Elektrodynamik und Spezielle Relativit¨atstheorie

Elektrodynamik
und
Spezielle Relativitätstheorie
Peter Marzlin
Sommersemester 2001
gesetzt in LATEX 2 von Wolfram Quester
∋
ii
Inhaltsverzeichnis
1
2
Maxwell-Gleichungen und Eichfelder
1.1 Die Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . .
1.2 Wiederholung: Lineare Differentialgleichungen
1.3 Skalares Potential und Vektorpotential . . . . .
1.4 Eichtransformationen . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Kopplung an geladene Teilchen . . . . . . . . .
1.6 Energie- und Impulsdichte . . . . . . . . . . .
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1
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1
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4
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5
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6
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8
. 10
Elektrostatik
2.1 Coulomb-Potential, Poisson- und Laplace-Gleichung
2.2 Green-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Randbedingungen, Greenscher Satz . . . . . . . . .
2.4 Methode der Spiegelladungen . . . . . . . . . . . .
2.5 Green-Funktion in sphärischen Koordinaten . . . . .
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13
13
14
17
18
20
3
Magnetostatik
23
3.1 Die Feldgleichungen und ihre Lösung . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Das Gesetz von Biot und Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Kreisströme und magnetische Quadrupolfalle . . . . . . . . . . . 26
4
Veränderliche Felder
4.1 Ebene Wellen . . . . . . . .
4.2 Green-Funktionen . . . . . .
4.3 Liénard-Wiechert-Potentiale
4.4 Multipolentwicklung . . . .
5
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Elektrodynamik in dielektrischen Medien
5.1 Makroskopische Maxwell-Gleichungen . . . . . .
5.2 Randbedingungen an Grenzschichten . . . . . . . .
5.3 Elektrostatische Probleme in dielektrischen Medien
5.4 Clausius-Mosotti und Lorentz-Lorenz-Beziehungen
iii
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31
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45
. . . 47
. . . 51
. . . 54
. . . 57
iv
INHALTSVERZEICHNIS
5.5
6
Magnetische Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare und nichtlineare Optik
6.1 Reflexion und Refraktion . . . . . . . . . .
6.2 Doppelbrechung und Optische Aktivität . .
6.3 Eikonal-Näherung, Geometrische Optik . .
6.4 Paraxialnäherung, fokussierte Lichtstrahlen
6.5 Nichtlineare Optik . . . . . . . . . . . . .
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7 Spezielle Relativitätstheorie
7.1 Forminvarianz, Galilei-Transformation und Elektrodynamik
7.2 Einsteinsche Postulate, Lorentz-Transformationen . . . . . .
7.3 Längenkontraktion und Zeitdilatation . . . . . . . . . . . .
7.4 Lorentz-Gruppe und Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Relativistische Formulierung der Elektrodynamik . . . . . .
7.6 Eigenzeit, relativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Paradoxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.1 Zwillingsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.2 Maßstab-Paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.3 Wie sieht ein bewegtes Objekt aus? . . . . . . . . .
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66
69
73
76
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83
83
85
87
89
92
95
99
99
100
101
8
Ein kleiner Ausblick
105
8.1 Allgemeine Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2 Quantenelektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9
Formelsammlung
9.1 Rechenregeln für die δ-Distribution . . . . .
9.2 Nablakalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Vektoridentitäten . . . . . . . . . . .
9.2.2 Laplaceoperator in Kugelkoordinaten
9.3 Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Gaußscher Satz . . . . . . . . . . . .
9.3.2 Satz von Stokes . . . . . . . . . . . .
9.3.3 Greensche Integralsätze . . . . . . .
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111
111
112
112
112
112
112
112
112
Kapitel 1
Maxwell-Gleichungen und
Eichfelder
1.1
Die Maxwell-Gleichungen
Die Maxwell-Gleichungen beschreiben alle Phänomene, die mit (klassischen) elektrischen und magnetischen Feldern zu tun haben. Im Vakuum lauten sie:
ρ
div ~B = 0
∋
div ~E =
0
rot ~E = −~B˙
rot ~B = µ0 ~j + 0 ~E˙
(1.1)
∋
Darin bezeichnet ~E das elektrische und ~B das magnetische Feld; ρ(~x,t) ist die
Ladungs- und ~j(~x) die Stromdichte. Die Divergenz und die Rotation einer Funktion ~R(~x) sind dabei definiert als
∂
Ri (~x) = ∂i Ri (~x)
i=1 ∂xi
3
div ~R(~x) = ∑
3
rot ~R(~x) i =
∑
εi jk
j,k=1
∂
Rk = εi jk ∂ j Rk (~x)
∂x j
Für die jeweils nach dem zweiten Gleichheitszeichen angegebene Kurzschreibweise wurde die Einsteinsche Summenkonvention verwendet, nach der über doppelt vorkommende Indizes zu summieren ist (hier von 1 bis 3). εi jk ist das antisymmetrische Levi-Civita-Symbol, das definiert ist als


(i jk) = (123), (231), (312)
1
εi jk = −1 (i jk) = (132), (321), (213)


