VaR – Varianz-Kovarianz Methode

VaR –
Varianz-Kovarianz Methode
 B.Burkhard 19.08.2004
Definition & Methoden
Defintion:
 VaR mißt den in Währungseinheiten bewerteten Verlust, der während eines
bestimmten Zeitraums (bspw. 1 Tag) mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit
(bspw. 99%) nicht überschritten wird.
Methoden:
1. Varianz / Kovarianz – Verfahren
Verteilungsannahme der wichtigsten Einflußfaktoren, um auf das VaR zu schließen
2. Simulationsverfahren und jeweils anschließende Neubewertung des Portfolios
 Historische Simulation
Simulation der Einflußfaktoren auf Basis von Beobachtungen in der
Vergangenheit
 Monte Carlo Simulation
Simulation auf Basis einer Verteilungsannahme
2
Risiko ist Vorhersage über
Wertentwicklung des Portfolios (P&L)
3
Prämissen für VaR-Methoden





4
Festlegung des Portfolios
i.d.R. Gesamtportfolio oder über Risikofaktoren Aktien, Zinsen, Devisen
Identifikation der Marktparameter
z.B. Devisenkurse, Zinssätze, Aktienkurse, Aktienindizes und (implizite) Volatilitäten
Festlegung eines Beobachtungszeitraums
Beobachtungsperiode bestimmt bei der historischen Simulation die Anzahl der
Szenarien. Liegt zwischen 90 – 250 Tagen. Bankenaufsicht schreibt 1 Jahr vor, also
250 Tage.
Festlegung eines Liquidationszeitraum
Zeitraum bis zur Glattstellung oder bis Hedging, z.B. im Handelsbestand 1 Tag, im
Anlagebuch 30 Tage – 1 Jahr. Abhängig von Liquidität der jeweiligen Märkte.
Größter Schwachpunkt liegt in der impliziten Annahme, daß das Portfolio während der
gesamten Liquidationsperiode unverändert bleibt.
Festlegung eine Wahrscheinlichkeitsniveau
VaR ist das Quantil der Verteilung der Wertänderungen i.d.R. zwischen 95%-99%,
damit der tatsächliche Verlust während der Liquidationsperiode nur selten das VaR
übersteigt.
Parameterisierung
extern / regulatorisch (GS I)
•
•
•
•
10 Tag Haltedauer
99 % Konfidenz-Niveau
gleichgewichtete Volas+Korr. (RiskMetrics)
histor. Betrachtungszeitraum
(mind. 250 Handelstage)
intern / Risiko-Steuerung
•
•
•
•
5
1 Tag Haltedauer
99% Konfidenz-Niveau
exp. gewichtete Volas+Korrelationen (RiskMetrics)
histor. Betrachtungszeitraum (250 Handelstage)
Varianz-Kovarianz-Methode


6
Verwendung von Kovarianzen ( also Volatilitäten und Korrelationen) der
Risikofaktoren und die Sensitivitäten des Portofoliowertes bzgl. dieser
Risikofaktoren.
Nur lineare Näherungen für die Risikofaktoren
Risiko und Volatilität der Risikofaktoren

Risiko: Streuung möglicher Werte einer Zufallsgröße

z.B.: Streuung der relativen Änderung r t (Return) eines Währungskurses über einen
bestimmten Zeitraum
Return: r t = (S t - S t-1 )/S t-1
S t : Währungskurs zur Zeit t

Mittelwert:
Varianz:

7
 = 1/T i ri
 2 = 1/(T-1) i ( ri -  )2
Volatilität:
des Returns des Risikofaktors S
( Währungskurs, Aktienkurs, Zins...)
VaR 1
Beispiel FX-Kassa Position


Annahme einer Normal-Verteilung für Risikofaktor (parametrisches VaR)
Bsp.: deutscher Investor ist long Kassa-Position Nominal N=1 Mio USD
Definition: VaR = N x  x  x T1/2
z.B. USD/EUR-Volatilität  : 1.3 %
( aus z.B. RiskMetrics )
Skalierung : 2.33
( für Konfidenzniveau 99 %)
Haltedauer T : 1 Tag
Umtauschrate EUR/USD : 1.0000 EUR/USD
VaR = 1 Mio USD x 2.33 x 0.013 x 1.0000 EUR/USD = 30 290 EUR

