Metrik
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Christian Eine kleine Einführung in echte und falsche Kaernbach Metriken, Normen, und ihre potentielle Anwendung in der Psychologie der Bedeutung und der Kreativität Euklidische Metrik – der Normalfall • Gegeben zwei Punkte [x1, y1] und [x2, y2] • Abstandsvektor [x2 – x1, y2 – y1] = [x, y] • Abstand = Länge des Abstandsvektors: d = (x² + y²) • Beispiel: – – – – Punkt 1: [-7,3 3,5] Punkt 2: [-4,3 7,5] Abstandsvektor [3 4] Abstand: (3² + 4²) = 25 = 5 Definition Metrik • Eine Metrik ist eine Funktion, die zwei Elementen eines Raumes einen „Abstand“ d 0 zuweist, so daß gilt: – – – – d (p, p) = 0 d (p, q) = 0 p = q d (p, q) = d (q, p) d (p, q) d (p, u) + d (u, q) (identische Punkte haben den Abstand 0) (nichtidentische Punkte haben nicht Abstand 0) (Symmetrie) (Dreiecksungleichung: Umwege lohnen nicht) • In einem Vektorraum mit ⇨ „Norm“ (Vektoren besitzen wohldefinierte Länge) gibt es immer eine Metrik: – d (p, q) = || p – q || (siehe Euklidische Metrik) • Metrik ohne Norm: z. B. diskrete Metrik – d (p, q) = 0 für p = q – d (p, q) = 1 für p q q p u Definition Norm • Eine Norm ist eine Funktion, die einem Element v eines Vektorraumes eine „Länge“ || v || 0 zuweist, so daß gilt: – || v || = 0 v = 0 (Definitheit) nichtdefinit: Halbnorm – || ∙ v || = || ∙ || v || (Homogenität) Verallgemeinerung der Symmetrie – || v + w || || v || + || w || (Dreiecksungleichung) • Beispiel: Euklidische Norm – || v || = ( vi²) • verallgemeinert: p-Norm – || v || = ( |vi|p) 1/p (p 1) • p = 1: Betragssummennorm, Manhattan-Metrik || v || = |vi| • p = 2: Euklidische Norm/Metrik • p = : Maximumsnorm, || v || = max(|vi|) legale p-Normen • Konturenplots – – – – || v || = ( |vi|p) 1/p mit p 1 Kontur = Menge aller Vektoren mit || v || = c c = 1: „ Einheits kreis “ (grün) c = 0: „Nullmenge“ (grau) p=1 p=2 p = 10 Betragssummennorm Manhattan-Metrik Euklidische Norm/Metrik geht in Richtung Maximumsnorm illegale p-Normen • Konturenplots – – – – || v || = ( |vi|p) 1/p mit p < 1 Kontur = Menge aller Vektoren mit || v || = c c = 1: „ Einheits kreis “ (grün) c = 0: „Nullmenge“ (grau) p = 0.5 p = -2 p = -10 geht in Richtung „Minimumsnorm“ – auch illegale p-Normen sind homogen – p < 1: „Norm“ verletzt Dreiecksungleichung – p < 0: „Norm“ verletzt Definitheit (|| v || = 0 v = 0) illegale Halbnorm Schnitt • Mathematik • Psychologie Semantische Räume • Aktivierungsausbreitung im Langzeitgedächtnis: Perlmutter & Anderson (unveröffentlicht) Hund -K Zocker -K „Katze“ „Karte“ Knochen - F Knochen - F „Fleisch“ „Fleisch“ ... • RZ: 1.41 s RZ: 1.53 s 120 ms Priming Effekt Hund Knochen Katze Fleisch Zocker Karte Hund Katze Zocker Multidimensionale Skalierung Karte Fleisch Knochen • Semantische Ähnlichkeitsurteile führen zur Schätzung einer Konfiguration der Begriffe in einem mehrdimensionalen Raum – Beispiel: Konfiguration von 8 Emotionsbegriffen in einer Ebene • • • • • • • • A D G J M P T W Abscheu Billigung Erwartung Freude Furcht Traurigkeit Überraschung Wut – Vorausgesetzt wird: Es gibt einen mehrdimensionalen semantischen Raum mit euklidischer Metrik. Gefragt wird höchstens: • Was bedeuten die Achsen? • Wie hoch-dimensional ist der semantische Raum? Zocker Katze Hund Multidimensionale Skalierung Karte Fleisch Knochen • Abhängigkeit des Stresses (Abweichungsmaß) für verschiedene angenommene Dimensionszahlen von der tatsächlichen Dimensionalität – 20 items – 30 Wiederholungen Scharparameter: tatsächliche Dimensionalität, 1.0 1.1 1.2 ... 