0
sonst
1
2
KAPITEL 1. MAXWELL-GLEICHUNGEN UND EICHFELDER
Aus dieser Definition folgt εi jk = ε jki und εi jk = −ε jik .
Aus Konsistenzgründen muss die Kontinuitätsgleichung gelten:
ρ̇ + div ~j = 0
(1.2)
Beweis:
∋
0 div
1 ~
rot B − µ0~j
µ0
∋
=
˙
E
0 div ~
∋
ρ̇ =
0
1
= div rot ~B − div ~j
µ0
div rot ~B = ∂i εi jk ∂ j Bk = εi jk ∂i ∂ j Bk = 0
|{z} |{z}
(1.3)
antisym. sym.
Die physikalische Bedeutung der Kontinuitätsgleichung liegt in der Ladungserhaltung:
Z
Q(t) =
V
Z
=⇒ Q̇ =
V
ρ(~x,t) d3 x
ρ̇ d x = −
3
Z
div ~j d 3 x
V
Verwendet man nun den Gaußschen Satz,
div ~R d 3 x =
ZZ
V
0
Z
∂V
~R d~s
(1.4)
so sieht man, dass die Ladungsänderung im Volumen V gleich der Summe des
Stroms ist, der aus V abfließt:
0
Q̇ = −
ZZ
∂V
~j d~s
(1.5)
Darin ist ∂V die Oberfläche (= der Rand) von V .
Aus den Maxwell-Gleichungen sollen nun Differentialgleichungen zweiter
Ordnung abgeleitet werden:
(rot rot ~E)i = εi jk ∂ j (rot ~E)k
= εi jk ∂ j εklm ∂l Em
Benutzt man εi jk εklm = δil δ jm − δim δ jl , so ergibt sich:
(rot rot ~E)i = δil δ jm ∂ j ∂l Em − δim δ jl ∂ j ∂l Em
3
1.1. DIE MAXWELL-GLEICHUNGEN
=⇒ (rot rot ~E)i = ∂i ∂m Em − ∂l ∂l Ei
= ∇i div ~E − ∆Ei
rot rot ~E = ∇div ~E − ∆E
⇒ ∇div ~E − ∆~E = −rot ~B˙ = −∂t µ0 ~j + 0 ~E˙
∋
1
∇ρ − ∆~E = −µ0 ∂t ~j − 0 µ0 ~E¨
∋
∋
⇒
0
Verwendet man
∋
0 µ0
=
1
c2
so folgt
1 ∂2
∂
1
− ∆ ~E = −µ0 ~j − ∇ρ
(1.6)
2
2
c ∂t
∂t
0
2
Der darin vorkommende d’Alembert-Operator c12 ∂t∂ 2 − ∆ wird häufig mit abgekürzt.
Analog ergibt sich:
∋
~B¨ = −rot ~E˙ = −rot 1 rot ~B − µ0~j
0 µ0
1 ~¨
~B −∆~B + µ0 rot ~j
⇒ 2 B = − ∇ div
| {z }
c
∋
=0
=⇒
1 ∂2
− ∆ ~B = µ0 rot ~j
c2 ∂t 2
(1.7)
Diese Gleichungen sind Wellengleichungen! Für sie kann man verschiedene Spezialfälle unterscheiden:
1. ~j, ~ρ = 0 ⇒ Freie Wellenausbreitung, die Differentialgleichungen sind homogen und linear.
2. ~j, ~ρ sind vorgegeben ⇒ Die Theorie der dazugehörigen elektromagnetischen Felder behandelt inhomogene Differentialgleichungen und beschreibt
die von Ladungen und Strömen ausgehenden Felder.
3. ~j, ~ρ hängen (näherungsweise) linear von ~E, ~B ab.
⇒ Lineare Dielektrika (polarisierbare Medien), führen zu linearen Differentialgleichungen.
4
KAPITEL 1. MAXWELL-GLEICHUNGEN UND EICHFELDER
4. ~j, ~ρ hängen nichtlinear von ~E, ~B ab.
⇒ Nichtlineare Differentialgleichungen, im allgemeinen schwer zu lösen.
Nichtlineare Optik.
1.2
Wiederholung: Elementare Eigenschaften
linearer Differentialgleichungen
Die Tatsache, dass die Maxwell-Gleichungen in vielen Fällen linear sind macht,
ihre Behandlung – im Prinzip – recht einfach. Sei L̄¯ ~E = J~ eine lineare Differentialgleichung. In unserem Fall haben wir drei Gleichungen
(für jede Komponente des
2
1 ∂
¯
elektrischen Feldes eine), so dass L̄i j = δi j c2 ∂t 2 − ∆ und J~ = µ0 ∂t∂ ~j − 10 ∇ρ.
Die homogene Differentialgleichung L̄¯ ~E = 0 hat dann einen Satz unabhängiger
Lösungen, denen wir zur Unterscheidung einen Index α geben:
∋
L̄¯ ~Eα = 0
α = Index
2
Beispiel: L̄¯ = i~∂t + ~2M∆ − V (x), L̄¯ Ψ = 0: zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
(enthält auch stationäre Lösungen).
Beim elektromagnetischen Feld sind die Lösungen laufende Wellen:
~E~ = ~E cos(~k~x − c|~k|t)
k
(oder sin(. . .))
Der Beweis erfolgt durch Einsetzen:
2
1
∂
Li j (~E~k ) j = δi j E j 2 2 − ∆ cos(~k~x − c|~k|t)
c ∂t
= Ei −|~k|2 +~k2 cos(~k~x − c|~k|t)
(1.8)
(1.9)
Es gilt das Superpositionsprinzip:
Sind ~E~k1 und ~E~k2 Lösungen von L̄¯ ~Eα = 0, so ist auch a~E~k1 + b~E~k2
(a, b ∈ C) Lösung.
Wichtiges Beispiel: ~E1 = E cos(~k~x − c|~k|t)
~E2 = E sin(~k~x − c|~k|t)
~E = ~E1 + i~E2 = E exp(i~k~x − c|~k|t) ist auch Lösung, ebenso ~E ∗ = ~E1 − i~E2 (da der
Operator L̄¯ keine komplexen Zahlen enthält (L̄¯ = )). ⇒ Re ~E = ~E1 , Im ~E = ~E2
sind reelle Lösungen.
Wir können also, obwohl die physikalischen ~E- und ~B-Felder reell
sind, auch komplexe Lösungen betrachten und dann Real- bzw. Imaginärteil davon nehmen. Das ist oft bequemer.
5
1.3. SKALARES POTENTIAL UND VEKTORPOTENTIAL
Durch Superposition (z. B. ebener Wellen) gibt es in der Elektrodynamik wie
in der Quantenmechanik Interferenz:
~E1 =~e1 A1 ei~k1~x ,
~E2 =~e1 A2 ei~k2~x
~
~
=⇒ Intensität ∼ |~E1 + ~E2 |2 = |A1 |2 + |A2 |2 + Re (A1 A∗2 ei(k1 −k2 )~x )
Darin ist der Term Re (. . . ) der sogenannte Interferenzterm. Die physikalische Erklärung der Interferenz ist, dass elektromagnetische Felder ein Wellenphänomen
sind, ähnlich wie Wasserwellen. Allerdings fehlt ihnen die materielle Substanz,
auf der sie schwingen (kein Äther“, s. a. Kapitel 7). Im Gegensatz zur Quanten”
mechanik gibt es in der klassischen Elektrodynamik keine Quanten-Interferenz.
Die Interferenzmuster sind rein klassisch, es gibt keinen Welle-Teilchen-Dualismus. Dieser taucht – bei anderen Interferenzphänomenen – erst in der Quantenelektrodynamik auf, die Photonen beschreibt.
1.3
Skalares Potential und Vektorpotential
Eine der Maxwell-Gleichungen (1.1) lautet: div ~B = 0 (= ∂i Bi ). Nach Gleichung (1.3)
gilt allgemein: div rot ~A = 0. Daher läßt sich das magnetische Feld auch schreiben
als1
~A = Vektorpotential
~B = rot ~A
~B ist ein reines Wirbelfeld, d. h. es existieren keine magnetischen Quellen (= magnetische Monopole).
Setzt man das weiter in die Maxwell-Gleichungen (1.1) ein, so erhält man
⇒rot ~E = −~B˙ = −rot ~A˙
˙ =0
⇒rot (~E + ~A)
es gilt allgemein rot grad φ = εi jk ∂ j ∂k φ = 0
⇒~E + ~A˙ = −∇φ
⇒ ~E = −∇φ − ~A˙
1 Wir
φ = skalares Potential
sehen hier von Subtilitäten ab wie sie in mehrfach zusammenhängenden Raumgebieten
auf Grund topologischer Phänomene auftreten können.
6
KAPITEL 1. MAXWELL-GLEICHUNGEN UND EICHFELDER
Die Potentiale ~A und φ sind nicht meßbar. Meßbar sind nur ~E und ~B. Allgemeine
Bewegungsgleichungen für die Potentiale lauten:
ρ
∋
div ~E =
= −div grad φ − div ~A˙
0
¨
rot ~B = rot rot ~A = µ0 ~j + 0 [−∇φ̇ − ~A]
∋
ρ
∆φ = − − div ~A˙
0
=⇒ 1
~A¨ − ∆~A + ∇div ~A = µ0~j − 1 ∇φ̇
2
c
c2
(1.10)
∋
Wäre div ~A = 0, so hätten wir die Poisson-Gleichung für φ und eine Wellengleichung für ~A. φ spielt dann die Rolle des Coulomb-Potentials. Dies läßt sich
tatsächlich erreichen.
1.4
Eichtransformationen
Durch ~B = rot ~A wird ~A nicht eindeutig festgelegt. Wegen rot grad χ = 0 für beliebiges χ führt
~ 0 = ~A + ∇χ
A
zum selben ~B-Feld. Ebenso führen φ und
φ0 = φ − ∂t χ
zum gleichen ~E-Feld, denn
~ 0 = −∇φ0 − ~A˙ 0 = −∇φ + ∇χ̇ − ~A˙ − ∇χ̇
E
= −∇φ − ~A˙ = ~E
Dies nennt man Eichtransformationen. Die physikalischen Felder ~E, ~B bleiben dabei unverändert. Eichtransformationen können dazu verwendet werden, bestimmte (bequeme) Bedingungen an die Potentiale zu stellen. Am gebräuchlichsten sind
die folgenden:
div ~A = 0
1 ∂
div ~A + 2 φ = 0
c ∂t
Coulomb-Eichung
(1.11)
Lorentz-Eichung
7
1.4. EICHTRANSFORMATIONEN
Beide sind voneinander unabhängig und nicht gleichzeitig zu erfüllen. Die erste
führt zur Coulomb-Eichung, diese ist aber nicht kovariant. Die Lorentz-Eichung
ist dagegen Lorentz-invariant und deswegen für die Relativitätstheorie wichtig
(s. Kapitel 7).
Zur Herleitung der Coulomb-Eichung:
Seien ~A0 , φ0 irgendwelche Potentiale. Gesucht ist ein χ, so dass div ~A = 0:
!
~A = ~A0 − ∇χ =⇒ div ~A = div ~A0 − ∆χ =
0
Das ist eine Differentialgleichung für χ:
∆χ = div ~A0
Poisson-Gleichung für χ
(1.12)
Mit der Lösung
χ(~x,t) = −
Beweis:
∆x χ = −
1
4π
Z
1
4π
Z
div ~A0 (~x0 ) 3 0
d x
|~x −~x0 |
div ~A0 (~x0 )∆x
1
d 3 x0
|~x −~x0 |
Für die weitere Umformung benutzen wir folgenden wichtigen Satz, der später
(auf Seite 15) bewiesen wird:
∆x
1
= −4πδ(~x −~x0 )
|~x −~x0 |
1
∆x χ = −
div ~A0 (~x0 )(−4π)δ(~x −~x0 )
4π
= div ~A0 (~x)
Z
=⇒
qed.
Setzt man die Coulomb-Eichung aus Gleichung (1.11) in Gleichung (1.10)
ein, so erhält man die Feldgleichungen für die Potentiale in Coulomb-Eichung:
1 ∂2
1
− ∆ ~A = µ0~j − 2 ∇φ̇
2
2
c ∂t
c
ρ
∆φ = −
∋
0
Interpretation: φ =
b Coulomb-Potential
~A =
b elektromagnetische Wellen
Achtung: Die Interpretation hängt von den Eichbedingungen ab!
(1.13)
8
1.5
KAPITEL 1. MAXWELL-GLEICHUNGEN UND EICHFELDER
Kopplung an geladene Teilchen
Die Bewegungsgleichung klassischer geladener Teilchen
m~x¨ = q~E + q~x˙ × ~B
Elektrische + Lorentz-Kraft
kann aus der Lagrange-Funktion
1
L = m~x˙2 + q~x˙~A(~x,t) − qφ(~x,t)
2
(1.14)
wie folgt abgeleitet werden: Der kanonisch konjugierte Impuls ~p ist definiert als
pi :=
∂L
⇒ pi = mẋi + qAi (~x,t)
∂ẋi
(1.15)
In Anwesenheit eines elektromagnetischen Feldes ist der kanonisch konjugierte
˙ Die Euler-LagrangeImpuls also verschieden vom kinetischen Impuls ~Π = m~x.
Gleichungen lauten:
∂L
d
pi =
(1.16)
dt
∂xi
Gleichungen (1.14) und (1.15) einsetzen:
∂L
= −q∂i φ + qẋk ∂i Ak
∂xi
d
∂
∂
pi = mẍi + q Ai (~x(t),t) + q
Ai (~x(t),t) ẋk
dt
∂t
∂xk
=⇒ mẍi = −q∂i φ − q∂t Ai + qẋk (∂i Ak − ∂k Ai )
(1.17)
verwenden −∂i φ − ∂t Ai = Ei (gilt per definitionem)
=⇒ mẍi = qEi + qẋk (∂i Ak − ∂k Ai )
(1.18)
nun ist aber B j = (rot A) j = ε jmn ∂m An
=⇒ εik j B j = εik j ε jmn ∂m An
= ε jik ε jmn ∂m An
= (δim δkn − δin δkm )∂m An
= ∂i Ak − ∂k Ai
=⇒ mẍi = qEi + qẋk εik j B j
= qEi + q(~x˙ × ~B)i
(1.19)
qed.
1.5. KOPPLUNG AN GELADENE TEILCHEN
9
Mit Hilfe der Lagrange-Funktion kann man den Hamilton-Operator und die Form
der Schrödinger-Gleichung herleiten: In der klassischen Mechanik lautet die Hamilton-Funktion
H = pi ẋi − L
Sie soll mit Hilfe von ~x˙ = m1 (~p − q~A) als Funktion von ~p und ~x ausgedrückt werden.
1
1 1
1
=⇒ H = pi (pi − qAi ) − m 2 (~p − q~A)2 − q (~p − q~A)~A + qφ
m
2 m
m
1
H=
(~p − q~A)2 + qφ
2m
Um zur Quantenmechanik überzugehen verwendet man die kanonische Quantisierung:
~x → ~xˆ ; ~p → ~pˆ ; [x̂i , p̂ j ] = δi j
In der Ortsdarstellung gilt:
~x → ~xˆ ;
=⇒ Ĥ =
~p → −i~∇
2
1 ˆ
ˆ
−i~∇ − q~A(~x,t)
+ qφ(~x,t)
2m
i~∂t Ψ(~x,t) = ĤΨ(~x,t)
Dies ist die Schrödinger-Gleichung für nichtrelativistische Teilchen in einem elektromagnetischen Feld. Die Form (~p − q~A) wird minimale Kopplung genannt. Sie
spielt in der Hochenergiephysik eine zentrale Rolle. Von der Grundstruktur her haben alle Fundamentalkräfte außer der Gravitation (also elektromagnetische, starke
und schwache Wechselwirkung) diese Form.
Liegen elektrisch neutrale Teilchen vor, verwendet man gerne eine alternative
Form: die Dipolkopplung. Zu deren Herleitung geht man von der Feststellung aus,
dass sich die Euler-Lagrange-Gleichungen nicht ändern, wenn man zur LagrangeFunktion eine totale Zeitableitung addiert:
L0 (x, ẋ,t) = L(x, ẋ,t) +
d
d ∂L0 ∂L0
d ∂L ∂L
F(~x,t) =⇒
−
=
−
dt
dt ∂ẋ
∂x
dt ∂ẋ ∂x
Der Einfachkeit halber betrachten wir konstante Felder ~E und ~B (der Beweis geht
auch allgemein).
~E = ~E0 ; ~B = ~B0 ⇐⇒ φ = −~x~E0
~A = − 1 (~x × ~B0 )
2
10
KAPITEL 1. MAXWELL-GLEICHUNGEN UND EICHFELDER
Wähle F = −q~x~A
=⇒
d
q
˙ ~B0
F = −q~x˙~A + (~x ×~x)
dt
2
1
q
˙ ~B0
L0 = m~x˙2 + q~x˙~A + q~x~E0 −q~x˙~A + (~x ×~x)
2
2
|
{z
}
(1.20)
(1.21)
L
1
q
= m~x˙2 + q~x~E0 + ~L~B0
2
2m
Setzen d~ := q~x
q~
~µ := 2m
L
˙
mit ~L = (~x × m~x)
(1.22)
elektrisches Dipolmoment des Teilchens
magnetisches Moment des Teilchens
1
L0 = m~x˙2 + d~~E0 +~µ~B0
2
˙
Vorteil: Jetzt gilt für den kanonisch konjugierten Impuls ~p = m~x.
1.6
Energie- und Impulsdichte
In der Mechanik wird die Energie über die Hamilton-Funktion berechnet. Kennt
man die Lagrange-Funktion L(qi , q̇i ), so gilt (für Punktteilchen)
pi =
∂L
;
∂q̇i
H(pi , qi ) = pi q̇i − L;
q̇i = q̇i (p j , q j )
Das läßt sich auf Feldtheorien verallgemeinern. An Stelle von q und q̇ sind die
˙ x). Am einfachsten stellt man sich das
dynamischen Variablen dann ~A(~x) und ~A(~
durch eine Diskretisierung des Raumes vor. Statt kontinuierlichem x betrachtet
man diskrete Punkte xn ; (n = 1, 2, 3, . . . , N) (z. B. xn = x0 + n · ∆x mit x0 , ∆x
fest). Das ist genau das, was oft bei der numerischen Lösung von Differentialgleichungen gemacht wird. Man hat dann eine Theorie für die endlich vielen Variablen An = A(xn ), die genauso aussieht wie für N Punktteilchen. Anstatt der
˙ x)). In
Lagrange-Funktion L(q, q̇) haben wir nun die Lagrange-Dichte L (~A(~x), ~A(~
der Punktteilchen-Mechanik
werden die Euler-Lagrange-Gleichungen durch VaR
riation
der
Wirkung
S
=
dtL
hergeleitet. In der Feldtheorie
ist die Wirkung durch
R
R
3
S = dtd x L gegeben, so dass die Rolle von L durch dtd 3 x L übernommen
wird.
Für das elektromagnetische Feld gilt:
0
˙
˙
2
2
2
~
~
~
~
(−A − ∇φ) − c (rot A)
L (A, A, φ, φ̇) =
2
∋
11
1.6. ENERGIE- UND IMPULSDICHTE
Die Euler-Lagrange-Gleichungen von L sind die Maxwell-Gleichungen für ~A und
φ. Sie lauten für die ite Komponente des Vektorpotentials (analog für das skalare
Potential)
∂L
∂L
∂ ∂L
∂
−
+
=0
∂t ∂Ȧi ∂xk ∂ ∂Ai
∂Ai
∂xk
Zu L gehört eine kanonische Impulsdichte
∂L
= − 0 Ei (x)
∂Ȧi (x)
∂L
Π(φ) (x) =
=0
∂φ̇(x)
(A)
Πi (x) =
∋
Um die Energie auszurechnen, führt man eine Hamiltondichte H (A, Π(A) , φ) ein:
Z
Energie H =
H (A(x), Π(A) (x), φ(x)) d 3 x
In der Punktteilchen-Theorie ist H = pq̇ − L. In der Feldtheorie ist
Z
H=
=
H d3x
Z h
(A)
Πi (x)Ȧi (x) + Π(φ) (x)φ̇(x) − L
i
d3x
(A)
=⇒ H = Πi (x)Ȧi (x) + Π(φ) (x)φ̇(x) − L
Eigentlich ist H = H (A(x), Π(A) , φ(x), Π(φ) ), aber es ist physikalisch sinnvoller
H = H (~E, ~B) zu schreiben:
∋
=⇒ H = − 0 Ei (x) [−Ei (x) − ∂i φ] −
0~ 2
2
E +
c2 0 ~ 2
B
2
∋
∋
=⇒
∋
~E = −~A˙ − ∇φ
0
(~E 2 − c2~B2 )
2
~A˙ = −~E − ∇φ
=⇒ H = − 0 Ei (x)Ȧi (x) −
∋
∋
1
= E + ~B2 + 0 ~E · ∇φ
2
2µ
H d3x
Z =
∋
H=
1 ~2 3
E + B d x+
2
2µ
0~ 2
Z
∋
Z
∋
0~ 2
0
~E · ∇φ d 3 x
12
KAPITEL 1. MAXWELL-GLEICHUNGEN UND EICHFELDER
Partielle Integration im zweiten Term:
∋
0
~E · ∇φ d 3 x = −
Z
(div ~E)φ d 3 x = 0 wegen div ~E = 0 bei ρ = 0
Z 1 ~2
0~ 2
E +
B d3x
=⇒ H =
2
2µ0
|
{z
}
∋
Z
0
∋
Energiedichte
Dies ist die Energie elektromagnetischer Felder im freien Raum.
Anmerkung: Man kann die allgemeine Form von H auch aus der Invarianz der
Lagrange-Dichte gegenüber Verschiebungen des Zeitnullpunktes herleiten. Energieerhaltung hängt also damit zusammen, dass keine expliziten Zeitabhängigkeiten
vorkommen. In der Literatur wird der Zusammenhang zwischen Symmetrien und
Erhaltungsgrößen als Noether-Theorem (siehe z. B. [4]) bezeichnet.
Genauso ist die Impulserhaltung eine Folge räumlicher Homogenität (Es treten
nur Abstände auf, keine absoluten Koordinaten). Für das elektromagnetische Feld
folgt für den Gesamtimpuls (ohne Beweis):
Z
∋
~P =
0
(~E × ~B) d 3 x
(
1 ~ ~
(E × B) =: ~S
µ0
Poynting-Vektor)
Kapitel 2
Elektrostatik
2.1
Coulomb-Potential, Poisson- und
Laplace-Gleichung
In der Elektrostatik behandelt man die Situation, dass nur ruhende Ladungen als
Quellen auftreten, es fließen also keine Ströme, j = ρ̇ = 0. Die Maxwell-Gleichungen werden dann zu
ρ
div ~B = 0
∋
div ~E =
0
1 ∂~E
rot ~B = 2
c ∂t
rot ~E = −~B˙
(2.1)
~E kann als zeitunabhängig angesetzt werden, da es Lösung einer zeitunabhängigen
Differentialgleichung ist (ρ̇ = 0, keine Ausbreitung der Felder). Daher kann auch
~B = 0 gesetzt werden:
rot ~B = 0
=⇒ ~B = 0
div ~E =
ρ
rot ~E = 0
∋
Für das E-Feld folgt
0
Wegen rot grad φ = 0 und rot ~E = 0 (das E-Feld ist wirbelfrei) kann ~E geschrieben
werden als
~E = −∇φ
ρ
=⇒ div ~E = = −div ∇φ = −∆φ
∋
∋
∆φ = −
ρ
0
Poisson-Gleichung
0
13
14
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
φ ist dann das Coulomb-Potential. In Raumbereichen ohne Ladungsträger erfüllt
φ die Laplace-Gleichung
∆φ = 0
Dort kann φ kein Maximum oder Minimum annehmen (Sattelpunkte sind möglich).
Zur Motivation dieses Theorems geht man von der Annahme aus, dass φ an x = 0
ein Maximum/Minimum hat. Taylor-Entwicklung von φ ergibt (in einem geeigneten Koordinatensystem)
φ = φ0 + αx2 + βy2 + γz2 + O(x3 , y3 , z3 )
!
0 = ∆φ = 2α + 2β + 2γ
Hätte die Funktion dort ein Minimum, so müßte dort gelten ∆φ > 0, bei einem
Maximum ∆φ < 0.
Die Aufgabe der Elektrostatik ist es, für ein gegebenes ρ(x) und Randbedingungen die Poisson-Gleichung zu lösen. Dabei sind die Randbedingungen, die
z. B. durch Metallplatten vorgegeben werden, der schwierige Teil.
2.2
Green-Funktionen
Green-Funktionen sind eine äußerst wichtige Methode zur Lösung inhomogener
Differentialgleichungen. Diese treten typischerweise bei der Störungstheorie auf,
z. B. bei der Lösung der Schrödinger-Gleichung:
Ψ00 + εV (x)Ψ = E(ε)Ψ
Ψ = Ψ0 + εΨ1 + · · ·
00
00
Ψ0 + εΨ1 + εV (x)(Ψ0 + εΨ1 ) = (E0 + εE1 )(Ψ0 + εΨ1 )
=⇒Ψ000 − E0 Ψ0 = 0
Ψ001 − E0 Ψ1 = (E1 −V (x))Ψ0
homogene DGL
inhomogene DGL
Die Green-Funktion der Elektrostatik ist definiert als Lösung der Gleichung
∂2
G(~x,~x0 ) = δ(~x −~x0 )
2
∂x
i=1
i
3
∆x G(~x,~x0 ) = ∑
Die Lösung von ∆φ = − ρ0 ist dann gegeben durch
∋
−
1
∋
φ(~x) =
Z
0
ρ(~x0 )G(~x,~x0 ) d 3 x0
(2.2)
15
2.2. GREEN-FUNKTIONEN
Beweis:
∋
∆x φ(~x) = −
1
∆x
Z
Z
ρ(~x0 )∆x G(~x,~x0 ) d 3 x0
Z
ρ(~x0 )δ(~x −~x0 ) d 3 x0
ρ(~x0 )G(~x,~x0 ) d 3 x0
0
∋
=−
1
0
∋
=−
1
0
qed.
∋
=−
ρ(~x)
0
Um ∆x G = δ(x − x0 ) zu lösen verwenden wir
∆x
1
= −4πδ(~x −~x0 )
|~x −~x0 |
Beweis:
1. Annahme: |~x −~x0 | 6= 0
∂i ∂i
1
1
= ∂i ∂i 1
0
|~x −~x |
2
0
2
∑ j (x j − x j )
1
1
0
= ∂i −
3 · 2(xi − xi )
2
2
∑ j (x j − x0j )2
= −∂i xi − xi0
∑ j (x j − x0j )2
= −
= −
3
(∂i xi )
∑ j (x j − x0j )2
3
2
2
− (xi − xi0 )
3
−
2
2(xi − xi0 )
5
2
∑ j (x j − x0j )2
(xi − xi0 )2
+
3
·
3
5
2
2
∑ j (x j − x0j )2
∑ j (x j − x0j )2
3
=0
2. Um den Fall ~x = ~x0 zu berechnen, muss man ein Integral betrachten, denn
Distributionen wie die δ-Distribution sind eigentlich nur unter einem Integral definiert.
Z
I=
F(~x0 )δ(~x −~x0 ) d 3 x0 := F(~x)
16
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
F(~x) ist dabei eine sogenannte
Testfunktion, d. h. eine gutartige“ Funktion
R
”
(alle Ableitungen existieren, F(~x) d 3 x endlich, . . . )
∆x |~x −~x0 |−1 = −4πδ(~x −~x0 ) ist also äquivalent zu
Z
Z
1
3 0
0
F(~x )∆x
d x = −4π F(~x0 )δ(~x −~x0 ) d 3 x0 = −4πF(~x)
0
|~x −~x |
V
V ist dabei ein beliebiges Volumen. Wir wählen V = Kε , eine Kugel mit
Radius ε um |~x −~x0 | = 0. Wir setzen noch ~x00 = ~x −~x0 , ~x0 = ~x −~x00 , d 3 x0 =
d 3 x00 . Dann ist
Z
Z
1
1
0
3 0
F(~x )∆x
d x =
F(~x −~x00 )∆x00 00 d 3 x00
0
|~x −~x |
|~x |
V
Kε
F(~x −~x00 ) ist differenzierbar, daher läßt sich schreiben
F(~x −~x00 ) = F(~x) − ∂i F(~x)xi00 + . . .
Weil Kε klein ist (~x00 ≈ 0), können wir F(~x −~x00 ) durch F(~x) ersetzen. Das
Integral wird dann zu
Z
1
F(~x)
div grad 00 d 3 x00
(2.3)
|~x |
Kε
Mit dem Gaußschen Satz (1.4) wird daraus
I
1
F(~x)
~n~∇ 00 ds
(2.4)
|~x |
∂Kε
wobei ∂Kε die Kugeloberfläche ist und
~n =
~x00
|~x00 |
;
00
~∇ 1 = − ~x
|~x00 |
|~x00 |3
(2.5)
verwendet man, dass auf ∂Kε gilt |~x00 | = ε, so wird das Integral zu
00 I
~x00
~x
I = F(~x)
− 3 ds
ε
∂K ε
Auf der Kugeloberfläche mit Radius ε gilt ds = ε2 sin ϑ dϑ dϕ
I = −F(~x)
Z
sin ϑ dϑ dϕ = 4πF(~x)
qed.
1
1
+ g(~x,~x0 )
(2.6)
4π |~x −~x0 |
Wobei g(~x,~x0 ) eine Lösung der homogenen Gleichung ist. g(~x,~x0 ) wird dazu verwendet, die Randbedingungen an G(~x,~x0 ) zu erfüllen. Einfachstes Beispiel: Unendlich ausgedehnter Raum mit G → 0 für |~x −~x0 | → ∞
1
1
=⇒ G(0) (~x −~x0 ) = −
4π |~x −~x0 |
=⇒ G(~x,~x0 ) = −
17
2.3. RANDBEDINGUNGEN, GREENSCHER SATZ
Anmerkungen zur δ-Distribution
δ(~x) ist wie schon angemerkt keine Funktion, sondern eine Distribution. D. h. (per
Definitionem),
dass δ(~x) nur unter einem Integral sinnvoll ist: Streng genommen
R
ist F(~x)δ(~x −~x0 ) d 3 x definiert, nicht aber F(~x)δ(~x −~x0 ) als Funktion. F(~x) ist
dabei eine gutartige“ Funktion, die unendlich oft differenzierbar ist.
”
Wegen ∆G = δ(x) ist auch die Green-Funktion eigentlich eine Distribution.
In der Tat wird sie singulär für x = x0 und ist daher nicht überall als Funktion
wohldefiniert.
2.3
Randbedingungen, Greenscher Satz
Um herauszufinden welche Randbedingungen gelten können, kann man den Greenschen Satz verwenden:
Z
V
I
(φ∆Ψ − Ψ∆φ) d 3 x =
∂V
(φ~n∇Ψ − Ψ~n∇φ) ds
(2.7)
Der Greensche Satz ist eine einfache Folgerung des Gaußschen Satzes (1.4) mit
~R = φ∇Ψ − Ψ∇φ
1
1
Sind speziell φ eine Lösung von ∆φ = −ρ/ 0 und Ψ = − 4π
|~x−~x0 | , so ergibt
sich:
Z
Z 1
1 ρ(~x0 )
3
0
(φ∆Ψ − Ψ∆φ) d x =
φδ(~x −~x ) −
d 3 x0
0
4π |~x −~x | 0
V
V
Z
1
ρ(~x0 ) 3 0
= φ(~x) −
d x
4π 0 |~x −~x0 |
∋
∋
∋
Z
V
ρ(~x)
1
d3x +
0
4π 0 |~x −~x |
4π
∋
=⇒ φ(~x ) =
0
I
∂V
~n∇φ
1
− φ(~x)~n∇
0
|~x −~x |
|~x −~x0 |
ds (2.8)
Man sieht hier, wie Randterme wirken können. Allerdings ist die Vorgabe von
φ und~n∇φ nicht gleichzeitig möglich (Überbestimmung). Gleichung (2.8) hat den
Charakter einer Integralgleichung für φ(~x0 ) und ~n∇φ (bzw. φ(~x0 ) und φ(∂V )) bei
Vorgabe von φ(∂V )) (bzw. ~n∇φ).
Um zu sehen, welche Randbedingungen an φ gestellt werden können, kann
man folgendes Argument verwenden: Angenommen, wir haben zwei verschiedene Lösungen φ1 , φ2 zu ∆φi = −ρ/ 0 . Dann erfüllt U = φ1 − φ2 die Gleichung
∆U = 0.
Benutze die erste Greensche Identität :
∋
Z
V
(φ̃∆Ψ̃ + ∇φ̃ · ∇Ψ̃) d 3 x =
I
∂V
φ̃∇Ψ̃ d~s
18
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
(folgt aus dem Gaußschen Satz mit ~R = φ̃∇Ψ̃).
Wenn wir φ̃ = Ψ̃ = U setzen, gilt
Z
(U |{z}
∆U +∇U · ∇U) d x =
3
V
Z
2
3
|∇U| d x =
I
∂V
=0
V
U∇U d~s
Falls U = 0 auf ∂V oder ~n∇U = 0 auf ∂V , so folgt ∇U = 0, d. h. U = konstant
(z. B. Faraday-Käfig: kein Feld im Innern)
=⇒ φ1 = φ2
falls U = 0 auf ∂V , wenn also φi auf ∂V
vorgegeben ist (Dirichlet-Randbedingung)
φ1 = φ2 + const. falls ~n∇U = 0 auf ∂V , wenn also ~n∇φi auf ∂V
vorgegeben ist (Neumann-Randbedingung)
2.4
Methode der Spiegelladungen
In der Praxis ist es oft einfacher nicht die Green-Funktion, sondern φ direkt zu
berechnen. Besonders wichtig ist die Methode der Spiegelladungen bei Metalloberflächen.
Idee: Auf einer Metalloberfläche können sich die Elektronen (nahezu) frei bewegen. Sie bewegen sich so lange bis auf sie keine elektrostatische Kraft mehr
parallel zur Oberfläche wirkt (Nur noch eine senkrecht zur Oberfläche).
.
.
.
.
.
.
Q
.
Q
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kraft = q~E = −q∇φ
=⇒∇φ = 0 auf der Oberfläche
⇐⇒φ = const. auf der Oberfläche
Wie kann die Randbedingung ~E k~n auf der Oberfläche erfüllt werden?
Beispiel: Teilchen der Ladung Q in der Nähe einer unendlich ausgedehnten
Metallplatte. Wir wollen das Feld als Lösung von ∆φ = ρ/ 0 nur in dem Raumbereich finden, in dem sich das Teilchen befindet. Außerhalb können wir beliebig
∋
19
2.4. METHODE DER SPIEGELLADUNGEN
.
.
.
.
−Q
Q
Spiegel−
ladung
−x
Q.
x
.
.
viele virtuelle“ Ladungen anbringen, sog. Spiegelladungen. Für die Metallplatte
”
ergibt sich:
1
Q
1 −Q
+
4π 0 |~y −~x| 4π 0 |~y +~x|
=⇒ φ(y1 = 0, y2 , y3 ) = 0
∋
∋
φ(~y) =
=⇒ ~E = −∇φ ist senkrecht zur Metalloberfläche, da sich
das Potential in dieser Ebene nicht ändert
2. Beispiel: Punktladung außerhalb einer Metallkugel mit Radius a.
a
Q’
r’
z
Q0
Q
φ(~x) =
+
4π 0 |~x −~r| 4π 0 |~x −~r0 |
∋
Ansatz:
Q
r
∋
Symmetrieüberlegungen legen nahe, dass die Spiegelladung Q0 auf der gleichen
Achse liegt wie Q, also~r = r~ez ,~r0 = r0~ez . Für einen Vektor ~x mit |~x| = R in Kugelkoordinaten gilt:


