PHYSIK III Serie 8, Musterlösung
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Prof. Dr. Danilo Pescia Tel. 044 633 21 50 [email protected] PHYSIK III Niculin Saratz Tel. 044 633 23 28 [email protected] Wintersemester 06/07 www.microstructure.ethz.ch Serie 8, Musterlösung 1. Unendlich ausgedehnte Platte Die bewegte geladene Platte entspricht einem Flächenstrom in z-Richtung. Wir können uns den Flächenstrom als aus vielen parallelen Stromfäden zusammengesetzt denken. Das resultierende Magnetfeld ergibt sich dann durch die Superposition der Magnetfelder der einzelnen Stromfäden. b Aus dieser Überlegung können wir schliessen, dass das resultierende Magnetfeld parallel zur Platte und senkrecht zur Stromrichtung gerichtet ist. Es wird entlang der x-Achse orientiert sein, und zwar in negativer x-Richtung für y > 0 und in positiver a x-Richtung für y < 0. Zur Berechnung des B j magnetischen Feldes betrachten wir die Zirkulation des Magnetfeldes entlang eines geschlossenen rechteckigen Weges Γ in der x-yΓ Ebene. Die Stärke des Magnetfeldes erhalten wir dann aus dem Ampère’schen Gesetz: y I ~ · d~s = 2aB =! µ0 IS . B x Γ Wir brauchen jetzt noch den Strom IS , der durch das Rechteck fliesst. In der Zeit dt bewegt sich die Flächenladung um vdt in z-Richtung. In der Zeit dt fliesst also die Ladung dQ = σavdt = σav: durch das Rechteck, der Strom IS ist also gegeben durch Is = dQ dt x −1 1 x µ0 σv µ0 σv ! ~ ~ y>0 0 0 y<0 2aB = µ0 σav ⇒ B = , B . = 2 2 z 0 z 0 2. Zylindrischer Draht a) Aus Symmetriegründen bilden die Magnetfeldlinien Kreise um die Zylinderachse. Sie liegen in Ebenen senkrecht zur Zylinderachse. Wir verwenden das Ampère’sche Gesetz: I µ0 ~ · d~s = 2πrB(r) =! µ0 I(r) ⇒ B(r) ~ I(r)~eϕ . B = 2πr C Dabei haben wir die z-Achse so gewählt, dass sie mit der Stromrichtung zusammenfällt. Es bleibt uns noch, den Strom I(r) durch einen Kreis mit dem Radius r zu berechnen: 2 0 ≤ r ≤ R : I(r) = I0 Rr 2 ⇒ B(r) = ⇒ B(r) = r > R : I(r) = I0 1 µ0 2π µ0 2π I0 Rr2 I0 1r . PHYSIK III Prof. Dr. Danilo Pescia Tel. 044 633 21 50 [email protected] Niculin Saratz Tel. 044 633 23 28 [email protected] Wintersemester 06/07 www.microstructure.ethz.ch b) 3. Aufladevorgang eines Kondensators Wir verwenden die Maschenregel und bewegen uns im Uhrzeigersinn von Bauteil zu Bauteil. Man beachte die Vorzeichen: 0 = U + UR + UC = U − I · R − Q Q = U − Q̇ · R − C C . Eine spezielle Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung für Q ist durch die zeitunabhängige Lösung gegeben: Q̇ = 0 ⇒ Qspez (t) = CU . Wir suchen jetzt die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung: Q̇ = − 1 Q RC ⇒ 1 Qhom (t) = Q0 e− RC t . Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet folglich: 1 Q(t) = Qspez (t) + Qhom (t) = CU + Q0 e− RC t . Wir berücksichtigen jetzt noch die Anfangsbedingung: ! Q(t = 0) = 0 ⇒ Q0 = −CU ⇒ 2 1 Q(t) = CU 1 − e− RC t . Prof. Dr. Danilo Pescia Tel. 044 633 21 50 [email protected] PHYSIK III Niculin Saratz Tel. 044 633 23 28 [email protected] Wintersemester 06/07 www.microstructure.ethz.ch 4. Kompensation von elektrischem Feld und Magnetfeld ~ wirkt in positive z-Richtung, denn das elektrische Feld a) Die elektrische Kraft F~E~ = −|q|E zeigt von der positiv geladenen Platte auf die negativ geladene Platte: |q|V V ~ez F~E~ = −|q| (−~ez ) = d d . ~ soll nun der Kraft durch das elektrische Feld entgegenDie Lorentzkraft F~L = −|q|·~v × B wirken, d.h. in negative z-Richtung wirken. Mit Hilfe der Rechte-Hand-Regel erkennen wir unter Berücksichtigung des negativen Vorzeichens der Ladung, dass das Magnetfeld ~ in negative x-Richtung zeigen muss. B b) Damit die elektrische Kraft und die Lorentzkraft nicht nur in entgegengesetzte Richtungen zeigen, sondern sich in ihrer Wirkung auch aufheben, müssen die beiden Kräfte betragsmässig gleich gross sein. |q| · |E| = |q| · |v| · |B| ⇒ |B| = V d · |v| . c) Sowohl die elektrische Kraft als auch die Lorentzkraft sind unabhängig von der Masse des Teilchens. Auch ein Teilchen mit M > m wird geradlinig weiter fliegen. Teilchen, die eine andere Geschwindigkeit als v haben, prallen früher oder später auf eine der zwei Kondensatorplatten. Deshalb heisst diese Anordnung – nach ihrem Erfinder Max Wien – Wienfilter oder Wien’sches Geschwindigkeitsfilter. 3