8
Aussage: Mit 99 % Wahrscheinlichkeit wird der Marktwert der Position sich
im Laufe eines Tages um nicht mehr als 30 290 EUR verringern.
VaR 2
VaR von mehreren Produkten, Korrelationen
Risikofaktoren verändern sich nicht unabhängig voneinander, sondern sind korreliert
ein Maß für die Korrelation ist der Korrelations-Koeffizient 
es gilt: -1 <= 1
 = 1: vollständige Korrelation zwischen A und B
A steigt--> B steigt auch
 = -1: vollständige Anti-Korrelation zwischen A und B
A steigt--> B sinkt
 = 0: keine Korrelation zwischen A und B
A steigt--> B steigt oder sinkt
9
VaR 3
VaR von mehreren Produkten Beispiel 2 Produkte
aus der Def. der Varianz:
2(1+2) = 2(1) + 2(2) + 2 (1) (2)
==> VaR (1+2) = [ VaR(1)2 + VaR(2)2 + 2 VaR(1) VaR(2) ] 1/2
Grenzfälle: =1 VaR (1+2) = VaR(1) + VaR(2)
nur im Fall vollständig (positiv) korrelierter Produkte
ist das Gesamtrisiko gleich der Summe der Einzelrisiken
= -1 VaR (1+2) = VaR(1) - VaR(2)
Differenz der Einzelrisiken (für VaR(1)=VaR(2) ist VaR(1+2) =0 !)
= 0 VaR (1+2) = [ VaR(1)2 + VaR(2)2 ] 1/2
Für alle  <1 ist das Gesamtrisiko kleiner als die Summe der Einzelrisiken:
Korrelationen führen zur "Risiko-Diversifikation" !
10
VaR 4
Beispiel 2 Devisen Kassa-Positionen
 Bsp.: deutscher Investor long Kassa-Position Nominal N=1 Mio USD
short Kassa-Position Nominal N= -1.5 Mio CAD
z.B. USD/DEM-Volatilität  : 1.3 %
CAD/DEM-Volatilität  : 1.2 %
Korrelation USD-CAD: 0.9
Skalierung : 2.33
( für Konfidenzniveau 99 %)
Haltedauer T : 1 Tag
Umtauschrate EUR/USD : 1.0000 EUR/USD
Umtauschrate EUR/CAD : 0.7000 EUR/CAD
VaR(USD) = 1 Mio USD x 2.33 x 0.013 x 1.0000 EUR/USD = 30 290 EUR
VaR(CAD) = 1.5 Mio CAD x 2.33 x 0.012 x 0.7000 EUR/CAD = 29 358 EUR
VaR(USD+CAD) = 13 368 EUR
 Da die Positionen effektiv gegeneinander stehen ist das Portfolio-Währungs-Risiko
gegenüber den Einzelrisiken stark reduziert.
11
Annahmen

Jede Variable wird als Zufallsgröße mit bekannter Verteilung aufgefaßt.

die Wertänderung einer Position über eine Liquidationsperiode L ist normalverteilt.

die Mittelwerte (Trends) einzelner Parameter sind im Zeitablauf konstant

die Volatilitäten einzelner Parameter sind ebenfalls konstant

die Werte einzelner Parameter weisen im Zeitablauf keine Autokorrelation auf

die Korrelation zwischen verschiedenen Parameter ist im Zeitablauf konstant
 Fazit: VaR ist eine Risiko-Kennzahl, die insbesondere unter normalen
Marktbedingungen wertvolle Aussagen liefert und die den gesetzlichen
Anforderungen gerecht wird.
Für die tägliche Praxis muß sie jedoch durch komplementäre Risiko-Kennzahlen
(z.B. Stress-Tests für "worst case ") ergänzt werden.
12
Methoden zur Risikomessung
Überblick
Risiko-Maße
Szenarios
Stress-Tests, Monte Carlo (MC)
13
Value-at-Risk (VaR)
parmetrisches VaR,
VaR durch historische Simulation
Idee: generiere eine Veränderung
Risikofaktoren (Szenario) und
bestimme die Wertveränderung
des Portfolios (Neubewertung)
Idee: bestimme den maximalen
Verlust des Portfolios bei gegeb.
Konfidenz-Intervall (z.B. 99%) und
gegebener Haltedauer (z.B. 1 Tag)
Vorteile:
- volle Bewertung
-gute Kommunizierbarkeit
(bei Stress)
-nicht normalverteilte Risikofaktoren(bei MC)
- berücksichtigt extreme Fälle
Vorteile:
- berücksichtigt Information über Verhalten des Marktes in der Vergangheit in statistischer Form (Volatilitäten,
Korrelationen)
- Resultat ist ein Betrag, der mit
anderen Risiken vergleichbar ist
Nachteile:
- Auswahl Szenarien subjektiv (bei
Stress)
- keine Korrelationen (bei Stress)
Nachteile:
-Modellannahmen ( siehe hinten)
-keine extremen Risiken (fat tails !)
Stress-Tests 1
Bsp. USD Kassa-Position
 z. B. Portfolio aus Produkten, die nur auf einen Risikofaktor sensitiv sind
(z.B. eine Kassa-Position in USD)
1. Identifizierung des Risikofaktors: USD/EUR-Rate SUSD/EUR
2. Bewertung des Portfolios mit heutiger Rate SUSD/EUR
3. Szenario: Rate fällt an einem Tag um 6%
4. Neubewertung mit neuer Rate SUSD/EUR new = 0.94 x SUSD/EUR
5. Differenz zum ursprünglichen Marktwert gibt Wertveränderung
unter dem gewählten Szenario
zahlenmäßig: heute long 1 Mio USD, SUSD/EUR =1.0000 EUR/USD
-> PVold = 1.0 Mio EUR
Szenario: SUSD/EUR new = 0.9400 EUR/USD
-> PVSzenario = 0.94 Mio EUR
Wertveränderung unter Szenario: - 60 000 EUR
14
Stress-Tests 2
Auswahl von Szenarien
15