R cos ϕ sin ϑ
~x = R sin ϕ cos ϑ
R cos ϑ
20
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
− 1
Q 2 2
a sin ϑ + (a cos ϑ − r)2 2
4π 0
− 1
Q0 2 2
+
a sin ϑ + (a cos ϑ − r0 )2 2
4π 0
− 12
− 12
1
2
2
0 2
02
0
=
Q a + r − 2ar cos ϑ
+ Q a + r − 2ar cos ϑ
4π 0
∋
φ(|~x| = a) =
∋
∋
!
= 0 für alle ϑ
Lösung:
a2
a
; Q0 = Q
r
r
Generell ist die Methode der Spiegelladungen erfolgversprechend, wenn das Problem eine gewisse Symmetrie aufweist. Im Allgemeinen reicht auch nicht eine
einzelne Spiegelladung, sondern man muss mehrere Ladungen einführen, um die
Randbedingungen zu erfüllen.
r0 =
2.5
Green-Funktion in sphärischen Koordinaten
Zu lösen ist die Poisson-Gleichung in Kugelkoordinaten.


r cos ϕ sin ϑ
ρ
∆φ =
;
~x = r sin ϕ cos ϑ
0
r cos ϑ
∋
1 ∂2
1
∆φ =
rφ + 2 ∆Ω φ
2
r ∂r
r
1 ∂
∂φ
1 ∂2
∆Ω φ =
sin ϑ
+ 2
φ = −L2 φ
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
sin ϑ ∂ϕ2
Aus der Quantenmechanik ist bekannt:
∆ΩYlm (ϑ, ϕ) = −l(l + 1)Ylm (ϑ, ϕ) ;
−i∂φYlm (ϑ, ϕ) = mYlm (ϑ, ϕ)
Darin sind die Ylm die Kugelflächenfunktionen:
s
(2l + 1) (l − m)! m
Ylm (ϑ, ϕ) =
P (cos ϑ)eimϕ
4π (l + m)! l
Die Plm sind die assoziierten Legendre-Polynome:
Plm (x) =
m
(−1)m
2
l
(1 − x2 ) 2 ∂l+m
x (x − 1)
l
2 l!
2.5. GREEN-FUNKTION IN SPHÄRISCHEN KOORDINATEN
21
Die Kugelflächenfunktionen bilden ein Orthonormalsystem mit der Orthogonalitätsrelation
Z 2π Z π
0
0
Yl∗0 m0 (ϑ, ϕ)Ylm (ϑ, ϕ) sin ϑ dϑ dϕ = δll 0 δmm0
(2.9)
und der Vollständigkeitsrelation
∞
l
∑ ∑
∗
Ylm
(ϑ0 , ϕ0 )Ylm (ϑ, ϕ) = δ(ϕ − ϕ0 ) δ(cos ϑ − cos ϑ0 )
|
{z
}
l=0 m=−l
(2.10)
=δ(Ω−Ω0 )
Man kann daher alle Lösungen der sphärisch symmetrischen Poisson-Gleichung
nach Kugelflächenfunktionen entwickeln. Besonders interessant ist in unserem
Falle die Green-Funktion:
∞
l
l
1
1 r<
=
4π
∑ ∑ 2l + 1 rl+1 Ylm∗ (ϑ0, ϕ0)Ylm(ϑ, ϕ)
|~x −~x0 |
>
l=0 m=−l
mit r< := min(|~x|, |~x0 |) ;
(2.11)
r> := max(|~x|, |~x0 |)
(Für Einzelheiten siehe [6], Kapitel 3.9.) Dies entspricht einer Entwicklung der
Green-Funktion in Kugelkoordinaten um den Punkt ~x. Das Auftauchen von r<
und r> ist typisch für Green-Funktionen in kugel- und zylindersymmetrischen
Problemen. Der Sprung in r< und r> ist notwendig, um δ(~x −~x0 ) in der PoissonGleichung zu erzeugen. Lösungen dieser Art treten z. B. auch in Gravitationstheorie, Akustik und Quantenmechanik auf.
22
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Kapitel 3
Magnetostatik
Hier betrachtet man den Fall, dass konstante Ströme fließen, d. h. Ladungsträger
werden zwar bewegt, aber nur so dass sich ihre Ladungsdichte nicht ändert:
ρ = const.
=⇒
∂t ~j = ∂t ρ = 0
Mit der Kontinuitätsgleichung ρ̇ + div ~j = 0 folgt daraus
~j = const.
;
div ~j = 0
d. h. die Ströme sind quellenfrei. Streng genommen können daher nur unendlich
ausgedehnte Ströme oder geschlossene Stromkreise betrachtet werden.
3.1
Die Feldgleichungen und ihre Lösung
Zur Herleitung der Feldgleichungen kann man von den Maxwell-Gleichungen
ausgehen. Weil die Quellen zeitunabhängig sind nimmt man an, dass es die Felder
ebenfalls sind:
ρ
div ~E =
div ~B = 0
0
(3.1)
rot ~E = 0
rot ~B = µ0~j
∋
Die Gleichungen für ~E sind die aus der Elektrostatik, aber die für ~B sind neu.
Es ist möglich sie direkt zu lösen, einfacher ist es jedoch über die Potentiale zu
gehen. In Coulomb-Eichung ergeben sich für die Potentiale folgende Differentialgleichungen:
ρ
∆φ = −
0
2
1 ∂
1
− ∆ ~A = µ0~j − 2 ∇φ̇
2
2
c ∂t
c
∋
23
24
KAPITEL 3. MAGNETOSTATIK
Wieder ist die Gleichung für das elektrische Potential die aus der Elektrostatik.
Weil die Felder zeitunabhängig sind, folgt für ~A:
∆~A = −µ0~j
Die drei Komponenten dieser Gleichung sind äquivalent zur Poisson-Gleichung
und werden analog gelöst (vgl. Gleichung (1.12)).
~A(~x) = µ0
4π
Z
~j(~x0 ) 3 0
d x
|~x −~x0 |
~B(~x) = rotx ~A(~x)
∂
Ak (~x)
Bi (~x) = εi jk
∂x j
Z
µ0
∂
1
=
εi jk
jk (~x0 ) d3 x0
4π
∂x j |~x −~x0 |
Z
µ0
(−1)
=
εi jk
(x j − x0j ) jk (~x0 ) d3 x0
4π
|~x −~x0 |3
Z
µ0 (~j(~x0 ) × (~x −~x0 )) 3 0
~
=⇒ B(~x) =
d x
4π
|~x −~x0 |3
3.2
Das Gesetz von Biot und Savart
Das Gesetz von Biot und Savart ist historisch älter als die Maxwell-Gleichungen.
Es beschäftigt sich mit idealisierten Fadenströmen“.
”
Zu seiner Herleitung bedient
S2
n
man sich der Modellvorstellung
eines dünnen verlustfreien Leiters, der an Anfang und Ende
jeweils die Querschnittsflächen
z
S1 und S2 besitzt, die von einem Strom homogen durchflosS1
sen werden.
div ~j = 0 =⇒ 0 =
Z
3
div ~j d x =
V
I
Z∂V
=
S1
~j d~S
~j d~S −
Z
~j d~S
S2
= j1 S1 − j2 S2 = I1 − I2
3.2. DAS GESETZ VON BIOT UND SAVART
25
Durch beide Flächen S1 und S2 fließt also die gleiche Stromstärke. Die Integration
erstreckt sich dabei über das gesamte Volumen V des betrachteten Leiterstücks
bzw. über dessen Oberfläche. Wegen der Verlustfreiheit tragen nur Anfangs- und
Endfläche des Leiters bei, was die Aufteilung des Oberflächenintegrals in der
zweiten Zeile ermöglicht. Ist der Leiterquerschnitt S konstant, S = S1 = S2 , so
ist j1 = j2 = SI . Parametrisieren wir einen Ort im Leiter durch die Länge l des
Leiters bis zu diesem Punkt, so folgt daraus
~j(~z(l)) = I ·~n(l)
S
Wobei ~n(l) der Normalenvektor zur Querschnittsfläche des Leiters am Ort~z(l) ist
R ~z(l)
(d. h. tangential zum Leiter). Da l der Längenparameter ist gilt l = ~z(l1 ) |d~z| und
somit 1/|d~z/dl| = 1. Der Normalenvektor kann daher in der Form
~n(l) =
d~z(l)
dl
ausgedrückt werden.
Für Biot-Savart geht man von einem unendlich dünnen Draht aus
(FadenR
strom). Formal kann man dies dadurch beschreiben, indem man ~j(~x) = d 3 x0 δ(~x−
~x0 ) ~j(~x0 ) schreibt. Das Integral erstreckt sich dabei nur über den Raumbereich des
Leiters, da die Stromdichte sonst verschwindet. An jedem Punkt des Leiters kann
man es zerlegen in der Form d 3 x0 = dl dS. Da die Stromdichte konstant über den
Leiterquerschnitt ist, ergibt das Integral über dS einfach die Fläche S. Man erhält
dadurch
~j(~x) =
Z l2
l1
=I
~j(~z(l)) δ(~x −~z(l)) dl dS
Z l2
d~z(l)
dl
l1
Z
=I
C
δ(~x −~z(l)) dl
δ(~x −~z) dz
µ0
1
· ~j(~x0 ) × (~x −~x0 )d3 x0
4π |~x −~x0 |3
Z
Z
µ0 I
1
=
d~z × (~x −~x0 ) δ(~x0 −~z)
4π |~x −~x0 |3 C
Z
µ0 I
~x −~z
=
d~z ×
4π
|~x −~z|3
=⇒ ~B(~x) =
Z
µ0 I d~z × (~x −~z)
4π |~x −~z|3
Dies ist das Gesetz von Biot und Savart.
⇐⇒ d~B(~x) =
26
3.3
KAPITEL 3. MAGNETOSTATIK
Kreisströme und magnetische Quadrupolfalle
Das Gesetz von Biot und Savart kann direkt dazu verwendet werden um das Feld
dünner Stromleiter auszurechnen. Manchmal ist es aber einfacher vom Vektorpotential auszugehen.
Beispiel: Kreisstrom in x-y-Ebene
Die Stromdichte in Kugelkoordinaten ist


− sin ϕ
~j(r, ϑ, ϕ) = jϕ~eϕ
;
~eϕ =  cos ϕ 
0
a
I
jϕ (r, ϑ, ϕ) = δ(cos ϑ)δ(r − a)
Z a
I
µ0 1 ~ 0 3 0
=⇒ ~A(~x) =
j(~x ) d x
4π |~x −~x0 |
Das Problem ist symmetrisch unter ϕ → ϕ + ϕ0 . Für die Koordinate ~x können
wir also wählen
 


x1
sin ϑ
~x =  0  = r  0 
x3
cos ϑ
Damit ist
0
Z ∞
Z π
Z 2π
0 )δ(r 0 − a) − sin ϕ
µ
I
δ(cos
ϑ
0
02
0
0
0
0
0
~A(~x) =
 cos ϕ 
r dr
sin ϑ dϑ
dϕ
0

4π
0
µ0 Ia
=
4π
0
Z 2π
0

− sin ϕ0
|~x −~x |
a
0

0

1
dϕ0  cos ϕ0 
|~x −~x0 |
0

;
cos ϕ0

~x0 = a  sin ϕ0 
0
|~x −~x0 |2 = (r sin ϑ − a cos ϕ0 )2 + a2 sin2 ϕ0 + r2 cos2 ϑ
= r2 + a2 − 2ar sin ϑ cos ϕ0


Z 2π
− sin ϕ0
1
~A(~x) = µ0 Ia
dϕ0  cos ϕ0  p
4π 0
r2 + a2 − 2ar sin ϑ cos ϕ0
0
Ax verschwindet, da der Integrand antisymmetrisch in ϕ0 ist.
µ0 Ia
=⇒ ~A(~x) =
~ey
π
Z 2π
0
1
dϕ0 cosϕ0 p
r2 + a2 − 2ar sin ϑ cos ϕ0
Dies ist ein sog. elliptisches Integral. Das Auftreten solcher Integrale ist typisch für diese Art von Problem. Sie können durch die vollständigen elliptischen
3.3. KREISSTRÖME UND MAGNETISCHE QUADRUPOLFALLE
27
Integrale E(k) und K(k) (Siehe Ref. [1]) gelöst werden:
µ0 I
1
(2 − k2 )K(k) − 2E(k)
√
Ay =
π r2 + a2 − 2ar sin ϑ
a2
mit
k2 =
4ar sin ϑ
r2 + a2 − 2ar sin ϑ
Weiteres Beispiel: Magnetische Quadrupolfalle:
a
a
z_
_L
0
+L
z+
x3



a cos ϕ
a cos ϕ
~z+ =  a sin ϕ  ; ~z− = −a sin ϕ
L
−L




−a sin ϕ
−a sin ϕ
d~z
d~z+ =
dϕ = dϕ  a cos ϕ  ; d~z− = dϕ −a cos ϕ
dϕ
0
0

Verwenden Biot-Savart:
~B(~x) = µ0 I
4π
Z d~z+ × (~x −~z+ ) d~z− × (~x −~z− )
+
|~x −~z+ |3
|~x −~z− |3
Für die Falle ist nur das ~B-Feld in der Umgebung von ~x = 0 interessant. Daher
entwickeln wir ~B um ~x = 0:
∂ Bi ≈ Bi (0) + xk
Bi
+···
∂xk x=0
28
KAPITEL 3. MAGNETOSTATIK
Es gelten
d~z+ ×~z+ d~z− ×~z−
−
−
|~z+ |3
|~z− |3
p
|~z+ | = |~z− | = a2 + L2




L cos ϕ
L cos ϕ
d~z+ ×~z+ = dϕa ·  L sin ϕ  ; d~z− ×~z− = dϕa · −L sin ϕ
−a
a


Z 2π
−2L cos ϕ
µ
I
a
0

=0
0
=⇒ ~B(0) =
dϕ √
3
4π 0
a2 + L 2
0
~B(0) = µ0 I
4π
Z Analog findet man




x1
x1
2
∂ ~
µ0 I 6a Lπ 
x2  = B0  x2  ≈ ~B(x)
xl
B
=−
∂xl x=0
4π √a2 + L2 5
−2x3
−2x3
Aus der Quantenmechanik kennt man die Wechselwirkungsenergie zwischen
einem ~B-Feld und einem Teilchen mit magnetischem Moment~µ
Hint = −~µ~B
z. B. für Spin:~µ = µB g~s
Für festes~µ entspricht~µ~B einer homogenen Kraft ~F = −∇Hint = B0 (µx , µy , −2µz )T ,
die keine Falle darstellt. Man kann trotzdem Teilchen fangen, weil der Spin und
damit das magnetische Moment sehr schnell um die (lokale) Achse des Magnetfeldes präzediert. Die zum Magnetfeld senkrechten Spinkomponenten mitteln sich
deshalb weg und man kann den das zeitlich gemittelte magnetische Moment in der
Form
~B
~µ = ±|~µ|
=⇒
Hint = −|~µ||~B|
|~B|
darstellen. Falls also die Schwerpunktbewegung des Teilchens sehr viel langsamer als die Präzession des Spins ist, ist die Wechselwirkungsenergie proportional
zu |~B|. Falls der mittlere Spin antiparallel zum Magnetfeld ist (paramagnetisch),
ergibt sich eine magnetische Falle für Teilchen:


x1
0 

~
~
x2
|B| = |B | · −2x3 3.3. KREISSTRÖME UND MAGNETISCHE QUADRUPOLFALLE
29
Hint
x1
Das besondere an der magnetischen Quadrupolfalle ist, dass die Präzession des
Spin eine Falle mit einem statischen Magnetfeld ermöglicht. In Abschnitt 2 hatten
wir gesehen, dass ein statisches elektrisches Feld im freien Raum kein Minimum
oder Maximum annehmen kann. Dasselbe gilt auch für ein statisches Magnetfeld,
da es auch die Laplace-Gleichung erfüllt. Erst die Präzession des Spins und die damit verbundene Kopplung an |~B| erzeugt eine Wechselwirkungsenergie mit einem
Minimum, die zum Fangen von Teilchen verwendet werden kann.
30
KAPITEL 3. MAGNETOSTATIK
Kapitel 4
Veränderliche Felder
Läßt man zeitabhängige Felder und Quellen zu, so muss man mit den allgemeinen
Maxwell-Gleichungen rechnen, am besten in Form der Wellengleichungen
1
~E = −µ0 ∂t ~j − ∇ρ
(4.1)
∋
0
~B = µ0 rot ~j
(4.2)
4.1 Ebene Wellen
Im Vakuum (ρ = ~j = 0) gilt:
~E = ~B = 0
div ~E = div ~B = 0
;
Ansatz zur Lösung:
~E = E~~ε~ exp(i~k~x − iωt)
k k2
1
∂
~E = E~k~ε~k 2 2 − ∆ exp(i~k~x − iωt)
c ∂t
Darin sind E~k ∈ C
~ε~k
die Amplitude und
der Polarisationsvektor.
ω
!
=⇒ ~E = E~k~ε~k (− 2 + k~2 ) exp(i~k~x − iωt) = 0
c
Das ist eine Lösung von ~E = 0 falls ω = c|~k|. Hierbei ist ω~k := c|~k| die Frequenz
eines Photons1 mit Impuls ~~k. Die Energie des Photons ist gegeben durch die
2
1 Der
Begriff des Photons als elementares Quantum des Strahlungfeldes wird eigentlich erst
in der Quantenelektrodynamik eingeführt. Die Eigenschaften eines Photons hängen aber so eng
mit denen der klassischen Elektrodynamischen Felder zusammen, dass es sich lohnt, den Begriff
schon hier zu verwenden
31
32
KAPITEL 4. VERÄNDERLICHE FELDER
Plancksche Formel E = ~ω~k . Der Polarisationsvektor ~ε~k wird festgelegt durch die
Bedingung div ~E = ∂i Ei = 0:
ε k(2)
div ~E = E~k (~ε~k )i iki exp(i~k~x − iωkt)
= iE~ (~ε~~k) exp(i~k~x − iωkt)
k
k
.
k
!
=0
.
ε(1)
k
=⇒~ε~k muss senkrecht auf dem Wellenvektor ~k stehen!
Im R3 gibt es zwei linear unabhängige Vektoren senkrecht zu ~k =⇒ es gibt zwei
(σ)
unabhängige Polarisationsrichtungen. Die genauen Richtungen der ~ε~ sind willk
kürlich. Eine Möglichkeit ist

