PHYSIK I Serie 9
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Prof. Dr. Danilo Pescia Tel. 044 633 21 50 [email protected] PHYSIK I Sommersemester 2007 www.microstructure.ethz.ch Niculin Saratz Tel. 044 633 23 28 [email protected] Serie 9 1. Geladene Kugel Berechne das elektrische Feld innerhalb und auserhalb einer homogen geladenen Kugel mit Volumenladungsdichte ρ. 2. Gravitations- und Coulombwechselwirkung Ein Proton befinde sich im Koordinatenursprung und ein Elektron bei x = R = 1 Å. a) Berechne sowohl die Gravitationskraft als auch die Coulombkraft auf das Elektron. b) Berechne die potenzielle Energie des Elektrons sowohl im Gravitationsfeld als auch im elektrischen Feld des Protons in Elektronenvolt (eV), wobei 1 eV der kinetischen Energie eines ursprünglich ruhenden Elektrons entspricht, nachdem es eine Spannung von 1 V durchlaufen hat. Die Massen sind me = 9.11 · 10−31 kg und mp = 1.67 · 10−27 kg, die Ladungen qe = −1.602 · 10−19 C und qp = 1.602 · 10−19 C, 1 m3 −12 und die Kopplungskonstanten γ = 6.67 · 10−11 kg·s 2 und 4πε , wobei ε0 = 8.85 · 10 0 3. Nabla-Kalkül I Beweise die Gültigkeit der folgenden Gleichungen: ~ × ∇ψ ~ = ~0 , a) ∇ ~ · (∇ ~ × A) ~ =0 , b) ∇ ~ = A(~ ~ r) ein Vektorfeld und ψ = ψ(~r) ein Skalarfeld sei. wobei A 1 F . m Prof. Dr. Danilo Pescia Tel. 044 633 21 50 [email protected] PHYSIK I Sommersemester 2007 www.microstructure.ethz.ch Niculin Saratz Tel. 044 633 23 28 [email protected] 4. Nabla-Kalkül II Berechne folgende Ausdrücke für ~r 6= 0: ~ a) ∇ψ(| ~r |) , ~ (~a · ~r) , b) ∇ ~ · a ~r3 , c) ∇ |~ r| ~ × a ~r3 d) ∇ |~ r| e) ∆ |~1r| , , wobei a ein konstanter Skalar, ~a = (a1 , a2 , a3 )T ein konstanter (Spalten-)Vektor und ψ(χ) eine skalarwertige Funktion einer Veränderlichen sei. 5. Nabla-Kalkül III ~ = A(~ ~ r) ein Vektorfeld und ψ = ψ(~r) ein Skalarfeld. Beweise die folgenden ProduktreSeien A geln: ~ · (ψ A) ~ =A ~ · (∇ψ) ~ ~ · A) ~ , a) ∇ + ψ (∇ ~ × (ψ A) ~ = (∇ψ) ~ ~ + ψ (∇ ~ × A) ~ . b) ∇ ×A 2
