Prof. Dr. Danilo Pescia
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PHYSIK I
Niculin Saratz
Tel. 044 633 23 28
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Sommersemester 2007
www.microstructure.ethz.ch
Serie 11, Musterlösung
1. Geladener Draht
Der Draht hat die Gesamtladung Q und die Länge L, d.h die (Längen-)Ladungsdichte ρ =
Q/L.
a) Wir verwenden die in der Aufgabenstellung vorgeschlagenen Näherung. Wir berechnen
also das elektrische Feld eines unendlich langen, geraden Drahtes mit der homogenen
Längenladungsdichte ρ. Dazu legen wir einen Gauss-Zylinder mir Radius r und Höhe h
um den Draht. (1P)
Der Fluss des elektrischen Feldes durch die Deckelflächen verschwindet aus Symmetriegründen. Ebenfalls aus Symmetriegründen steht das elektrische Feld senkrecht auf der
Mantelfläche. Damit ist der Fluss des elektrischen Feldes aus dem Zylinder gegeben
durch
Φ(r) = E(r)2πrh.
(1P)
Nach dem Satz von Gauss ist
Φ(r) =
Qin
ε0
Hier ist die eingeschlossene Ladung Qin = ρh, also
E(r)2πrh =
ρh
ε0
=⇒
E(r) =
Q 1
.
2πε0 L r
(2P)
b) Das Potential finden wir indem wir den obigen Ausdruck für das elektrische Feld elementar integrieren:
Z r
U (r) = −
E(r0 )dr0
(1P)
R
Z r
ir
Q 1 0
−Q h
Q =
dr =
ln(r0 ) =
ln(R) − ln(r)
(1P)
2πε0 L
2πε0 L
R
R 2πε0 L r
Dabei haben wir den Nullpunkt des Potentials bei r = R gewählt.
1
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2. Selbstenergie einer homogen geladenen Kugel
a) Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel haben wir in Aufgabe 1 der Serie 9
berechnet:
Q
~ r≤R | = ρr = Q r
~ r>R | =
|E(r)
und |E(r)
3
3ε0
4πε0 R
4πε0 r2
~ 2 erhalten wir nun die elektrostatische Selbstenergie
Mit Hilfe der Energiedichte w = ε20 E
W durch Integration über den gesamten Raum:
!
Z 4π Z ∞ 2
Z 4π Z R 2
ε0
1
r
1
W =
r2 dr dΩ
Q2
r2 dr dΩ +
3
2
2 (4πε0 )2
R
r
0
0
R
0
Z R 4
Z ∞
2
r
ε0 4π
1
1 1
1
3 Q2
Q
2
=
Q
+
=
.
(3P)
dr
+
dr
=
6
2
2 16π 2 ε20
8πε0 5 R R
5 4πε0 R
0 R
R r
b) Die elektrostatische Energie der Kugel divergiert.
(1P)
c) Wir verwenden das Resultat aus Teilaufgabe a und lösen nach R auf:
= 8.64 · 10−16
qp2
3
R=
5 4πε0 ∆u
m = 8.64 · 10−6 Å .
2
(1P)
(1P)
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PHYSIK I Serie 11, Musterlösung