cos ϕ sin ϑ
~k = k  sin ϕ sin ϑ 
cos ϑ


cos ϕ cos ϑ
(1)
; ~ε~ =  sin ϕ cos ϑ 
k
− sin ϑ



− sin ϕ
~
k (1)
(2)
; ~ε~ = ×~ε~ =  cos ϕ 
k
k k
0
(1)
(2)
Die reellen Vektoren ~ε~ und ~ε~ entsprechen linear polarisiertem Licht. Der allk
k
gemeine Polarisationsvektor ist eine Superposition beider Vektoren:
~ε~k = α~ε~(1) + β~ε~(2)
k
k
;
mit |α|2 + |β|2 = 1
,
α, β ∈ C
Ein Beispiel ist zirkular polarisiertes Licht:
1
~ε~(±) = √ (~ε~(1) ± i~ε~(2) )
k
k
2 k
In der Literatur werden bezüglich der Bezeichnungen unterschiedliche Konventionen verwendet. Wir halten uns hier an die von [5, 2]:
+“: links zirkular oder positive Helizität, σ+ -Licht
”
−“: rechts zirkular oder negative Helizität, σ− -Licht
”
σ+ - und σ− -Licht ist wichtig für die Auswahlregeln in der Atomphysik: σ± :
∆m = ±1, wobei m die magnetische Quantenzahl der Atome ist. Allgemeine Su(1)
(2)
perpositionen ~ε~k = α~ε~ + β~ε~ heißen elliptisch polarisiert.
k
k
In der Quantenelektrodynamik beschreibt der Polarisationsvektor gleichzeitig
den Spin eines Photons. Photonen haben Gesamtspin 1. Sie haben aber nur die
z-Spin-Werte sz = ±1. Das entspricht σ+ - und σ− -Licht. Die Auswahlregel ∆m =
±1 folgt dann aus der Erhaltung des Gesamtspins (Atom + Photon). Der Wert
sz = 0 ist wegen der verschwindenden Ruhemasse nicht realisiert (vgl. [7]). Im
33
4.1. EBENE WELLEN
Allgemeinen gehört zu einem zeitabhängigen ~E-Feld auch ein zeitabhängiges ~BFeld. Dieses kann man aus der Maxwell-Gleichung rot ~E = −~B˙ herleiten:
~B˙ = −rot {E~~ε~ e(i~k~x−iωk t) + c. c.}
k k
~
= −εi jk ∂ j (~ε~k )l E~k e(ik~x−iωk t) + c. c.
~
= −εi jk (~ε~k )l E~k lk j e(ik~x−iωk t) + c. c.
~
= −iE~k (~k ×~ε~k )i e(ik~x−iωk t) + c. c.
Zur Lösung dieser Differentialgleichung macht man den Ansatz Bi ∼ exp(−iωkt).
Daraus ergibt sich:
~B =
E~k ~
~
(k ×~ε~k )e(ik~x−iωk t) + c. c.
ωk
1
= (~k × ~E)
ωk
Die allgemeine Lösung im freien Raum ist eine Superposition ebener Wellen:
~E(~x,t) =
Z
d3k
∑
σ=1,2
~B(~x,t) =
Z
3
d k
∑
σ=1,2
E~k(σ)~ε~(σ)
exp(i~k~x − iωt) + c. c.
k
E~k(σ)
ωk
(σ)
(~k ×~ε~ ) exp(i~k~x − iωt) + c. c.
k
Besonders erwähnenswert sind noch folgende Spezialfälle:
1. Der Polarisationsvektor setzt sich aus einem Realteil ~ε und einem Imaginärteil ~ε00 zusammen:
~E = E~~ε~ exp(i~k~x − iωkt) + c. c.
k k
= E~ (~ε0 + i~ε00 ) exp(i~k~x − iωkt) + c. c.
k
Dabei gelte ~ε02 +~ε002 = 1, E ∈ R.
=⇒ ~E = E~k~ε0 2 cos(~k~x − iωkt) − E~k~ε00 2 sin(~k~x − iωkt)
Es handelt sich also um eine laufende Welle.
2. Man betrachtet die Überlagerung zweier sich gegenläufig ausbreitender Wellen mit E~k = E−~k und ~ε~k =~ε−~k :
~E = ~E~ + ~E ~
k
−k
= E~k~ε~k exp(i~k~x − iωkt) + E−~k~ε−~k exp(−i~k~x − iωkt) + c. c.
34
KAPITEL 4. VERÄNDERLICHE FELDER
=⇒ ~E ∼ cos(~k~x)cos(ωkt)
Es handelt sich also um eine stehende Welle.
4.2
Green-Funktionen
Im vorigen Abschnitt wurden Wellen im freien Raum betrachtet. Nun soll gelten
ρ 6= 0 und ~j 6= 0. Die Gleichungen (4.1) und (4.2) für ~E und ~B sind inhomogen.
Daher ist es nützlich die Green-Funktion zu kennen. Zu lösen ist:
G(~x,t;~x0 ,t 0 ) = δ(t − t 0 )δ(~x −~x0 )
Als Lösungsansatz wird die Fourier-Transformation gewählt. Die Gleichungen
sind invariant unter der Verschiebung des räumlichen und zeitlichen Ursprungs.
Deswegen hängt G nur von den Differenzen der Koordinaten ab, also G(~x,t;~x0 ,t 0 ) =
G(t −t 0 ,~x −~x), und man kann die Fourier-Transformation nach nur vier Variablen
ansetzen:
1
~
ei(k~x−ωt) G̃(~k, ω) d3 k dω
(2π)2
Z 1
ω2
~
2
x G(~x,t) =
− 2 + k ei(k~x−ωt) G̃(~k, ω) d3 k dω
2
(2π)
c
= δ(t)δ(x)
Z
1
~
=
ei(k~x−ωt) d3 k dω
4
(2π)
Z
G(~x,t) =
(∗)
(∗∗)
Für das letzte Gleichheitszeichen wurde eine der Darstellungen der δ-Funktion
benutzt. Ein Vergleich der Gleichungen (∗) und (∗∗) liefert
G̃(~k, ω) =
1
2
(2π)2 (~k2 − ωc2 )
1
=⇒ G(~x,t) =
(2π)4
Z
3
i~k~x
d ke
Z
e−iωt
dω
~k2 − ω22
c
Das Integral über ω hat Pole bei ω = ±ωk := ±c|~k|. Die Art und Weise, wie man
bei der Integration mit den Polen umgeht, legt die an G zu stellenden Randbedingungen fest. Wir verschieben die Pole etwas:
35
4.2. GREEN-FUNKTIONEN
2
~k2 − ω = 1 (ω2 − ω2 )
c2
c2 k
1
= 2 (ωk + ω)(ωk − ω)
c
1
−→
(ωk + ω ∓ i )(ωk − ω ± i )
c2
ϕ
ω2
R
ω1
Neue Pole: ω1 = ωk ± i
ω2 = −ωk ± i
Cu
∋
∋
−R
∋
I
∋
Co
∋
Beide Pole liegen nun entweder um über oder unter der reellen Achse. Jetzt kann
die Green-Funktion mit Hilfe des Residuensatzes berechnet werden. Dazu setzen
wir
3
i~k~x
Z
d ke
dω
e−iωt
(ωk + ω ∓ i )(ωk − ω ± i )
∋
Z
∋
c2
G(∓) (~x,t) = lim
→0 (2π)4
∋
Es ist leicht zu sehen, dass G− (t) = G+ (−t) gilt, indem man die Integrationsvariable gemäß ω0 = −ω wechselt. Wir werden uns deshalb im Folgenden auf G+
beschränken. Zu berechnen ist dann das Integral
∋
I(+) :=
e−iωt dω
:=
(ωk + ω + i )(ωk − ω − i )
Z
∋
Z
Z
i(+) (ω) dω :=
g(ω)
dω
h+ (ω)
Der Residuensatz besagt, dass das Integral über eine meromorphe Funktion entlang eines geschlossenen Pfades in der komplexen Ebene gleich 2πi mal der Summe der Residuen der Funktion innerhalb des Pfades ist. Wir sind jedoch nur an
dem Integral entlang der reellen Achse interessiert und müssen daher den Beitrag
über die den Pfad schließenden Halbkreise abschätzen. Auf dem oberen/unteren
Halbkreis hat die Frequenz den Wert ω = R exp(±iϕ) mit ϕ ∈ [0, π]. Für R ωk
kann man ωk vernachlässigen und erhält für das Integral über den oberen/unteren
Halbkreis
Z π −iR exp(±iϕ)t
e
R exp(±iϕ)(±i)dϕ
Io/u ≈
R2
0
Dieses Integral ist immer kleiner als das über den Betrag des Integranden,
|Io/u | ≤
Z π ±R sin(ϕ)t
e
dϕ
0
R
Für R → ∞ geht dieses Integral gegen Null, sofern
• t > 0 ist und man den unteren Halbkreis verwendet,
36
KAPITEL 4. VERÄNDERLICHE FELDER
• t < 0 ist und man den oberen Halbkreis verwendet.
Da G+ keine Pole in der oberen Halbebene hat, ist ihr Wert Null für t < 0.
Um G+ für t > 0 zu berechnen benutzt man, dass alle Pole von erster Ordnung
sind. Daher kann man zur Berechnung der Residuen folgende Formel anwenden:
g(ω0 )
h0 (ω0 )
h0(+) (ω) = (ωk − ω − i ) − (ωk + ω + i ) = −2ω − 2i
Resω0 (i(ω)) =
∋
∋
∋
Damit ergibt sich für die Residuen:
∋
∋
Wenn man nun
Integral I(+) zu
e−it(ωk −i
−2ωk
)
;
Resω2 (i(ω)) =
∋
Resω1 (i(ω)) =
e−it(−ωk −i
2ωk
)
gegen Null gehen läßt, ergibt sich nach dem Residuensatz das
e−iωk t eiωk t
I(+) = −2πi −
+
2ωk
2ωk
=
2π
πi −iωk t
e
− eiωk t =
sin(ωkt)
ωk
ωk
Dabei ist zu beachten, dass der Integrationsweg über die obere Halbebene entgegen dem Uhrzeigersinn, der über die untere Halbebene jedoch im Uhrzeigersinn
durchlaufen wird. Das Integral über Letzteren erhält daher einen zusätzlichen Faktor −1.
Setzt man die bisherigen Rechnungen ein, so ergibt sich
c2
~ 2π
G+ (t,~x) = Θ(t)
eik~x sin(ckt) d3 k
4
(2π)
ck
Z ∞
Z π
Z 2π
c
1
2
=
Θ(t)
k
dk
sin
ϑ
dϑ
sin(ckt)eik|~x| cos ϑ dϕ
3
(2π)
k
0
0
0
Z
wobei wir im letzten Schritt zu Kugelkoordinaten für ~k übergegangen sind und
~k entlang
o.B.d.A. angenommen haben, dass die z-Achse der Integrationsvariablen
Rπ
~x liegt. Die Integration über ϕ und ϑ ist elementar, wenn man 0 sin(ϑ)dϑ · · · =
R1
−1 d cos ϑ · · · verwendet. Man erhält
Z ∞
c
1 ik|~x|
−ik|~x|
G+ (t,~x) =
Θ(t)
k
dk
sin(ckt)
e
−
e
(2π)2
ik|~x|
0
Z ∞
2c
=
Θ(t)
dk sin(ckt) sin(k|~x|)
(2π)2 |~x|
0
Z ∞
c
=
Θ(t)
dk sin(ckt) sin(k|~x|)
(2π)2 |~x|
−∞
37
4.2. GREEN-FUNKTIONEN
wobei im letzten Schritt benutzt wurde, dass der Integrand symmetrisch in k ist.
Schreibt man die trigonometrischen Funktionen mit Hilfe von Exponentialfunktionen, so ergibt das Integral eine Summe von vier δ-Distributionen,
G+ (t,~x) =
c
Θ(t) {−δ(ct + |~x|) − δ(−ct − |~x|) + δ(ct − |~x|) + δ(−ct + |~x|)}
8π|~x|
Da ct > 0 gilt verschwindet das Argument der ersten beiden Terme nie und sie
können zu Null gesetzt werden. Die Symmetrie der δ-Distribution erlaubt uns
ausserdem, die beiden letzten Terme zusammenzufassen, so dass wir als Ergebnis
die retardierte Green-Funktion
c
Gret (t,~x) ≡ G+ (t,~x) =
Θ(t)δ(ct − |~x|)
(4.3)
4π|~x|
erhalten. Die Theta-Funktion kann hier eigentlich vernachlässigt werden, da t > 0
nun auch durch die δ-Distribution impliziert wird.
t
|x _x’| = c ( t _ t’)
t=t’
Eigenschaften von Gret :
• Gret heißt retardierte Green-Funktion, weil
• Gret = 0 ist für t < 0 (nichts propagiert in die Vergangenheit)
• Gret 6= 0 ist nur auf dem Zukunftslichtkegel“ |~x| = ct
”
0
0
=⇒ Gret (~x −~x ,t − t ) propagiert eine in der Vergangenheit t 0 liegende Ursache
(Ladung, Strom) mit Lichtgeschwindigkeit vom Ort ~x zum Ort ~x0 .
• Die retardierte Green-Funktion beschreibt die Abstrahlung elektromagnetischer Wellen.
Die zweite Green-Funktion G− wird als avancierte Green-Funktion bezeichnet:
c Θ(−(t − t 0 ))
Gav(~x−~x0 ,t−t 0 ) =
δ(c(t − t 0 ) + |~x −~x0 |)
4π |~x −~x0 |
38
KAPITEL 4. VERÄNDERLICHE FELDER
• Gav beschreibt das Signal, das eine Antenne zur Zeit t am Ort ~x empfängt.
=⇒ Man sieht: Jedes Signal wird mit Lichtgeschwindigkeit übertragen. Das ist
der Hauptunterschied zu Teilchen mit nicht-verschwindender Ruhemasse.
Für diese sind Gret und Gav 6= 0 überall innerhalb des Lichtkegels.
4.3
Liénard-Wiechert-Potentiale
Fragestellung: Welches Potential wird von einer sich bewegenden Punktladung
erzeugt?
Die Ladungsdichte und die Stromdichte einer Punktladung sind
ρ(t 0 ,~x0 ) = qδ(~x0 −~z(t 0 ))
˙ 0 )δ(~x0 −~z(t 0 ))
~j(t 0 ,~x0 ) = q~z(t
;
Darin ist q die Ladung und~z(t) ist die (vorgegebene) Bahn des Teilchens
Am besten ist es, in der Lorentz-Eichung zu arbeiten:
div ~A +
1
∂t φ = 0
c2
Die allgemeinen Gleichungen für die Potentiale lauten
ρ
∋
∆φ = −
− div ~A˙
1
~A = µ0~j − 2 ∇φ̇ − ∇div Ȧ
c
;
0
Mit (∗) folgen daraus die Potentialgleichungen in Lorentz-Eichung:
Z
;
0
Gret (t − t 0 ,~x −~x0 )
ρ(~x0 )
∋
=⇒ φ(~x,t) =
ρ
∋
φ =
~A = µ0~j
dt 0 d3 x0
0
c Θ(t − t 0 )
=
δ(c(t − t 0 ) − |~x −~x0 |) · qδ(~x0 −~z(t 0 )) dt 0 d3 x0
0|
4π
|~
x
−~
x
0
Z ∞
qc
Θ(t − t 0 )
=
δ(c(t − t 0 ) − |~x −~z(t 0 )|) dt 0
4π 0 −∞ |~x −~z(t 0 )|
Z t
1
qc
=
δ(c(t − t 0 ) − |~x −~z(t 0 )|) dt 0
4π 0 −∞ |~x −~z(t 0 )|
1
Z
∋
∋
∋
Wir setzen F(t 0 ) = c(t − t 0 ) − |~x −~z(t 0 )|. Dann ist zu berechnen:
Z
δ(F(t 0 )) 0
dt
|~x −~z(t 0 )|
(∗)
39
4.3. LIÉNARD-WIECHERT-POTENTIALE
Dazu benutzen wir die allgemeine Regel:
δ(F(t 0 )) = ∑
n
1
δ(t 0 − tn )
|Ḟ(tn )|
Die tn sind darin die Nullstellen von F(t 0 ), Ḟ(tn ) 6= 0. Bei uns ist
1 ~x −~z(t 0 ) ˙ 0
Ḟ(t ) = c −1 +
~z(t )
c |~x −~z(t 0 )|
0
Wir setzen
~n :=
˙ 0
~x −~z(t 0 )
~β := ~z(t )
und
|~x −~z(t 0 )|
c
Es gilt ~n2 = 1 und ~β2 < 1, was nichts anderes heißt, als dass sich die Punktladung
mit einer Geschwindigkeit kleiner als c bewegt. Damit ist
|Ḟ(t 0 )| = c(1 −~n~β)
qc
1
1
=⇒ φ(~x,t) =
0
~
4π 0 |~x −~z(t )| c(1 −~nβ) 0
t =t− 1 |~x−~z(t 0 )|
∋
c
q
1
φ(~x,t) =
4π 0 |~x −~z(t 0 )| · (1 −~n~β) 0
t =t− 1c |~x−~z(t 0 )|
∋
Völlig analog findet man:
˙ 0)
µ
q
~
z(t
0
~A(~x,t) =
4π |~x −~z(t 0 )| · (1 −~n~β) 0
t =t− 1c |~x−~z(t 0 )|
Dies sind die Liénard-Wiechert-Potentiale. An ihnen sieht man den Retardierungs-Effekt: eine Quelle (Ladung) am Ort ~z(t 0 ) braucht die Zeit t − t 0 = 1c |~x −
~z(t 0 )| um am Ort ~x ein Feld zu erzeugen. Ist β = 0, so erhält man das retardierte
Coulomb-Potential.
Die dazugehörigen Felder sind am einfachsten aus den allgemeinen Gleichungen herzuleiten:
40
KAPITEL 4. VERÄNDERLICHE FELDER