Vielzahl von Risikofaktoren (evt. Gruppenbildung)

komplizierte Bewertungsverfahren (sehr zeitaufwendig)

gleichzeitige Veränderung mehrerer Risikofaktoren (Szenario-Matrizen für z.B.
Wechselkurs und Wechselkurs-Volatilität bei FX-Optionen)

kritisch: Auswahl von Szenarien (auch extreme Änderungen der Risikofaktoren, z.B.
19.10.87: S&P 500 -20.4 % an einem Tag)

Empfehlungen der Derivatives Policy Group:
Zinsen:
parallel shift of +/- 100 BP, Volatilität +/- 20 %
yield curve twisting +/- 20 %
Aktien:
Index-Shift von +/- 10%, Volatilität +/- 20 %
Währungen: FX-rate Shift +/- 6%, Volatilität +/- 20 %
16
15.03.2000
10.03.2000
07.03.2000
02.03.2000
28.02.2000
23.02.2000
18.02.2000
15.02.2000
10.02.2000
07.02.2000
Performance (tägl) = 0,3
02.02.2000
28.01.2000
25.01.2000
20.01.2000
17.01.2000
12.01.2000
07.01.2000
6,0
04.01.2000
30.12.1999
27.12.1999
Risiko und Performance in Mio EUR
Bsp. Backtesting
Gegenüberstellung von Risikoprognose und Performance
Im-Performance
VaR (Prognose) = 3,4; VAR (Vortag) = 3,2
4,0
2,0
0,0
-2,0
-4,0
-6,0
VaR-Prognose für den nächsten Tag
Performance

realisierte Gewinne/Verluste
 realisierte cash flows
 carry
 interest earnings
 funding costs
 Provisionsergebnis

 unrealisierte Verluste

GuV nach HGB = HGB P&L

 unrealisierte Gewinne

Handelsergebnis = betriebswirtschaftliche Performance
17
Prognosegüte (Backtesting)

§ 41 GSI: Prüfung der Prognosegüte mittels täglichem Vergleich der potentiellen Risikowerte mit den
tatsächlichen Wertveränderungen
 "Backtesting"
 Zur Bemessung des Zusatzfaktors sind bei 250 Arbeitstagen die Ausnahmen zu zählen
(Stand: 2000)
Anzahl der Ausnahmen höherer Faktor
weniger als 5
0,00
5
0,40
6
0,50
7
0,65
8
0,75
9
0,85
10 und mehr
1,00
18
Internet-Adressen zum Thema













http://www.gloriamundi.org/ All about Value at Risk
www.risknews.net
http://www.contingencyanalysis.com/index.htm (mit weiteren Links)
http://www.riskbook.com/
http://www.iir.de/
http://www.investopedia.com/default.asp
http://www.lombardrisk.com/
http://www.riskmetrics.com/
http://www.risknet.de/
http://www.rmce.de/topic_risikomanager.asp
http://www.derivativesmodels.com
http://www.unriskderivatives.com/
http://www.unriskderivatives.com/download/whitepaper.pdf (Accuracy does matter:
High-End Numerical Techniques for the Robust Pricing of Structured Financial Instruments)


19
http://www.statslab.cam.ac.uk/
http://www.mathfinance.de/
Literatur-Empfehlungen (Auswahl)

Bankweites Risiko-Management:
Joel Bessis Risk Management in Banking , John Wiley 1998
Roland Eller, Handbuch Derivativer Instrumente, Schäffer Poeschel 1996

Handel, Derivate, Bewertung :
I. Uszcapowski, Optionen und Futures verstehen , Beck-DTV 1995
Roland Eller, H.P. Deutsch, Derivate und Interne Modelle, Schäffer 1998
John C. Hull, Options, Futures and other derivatives, Prentice-Hall 1989
M. Mattoo, Structured Derivatives, Pitman Publishing 1997

Methoden zur Risiko-Messung:
Philippe Jorion, Value at Risk, McGraw-Hill 1997
Kevin Dowd, Beyond Value at Risk, Wiley 1998
20