Seminar vom 19. 06. 2008. Aufgabenblatt 10

Übungsblatt 10
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Bachelor Physik
Bachelor Wirtschaftsphysik
Lehramt Physik
26.06.2008
Aufgaben
1. Durch den Querschnitt einer Aluminiumplatte mit der Dicke a = 0, 1 mm und der Höhe b fließt ein Strom
I = 5 A. Diese Platte befindet sich in einem Magnetfeld mit der Induktion B = 0, 5 T, das senkrecht zur
Stromrichtung und senkrecht zu b verläuft. Wie groß ist der Potentialunterschied über die Höhe der Platte?
Die Ladungsträgerdichte sei gleich der Atomdichte (siehe Angaben zu Aufgabe 4, Blatt 6).
2. Durch eine Kupferplatte (Dicke a = 0, 5mm, Höhe b = 10 mm) fließt ein Strom I = 20 A. Befindet sich diese
Platte in einem Magnetfeld der Induktion B = 1 T parallel zur Dicke entsteht ein Potentialunterschied von
UH = 3, 1µV über der Breite der Platte.
Wie groß ist die Konzentration der leitenden Elektronen im Kupfer und ihre mittlere Geschwindigkeit?
3. Eine fiktive Hallsonde - Gerät zum Ausmessen eines Magnetfeldes - soll aus einer Platte (0,2 mm dick) eines
Materials mit positiven
Ladungsträgern
(Ladungsträgerkonzentration n+ = 3 · 1028 m−3 ) und negativen
28
−3
Ladungsträgern n− = 5 · 10 m
hergestellt werden. Für die Beweglichkeiten gelte |< v− > / < v+ >| =
100. Die Ladungen beider Träger seien jeweils Elementarladungen. Mit dieser Sonde soll das Erdmagnetfeld
(50µT ) auf 10 % genau ausgemessen werden. Es steht dafür eine einstellbare Stromquelle und ein Voltmeter zur Verfügung, das auf 1nV genau misst. Welchen Strom muss die Stromquelle mindestens liefern?
Diskutiere das Ergebnis und mache Vorschläge zu einer verbesserten Ausführung einer Hallsonde.
4. Eine Spule hat eine Induktivität von L = 85mH und einen ohmschen Widerstand von 12,5 mΩ. An diese
Spule wird eine (ideale) Spannungsquelle angeschlossen. Wie ist der Verlauf des Stromes? Welche Zeit
vergeht, bis der Strom 99% seines Maximalwertes erreicht hat?
5. Eine Spule habe 12000 Windungen mit kreisförmigen Querschnitt (Radius r = 0, 6 cm) auf einer Länge
l = 15 cm. Wie groß ist die Induktivität dieser Spule? Es fließe in ihr ein (Gleich)strom I = 1, 3 A, der von
einer Spannungsquelle mit U = 2V herrührt. Wie groß ist der magnetische Fluss in der Spule? Wie groß ist
ihr Widerstand?
Die angelegte Spannung wird exponentiell gegen Null gefahren mit einer Zeitkonstanten τ = 1s (Abfall auf
1/e). Wie groß ist die induzierte Spannung? Wann beträgt die Gesamtspannung 0, 01V ?
6. Wie groß ist die Induktivität eines Koaxialkabels der Länge l = 2 m, dessen Innenleiter einen Durchmesser
von di = 0, 6 mm und dessen Außenleiter (aus einer dünnen Folie) den Durchmesser 4 mm besitzen?
Vernachlässige Effekte an den Kabelenden!
7. Eine Aluminiumscheibe (Radius R = 20 cm) rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (ω = 150s−1 ) in
einem homogenen Magnetfeld mit B = 1, 2T , das senkrecht zur Scheibe gerichtet ist. Welche Potentialdifferenz besteht zwischen dem Drehpunkt und dem Rand der Scheibe? Wozu könnte man diese Anordnung
benutzen?
1
Übungsblatt 10
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Bachelor Physik
Bachelor Wirtschaftsphysik
Lehramt Physik
26.06.2008
Lösungen
I·B
1. Die Hall-Spannung beträgt UH = qdn
(q = Ladung der Ladungsträger, d = Strecke des Magnetfeldes in der
Probe, n = Ladungsträgerdichte). Die Ladungsträgerdichte ist hier die Atomdichte die
kg
23
−1 ) sich zu
(mit ρ = Dichte = 2700 m
3 , mAL = 27g/mol, NA = 6 · 10 mol
n=ρ·
NA
= 6 · 1028 m−3
mAl
ergibt.
Mit d = a = 0, 1mm, q = e (Elektron) = 1, 6 · 10−19 As erhält man
UH = 2, 6µV
2. Nach der gleichen Formel wie in Aufgabe 1 ergibt sich (Dicke d = a, Ladung q = e):
n=
I·B
1
I·B
=
= 8, 1 · 1028 3
qdUH
e · a · UH
m
Die mittlere Geschwindigkeit berechnet sich aus dem Strom (mit Höhe h = b) zu
I =q·n·h·d<v >
⇒
I
< v >=
= 3, 1 · 10−4 m/s
enba
3. Die Hallspannungen berechnen sich gemäß
UH =
I·B
qnd
bei einer Stromstärke I in einem Material der Dicke d mit Ladungsträgern mit Ladung q der Konzentration
n in einem Magnetfeld B senkrecht zur Stromrichtung und senkrecht zum Material. Die Spannung ist
senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht zur Stromrichtung.
Sowohl positive geladene Ladungsträger wie die negativen werden in die gleiche Richtung in der Sonde
ausgelenkt, so dass nur die Differenz beider wirksam ist.