 (~n −~β)(1 −~β2 ) q
~E =
4π 0  (1 −~n~β)3 r2 0
t =t− 1c |~x−~z(t 0 )|

˙
˙

~
~
~
~
(~n − β)(~n · β) − (1 −~nβ)β +
0

c(1 −~n~β)r
t =t− 1 |~x−~z(t 0 )|
∋
c
~B = 1~n × ~E
c
Hier wurde r = |~x −~z(t 0 )| gesetzt.
Der erste Term hängt nur von der Geschwindigkeit ab und ist (wie üblich)
¨ 0 )) ab und ist ∼ 1 .
∼ r12 . Der zweite Term hängt von der Beschleunigung (~z(t
r
4.4
Multipolentwicklung
Multipole sind ein sehr wichtiges Hilfsmittel der Elektrodynamik. Aus ihnen folgen z. B. die Auswahlregeln von Atomen und Molekülen in der Quantenmechanik.
In ihrem Kern ist die Multipolentwicklung eine Entwicklung nach DrehimpulsEigenzuständen wie in der Quantenmechanik.
Skalare Multipole
Beispiel: Skalares Potential in Lorentz-Eichung.
ρ(~x,t)
∋
φ(~x,t) =
0
Zeitliche Fourier-Transformation:
e−iωt φ(~x,t) dt
=⇒ (∆ + k2 )φ̃ω (~x) = −
ρ̃(~x)
∋
φ̃ω (~x) =
Z
,
k=
0
ω
c
Das ist die inhomogene Helmholtz-Gleichung. Die Green-Funktion für die Helmholtz-Gleichung erfüllt
(∆ + k2 )G(~x,~x0 ) = −δ(~x −~x0 )
41
4.4. MULTIPOLENTWICKLUNG
und ist (mit Randbedingung G → 0 für |~x −~x0 | → ∞) gegeben durch
0
1 eik|~x−~x |
G(~x −~x ) =
4π |~x −~x0 |
0
∞
= ik ∑
(1)
jl (kr< )hl (kr> )
l=0
m
∑
∗
Ylm
(ϑ0 , φ0 ) Ylm (ϑ, φ)
| {z }
m=−l
Basisfunktion
Darin sind
l
1
sin x
jl =(−x)
∂x
x
x
l
1
cos x
(1)
hl = jl − (−x)l
∂x
x
x
sphärische Besselfunktionen
(4.4)
sphärische Hankelfunktionen
(4.5)
Die Lösung ist
φ̃ω (~x) =
Z ∞
l
∑ ∑
∋
=⇒ φ̃ω (~x) =
ik
Z
0
G(~x,~x0 )
ρ̃(~x)
∋
l
0
(1)
jl (kr< )hl (kr> )Ylm (ϑ, ϕ) dr0
l=0 m=−l
·
Z
∗
Ylm
(ϑ0 , ϕ0 )ρ̃ω (r0 , ϑ0 , ϕ0 ) dΩ0
Von besonderem Interesse für praktische Anwendungen ist das Feld φ̃ω (~x) an einem Ort ~x außerhalb der Ladungsverteilung. Wählt man den Ursprung des Koordinatensystems im Schwerpunkt der Ladungsverteilung, so gilt dann r = |~x| >
|~x0 | = r0 und damit r< = r0 , r> = r.
∞
ik
l
∑ ∑
0
∋
=⇒ φ̃ω (~x) =
(1)
Ylm (ϑ, ϕ)hl (kr)
(4.6)
l=0 m=−l
·
Z
∗
jl (kr0 )Ylm
(ϑ0 , ϕ0 )ρ̃ω (r0 , ϑ0 , ϕ0 ) dΩ0 dr0
In vielen wichtigen Anwendungen ist die Ausdehnung der Ladungsverteilung
2πc
0
klein gegenüber der Wellenlänge λ = 2π
k = ω (z. B. Atome oder Moleküle: r =
0
1 Å, λ = 1 µm). Das Argument kr von jl ist also klein. Für x 1 gilt
jl (x) ≈
Z
=⇒
xl
(2l + 1)!!
∗
jl (kr0 )Ylm
ρ̃ω dΩ0 dr0 ≈
kl
(2l + 1)!!
Z
∗
r0lYlm
ρ̃ω dΩ0 dr0
(4.7)
42
KAPITEL 4. VERÄNDERLICHE FELDER
Man definiert das sphärische Multipolmoment der Ordnung lm als
Z
∗
r0lYlm
ρ̃ω dΩ0 dr0
Qlm :=
(4.8)
so dass das skalare Potential von kleinen Ladungsverteilungen ausgedrückt werden kann als
ik
∋
φ̃ω (~x) =
∞
l
∑ ∑
(1)
0 l=0 m=−l
Ylm (ϑ, ϕ)hl (kr)
Qlm kl
(2l + 1)!!
(4.9)
Spezialfälle:
1
Q00 = √
4π
Q
=√
4π
r
Z
ρ̃ω (~x0 ) d 3 x0
Q = Gesamtladung des Ions/Moleküls bei ω
r
Z
3
3
0
0
0
3 0
Q11 = −
ρ̃ω (~x )(x − iy ) d x = −
(px − ipy )
8π
8π
r Z
r
3
3
Q10 =
ρ̃ω (~x0 )z0 d 3 x =
pz
4π
4π
Darin ist ~p = (px , py , pz ) das (cartesische) elektrische Dipolmoment:
Z
~p =
~x0 ρ(~x0 ) d 3 x0
Das Potential, das durch einen reinen Punktdipol erzeugt wird, ist
~p~x
4π 0 |~x|3
∋
φDip (~x) =
Anschauliche Bedeutung eines reinen Dipols: Zwei gegensätzliche Ladungen mit
sehr kleinem Abstand L.
Dipolmoment = q(L) · L~n = ~p
L geht gegen 0, aber gleichzeitig geht q(L) → ∞, so dass q(L) · L endlich bleibt.
Das entsprechende elektrische Feld eines Dipols, der sich im Ursprung befindet, ist gegeben durch
ˆ p~x)
ˆ −~p
1 3~x(~
4π 0
|~x|3
∋
~EDip (~x) =
mit ~xˆ =
~x
|~x|
43
4.4. MULTIPOLENTWICKLUNG
Die allgemeine Taylor-Entwicklung des Potentials in der Elektrostatik lautet:
"
#
xi x j
1
Q ~p~x 1
φ(~x) =
+ 3 + ∑ Q̄i j 5 + · · ·
4π 0 r
r
2 ij
r
∋
Darin ist
Z
Q̄i j =
ρ(~x)(3xi x j − δi j~x2 ) d 3 x
der (spurlose) cartesische Tensor des Quadrupolmoments.
Gleichung (4.6) kann aber auch direkt durch Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen hergeleitet werden. Wegen Gleichung (2.10) gilt für eine beliebige skalare Funktion f (ϑ, ϕ):
f (ϑ, ϕ) =
Z
=∑
f (ϑ0 , ϕ0 )δ(Ω − Ω0 ) dΩ0
Z
∗
Ylm
(Ω0 )Ylm (Ω) f (Ω0 ) dΩ0
l,m
= ∑ Ylm (ϑ, ϕ) · Flm
Z
mit den Koeffizienten Flm :=
∗
Ylm
(Ω0 ) f (Ω0 ) dΩ0
l,m
In unserem Fall gilt:
φ̃ω (~x) = ∑ Ylm (ϑ, ϕ)φ̃ω,lm (~r)
l,m
mit φ̃ω,lm (~r) =
Z
∗
Ylm
(Ω0 )φ̃ω (r0 , ϑ0 , ϕ0 ) dΩ0
Dies setzt man nun in die Helmholtz-Gleichung ein:
1
∋
(∆ + k2 )φ̃ω (~x) = −
0
ρ̃ω (~x)
Laplace-Operator in Kugelkoordinaten:
1 ∂ 2∂
1
r
− 2~L ; ~L =~x × (−i∇)
2
r ∂r ∂r r
~L2Ylm = l(l + 1)Ylm
1 ∂ 2 ∂ l(l + 1)
1
2
=⇒ 2 r
−
+
k
φ̃
(~
r)
=
−
ρ̃ω,lm (~r)
ω,lm
r ∂r ∂r
r2
0
∆=
∋
Lösen dieser radialen Differentialgleichung mit geeigneten Randbedingungen (auslaufende Welle für r → ∞, d. h. ∼ cos(kr) 1r , sin(kr) 1r ) führt zu obigem Ausdruck
(4.6) für φ̃ω (~x).
44
KAPITEL 4. VERÄNDERLICHE FELDER
Multipolentwicklung für Vektorfelder
Man kann auch eine Multipolentwicklung divergenzfreier Vektorfelder (z. B. div ~B =
0) durchführen. Im Wesentlichen werden dabei die Kugelflächenfunktionen Ylm
ersetzt durch
~Xlm := p 1
~LYlm (ϑ, ϕ)
Vector spherical harmonics“
”
l(l + 1)
~Xlm erfüllt
Z
∗ ~
~Xlm
Xl 0 m0 dΩ = δll 0 δmm0
Z
∗
~Xlm
· (~x × ~Xlm )dΩ = 0
Ein vollständiges System von Vektorfunktionen für divergenzfreie Felder ist dann
gegeben durch
Fl (kr)~Xlm
und
∇ × (gl (kr)~Xlm
wobei
(1) (1)
(2) (2)
Fl (kr) = Fl hl (kr) + Fl hl (kr)
(1) (1)
(2) (2)
gl (kr) = gl hl (kr) + gl hl (kr)
(i)
(2)
(1)∗
hl (kr) = sphärische Hankelfunktionen hl (kr) = hl
(1)
(2)
(1)
(kr)
(2)
Hierbei sind Fl , Fl , gl und gl Entwicklungskoeffizienten, deren Wert von
der Ladungsverteilung abhängt. Die elektromagnetischen Felder im freien Raum
lassen sich dann entwickeln gemäß
h
i
~B = ∑ aE (l, m)Fl (kr)~Xlm + am (l, m)∇ × gl (kr)~Xlm
l,m
~E = ∑
l,m
i
aE (l, m)∇ × Fl (kr)~Xlm + am (l, m)gl (kr)~Xlm
k
Felder, die proportional zu am sind heißen sphärische TM-Felder ( transverse ma”
gnetic“) und Felder, die proportional zu aE sind heißen sphärische TE-Felder
( transverse electrical“).
”
Die Felder lassen sich auf die jeweiligen Multipolmomente zurückführen, wenn
kr 1 innerhalb der Ladungsverteilung gilt. Es gilt dann
aE (l, m) ∼ Qlm
am (l, m) ∼ Mlm
!
Z
~
1
~
x
×
j(~
x)
Mlm = −
rlYlm ∇
d3 x
(l + 1)
c
;
Mlm heißt magnetisches Multipolmoment. Genaueres zur vektoriellen Multipolentwicklung findet man in [5], insbesondere Kapitel 16.2 und 16.6.
Kapitel 5
Elektrodynamik in dielektrischen
Medien
Bis jetzt wurden nur Felder im Vakuum in Anwesenheit vorgegebener Ladungen
behandelt. Oft möchte man aber elektromagnetische Felder im Inneren von Medien (z. B. Glas oder Kristallen) betrachten.
Fast alle Medien sind aus Atomen und Molekülen aufgebaut. In solchen Objekten sind die Ladungen gebunden, d. h. sie können durch ein angelegtes äußeres
Feld nicht frei verschoben werden. Sie sind jedoch polarisierbar oder haben gar
ein permanentes Dipolmoment. Atome sind z. B. durch Anlegen eines elektrischen
Feldes polarisierbar:
_
E=0
E =/ 0
H
_
+
_
_
_
_
_
+
+
_
_
_
8+
_
_
O
_
H
+ _
Moleküle (z. B. Wasser) können auch ein permanentes Dipolmoment haben. Dies
tritt oft bei ionischen Bindungen auf. Betrachtet man nicht den Effekt jedes einzelnen Moleküls, sondern nur makroskopische Felder, die über einen Raumbereich,
der viele Moleküle enthält, gemittelt sind, kann man die makroskopischen Felder
~E, ~D, ~B und H
~ durch folgende Gleichungen gut beschreiben:
div ~D = ρ
div ~B = 0
(5.1)
~ = ~j + ~D˙
rot ~E = −~B˙
rot H
makroskopische Maxwell-Gleichungen
45
46
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN
Es gelten die materialabhängigen Beziehungen
E + ~P
0~
∋
~D =
~B = µ0 (H
~ + M)
~
;
~ die magnetische
Darin sind ~D die dielektrische Verschiebungsdichte und H
~
~
Feldstärke, P ist die Polarisation und M die Magnetisierung des Mediums. Es gibt
einige Spezialfälle:
~ = 0, so dass wir auf die bisherige Form der
• Im Vakuum gilt ~P = 0 und M
Maxwell-Gleichungen kommen.
• Wenn die Moleküle ein permanentes Dipolmoment (el. oder magn.) haben,
~ = ~P = 0. Weraber im Medium ungeordnet sind, gilt trotzdem im Mittel M
~
~
den die Moleküle ausgerichtet, so kann M oder P 6= 0 werden. Ein Beispiel
für ein theoretisches Modell dazu ist das Ising-Modell.
m
m
M=0
M=
/ 0
• Sind die Atome/Moleküle polarisierbar, so gilt
= ( + χ)~E
E
0 r~
∋ ∋
~D = ~E =
∋
;
∋
~P = χ~E
ist die Dielektrizitätskonstante des Mediums und χ seine Suszeptibilität.
Dieser Effekt kann (vor allem bei Kristallen) richtungsabhängig sein (Doppelbrechung):
∋
∋
i j:
Di =
;
∋
Pi = χi j E j
i jE j
dielektrischer Tensor
• Für optisch aktive Medien gilt nach dem Modell von Fedorow1
1 Es
;
~D = (~E + β rot ~E)
∋
~ =0
M
gibt verschiedene Modelle zur Beschreibung der optischen Aktivität. Dieses Modell sei
nur als Beispiel herausgegriffen.
47
5.1. MAKROSKOPISCHE MAXWELL-GLEICHUNGEN
Optische Aktivität heißt, dass die
Polarisation eines Lichtstrahls beim
Durchgang durch das Medium gedreht wird. Sie kommt daher, dass
σ+ - und σ− -Licht bei unterschiedlichen Frequenzen resonant sind
und daher einen unterschiedlichen
Brechungsindex erfahren.
n= 3, m=0 , l=0
σ+
σ−
m = _1
n=2, l=0
m=0
m = +1
• In nichtlinearen Medien gilt z. B.:
E + κ|~E|2 ~E
0~
∋
~D =
5.1 Herleitung der makroskopischen
Maxwell-Gleichungen
~ ist, dass sie makroDer physikalische Hintergrund der Größen ~E, ~D, ~B und H
skopische Felder darstellen, die als Mittelung über die mikroskopischen“ Felder
”
~Emik und ~Bmik auftreten. Letztere erfüllen die bisher behandelten
Gleichungen
ρmik
∋
div ~Emik =
div ~Bmik = 0
0
rot ~Bmik = µ0 ~jmik + 0 ~E˙mik
∋
rot ~Emik = −~B˙ mik
Wir spalten Ladungs- und Stromdichte wie folgt auf:
ρmik = ρfrei + ρgebunden
~jmik = ~jfrei + ~jgebunden
Die freien Größen entsprechen dabei Teilchen, die nicht an Atome/Moleküle gebunden sind. Im Rahmen der klassischen Physik können sie geschrieben werden
als
ρfrei (~x) = ∑ qi δ(~x −~xi )
i
~jfrei (~x) = ∑ qi~x˙i δ(~x −~xi )
i
Summen über die freien Teilchen.
48
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN
Die gebundenen Größen korrespondieren zu den Atomen/Molekülen des Mediums:
ρgebunden (~x) = ∑ ρn (~x) Summe über die Moleküle
n
ρn (~x) = ∑ qi δ(~x −~xi ) Summe über die Teilchen (e− , Kerne) im Molekül
i
~jgebunden (~x) = ∑ ~jn (~x) ;
~jn (~x) = ∑ qi~x˙i δ(~x −~xi )
n
i
In den meisten Situationen können die Meßgeräte für elektromagnetische Felder einzelne Moleküle (Größe ∼ 1 Å) nicht auflösen. Bei optischen Experimenten ist die räumliche Auflösung beispielsweise in der Größenordnung der Wellenlänge (∼ 6000Å). Man kann daher eine räumliche Mittelung über ~Emik und
~Bmik durchführen ohne die Beschreibung der Experimente zu verschlechtern:
~E(~x) = h~Emik (~x)i =
Z
f (~x0 )~Emik (~x −~x0 ) d3 x0
~B(~x) = h~Bmik (~x)i
Darin soll f (~x) eine Funktion sein, die sich auf molekularer Skala langsam ändert,
aber deren Träger
klein gegenüber der Wellenlänge ist. Wegen der Mittelung soll
R
natürlich gelten f (~x) d3 x = 1.
f(x)
x
700 nm
5.1. MAKROSKOPISCHE MAXWELL-GLEICHUNGEN
49
Für ~E und ~B folgen dann die Gleichungen
∂
Bi (~x)
∂xi
Z
∂
=
f (~x0 )Bmik,i (~x −~x0 ) d3 x0
∂xi
Z
∂
= f (~x0 ) Bmik,i (~x −~x0 ) d3 x0
∂xi
Z
div ~B(~x) =
f (~x0 ) div ~Bmik (~x −~x0 ) d3 x0
|
{z
}
=
=0
∋
und analog
= hdiv ~Bmik (~x)i = 0
hρmik i
div ~E(~x) =
0
˙ x)
rot ~E(~x) = −~B(~
1 ˙
rot ~B(~x) = µ0 h~jmik (~x)i + 2 ~E(~
x)
c
Die Mittelwerte können wie folgt verarbeitet werden:
hρmik i = hρfrei i + hρgebunden i
=: ρ(~x) + hρgebunden i
ρ(~x) : makroskopische Ladungsdichte
hρgebunden i =
∑
hρn (~x)i
(5.2)
n(Moleküle)
Für jedes Molekül ist die Ausdehnung sehr viel kleiner als der Mittelungsbereich,
daher:
ρn (~x) ≈
=
Z
f (~x0 )ρn (~x −~x0 ) d3 x0
Z
f (~x0 )
∑
−
qi δ(~x −~x0 −~xi ) d3 x0
i(e , Kerne)
=
∑
−
qi f (~x −~xi ) d3 x0
i(e , Kerne)
Ist ~xn der Schwerpunkt das Moleküls, so gilt |~xi −~xn | Träger von f und man
50
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN
kann f entwickeln:
f (~x −~xi ) = f (~x −~xn − (~xi −~xn ))
≈ f (~x −~xn ) − (~xi −~xn )∇ f (~xi −~xn ) + · · ·
=⇒ hρn (~x)i ≈
∑
qi { f (~x −~xn ) − (~xi −~xn )∇ f (~xi −~xn ) + · · · }
i(e− , Kerne)
∑
=⇒ hρn (~x)i ≈ f (~x −~xn )
Kerne)
|
{z
i(e− ,
}
qn
∑
−∇ f (~x −~xn )
qi
i(e− ,
qi (~xi −~xn ) + · · ·
Kerne)
|
{z
~pn
}
qn ist die Ladung des Moleküls n. Für nicht ionisierte Moleküle ist qn = 0. ~pn ist
sein Dipolmoment.
∑
=⇒ hρgebunden i =
(−∇ f (~x −~xn )~pn
n(Moleküle)
Polarisation ~P(~x) = ∑ f (~x −~xn )~pn
;
qn = 0
n
=⇒ hρgebunden (~x)i = −div ~P(~x)
Setzt man dies und Gleichung (5.2) in die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen
ein, so erhält man
1
∋
div ~E =
hρmik i
0
1
∋
0
1
div ~P
0
E + ~P =⇒ div ~D = ρ
0~
∋
~D =
ρ−
∋
=
Eine entsprechende Behandlung für
rot ~B = µ0 h~jmik i +
1 ~˙
E
c2
führt auf
~ + ~P˙
h~jmik i = ~j + rot M
~ = h∑ ~mn δ(~x −~xn )i
M
n
qi
qi ~
~mn =
(~xi × mi~x˙i ) =
Li
∑
∑
2mi
2mi
i(e− , Kerne)
i(e− , Kerne)
Hier ist ~mn das magnetische Dipolmoment des Moleküls n. (Zu Details vgl. [5],
Abschnitt 6.7). Daraus folgen dann die makroskopischen Maxwell-Gleichungen
Gleichung (5.1).
51
5.2. RANDBEDINGUNGEN AN GRENZSCHICHTEN
5.2
Randbedingungen an Grenzschichten
Mit Hilfe der Sätze von Gauß und Stokes läßt sich das Verhalten der Felder an
einer Grenzschicht zwischen zwei Dielektrika untersuchen. Man integriert dazu
über einen kleinen Bereich um die Grenzfläche.
Zuerst soll das Verhalten von D an der Grenzfläche untersucht werden. Man
betrachtet dazu ein kleines (Zylinder-)Volumen V , das jeweils zur Hälfte in beiden
Medien liegt (Abb. 5.2). Seine Grundfläche sei ∆s, seine Höhe ε. Man integriert
n
n
ε
∆s
Medium 1
Medium 2
nun die Gleichung div ~D = ρ:
div ~D dV =
Z
V
ZZ
ρ dV =
ZZ
0
Z
∂V
~D~n da
~D~n da +
=
Zylinder
|
{z
}
ZZ
~D~n da
Deckel
−→0 für ε−→0
=⇒
0
ZZ
∂V
~D~n da ≈~n(~D1 − ~D2 )∆s =
Z
V
ρ dV = σ∆s
σ ist die Flächenladungsdichte an der Grenzfläche (falls sich dort Ladungen ansammeln).
=⇒~n(~D1 − ~D2 ) = σ
=⇒ Die Normalkomponente von ~D ist stetig für σ = 0.
Analog zeigt man
Z
0=
V
div ~B dV =~n(~B1 − ~B2 )∆s
=⇒ Die Normalkomponente von ~B ist stetig.
Um das Verhalten von E und H an der Grenzfläche herauszufinden, betrachtet
man die anderen Maxwell-Gleichungen und integriert über eine Fläche A, die von
der Kurve C eingeschlossen wird. A liegt in einer Ebene senkrecht zur Grenzfläche
52
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN
53
5.2. RANDBEDINGUNGEN AN GRENZSCHICHTEN
und wird der Bequemlichkeit halber als Rechteck der Höhe ε und der Länge l
angenommen (Abb. 5.1).
ZZ
rot ~E d~a =
A
I
~E d~l
C
ZZ
=
A
≈ (~E1 − ~E2 ) · (~t ×~n)l
−~B˙ d~a ≈ −(~B˙ 1 − ~B˙ 2 ) ·~t |{z}
lε
A
Darin ist d~a ein Vektor senkrecht zu A, also tangential zur Grenzfläche. Er hat
die Richtung ~t (|~t| = 1) und den Betrag da. Die Kurve C wird durch den Vektor d~l = dl(~t ×~n) beschrieben, wobei ~n der Normalenvektor der Grenzfläche ist.
Der Beitrag der beiden Kurvenanteile, die (anti-)parallel zu ~n verlaufen, hebt sich
gerade weg. Für ε −→ 0 geht geht auch A −→ 0, sodass (mit (~B˙ 1 − ~B˙ 2 ) endlich)
folgt
(~t ×~n)(~E1 − ~E2 ) = 0
~n × (~E1 − ~E2 ) = 0 (~t beliebig)
=⇒ Die Tangentialkomponente von ~E ist stetig.
bzw.
Analog findet man
~1 −H
~ 2 )l =
(~t ×~n)(H
ZZ
˙ d~a
(~j + ~D)
A
Der Term mit ~D˙ verschwindet wieder für ε −→ 0. Der Term mit ~j verschwindet
nicht, falls Oberflächenströme vorliegen.
~j(~x) = K(~
~ x)δ( ~x in der Oberfläche“)
”
δ( ~x in der Oberfläche“) ist dabei eine eindimensionaleRDelta-Distribution,
die
RR
”
~ d~a gilt.
dafür sorgt, dass ~j = 0 außerhalb der Oberfläche ist und ~j d3 x = A K
Formal kann man eine Oberfläche durch eine Bedingung der Form
p f (x, y, z) = 0
beschreiben. Für eine Kugeloberfläche ist beispielsweise f (~x) = x2 + y2 + z2 −
R = 0.
=⇒ δ( ~x in der Oberfläche“) ∼ δ( f (~x))
”
ZZ
~j d~a = K
~~tl
=⇒
A
~1 −H
~ 2) = K
~~t
=⇒ (~t ×~n)(H
bzw.
~1 −H
~ 2) = K
~
~n × (H
~ ist stetig in Abwesenheit von Oberflächen=⇒ Die Tangentialkomponente von H
strömen.
54
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN
5.3
Elektrostatische Probleme in dielektrischen
Medien
Die Techniken der Elektrostatik in Dielektrika sind im wesentlichen die gleichen wie im freien Raum. Neu ist, dass Randbedingungen an Grenzflächen berücksichtigt werden müssen. Der Spezialfall linearer Polarisierbarkeit (~D = ~E;
~P = χ~E; = 0 + χ) tritt am häufigsten auf.
Beispiel 1: Punktladung an dielektrischer Grenzschicht
∋
∋
z
∋
2
∋
1
q
x
d
∋
(
~D =
E
1~
∋
∋
⇐⇒ ρ(~x) = qδ(~x − d~ex ) ;
x>0
x<0
E
2~
Wegen ~B = 0 = ρ̇ sind zu lösen
div ~D = ρ
und
rot ~E = 0
An x = 0 sind Ey , Ez und Dx stetig. Einen Ansatz findet man mit Hilfe einer
Spiegelladung q0 an der Stelle −d. Das Problem ist um die x-Achse zylindersymmetrisch. Für x > 0 gilt wie gehabt:
1
φ=
4π 1
q q0
+
R R0
∋
R=
q
r2 + (x − d)2
;
0
R =
q
r2 + (x + d)2
;
r2 = y2 + z2
Bis jetzt war das Vorgehen analog zum Fall einer Ladung vor einer Platte aus
leitendem Material. Aber nun müssen wir auch das Feld für x < 0 beschreiben.
5.3. ELEKTROSTATISCHE PROBLEME IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN55
Da ρ dort Null ist nimmt man an, dass an der Stelle d eine Ladung q00 sitzt:
1 q00
φ=
4π 2 R
∋
 