4.8 4.9 5.0 Streß Dimensionalität von 1.2 angenommene Dimensionszahl Assoziationen Fragestellungen: • Ist es sinnvoll, zwischen Begriffen (z. B. Knotenpunkten im Gedächtnismodel) „Abstände“ definieren zu wollen? • Sollten diese „Abstände“ die Dreiecksungleichung erfüllen? – Intuitives Gegenargument: Bei Assoziationen helfen „Eselsbrücken“, d. h. Umwege können Abkürzungen sein. • Was verbindet Wurst mit Gruppe? Der „Abstand“ von Assoziationen könnte durch den kürzesten „Partialabstand“ (Material, Funktion, ...) bestimmt sein („Minimumsnorm“). • Ist es mathematisch sinnvoll / für die Modellbildung hilfreich / für die Empirie fruchtbar, „Abstände“ zwischen Begriffen mit illegalen Normen zu beschreiben? Gedächtnismodelle • Klassisches Netzwerkmodell Hund Knochen Katze Fleisch • parallel distributed processing, PDP, neuronale Netzwerke – Ähnlichkeiten von Zuständen werden über Korrelationen definiert Zocker Karte Korrelationen Fragestellungen: • Sind die bei neuronalen Netzwerken zur Beschreibung der Ähnlichkeit zweier Zustände verwendeten Korrelationen besser geeignet als „Abstände“ zur Beschreibung der Beziehungen von semantischen Begriffen? • Wie würde man Korrelationen in Abstände übersetzen? • • • • Negative Korrelationen würden in positive übersetzt. c (A, A) = 1 aus Korrelation 1 mach Abstand d1 = 0 Halbmetrik Maximaler Abstand d0 wenn c (A, B) = 0 Wenn die Dreiecksungleichung gelten soll, c(a...b,c...d) = 0, muß d0 endlich sein: d0 2∙d0,5 c(a...b,a...d) = c(a...d,c...d) = 0,5 • Korrelationsmetrik entspricht a...d Metrik auf Halbkugeloberfläche. a...b c...d Fazit Zocker Karte Hund Knochen Katze Fleisch • Eine an Korrelationen orientierte Metrik erhält die Dreiecksungleichung. Bei dieser Metrik gibt es einen maximalen Abstand. – Können wir mit der Vorstellung eines maximalen Abstands von Assoziationen leben? • Lokal kann sie durch eine euklidische Metrik angenähert werden. – MDS verwandter Begriffe wäre sinnvoll und möglich. • Eselsbrücken scheinen die Dreiecksungleichung zu verletzen. • Aufgabe: Experimentelle Überprüfung der Dreiecksungleichung... – ... aber wie? Ausblick Zocker Karte Hund Katze Knochen Fleisch • Aufgabe: Experimentelle Überprüfung der Dreiecksungleichung... – ... aber wie? – Man kann nicht irgendein Assoziationsmaß A • Ratings • Priming • Koinzidenz in Texten [Google]) direkt auf die Dreiecksungleichung testen, weil A mit d nicht linear zusammenhängen muß • Sei d die Euklidische Metrik. Dann ist A = d² keine Metrik. Sei d (a, b) = d (b, c) = 1, d (a, c) = 2. Es gilt 1 + 1 2, aber nicht 1² + 1² 2². – Multidimensionale Skalierung läßt beliebigen Funktionszusammenhang zwischen A und d zu. Wenn man nur Monotonität fordert, wird A = f (d) rekonstruiert. Wenn die Dreiecksungleichung nicht gilt, sollte man das am Streß erkennen. Probleme Zocker Karte Hund Knochen Katze Fleisch • Aufgabe: Experimentelle Überprüfung der Dreiecksungleichung... – Multidimensionale Skalierung läßt beliebigen Funktionszusammenhang zwischen A und d zu. Wenn man nur Monotonität fordert, wird A = f (d) rekonstruiert. Wenn die Dreiecksungleichung nicht gilt, sollte man das am Streß erkennen...??? • Monotone MDS birgt das Risiko der Entartung • Simulationen mit Daten, die aus illegalen p-Normen erzeugt werden – führen vermutlich zu erhöhten Streß-Werten. So weit so gut... • Einfluß von Rauschen (Datenfehlern) – verwechselbar mit Streß wegen Verletzung der Dreiecksungleichung? • Einfluß von gekrümmten Topologien – möglicherweise erkennbar an der Streßverteilung: sollte eher Streß bei hohen Abständen ergeben als bei niedrigen. • Sensitivität der MDS-Methode für Verletzungen der zugrundeliegenden Annahmen confused Danke