Die Hallspannung ist also bei Vorhandensein von positiven und negativen Ladungsträgern:
µ0 B I+
I−
UH = U+ − U− =
−
eb
n+ n−
andererseits gilt:
|UH | = h |v| B = h · B ||< v+ >| − |< v− >||
Wenn nun
< v− > 100
< v+ > = 1
1
ist, so kann der Gesamtstrom
I = hb · e (n+ |< v+ >| + n− |< v− >|)
berechnet werden, der nötig ist, um die geforderte Hallspannung UH = 10−9 V beim vorhandenen Magnetfeld
B = 5µT zu erreichen:
UH = B · h· < v+ > · |1 − 100| = B · 99 · h < v+ >
I = b · e · h < v+ > · (n+ + 100n− )
UH n+ + 100n−
·
= 325A
= be ·
B
99
Dieser große Strom ist nötig, da die Ladungsträgerkonzentration groß ist.
Sinnvoller wäre es, ein Material zu verwenden, dessen Ladungsträgerkonzentration sehr viel kleiner ist, z.B.
einen dotierten Halbleiter.
4. Die Spule erzeugt bei Stromänderungen die Gegenspannung
Uind = −L
dI
dt
Die Gesamtspannung ist die Summe aus Batteriespannung U und induzierter Spannung Uind und gleich dem
Spannungsabfall UR = I · R am Widerstand
U + Uind = UR
⇒
L
dI
+ IR = U
dt
Zum Zeitspunkt t = 0, dem Zeitpunkt des Einschaltens der Spannung, ist der Strom I (t = 0) = 0. Damit
ergibt sich als Lösung obiger DGL
U
−Rt
L
1−e
I (t) =
R
Der Strom ist also zur Startzeit Null, steigt dann asymptotisch an bis zum Endwert U
R (der nie erreicht wird).
Bei 99 % des Endwertes beträgt der zweite Term in der Klammer 0,01, was mit den gegebenen Werten zu
t99 =
l
ln 100 = 31, 4s
r
führt.
5. Die Induktivität L der (Luft)spule berechnet sich aus der Anzahl N der Windungen, dem Querschnitt
A(= πr2 bei kreisförmigen) und der Spulenlänge l zu
L = µ0 ·
Der ohm’sche Widerstand beträgt R =
U
I
N2
· A = 0, 136H
l
= 1, 54Ω.
Der magnetische Fluss bei einem Strom I = 1, 3A beträgt
φ = LI = µ0
N2
A · I = 0, 177W b
l
2
(a) Abschätzung:
t
Die induzierte Spannung berechnet sich (mit U = U0 e− τ ) zu
dφ
d
d
U
L dU
Uind = −
=
(LI) = −
L·
=−
dt
dt
dt
R
R dt
L1
=+
U0 · e−t/τ
Rτ
Die Gesamtspannung ist die Summe der Einzelspannungen, also
L1
Uges = U + Uind = U0 e−t/τ +
U0 e−t/τ
R
τ
L 1 −t/τ
= U0 1 +
e
Rτ
µ0 N 2 · πr2
= U0 1 +
e−t/τ
lRτ
Die Spannung Ux = 0, 01V wird also zum Zeitpunkt
U0
µ0 N 2 · πr2
= 5, 38s
tx = τ · ln
1+
Ux
lRτ
erreicht.
(b) Genauere Betrachtung:
Da der Strom anders als in obiger Abschätzung nicht nur von der angelegten Spannung, sondern auch
von der induzierten abhängt, ergibt sich eine DGL für die induzierte Spannung:
Uind = −
L · U̇ + U̇ind
R
Mit dem Ansatz
Uind = Uio e−t/τ
ergibt sich
Uio =
U0
Rτ
L −1
und Uges = U0 1 +
L
Rτ − 1
= 5, 52s
e−t/τ
Der genauere Wert für die Zeit ist somit
U0
tx = τ ln
Ux
1+
L
Rτ − 1
6. Das Magnetfeld in einem Koaxialkabel (Innenleiterradius r1 , Außenleiter Dicke d und Innenradius r2 ) ist
(siehe Aufgabe 7, Blatt 8) bei der Stromstärke I
im Bereich r < r1 : H1 = I ·
1 r
2π r12
1
im Bereich r1 < r < r2 : H2 = I 2πr
im Bereich r2 < r < r2 + d : H3 =
2
I (r2 +d) −r2
2πr (r2 +d)2 −r2
2
im Bereich r2 + d < r : H4 = 0
3
Der magnetische Fluss im Kabelinneren für ein Kabel der Länge l ist also mit der Fläche A = l (r2 − r1 )
φ=
BdA =
µ0 I
2π
l r2
Bdrdz
z=0r=r1
A
=
l r2
z=0r=r1
1
drdz
r
µ0 I
r2
φ=
· l ln
2π
r1
Andererseits gilt allgemein für die Induktivität
φ=L·I
also:
L=
µ0 · l r2
ln
2π
r1
Mit den gegebenen Zahlenwerten wird
L = 0, 76µH
7. Das rotierende Rad (Radius R) (mit ortsfesten Ladungen versehen) in einem konstanten Magnetfeld ist
äquivalent zu ortsfesten Ladungen in einem rotierenden Magnetfeld. Die induzierte Spannung ist in diesem
Fall (mit ω =Winkelgeschindigkeit der Rotation)
d
d
U =− φ=−
BdA
dt
dt
A
d
=−
dt
= −Bω
Bdϕrdr = −B
R
dϕ
rdr
dt
r=0
R2
2
Mit den angegebenen Zahlenwerten ergibt sich
Uind = −3, 6V
Dies stellt eine Wirbelstrombremse dar, da die induzierte Spannung einen Stromfluss bewirkt und dadurch
ein Magnetfeld, das dem "Erzeugenden" entgegengesetzt ist.
4