−d



00



q
1


+ 4π 2 r03  y 


z
 
  
−∇φ|x=0 =

−d
d



 q   q0  
1


+ 4π 1  r3  y  + r3  y 


0
0

z
z
für x −→ 0−
∋
r0 =
p
r2 + d 2
für x −→ 0+
∋
Nun ist Dx stetig:
=
1 ∇φ|x=0+
∋
2 ∇φ|x=0−
⇐⇒ q − q0 = q00
∋
Aus der Stetigkeit von Ey und Ez folgt:
q00 =
;
∋
∋
Das Bild zeigt den qualitativen Verlauf der Feldlinien für
1 (rechts).
∋
2+ 1
q
2
>
∋
2− 1
1
2 2
q
2+ 1
(links) und
∋
q0 = −
∋
=⇒
∋
1
(q + q0 )
∋
∋
1
∋
∋
2
q00 =
∋
1
2
<
∋
56
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN
Geht 2 −→ ∞, so wird q0 = −q. Dies entspricht einem metallischen Leiter.
Eine anschauliche Erklärung des Vorgangs ist, dass das Feld der Ladung Dipole
in den Dielektrika induziert, die die Ladung abschirmen.
∋
Beispiel 2: Homogen polarisierte Kugel in einem homogenen elektrischen Feld.
1
∋
div ~E = −
div ~P = −∆φ
0
1
1
(div ~P(~x0 ))
d3 x 0
4π 0
|~x −~x0 |
Z
1
~P(~x0 )∇~x 1 d3 x0
=−
4π 0
|~x −~x0 |
Z
φ=−
∋
∋
Innerhalb der Kugel ist ~P konstant, außerhalb ist es Null. Daher
a
1 ~
1
P∇x
r02 √
d cos ϑ dr0
2
02
0
4π 0
0
r + r − 2rr cos ϑ
Z
1 ~ 1 a
=−
P∇x
(|r + r0 | − |r − r0 |)r0 dr0
2 0
r 0
( 3
2a
1 ~
r>a
=−
P∇x 32r 1 2
2 0
a − 3r
r<a
( 3
a
1 ~
r>a
φ=
P~x r3
3 0
1
r<a
Z
φ=−
∋
∋
∋
∋
~0 für |~x| → ∞. Wegen ∆(~xE
~0 ) = 0
φ erfüllt noch nicht die Randbedingung φ → −~xE
kann man diesen Betrag jedoch einfach dazu addieren (homogene Lösung).
 −~x ~E0 − 1 ~P a33
r>a
3 0 r
=⇒ φ =
−~x ~E0 − 1 ~P
r<a
3 0
∋
∋
Im Inneren gilt
~Einnen = −∇φ = ~E0 − 1 ~P
3 0
Ist die Kugel polarisierbar, so gilt ~P = χ~Einnen
1
~P =⇒ ~P χ χ ~E0 ; χ = −
~P = χ ~E0 −
3 0
1+ 3 0
~P = 3 0 − 0 ~E0 =⇒ ~Einnen = 3 0 ~E0
+2 0
+2 0
∋
∋
0
∋
∋
∋
∋
∋
∋
∋
∋
∋
∋
∋
5.4. CLAUSIUS-MOSOTTI UND LORENTZ-LORENZ-BEZIEHUNGEN
5.4
57
Clausius-Mosotti und
Lorentz-Lorenz-Beziehungen
Die makroskopische Suszeptibilität χ eines polarisierbaren Mediums ist gegeben durch ~P = χ~E; ~D = ~E = ( + χ)~E. Wie ist sie verknüpft mit der Polarisierbarkeit α der einzelnen Moleküle (~pMolekül = α~Emik )? Auf die Moleküle wirkt
nicht das makroskopische Feld ~E, sondern das mikroskopische Feld ~Emik (lokales
Feld). Aus der Herleitung der makroskopischen Maxwell-Gleichungen wissen wir
(ρfrei = 0):
∋
1
ρgebunden
∋
∋
div ~Emik =
0
1
hρgebunden i = −
∋
0
1
∋
div ~E =
div ~P
0
Um ~Emik am Ort eines bestimmten Moleküls zu bestimmen, zerlegen wir ρgebunden
in einen Nah- und einen Fernteil:
ρnah 6= 0
ρfern 6= 0
in einer Kugel um das Molekül
außerhalb der Kugel
Es ist klar, dass für das Molekül ρfern ≈ hρfern i = −div ~P gesetzt werden kann.
Außerdem kann gezeigt werden, dass das von ρnah erzeugte Feld für viele Medien
(z. B. isotrope oder zufällig verteilte) verschwindet oder vernachlässigt werden
kann.
=⇒ auf das einzelne Molekül wirkt daher effektiv das Feld, das im Innern eines
Hohlraums im Dielektrikum herrscht.
Wir berechnen also das Feld φ̃ im Innern eines Hohlraums: Aus dem vorigen Abschnitt kennen wir φKugel . Nun betrachten wir U = φKugel + φ̃, wobei φ̃ −→ −~x · ~E0
und φKugel −→~x · ~E0 für |~x| −→ ∞. =⇒ U −→ 0 für |~x| −→ ∞.
∼
φ
φ
1
∋
0
div ~P = 0 für ~P = const.
E0
U
=
E0
=⇒ ∆U =
+
0
58
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN
=⇒ U = 0 ist Lösung mit richtigen Randbedingungen.
=⇒ φ̃ = −φKugel
Innerhalb des Hohlraums gilt also
1 ~
~
P
φ̃ = − −~x · −E0 −
3 0
1 ~
=⇒ ~Einnen = −∇φ̃ = ~E0 +
P
3 0
∋
∋
Da der Hohlraum klein ist und wir ~Einnen nicht messen können, definieren wir die
(makroskopische) Suszeptibilität diesmal über ~P = χ~E0 (nicht ~P = χ~Einnen ). Dies
wird manchmal als virtual cavity model“ bezeichnet. Damit ist
”
χ
+2 0
~Einnen = ~E0 1 +
= ~E0
3 0
3 0
∋
∋
∋
∋
Nun gilt
~P = ρhpMolekül i = ρα~Einnen
+2 0
= ρα~E0
= χ~E0 = ( − 0 )~E0
3 0
∋
∋
∋
∋
∋
ρα
− 0
=
3 0
+2 0
Clausius-Mosotti-Gleichung
∋
∋
∋
∋
=⇒
(5.3)
∋
Die Bedeutung dieser Gleichung liegt darin, dass
∋
∋
∋
∋
1 − 0
ρ +2 0
für die meisten Materialien konstant ist. Meist sieht man diese Gleichung ausgedrückt durch r := / 0 :
ρα
r −1
=
3 0
r +2
wir werden später sehen, dass der Brechungsindex n mit verbunden ist durch
n2 = r
ρα
n2 − 1
=⇒
= 2
3 0 n +2
Diese Gleichung wird oft als Lorentz-Lorenz-Gleichung bezeichnet.
∋ ∋
∋
∋
∋
∋
∋
∋
∋
59
5.5. MAGNETISCHE MEDIEN
5.5
Magnetische Medien
Ähnlich wie bei Dielektrika gibt es auch Medien, die sich beim Anlegen eines
magnetischen Feldes magnetisieren lassen. Für isotrope diamagnetische und paramagnetische Substanzen gilt dabei
~B = µH
~
;
µ = magnetische Permeabilität
µ > 1: paramagnetisch,
µ < 1: diamagnetisch
Dabei unterscheidet sich µ in der Regel nur gering von µ0 (≈ 10−6 ).
Für Ferromagnetika gilt allgemeiner ein nicht linearer Zusammenhang
~B = ~f (H)
~
Insbesondere kann es sich sogar um einen nicht eindeutigen Zusammenhang handeln. Das Medium erinnert sich dabei gewissermaßen an seine Vorgeschichte:
B
.
. .
H
Neukurve
Dieses Phänomen nennt man Hysterese. Ferromagnetika lassen sich mit einem
Spin-Modell verstehen. Jeder Spin hat ein magnetisches Moment. Durch ein an~
gelegtes H-Feld
werden die Spins ausgerichtet. Je mehr umso stärker das äußere
Feld ist. Irgendwann sind dann alle am Feld orientiert.
~
Fährt man danach das H-Feld
wieder runter, so spüren die Spins ein lokales
~ und dem Feld des anderen Spins zusammengesetzt ist =⇒ Selbst
Feld, das aus H
~ kleiner wird muß zum Umklappen das Feld der anderen noch ausgerichwenn H
teten Spins überwunden werden. Je mehr Spins umgeklappt sind, desto einfacher
ist es, einen weiteren umzuklappen.
m
H= 0; B= 0
m
H> 0; B> 0
m
H= 0; aber B> 0
60
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN
Durch erhöhen der Temperatur bei H = 0 kann man die Spinordnung zerstören
und so H = B = 0 erreichen. Die Beschreibung dieses Systems gehört in die Statistische Physik.
~ ist schwierig. Oft
Die Behandlung von Phänomenen mit allgemeinem ~B(H)
~ x) als vorgegeben angenommen werden, da das zusätzliche H-Feld
~
kann aber M(~
~ merklich zu ändern (harte Ferromagneten).
zu klein ist, um M
Allgemeine Lösungsmethode für statische Probleme:
~ = 0 und somit H
~ = −∇φM mit dem
Falls ~j = 0 (und ~D˙ = 0) so gilt rot H
magnetischen Skalarpotential φM . Eine Gleichung für φM ergibt sich aus
~ + M)
~
div ~B = 0 = µ0 div (H
~
=⇒ ∆φM = div M
Für harte Ferromagneten ist die rechte Seite vorgegeben und mit den Mitteln der
Elektrostatik folgt
Z ~ 0
1
M(~x ) 3 0
φM = − div
d x
4π
|~x −~x0 |
~ x0 ) 6= 0 gilt
In großer Entfernung von dem Gebiet mit M(~
1
1
≈
0
|~x −~x | |~x|
=⇒
~m ·~x
φM =
4πr3
Z
;
~m =
~ x0 ) d3 x0
M(~
Beispiel 1: Homogen magnetisierte Kugel
(
~ = const. innerhalb Kugel mit Radius a
M
0
außerhalb
~ = −∇φM =⇒ ∆φM = div M:
~ Das Problem ist äquivalent zur homogen polariH
sierten dielektrischen Kugel.
( 3
a
1~
für r > a
=⇒ φM = M~x · r3
3
1
für r < a
Außen ist dies ein reines magnetisches Dipolfeld.
Beispiel 2: Abschirmung durch hoch permeable Materialien
~ (Abbildung 5.2).
Wir betrachten eine Kugelschale in einem äußeren Magnetfeld H
61
5.5. MAGNETISCHE MEDIEN
b
H
a
~
Abbildung 5.2: Kugelschale im äußeren Magnetfeld H.
(
~
~B = µH
~
µ0 H
für a < r < b
sonst
In den Teilbereichen gilt
~ = −∆φM
div ~B = 0 = div H
Wegen der Kugelsymmetrie des Problems kann man folgenden Ansatz machen:
φM = ∑ Yl,m (ϑ, ϕ) fl (r)
l,m
Wegen der Zylindersymmetrie und Yl,m ∼ eimϕ folgt:
φM = ∑ Yl,0 fl (r)
l
2
l(l + 1)
=⇒ ∂2r fl + ∂r fl −
fl = 0
r
r2
Lösung: fl = arl + b−(l+1)
Ansätze für φM in den einzelnen Teilbereichen:
Außen:
αl
Pl (cos ϑ)
rl+1
r→∞
−→ −B0 z
φM = −B0 · z + ∑
62
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN
In der Kugelschale:
φM = ∑ βl r +
γl
l
l
r(l+1)
Pl (cos ϑ) ;
a<r<b
Innerhalb der Kugel:
φM = ∑ δl rl Pl (cos ϑ)
l
Randbedingungen
• Radialkomponente von ~B ist stetig.
~ ist stetig.
• Tangentialkomponente von H
⇐⇒
∂φM
∂ϑ
stetig an r = a und r = b sowie
µ0
∂φM
∂φM
=µ
∂r
∂r
Auf der linken Seite dieser Gleichung steht das Feld für r −→ b + 0, r −→ a − 0,
auf der rechten das Feld für r −→ b − 0, r −→ a + 0. Als Ergebnis findet man
(µr = µµ0 )
α1 =
(2µr + 1)(µr − 1)
(b3 − a3 )B0
3
(2µr + 1)(µr + 2) − 2 ab3 (µr − 1)2
9µr
δ1 = −
B0
3
(2µr + 1)(µr + 2) − 2 ab3 (µr − 1)2
Interessant ist der Fall µr 1:
α1 −→ b3 B0
−9
δ1 −→
3
2µr (1 − ab3 )
=⇒ Das Feld im Innern der Kugel ist sehr klein für µr 1, auch für recht dünne
Materialien.
63
5.5. MAGNETISCHE MEDIEN
H
64
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN
Kapitel 6
Lineare und nichtlineare Optik
In Kapitel 4 hatten wir ebene Wellen als Lösungen der Wellengleichungen kennengelernt. Im Vakuum lauteten sie
~E = 0 = ~B
und haben die Lösungen
~E = E~ε exp(i~k~x − iωt)
~B = 1 (~k × ~E)
ωk
In Kapitel 5 und den Übungen wurden die Wellengleichungen auf dielektrische
Medien verallgemeinert:
1 2
~E = 1 ∇(div ~P − ρ) − µ0 {rot M
~˙ + ~P¨ + ∂t ~j}
∂
−
∆
t
2
c
0
1 2
~
∂t − ∆ ~B = µ0 {rot ~j + rot ~P˙ + rot rot M}
2
c
∋
˙ Für ρ = ~j = M
~ = 0 folgt (geht auch mit
Nach wie vor gilt dabei rot ~E = −~B.
~ = χM · ~B):
M
1 2
1
∂t − ∆ ~E = ∇div ~P − µ0~P¨
2
c
0
1 2
∂t − ∆ ~B = µ0 rot ~P˙
2
c
∋
65
66
KAPITEL 6. LINEARE UND NICHTLINEARE OPTIK
6.1
Reflexion und Refraktion
Betrachten wir speziell isotrope dielektrische Medien mit ~P = χ~E, ~D = ~E =
E, dann gilt
r 0~
µ0 ~E¨ − ∆~E = 0
∋
∋∋
∋
Die ebenen Wellen sehen genauso aus wie im Vakuum, nur dass ω = ck durch
ω = √ck ersetzt wird. An der Grenzschicht zwischen zwei Dielektrika, die wir mit
r
der Ebene z = 0 identifizieren, kann man solche Lösungen unter Berücksichtigung
der Randbedingungen zusammensetzen:
∋
~E = ~E0 ei~k~x−iωt
~E 0 = ~E 0 ei~k0~x−iωt
0
~E 00 = ~E 00 ei~k00~x−iωt
0
~
, ~B = ωk × ~E
~0
, ~B0 = kω × ~E 0
~ 00
, ~B00 = kω × ~E 00
einfallender Strahl
durchgehender Strahl
reflektierter Strahl
Da die Randbedingungen zu jeder Zeit erfüllt sein müssen, müssen die Phasenbeziehungen zwischen ~E, ~E 0 , ~E 00 usw. erhalten bleiben =⇒ Alle Felder haben die
gleiche Frequenz ω!
n
k’
Grenz−
fläche
ϑ’
k
ε’
ε x
ϑ
ϑ’’ k’’
√ ω
=⇒|~k| = |~k00 | = r ≡ k
c
p ω
0
0
≡ k0
|~k | =
r
c
∋
∋
Die Randbedingungen lauten:
~n · ∆~D = 0 ⇐⇒ ~n{ (~E + ~E 00 ) − 0 ~E 0 } = 0
z=0
~n × ∆~E = 0 ⇐⇒ ~n × {~E + ~E 00 − ~E 0 } = 0
∋
∋
z=0
~n · ∆~B = 0 ⇐⇒~n · {~k × ~E +~k00 × ~E 00 −~k0 × ~E 0 } = 0
~ = 0 ⇐⇒~n × {~k × ~E +~k00 × ~E 00 −~k0 × ~E 0 } = 0
~n × ∆H
67
6.1. REFLEXION UND REFRAKTION
Betrachte z. B. die erste Randbedingung:
~
~0 00 ei~k00~x + 0 E
~0 0 ei~k0~x } = 0 fürz = 0 und alle x, y
~n{ ~E0 eik~x + E
∋
∋
∋
Da die Phasenbeziehungen zwischen den drei Wellen mit x und y variieren, kann
die algebraische Bedingung ~n · ∆~D = 0 nur dann für alle x erfüllt sein, wenn die
Exponenten gleich sind.
00
0 ~
~
~
=⇒ k~x = k ~x = k ~x
z=0
oder hier: ~kx =~kx0 =~kx00 und ~ky =~ky0 =~ky00
⇐⇒k sin ϑ = k0 sin ϑ0 = k00 sin ϑ00
⇐⇒ϑ = ϑ00 Einfallswinkel=Ausfallswinkel des reflektierten Strahls





cos ϕ sin ϑ
cos ϕ0 sin ϑ0
cos ϕ00 sin ϑ00
mit ~k = k  sin ϕ sin ϑ  , ~k0 = k0  sin ϕ0 sin ϑ0 , ~k00 = k00  sin ϕ00 sin ϑ00 .
cos ϑ
cos ϑ0
− cos ϑ00

