PHYSIK III Serie 3, Musterlösung

Prof. Dr. Danilo Pescia
Tel. 044 633 21 50
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PHYSIK III
Wintersemester 06/07
www.microstructure.ethz.ch
Niculin Saratz
Tel. 044 633 23 28
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Serie 3, Musterlösung
1. Kugelkondensator
Wenn auf der inneren Kondensatorfläche die Ladung Q ist, so ist auf der äusseren Kondensatorfläche die Ladung −Q. Aus Symmetriegründen ist die Ladungsverteilung kugelsymmetrisch,
d.h. die Flächenladungsdichten der beiden Kugelschalen sind homogen. Somit hat die äussere
Fläche auf das elektrische Feld im Inneren keinen Einfluss und das elektrische Feld zwischen
den Kugelschalen berechnet sich leicht:
~
E(r)
=
Q
~er
4πε0 r2
Damit ist die Potentialdifferenz U zwischen den beiden Kugelschalen
Z r1
Q
Q
1
1
−
U = Φ(r1 ) − Φ(r2 ) =
dr =
−
.
4πε0 r2
4πε0 r1 r2
r2
Die Kapazität ist dann
C=
Q
r 1 r2
= 4πε0
.
U
r2 − r1
2. Selbstenergie einer homogen geladenen Kugel
a) Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel haben wir in Aufgabe 1 der Serie 2
berechnet:
Q
~ r>R | =
~ r≤R | = ρr = Q r
|E(r)
und |E(r)
3
3ε0
4πε0 R
4πε0 r2
~ 2 erhalten wir nun die elektrostatische Selbstenergie
Mit Hilfe der Energiedichte w = ε20 E
W durch Integration über den gesamten Raum:
!
Z 4π Z R 2
Z 4π Z ∞ 2
ε0
1
r
1
W =
r2 dr dΩ +
r2 dr dΩ
Q2
2 (4πε0 )2
R3
r2
0
0
0
R
Z R 4
Z ∞
ε0 4π
r
Q2
1 1
1
3 Q2
1
2
=
Q
dr
+
dr
=
+
=
.
6
2
2 16π 2 ε20
8πε0 5 R R
5 4πε0 R
0 R
R r
b) Die elektrostatische Energie der Kugel divergiert.
c) Wir verwenden das Resultat aus Teilaufgabe a und lösen nach R auf:
R=
qp2
3
= 8.64 · 10−16 m = 8.64 · 10−6 Å .
5 4πε0 ∆u
1
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3. Zwei Punktladungen im Raum
Es sei im Folgenden d = |d| > 0.
a) Um die potenzielle Energie einer positiven Ladung q im Feld der beiden Punktladungen
qd und q−d zu kennen, müssen wir das elektrische Potenzial der beiden Punktladungen
berechnen. Aufgrund des Superpositionsprinzips erhalten wir das gesamte elektrische
Potenzial, indem wir die Beiträge der beiden Punktladungen addieren: Φtot (~r) = Φd (~r)+
Φ−d (~r). Im Folgenden betrachten wir die Potenziale entlang der z-Achse.
q±d
1
·
4π0 |z ∓ d|
Φ±d (0, 0, z) =
Die potenzielle Energie der Ladung q erhalten wir durch Multiplikation von Φtot mit q.
Epot(z)
Epot(z)
I
II
0
0
0
-d
z
d
0
-d
d
z
~ tot (~r)
b) Die Kraft auf die Ladung q ist gegeben durch das Produkt des elektrischen Feldes E
mit der Ladung q. Die Bewegungsgleichung für die Bewegung entlang der z-Achse können
wir dann aus mz̈ = qEz bestimmen. Das elektrische Feld ist der negative Gradient des
elektrischen Potenzials. Da wir nur Bewegungen mit |z| << d betrachten wollen, können
wir das elektrische Potenzial in einer Taylor-Reihe um (0,0,0) entwickeln:
P
1 (n)
n
Φ±d (0, 0, z) = ∞
n=0 n! Φ±d (0, 0, 0)z . Die ersten Ableitungen lauten:
qd
1
·
4π0 (d − z)
qd
1
(1)
Φd (0, 0, z) =
·
4π0 (d − z)2
qd
2
(2)
Φd (0, 0, z) =
·
4π0 (d − z)3
(0)
Φd (0, 0, z) =
q−d
4π0
q−d
(1)
Φ−d (0, 0, z) =
4π0
q−d
(2)
Φ−d (0, 0, z) =
4π0
(0)
Φ−d (0, 0, z) =
1
(z + d)
−1
·
(z + d)2
2
·
(z + d)3
·
Also:
qd 1
·
4π0 d
qd
1
(1)
Φd (0, 0, 0) =
· 2
4π0 d
qd
2
(2)
Φd (0, 0, 0) =
· 3
4π0 d
(0)
Φd (0, 0, 0) =
2
q−d
4π0
q−d
(1)
Φ−d (0, 0, 0) =
4π0
q−d
(2)
Φ−d (0, 0, 0) =
4π0
(0)
Φ−d (0, 0, 0) =
1
d
−1
· 2
d
2
· 3
d
·
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• Fall I (q−d = qd ):
qd
Φtot (0, 0, z) ≈
4π0
2
2
+ 3 z2
d d
∂
qd 4
Φtot (0, 0, z) ≈ −
z
∂z
4π0 d3
q
qqd
qqd 4
Also: mz̈ ≈ − 4π0 d3 z. Es liegt ein harmonischer Oszillator mit ω = mπ
3 vor.
0d
⇒ Ez (0, 0, z) = −
• Fall II (q−d = −qd ):
qd
Φtot (0, 0, z) ≈
4π0
2
z
d2
⇒ Ez (0, 0, z) = −
qd 2
∂
Φtot (0, 0, z) ≈ −
∂z
4π0 d2
qqd
qqd 2
Also: mz̈ ≈ − 4π
2 . Es wirkt eine konstante Kraft − 2π d2 .
0 d
0
4. Energiedichte und Gesamtenergie
Beachte, dass die elektrischen Felder (und damit auch die Energiedichten) ausserhalb der
Kondensatoren verschwinden. Somit betrachten wir nur das Innere der Kondensatoren.
Plattenkondensator mit Fläche A und Plattenabstand d:
U
σ
=
E=
ε0
d
=⇒
ε0 U 2
w=
2 d2
=⇒
ε0 A U 2
CU 2
W = wAd =
=
d 2
2
Wobei wir benutzt haben, dass die Kapazität C eines Plattenkondensators gegeben ist durch
C=
ε0 A
.
d
Kugelkondensator mit Radien r1 und r2 , r2 > r1 :
Q
U r1 r2
E=
= 2
2
4πε0 r
r r2 − r1
Z
=⇒
r2
W = 4π
r1
ε0 U 2
2 r4
r 1 r2
r 2 − r1
2
=⇒
ε0 U 2
w=
2 r4
U2
r dr = 4πε0
2
2
Wobei wir die Kapazität C aus Aufgabe 1 benutzt haben.
3
r1 r2
r2 − r1
r 1 r2
r 2 − r1
2 2
1
1
−
r1 r 2
=
CU 2
2