ Kernmodul „Quasikardinal“ 2 4 2 2 24 :7 4 4 3 7 3 37 37 Kernmodul „Division durch ganze Zahl“ Geschrieben wird natürlich nur: FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten 2 4 24 3 7 37 Hartmann/Loska FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Für den Unterricht gilt: • Operationen mit Brüchen werden konsequent mittels Handlungen bzw. Bilder erarbeitet • Diese anschaulichen Vorstellungen werden trainiert (Produktion und Interpretation von Bildern) und insbesondere wird permanent auf diese zurückgegriffen • Rechenregeln werden nicht explizit als zu lernende Merksätze notiert FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Beispiel Volumenlehre FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Fallbeispiel Volumenberechnung • Der Lehrer legt eine quadratische Säule der Höhe 1cm und der Grundkantenlänge 4cm auf den Tisch und fordert die Schüler zu einer Schätzung des Volumens auf. Keiner der Schüler will eine Schätzung abgeben. • Der Lehrer fragt nach: „Welchen Rauminhalt hat denn so ein cm³?“ Er formt mit Fingern bzw. Hand und Armen Rauminhalte von der Größenordnung 1 cm³, 1 dm³ und 1 m³. Kein einziger der Schüler ist in der Lage, dem cm³ die passende Geste zuzuordnen. FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Wie ist das übliche Vorgehen? • In der 6. Klasse wird das Volumen eingeführt, indem Quader mit Einheitswürfeln ausgelegt werden. • Durch die „Stangen-Plattenmethode“ wird die Formel V = a•b•c hergeleitet und trainiert. • In den weiteren Jahrgangsstufen werden Volumenformeln für weitere Körper hergeleitet bzw. angegeben. FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Kritik des Vorgehens • Die anschauliche Interpretation des Volumens über das Auslegen mit Einheitswürfeln wird nur in der Einführungsstunde und dabei auch nur für den Quader vermittelt und nicht mehr gefestigt • Die Analogie zum Vorgehen beim Flächeninhalt wird nicht genutzt FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Was ist unabdingbar für einen nachhaltigen Volumenbegriff? Die Schüler sollen • klare Vorstellungen haben vom Volumen als Anzahl der Einheitswürfel, mit der sich ein Körper auslegen lässt • zentrale Stützgrößen (mm³, cm³, l, ...) kennen und sich vorstellen können • mit Hilfe dieser Stützgrößen Abschätzungen vornehmen können FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Propädeutik und Erarbeitung von Kernmodulen mit Würfelbauten • Volumen als Auslegen • Zerlegen, Umbau und Ergänzen von Körpern • Stangen-Platten-Prinzip – „Quaderformel“ – Umwandlung von Volumeneinheiten • G mal h – Prinzip FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Volumen als Auslegen mit Einheitswürfeln FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Zerlegen und Umbau von Körpern FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Ergänzung von Körpern FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Umwandlung von Volumeneinheiten mittels StangenPlatten-Prinzip FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Wie viele Würfel? FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska 4•4 + 2•4 + 1•4 FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska 4•4 + 2•4 + 1•4 7•4 FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Zur Propädeutik des G mal h - Prinzips 7•4 FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Verallgemeinerung des G mal h – Prinzips • Der Grundflächeninhalt einer geraden Säule gibt an, wie viele Einheitsquadrate in diese Fläche und damit, wie viele Einheitswürfel auf diese Fläche passen • Die Höhe gibt an, wie viele Schichten den Körper bilden FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten G h Hartmann/Loska 2. Säule: Vernetzung – Reduktion durch Modularisieren Es gibt nur zwei Volumenformeln! Gerade Säulen Spitze Körper V = Gh V = 1/3 Gh Berechnungen durch Rückgriff auf Kernmodule V Zylinder = pr²h V Rechteckspyramide = 1/3 abh V Zylinder = G Kreis h 3,14 Radiusquadrate FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Zusammenfassung • Abkehr von abstrakten Regeln und Formeln • Gründliche, auf Anschauung basierende Sicherung weniger Kernmodule • Weitergehende Inhalte sollen die Schüler jeweils auf diese Kernmodule zurückführen können • Die Lerninhalte sollen dadurch besser vernetzt und leichter reproduzierbar werden • Der Unterricht sollte dadurch auch interessanter und bildender werden FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Zusammenarbeit • Konzeptblätter – – – – – – – – – Volumen (Grundvorstellung) – Kl. 5-8 Analyse von Körpern – Kl. 5-9 Oberflächen von Körpern – Kl. 6-9 Flächeninhalt – Kl. 5-8 Kreis – Kl. 8 Bruchrechnen – Kl. 5-6, auch bis 9 Multiplikation von Brüchen – Kl. 6 Prozentrechnen – ab Kl. 7 Monats- und Tageszinsen – Kl. 8-9 FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska Teilnahmeformular • • • • • • • Name, Email Partner Klasse Thema 1 Monat Thema 2 Monat FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska www.didmath.ewf.uni-erlangen.de • Projekte – FOKUS • Mitarbeiter FOKUS – Mathematik nachhaltig unterrichten Hartmann/Loska