∋
∋
k = k·
0
sin ϑ
=⇒
=
sin ϑ00
r
0
∋
∋
r
0
Dies ist das Snelliussche Gesetz für die Brechung eines Strahls an einer Grenzfläche.
Ist speziell = 0 , so sieht man, dass der Brechungsindex eines Mediums
gegeben ist durch
∋
=
p
0
r
ω
c
c
=p = 0
0
0
k
n
r
∋
=⇒
0
∋
∋
n0 =
∋
∋
r
0 ˆ
=⇒ Die Felder variieren wie exp{i ncω~k~x − iωt}
=⇒ Die Phasengeschwindigkeit ist nun
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.
c
n0 ,
also (im Normalfall) kleiner als die
Bemerkenswert ist, dass wir für all diese Ergebnisse die genaue Form der Randbedingungen noch nicht benötigt haben. Um aber die relativen Intensitäten der drei
Strahlen zu bestimmen, braucht man die komplette Form der Randbedingungen.
68
KAPITEL 6. LINEARE UND NICHTLINEARE OPTIK
1. Fall: Die Polarisation von ~E liegt in der Ebene der Grenzschicht
~E0 = E0~ey
dito ~E00 , ~E000 ; ~n =~ez
√
~n · ∆~D = 0
~n × ∆~E =~ez ×~ey {E0 + E000 − E00 } = 0 =⇒ E00 = E0 + E000
~k ×~ey = kx~ez − kz~ex = k(sin ϑ~ez − cos ϑ~ex ) (oBdA ϕ = 0)
~ = 0 =⇒ kz E0 + kz00 E000 − kz0 E00 = 0
~n × ∆H
=⇒ k cos ϑ(E000 − E0 ) + k0 E00 cos ϑ0 = 0
E00
2n cos ϑ
p
=
E0 n cos ϑ + n02 − n2 sin2 ϑ
p
E000 n cos ϑ − n02 − n2 sin2 ϑ
p
=
E0
n cos ϑ + n02 − n2 sin2 ϑ
2. Fall: ~B = B~ey , analoge Überlegungen wie im 1. Fall ergeben die Gleichungen
cos ϑ(E0 − E000 ) − cos ϑ0 E00 = 0 ; n(E0 + E000 ) − n0 E00 = 0
E00
2nn0 cos ϑ
p
=
E0 n02 cos ϑ + n n02 − n2 sin2 ϑ
p
E000 n02 cos ϑ − n n02 − n2 sin2 ϑ
p
=
E0
n02 cos ϑ + n n02 − n2 sin2 ϑ
0
=⇒ E000 = 0 für tan ϑB = nn (für ~B~n = 0)
Für diesen Winkel (Brewster-Winkel) ϑB gibt es keinen reflektierten Strahl.
Strahlt man unpolarisiertes Licht im Winkel ϑB ein, so wird es daher polarisiert. Selbst bei Winkeln ϑ 6= ϑB ist das reflektierte Licht teilweise polarisiert.
Totalreflexion
r
∋
∋
sin ϑ =
0
0
sin ϑ =
n
sin ϑ
n0
=⇒ sin ϑ0 = 1 falls n > n0 und sin ϑ0 =
=⇒ ϑ0 = 90◦
n0
n
69
6.2. DOPPELBRECHUNG UND OPTISCHE AKTIVITÄT
Der gebrochene Strahl läuft also parallel zur xy-Ebene zwischen den Medien.
Für ϑ > ϑ0 gilt sin ϑ0 > 1 =⇒ ϑ0 = iϑ̃0
p
p
=⇒ cos ϑ0 = 1 − sin2 ϑ0 = i sin2 ϑ0 − 1
=⇒ cos ϑ0 ist rein imaginär
=⇒ ~E 0 ∼ eik ~x = ei sin ϑ k x+i cos ϑ n z
√
2 0
0 0
0
= ei sin ϑ k x e− sin ϑ −1k z
~0
0 0
0 0
=⇒ Das ~E-Feld fällt außerhalb des -Mediums“ exponentiell ab (kein Energie”
transport). Es findet also keine Propagation statt, sondern das Maxwell-Feld
tunnelt sozusagen ein wenig in das zweite Medium hinein. Man nennt das
exponentiell abfallende Feld auch evaneszentes Feld.
∋
Anwendungen der Totalreflexion:
1. Atomspiegel: Der exponentiell abfallende Term erzeugt abstoßendes (reflektierendes) Potential für Atome.
2. Verlustfreie Spiegelung von Lichtstrahlen
6.2 Doppelbrechung und Optische Aktivität
Ein Medium, das zwar homogen, aber nicht mehr isotrop ist, wird durch
∋
i jE j
∋
Di =
∋
charakterisiert. In Abwesenheit eines (starken) Magnetfeldes kan i j = ji als symmetrisch angesetzt werden. Bei Vernachlässigung der Absorption ist i j außerdem
reell. Für eine solche Matrix gibt es immer drei Eigenvektoren (mit reellen Eigenwerten), die orthogonal zueinander stehen (Hauptachsen). Mit
i j − 0 δi j )E j
∋
∋
folgen dann die Wellengleichungen
i j − 0 δi j )Ë j
∋
Ei = −∇i div ~E − µ0 (
∋
mit ∇div − ∆ = rot rot folgt:
∋
(rot rot E)i + µ0
i j Ë j
=0
∋
Pi = (
70
KAPITEL 6. LINEARE UND NICHTLINEARE OPTIK
Als Ansatz wählt man eine ebene Welle:
~
Ei = ei eik~x−iωt
~
=⇒ rot rot ~E = −~k × (~k ×~e)eik~x−iωt
=⇒ ei~k2 − ki (~k~e) − ω2 µ0 i j e j = 0
∋
1
∋ ∋
∋
Setzt man ¯ i j =
0
ij
und ~k = ωc ~n, so folgt
(~n2 δi j − ni n j − ¯ i j )e j = 0
∋
Dieses lineare Gleichungssystem ist lösbar, falls die Determinante von (~n2 δi j −
ni n j − ¯ i j ) verschwindet. Legt man die Koordinaten x, y, z entlang der Hauptachsen des Mediums (Kristalls), so folgt
 (x)

0
0
r


(y)
0 
ij =  0
r
(z)
0
0
r
∋
∋
∋
∋
∋
und für die Determinante
(x)
(y)
(z)
0 =~n2 r n2x + r n2y + r n2z
h
(x) (y)
(z)
(y)
− n2x r ( r + r ) + n2y r (
∋
∋
∋
∋
∋
∋
∋
∋
∋
∋
∋
∋
(x) (y) (z)
r r r
∋ ∋ ∋
+
i
(x)
(z)
(y)
2 (z) (x)
r + r ) + nz r ( r + r )
Diese Gleichung heißt Fresnelsche Gleichung und ist wesentlich für die Kristallphysik. Beispiel einachsige Kristalle:
;
(z)
r
k
=:
k 2
nz + ⊥ (n2x + n2y ) − ⊥ k
∋ ∋
∋
∋
∋
)
⊥
∋
⊥
h
=:
∋
∋
∋
=⇒ (~n2 −
(y)
r
=
∋
(x)
r
i
=0
Diese Gleichung hat zwei Lösungen:
1. n2 = ⊥ : Ordentliche Wellen
Diese
√ verhalten sich wie in einem isotropen Medium mit Brechungsindex
n= ⊥
∋
∋
2. Außerordentliche
Wellen


sin ϑ cos ϕ
Für ~n = n  sin ϑ sin ϕ  gilt
cos ϑ
1
sin2 ϑ cos2 ϑ
+ ⊥
=
k
n2
∋
∋
6.2. DOPPELBRECHUNG UND OPTISCHE AKTIVITÄT
71
=⇒ Der Brechungsindex hängt von der Richtung von ~k ab, also n = n(ϑ).
Da die Herleitung des Snelliusschen Gesetzes nicht von den Einzelheiten
der Randbedingungen abhängt, kann man es direkt übernehmen und findet,
dass für ϑ 6= 0 zwei Strahlen mit unterschiedlichem Brechungsindex und
damit unterschiedlichem Brechungswinkel existieren. Das nennt man Doppelbrechung.
Optische Aktivität
In optisch aktiven Medien wird die Polarisationsrichtung von durchlaufendem
Licht gedreht. Optische Aktivität kann durch verschiedene Modelle beschrieben
werden. Nach dem Modell von Fedorow gilt:
~D = ~E + βrot ~E
∋
Die Wellengleichung dazu lautet (s. Übungen):
µ0 ~E¨ − ∆~E = −µ0 βrot ~E¨
∋
∋
~
Gelöst wird sie wieder durch ebene Wellen ~E = ~E0 eik~x−iωt :
(−ω2 µ0 + k2 )~E0 = iω2 µ0 β(~k × ~E0 )
∋
~k
,~e1 ,~e2
|~k|
∋
ˆ
Sei ~k :=
ein Dreibein (~ei = lineare Polarisationsvektoren):
~E (±) = E (±) (~e1 ± i~e2 ) zirkular polarisierte Wellen
0
0
=⇒ ω2± µ0 (1 ± βk) = k2
k
1
ck
ω± = √
·p
=
µ0
1 ± βk n± (k)
∋
∋
Der Brechungsindex hängt von der Polarisation und von k ab! Betrachte eine Superposition von ~E (+) und ~E (−) :
~E = E (+) (~e1 + i~e2 )ei~k~x−iω(+)t + E (−) (~e1 − i~e2 )ei~k~x−iω(−)t
0
0
(+)
(−)
Nehmen an E0 = E0
n
o
−iω(+)t
−iω(−)t
−iω(+)t
−iω(−)t
i~k~x
i~k~x
~
=⇒ E = E0 ~e1 e
e
+e
+ i~e2 e
e
−e
+ c. c.
~
Für t = 0 ist ~E = 2E0~e1 eik~x + c. c. und ist linear in ~e1 -Richtung polarisiert. Für
~
π
t¯ := ω −ω
gilt ~E = 2E0~e2 eik~x , d. h. ~E ist linear in ~e2 -Richtung polarisiert.
(−)
(+)
72
KAPITEL 6. LINEARE UND NICHTLINEARE OPTIK
_
t
_
3t
_
2t
_
4t
t=0
In dielektrischen Medien breiten sich elektromagnetische Wellen im Allgemeinen ganz anders aus als im Vakuum.
~
Sei allgemein ~Ek = E(k)~ek eik~x−iω(k)t eine ebene Welle in irgendeinem Medium. Darin sei ω(~k) = c|~k| im Vakuum und ω(~k) = c|~k|/n in isotropen Medien.
Die Phasengeschwindigkeit ~ω einer ebenen Welle ist die Geschwindigkeit, mit
|k|
der sich die Wellenfronten fortbewegen. Ein Wellenpaket ist gegeben durch (der
Einfachkeit halber eindimensional)
Z
E(x,t) =
E(k)eikx−iω(k)t dk
Annahme: Nur Frequenzen in der Nähe einer Frequenz ω0 tragen zum Wellenpaket bei (sehr gut erfüllt für Laserlicht).
dω (k − k0 ) + · · ·
=⇒ ω(k) ≈ ω0 +
dk k0
i k0
dω
dk k0 −ω0
t
i k0
dω
dk k0 −ω0
t
=⇒E(x,t) = e
=e
|
|
·
Z
ik x− dω
dk |k t
E(k)e
· E(x − t ·
0
dk
| , 0)
dω
dk k0
=⇒ Das Wellenpaket bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit vgr =
Im Vakuum gilt dω
dk = c = vgr = Phasengeschwindigkeit.
c
In isotropen Medien gilt dω
dk = n = Phasengeschwindigkeit.
In n(|~k|)-Medien (inhomogene Medien, optisch aktive Medien) gilt
dω
d ck
c
=
6=
dk
dk n(k) n(k)
d. h. Gruppengeschwindigkeit 6= Phasengeschwindigkeit
In anisotropen Medien gilt
c|~k|
n = n(|~k|, ϑ) =⇒ ∇~k
=~vgr
n(~k)
dω dk k0 .
73
6.3. EIKONAL-NÄHERUNG, GEOMETRISCHE OPTIK
Hier hat die Gruppengeschwindigkeit sogar eine andere Richtung als die
Phasengeschwindigkeit.
6.3
Eikonal-Näherung, Geometrische Optik und
Fermats Prinzip
In isotropen, inhomogenen Dielektrika gilt ~D = (~x)~E(~x). Für solche Medien (und auch Vakuum) wird oft die Eikonal-Näherung durchgeführt, die mit der
WKB-Näherung der Quantenmechanik eng verwandt ist.
Die Wellengleichung für diese Medien lautet
∋
µ0 (~x)~E¨ + rot rot ~E = 0 = µ0 (~x)~E¨ + ∇div ~E − ∆~E
∋
∋
aus div ~D = ρ = 0 folgt
div ( ~E) = 0 = div ~E + (∇ )~E
∋
∋
∋
Man kann oft näherungweise (∇ )~E = 0 annehmen (⇐⇒ (~x) ändert sich im wesentlichen nur in Ausbreitungsrichtung, da ~E ⊥~k).
∋
∋
µ0 (~x)~E¨ − ∆~E = 0
∋
Ansatz zur Lösung:
monochromatische Welle, bei der sich in Analogie zu ebenen Wellen nur die Phase
ändert und die Amplitude und damit die Intensität im wesentlichen konstant bleibt.
~E = ~E0 e−iωt eik0 S(x) ; k0 := ω
c
2
2
2 ~ −iωt ik0 S(x)
=⇒ −µ0 ω − ik0 ∆S + k0 (∇S) E0 e
e
=0
∋
Ändert sich der Lichtstrahl nur auf Skalen, die groß gegenüber der Wellenlänge
λ = 2π
k0 sind, so ist k0 groß im Vergeich zur Variation von S. =⇒ vernachlässige
k0 ∆S gegenüber k02 (∇S)2 .
;
∋
2
r (x) = n (x)
r
=
∋
∋
∋
=⇒ (∇S)2 ≈
(x)
0
Eikonalgleichung
Interpretation der Phase S(x):
~
Man kann folgendermaßen eine Analogie zu ebenen Wellen E(~x) ∼ eik~x herstellen: Die Ausbreitungsrichtung der Wellenfronten ist bei ebenen Wellen durch den
Vektor ~k gegeben. Der Wellenvektor kann definiert werden als Gradient der Phase
~k = ∇(~k~x)
74
KAPITEL 6. LINEARE UND NICHTLINEARE OPTIK
Diese Definition mutet umständlich an, jedoch läßt sie sich in der Eikonalgleichung einfach verwenden.
Aus der Analogie folgt, dass S(x) = const. die Wellenfronten (Ebenen konstanter Phase) angibt und dass die Ausbreitungsrichtung dieser Wellenfronten
durch ~k(x) = ∇(k0 S(x)) = k0 ∇S(x) gegeben ist. Die Feldlinien“ des Potentials“
”
”
S(x) lassen sich daher als Lichtstrahlen interpretieren (~k=
b Ausbreitungsrichtung
der Lichtstrahlen). Lichtstrahlen entsprechen also Kurven x(u) (u = Parameter),
die immer senkrecht auf den Ebenen S(x) = const. stehen.
=⇒
d~x(u)
∼ ∇S(~x(u))
du
x (u)
S(x) = S0
S(x) = S1
S(x) = S 2
Die Eikonalgleichung stellt die Grundlage der geometrischen Optik dar.
Um ~x(u) zu berechnen, wählen wir die spezielle Parametrisierung u = l =
Länge der Kurve bis zum Punkt ~x(l), d. h.
d~x(l) d~x(l) ∇S(x)
1
dl = 1 =⇒ dl = |∇S| = n(~x(l)) ∇S|~x=~x(l)
d
d~x
d
n
= ∇S(~x(l))
dl
dl
dl
d
= ∇ S(~x(l))
dl
d~x(l)
=∇
· ∇S(~x(l))
dl
1
2
=∇
(∇S)
n(~x(l))
d
d~x
=⇒
n
= ∇n(~x(l))
(6.1)
dl
dl
6.3. EIKONAL-NÄHERUNG, GEOMETRISCHE OPTIK
75
Speziell für n =const. folgt:
d2~x(l)
= 0 ⇐⇒~x(l) =~x0 + l
dl 2
Dies ist ein gerader Lichtstrahl =⇒ Gleichung (6.1) ist sinnvoll.
Die Gleichung für die Lichtstrahlen kann auch aus einem Extremalprinzip hergeleitet werden: Lichtstrahlen sind die Kurven, für die
Z l1
S=
n(~x(l))dl
l0
extremal wird (Fermatsches Prinzip).
Um den Zusammenhang zu verstehen lassen wir zunächst
wieder eine belie
d~x d~x
bige Parametrisierung u zu, es gilt im Allgemeinen du 6= 1. Da du
∼ ∇S folgt
d~x d~x
1
du = |∇S| ∇S du Z ~x
Z u
d~x
∇S · 0 du0
du
~x0
u0 Z u
1
d~x
=
∇S · ∇S 0 du0
n
du
u0
Z u Z l
d~x 0
=
n 0 du (=
n(~x(l 0 )dl 0 für obige spezielle Parametrisierung)
du
u0
0
=⇒ S(x) =
∇Sd~x =
Variation von S mit Hilfe der Funktionalableitung:
δS
1
= lim S[xi (u) + εδ(u − u0 )] − S[xi (u)]
δxi (u) ε→0 ε
δS
δS = 0 ⇐⇒
=0
δxi (u)
Z d
δS
1
0
0
0
0
= lim
n(xi (u ) + εδ(u − u )) · 0 (xi (u ) + εδ(u − u ))
δxi (u) ε→0 ε
du
d
−n(xi (u0 )) 0~x(u0 ) du0
du
s
2 2 2
d
dx
dx
d
a
b
(xi + iεδ) =
+
+
(xi (u0 ) + εδ(u − u0 ))
du0
du
du
du0
76
KAPITEL 6. LINEARE UND NICHTLINEARE OPTIK
Die Wurzel wird nun bis zur ersten Ordnung in ε entwickelt (a, b, i = 1, 2, 3):
s
p
2
dxb 2
dxi
(· · · ) ≈
+
+
0
du
du0
d
d
1
+ r · 2 0 xi (u0 ) + εδ(u − u0 )
δ(u − u0 )ε
0
2
2
2
du
du
dxi
dxa
b
+ dx
+ du
2
0
du0
du0
dxa
du0
2
+ O(ε2 )
d~x 1
dxi d
= 0 +
· 0 0 εδ(u − u0 )
0
du
|d~x/du | du du
dn
n xa , xb , xi (u0 ) + εδ(u − u0 ) ≈ n(xa , xb , xi ) + εδ(u − u0 )
+ O(ε2 )
dxi
δS
1
=⇒
= lim
δxi (u) ε→0 ε
Z =
Z dn
n + εδ(u − u )
dxi
d~x −n 0 du0
du
0
d~x 1
dxi
0
+
dn0 |d~x/dn0 | du0 εδ(u − u )
1
dxi d
0
0 dn d~x n
δ(u − u ) + δ(u − u )
du0
0
0
0
|d~x/du | du du
dxi du0 Das Integral über die δ-Distribution wird wie im Anhang behandelt:
δS
dn d~x d
1 dxi
=⇒
=
−
n
|d~x/du| du0
δxi (u) dxi (u) du du
Speziell für u = l (Länge) als Parameter gilt
d~x
dl
=1
δS
dn
d
dxi
=⇒ 0 =
=
−
n
δxi (l) dxi (l) dl
dl
6.4
qed.
Paraxialnäherung, fokussierte Lichtstrahlen
Wenn monochromatische Lichtstrahlen (insbesondere Laserstrahlen) so stark fokussiert werden, dass ihre Breite nicht mehr sehr viel größer als ihre Wellenlänge
ist, muss man im Gegensatz zur geometrischen Optik die Variation des transversalen Profils berücksichtigen.
6.4. PARAXIALNÄHERUNG, FOKUSSIERTE LICHTSTRAHLEN
77
Ansatz:
ω
k=
(Strahl in z-Richtung)
cω
~E = 0 =⇒
− 2 − ∆ ~E(~x)eikz = 0
c 2
∂ ~
∂~
ikz
ikz
2~
~
~
∆E(~x)e = ∆⊥ E(~x) e +
E(~x) + 2ik E − k E eikz
∂z2
∂z
~E = ~E(~x)eiωt eikz
;
mit ∆⊥ = ∂2x + ∂2y
=⇒ 0 = (∂2z + 2ik∂z + ∆⊥ )~E(~x)
Wie bei der Eikonalnäherung geht man davon aus, dass ~E(~x) im Vergleich zu eikz
langsam mit z variiert:
k∂z ~E ∂2z ~E
2ik∂z ~E = −∆⊥ ~E
=⇒
paraxiale Helmholtz-Gleichung
Diese Gleichung hat dieselbe Struktur wie die freie Schrödinger-Gleichung in
zwei Dimensionen (z=t),
b deren Lösungsmethoden aus der Quantenmechanik bekannt sind. Besonders interessant ist hier eine Lösung, die für z = 0 ein transversales Gauß-Profil hat:
E(z, ρ) =
ρ2
E0 ik 2q(z)
e
q(z)
mit q(z) = z − iz0 und ρ =
p
x2 + y2
Die Größe z0 heißt Rayleigh-Länge.
Die Intensität ist ∼ |~E|2 :
I = I0
r
w0 =
2z0
π
w0
w(z)
2
−
e
2ρ2
w2 (z)
s
;
w(z) = w0
z
1+
z0
2
78
KAPITEL 6. LINEARE UND NICHTLINEARE OPTIK
Die Rayleigh-Länge hängt mit der Fokussierung (Breite am Fokus) w0 zusammen
und beschreibt den Bereich über den sich die Breite nur wenig (Faktor
√
2) ändert. Je kleiner z0 , desto kleiner ist die minimale Breite w0 , aber auch der
Bereich, über den der Lichtstrahl fokussiert ist.
Andere wichtige Lösungen (Lasermoden) sind die Hermite-Gauß-Strahlen:
√ !
√ !
w0
2x
2y
El,m ∝
Gl
Gm
w(z)
w(z)
w(z)
ρ2
z
−1
· exp ikz + ik
+
i(l
+
m
+
1)
tan
z0
2w(z)z0 /w20
u2
Darin ist Gl (u) = Hl (u)e− 2 und Hl sind die Hermite-Polynome.
6.5
Nichtlineare Optik
In nichtlinearen Medien hängt die Polarisation ~P nichtlinear von ~E ab. Der physikalische Hintergrund ist die Wechselwirkung des Lichts mit den Elektronen im
Medium. Dadurch wird die Elektronenverteilung und damit auch der Brechungsindex des Mediums geändert. Ein einfaches Beispiel ist ein Elektron, das an das
skalare Potential koppelt. Die Wellengleichung für φ lautet
ρ
∋
0
=−
e
∋
φ =
|Ψ(~x,t)|2
0
Für das Elektron gilt die Schrödinger-Gleichung
i~∂t Ψ = −
~2
∆Ψ − eφ(~x,t)Ψ(~x,t)
2µ
79
6.5. NICHTLINEARE OPTIK
Sei Gs (~x −~x0 ,t − t 0 ) die Green-Funktion der freien Schrödinger-Gleichung, die
~
i~∂t + ∆x Gs (~x −~x0 ,t − t 0 ) = δ(~x −~x0 )δ(t − t 0 )
2µ
erfüllt.
=⇒ Ψ(~x,t) = Ψ0 (~x,t) − e
Z
d4 x0 ≡ d3 x0 dt 0
Gs (~x −~x0 )φ(~x0 )Ψ(~x0 ) d4 x0
;
x0 = (~x,t)
Ψ(x) ist nur eine formale Lösung, da die rechte Seite noch von der unbekannten
Größe Ψ(x0 ) abhängt. Ist der Beitrag des Terms −eφΨ klein gegenüber Ψ0 , so
kann man die Gleichung in sich selbst einsetzen (iterieren), um eine Störungsreihe
zu erhalten:
Ψ(x) = Ψ0 (x) − e
Z
d4 x0 Gs (x − x0 )φ(x0 )
Z
0
4 00
0
00
00
00
· Ψ0 (x ) − e d x Gs (x − x )φ(x ) Ψ(x )
| {z }R
Ψ0 (x0 )−e ···
oder grob(!) vereinfacht:
Ψ ≈ Ψ0 + αφ + βφ2 + · · ·
e
=⇒ φ = −
|Ψ0 |2 + 2αφ + α2 φ2 + · · ·
∋
0
Dies ist eine nichtlineare Gleichung für φ, die die Rückwirkung der Elektronen
auf das elektromagnetische Feld einschließt. Es muss aber betont werden, dass
diese Rechnung nur das Prinzip widerspiegelt und nicht quantitativ korrekt ist.
Normalerweise ist die Nichtlinearität in dielektrischen Medien sehr klein und man
kann ~P nach ~E entwickeln:
Pi = εi j E j + 2di jk Ei Ek + 4χih jkl E j Ek El
Im folgenden betrachten wir ein Kerr-Medium mit
~P = 4χ(3) (~E)2 ~E
Darin ist χ(3) die sogenannte kubische Suszeptibilität. Die allgemeine Wellengleichung für ~E lautet
1
~E = ∇div ~P − µ0~P¨
∋
0
E + div ~P
0 div ~
∋
div ~D = 0 =
80
KAPITEL 6. LINEARE UND NICHTLINEARE OPTIK
Gelöst wird sie durch eine ebene Welle (~e = Polarisationsvektor):
i~k~x−iωt
E = Re ~ee
= 2~e cos(~k~x − ωt)
=⇒ div ~E = −2~e~k sin(~k~x − ωt) ∼~e~k
div ~P = 4χ(3) div ((~E)2 ~E)
= 4χ(3) ∂i (E j E j Ei )
= 4χ(3) {(∂i Ei ) ~E 2 + Ei 2E j ∂i E j }
| {z }
2~e~k
∂i E j ∼ ki e j =⇒ Ei E j ∂i E j ∼ ei e j ki e j
=⇒ 0 div ~E + div ~P ∼~e~k
∋
=⇒~e~k = 0 =⇒ div ~E = div ~P = 0
=⇒ ~E = −4µ0 χ(3) ∂t2 ((~E)2 ~E) = −µ0~P¨
(6.2)
Diese Gleichung ist nichtlinear und führt zu völlig neuartigen Effekten:
• kein Superpositionsprinzip mehr!
• Der Brechungsindex hängt von der Lichtintensität ab.
• Licht wechselwirkt mit Licht und kann sich über das Medium selbst beeinflussen.
• Licht kann seine Frequenz ändern.
Beispiel 1: Erzeugung harmonischer Oberschwingungen
Wir nehmen an, dass eine laufende Welle der Form ~E0 =~ E0 sin(ωt − kz) auf den
nichtlinearen Kristall trifft. Zur Lösung von Gl. (6.5) setzen wir eine Störungsreihe
in 1. Ordnung in χ(3) an:
∋
~E(t) = ~E0 + χ(3) ~E1 (t) + (χ(3) )2 · · ·
Einsetzen in die Wellengleichung liefert
h
i
(3) ~
~
E0 + χ E1 = −4µ0 χ(3) ∂t2 (~E0 )2 ~E0 + O((χ(3) )2 )
81
6.5. NICHTLINEARE OPTIK
Gleichung 0. Ordnung: ω = ck
=⇒ ~E0 = 0
Gleichung 1. Ordnung: =⇒ ~E1 = −4∂t2 µ0 E03
=⇒ E1 = 3ω µ0 E0
3~
∋
2
sin(ωt − kz) − 3 sin(3(ωt − kz))
=⇒ Das Medium (Kristall) erzeugt eine Oberschwingung der Frequenz 3ω.
Die Erzeugung von 3ω-Frequenzen in Kerr-Medien ist nur sehr schwach. In P ∼
E 2 -Medien kann man effektiv die Frequenzen verdoppeln (2ω).
Beispiel 2: Erzeugung von Solitonen
In einigen Medien hat die Nichtlinearität die Form
˜ 2 ~E˜ ,
3µ0 χ(3) |~E|
(6.3)
wobei ~E˜ die komplexe Amplitude ist. In diesem Fall kann man wieder eine Gleichung für die komplexe Amplitude finden:
~E0 =~eei~k~x−iωt + c. c. = ~E˜ + c. c.
˜ 2 ~E˜
=⇒ ~E˜ ≈ 3µ χ(3) |~E|
0
Machen wir wieder eine Paraxialnäherung, so folgt mit
~E˜ = A~eei~k~x−iωt
;
~E˜ ≈~e(−2ik∂z A − ∆⊥ A)ei~k~x−iωt
die nichtlineare Schrödinger-Gleichung
2ik∂z A = −∆⊥ A + 3µ0 χ(3) |A|2 A
Für χ(3) = 0 laufen die Lösungen der Schrödinger-Gleichung auseinander (Dispersion). In der Quantenmechanik kann ein Potential das Auseinanderlaufen verhindern. Hier kann die Nichtlinearität diese Aufgabe übernehmen. Das Licht produziert sich sozusagen sein eigenes Potential. Im Allgemeinen können sich für
χ(3) < 0 Lichtstrahlen selbst fokussieren, sie werden zu Gebieten höherer Intensität hingebogen. Der Brechungsindex
hängt von der Intensität ab. Laserstrahlen können bei einer bestimmten Intensität
sogar ihren eigenen Wellenleiter bilden: Soliton-Lösungen verändern ihre Form
nicht. Nichtlinearität und Dispersion (∆⊥ heben sich gegenseitig auf.
Beispiel: Helles Soliton
A(x, y) = a0
1
i zz
0
x e
cosh( ω0 )
(χ(3) < 0)
82
KAPITEL 6. LINEARE UND NICHTLINEARE OPTIK
Darin ist z0 = 12 kω2 wieder die Rayleigh-Länge und
A0 =
1
w2 3µ0 |χ(3) |
Solitonen sind ein dehr aktives Forschungsgebiet in der nichtlinearen Optik, BoseEinstein-Kondensaten, Teilchenphysik, . . . .
Kapitel 7
Spezielle Relativitätstheorie
Die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) ist die Erklärung eines ungewöhnlichen
Verhaltens, das man in der Elektrodynamik beobachtet hatte. Dies hängt eng mit
Symmetrie-Argumenten zusammen.
7.1
Forminvarianz, Galilei-Transformation und
Elektrodynamik
Die Forminvarianz einer Bewegungsgleichung oder Lagrange-Funktion unter Symmetrie-Transformationen ist ein wichtiges allgemeines Konzept in der Physik:
Man fordert, dass die Gleichungen ihre Form bewahren, wenn man eine Symmetrie-Operation auf sie anwendet. Als Beispiel seien die Newtonschen Bewegungsgleichungen von N wechselwirkenden Teilchen betrachtet:
m~x¨n = −∇~xn ∑ V (|~xn −~xn0 |)
n = 1, 2, . . . , N
n0
Diese sind invariant unter Galilei-Transformationen
~xn0 =~xn +~vt
;
t0 = t
Galilei-Transformationen beschreiben den Wechsel in ein bewegtes Bezugssystem, wie man ihn sich vor Einstein vorstellte.
Beweis der Invarianz1 :
0
∂xn,i
∂t 0 ∂
∂
∂
=
+
∑
0
0
∂t
∂t ∂t
n,i ∂t ∂xn,i
=
1 Zur
∂
∂
∂
+
v
=
+~v · ∑ ∇~xn0
i
∑
0
∂t 0 n,i ∂xn,i ∂t 0
n
Berechnung der Ableitungen siehe auch Übung 9.3
83
84
KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
∂xm, j ∂
∂
∂t 0
=
+∑
0
∂xn,i ∂xn,i m, j ∂xn,i ∂xm,
j
0
= ∑ δmn δi j
m, j
∂
∂
= 0
0
∂xm, j ∂xn,i
=⇒ m∂t2~xn = m∂t2 (~xn0 −~vt) = m∂t2~xn0
= m(∂t 0 +~v ∑ ∇~xl0 )2~xn0
l
2 0
= m(∂t 0~xn + 2m∂t 0 (~v
∑ ∇~xl0 )~xn0 + m(~v ∑ ∇~xl0 )(~v ∑ ∇~xk0 )~xn0
l
((~v ∑ ∇~xl0 )~xn0 )i = v j ∑
l
=⇒ m∂t2~xn
l
∂ 0
x = vi
∂xl,0 j n,i
l
2 0
= m∂t 0~xn + 2m ∂t 0~v +m (~v
|{z}
=0
k
|
∑ ∇~xl0 )~v = m∂t20~xn0
l
{z
=0
}
∇~xn V (|~xn −~xn0 |) = ∇~xn0 V (|~xn0 −~vt −~xn0 0 +~vt|)
= ∇~xn0 V (|~xn0 −~xn0 0 |)
qed.
Im Gegensatz zur Newtonschen Mechanik ist die Wellengleichung nicht invariant unter Galilei-Transformationen:
1 2
1
1 2
0
2
0 0
∂ − ∆x φ(~x,t ) −→ 2 (∂t 0 +~v · ∇~x0 ) − ∆~x0 φ(~x ,t ) 6=
∂ 0 − ∆x0 φ(~x0 ,t 0 )
c2 t
c
c2 t
Das ist an sich nicht weiter schlimm: Schallwellen erfüllen auch eine Wellengleichung (mit c = Schallgeschwindigkeit). Die Erklärung für deren Nicht-Invarianz
ist einfach: Es gibt ein bevorzugtes Bezugsystem, in dem das Medium, durch das
sie sich ausbreiten (z. B. Luft), ruht. Schallwellen bewegen sich nur relativ zu diesem Medium mit Schallgeschwindigkeit.
Die Annahme, dass für elektromagnetische Wellen ein solches Medium existiert, wurde durch das Michelson-Morley-Experiment widerlegt (bzw. man braucht
zuätzliche Hypothesen, um diese sogenannte Äthertheorie mit dem Experiment in
Einklang zu bringen).
Das Experiment beruht auf dem Gedanken, dass das Licht für einen Beobachter, der sich relativ zum Äther bewegt, mit einer Geschwindigkeit c0 = c ± v fliegt.
Für zwei unterschiedliche Bewegungen muss die Geschwindigkeit c0 daher unterschiedlich sein. Im Michelson-Morley-Experiment war v = ± Geschwindigkeit
der Erde um die Sonne, mit dem Ergebnis, dass c unabhängig von v ist.
7.2. EINSTEINSCHE POSTULATE, LORENTZ-TRANSFORMATIONEN 85
Um die Äthertheorie aufrecht zuerhalten, wurden folgende Hypothesen aufgestellt:
p
• Bewegte Objekte werden im Äther kontrahiert gemäß L(v) = L0 1 − v2 /c2
• Der Äther wird zum Teil von bewegten Objekten mitgezogen, wobei das
Mitziehen vom Brechungindex des Objektes bestimmt wird.
Es gibt daher folgende Möglichkeiten, um die Widersprüche aufzulösen:
1. Die Mechanik und die Elektrodynamik sind galilei-invariant, wobei der
Äther seltsame Eigenschaften hat.
Diese Option ist möglich, aber nicht schön“ (ad-Hoc-Hypothese)
”
2. Die Elektrodynamik ist falsch und die Natur ist galilei-invariant.
Das ist unwahrscheinlich, weil die Maxwell-Gleichungen sehr gut mit den
Experimenten übereinstimmen.
3. Die Newtonsche Mechanik ist falsch. Es gibt eine andere Invarianz zwischen Bezugsystemen.
Diese Option ist möglich. Lorentz und Poincaré fanden, dass die MaxwellGleichungen invariant unter den sogenannten Lorentz-Transformationen sind
(siehe nächster Abschnitt).
Dass diese Option auch schön“ ist, demonstrierte Einstein 1905.
”
7.2 Einsteinsche Postulate, Herleitung der
Lorentz-Transformationen
Einstein verwendete 2 Axiome für die Herleitung der Lorentz-Transformationen:
1. In jedem Inertialsystem ist der Raum isotrop und homogen und die Zeit
homogen.
2. Die Lichtgeschwindigkeit ist in jedem Inertialsystem gleich.
Ein Inertialsystem ist dabei ein Satz cartesischer (!) Koordinaten (t, x1 , x2 , x3 ),
welche die Raumzeit (= Raum und Zeit) parametrisieren, also jedem Punkt in
der Raumzeit eindeutige Koordinaten zuweisen. (Jedes Inertialsystem entspricht
einem Beobachter, der in diesem Inertialsystem ruht, typischerweise an ~x = 0.)
Aus Postulat 1 folgt, dass Transformationen zwischen Inertialsystemen linear
sind. Sonst gäbe es ausgezeichnete Punkte (⇔ Inhomogenitäten), die z. B. durch
Minima oder Sattelpunkte der Transformation charakterisiert wären.
Wir betrachten eine Transformation zwischen einem System R(x0 , x1 , x2 , x3 )
und einem System R0 (x00 , x10 , x20 , x30 ), das sich gegenüber R mit ~v = cβ~e3 bewegt.
86
KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
x0 = ct ist dabei eine bequeme Parametrisierung der Zeit. Die allgemeinste Transformation, die x1 und x2 gleich behandelt (Isotropie) ist
x10 = αx1
;
x20 = αx2
x30 = γx3 + δx0
;
;
x00 = εx3 + ηx0
Die beiden Inertialsysteme seien so gewählt, dass ihre Nullpunkte zur Zeit x0 zusammenfallen, also xi0 = 0 und xi = 0, i = 1, 2, 3 für x0 = 0. zur Zeit t muss dann
der Ursprung des Systems R0 vom System R aus gesehen am Ort x3 = vt = βx0
sein, also
x30 = 0 = γx3 + δx0 = (βγ + δ)x0
=⇒ δ = −βγ
x30 = γ(β)(x3 − βx0 )
;
(7.1)
(7.2)
Das Argument muss wegen der Isotropie auch dann gelten, wenn wir ein Koordinatensystem verwenden, in dem x3 durch −x3 ersetzt wird (und damit auch
x30 → −x30 , β → −β).
=⇒ −x30 = γ(−β)(−x3 + βx0 ) = −γ(−β)(x3 − βx0 )
Dies stimmt mit dem vorherigen überein, falls
γ(−β) = γ(β)
Ähnlich findet man
ε(β) = −ε(−β) ;
η(β) = η(−β) ;
α(β) = α(−β)
Die Rücktransformation muss natürlich dieselbe Form haben, mit β → −β.
=⇒ x3 = γ(−β)(x30 + βx00 )
= γ2 (x3 − βx0 ) + βγ(εx3 + ηx0 )
x0 = ε(−β)x30 + η(−β)x00
= −εγ(x3 − βx0 ) + η(εx3 + ηx0 )
=⇒ 1 = γ2 + εγβ ;
0 =−εγ + εη ;
0 = −βγ2 + γβη
1 = εγβ + η2
1
(1 − γ2 )
γβ
x1 = α(−β)x10 = α2 x1 =⇒ α = 1
1
=⇒ x30 = γ(x3 − βx0 ) ; x00 = γx0 + (1 − γ2 )x3
γβ
=⇒ η = γ
;
ε=
7.3. LÄNGENKONTRAKTION UND ZEITDILATATION
87
Um γ zu bestimmen, brauchen wir das Postulat über die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit2 . Aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit können wir folgern,
dass ein Lichtblitz, der zur Zeit t = 0 vom Ursprung xi = 0 = xi0 (i = 1, 2, 3) ausgeht, in beiden Systemen die gleiche Geschwindigkeit hat.
x3
x30 x3
=
=
1
(
= 1)
x00 x0
ct
x3 = x0 =⇒x30 = γ(1 − β)x0
=⇒
x00 = (γ +
1 − γ2 0
)x
γβ
1
=⇒ γ(v) = p
1 − β2
Damit haben wir für die speziellen Lorentz-Transformationen, d. h. Geschwindigkeit in x3 -Richtung:
x10 = x1
;
x20 = x2
;
x30 = γ(x3 − βx0 ) ;
x00 = γ(x0 − βx3 )
Das Postulat der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit führt also dazu, dass die Zeit
für Beobachter mit unterschiedlicher Geschwindigkeit unterschiedlich ist. Das ist
der zentrale Punkt in der speziellen und einer der zentralen Punkte in der allgemeinen Relativitätstheorie:
Die Zeit eines Beobachters hängt von seiner Geschwindigkeit im Raum ab.
7.3
Längenkontraktion und Zeitdilatation
Es ist zweckmäßig, die Lorentz-Transformationen in Matrix-Form zu schreiben:
xµ0 = Λ ν xν mit xµ = {x0 , x1 , x2 , x3 }


γ 0 0 −βγ
 0 1 0 0 
µ

und Λ ν (β) = 
 0 0 1 0  für ~v = cβ~e3
−βγ 0 0 γ
µ
Mit der neuen Schreibweise der Indizes lautet die Einsteinsche Summenkonvention, dass über Indizes, die einmal oben und einmal unten stehen, summiert wird.
2 Würden
wir jetzt γ = 1 postulieren, so kämen wir auf die Galilei-Transformationen.
88
KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
Wir betrachten die Addition von Geschwindigkeiten (β1 , β2 seien Geschwindigkeiten in x3 -Richtung):
xµ00 = Λ ν (β2 )xν0
µ
= Λ ν (β2 )Λνλ (β1 ) xλ
|
{z
}
µ
µ
Λ λ (β3 )
= Λ λ (β3 )xλ
µ
β1 +β2
mit β3 = 1+β
. Daraus folgt wegen β1 β2 < 1 =⇒ β3 < 1
1 β2
Die Geschwindigkeit v ist also immer kleiner als c!
Längenkontraktion
Ein Maßstab ruhe im System R und habe die Endpunkte x3 (a) und x3 (b). Seine
Länge gemessen zu Zeit x0 (a) = x0 (b) ist L = x3 (a) − x3 (b). Ein Beobachter in R0
definiert die Länge natürlich zu L0 = x30 (a) − x30 (b), wobei er aber in seinem System gleichzeitig mißt, also x00 (a) = x00 (b). Im System R sind diese Meßereignisse
nicht gleichzeitig! Nach einer Lorentz-Transformation gilt:
L0 = γ(x3 (a) − βx0 (a)) − γ(x3 (b) − βx0 (b))
= γL − βγ(x0 (a)) − x0 (b))
und
!
x00 (a) − x00 (b) = 0
= γ(x0 (a) − βx3 (a)) − γ(x0 (b) − βx3 (b))
= γ(x0 (a) − x0 (b)) − βγL
=⇒ x0 (a) − x0 (b) = βL
(Messung nicht mehr gleichzeitig in R)
1
L0 = γL − β2 γL = L
γ
q
⇐⇒ Längenkontraktion: L0 = 1 − β2 L
Das bedeutet, dass gleichförmig bewegte Maßstäbe kürzer sind als ruhende.
Zeitdilatation
Eine Lampe ruht in R am Ort x3 (a) = x3 (b). Sie wird zu x0 (b) ein- und zu x0 (a)
ausgeschaltet. Sie brennt also die Zeit T = x0 (a) − x0 (b). Im System R0 brennt sie
89
7.4. LORENTZ-GRUPPE UND TENSOREN
für die Zeit
T 0 = x00 (a) − x00 (b)
= γ(x0 (a) − βx3 (a)) − γ(x0 (b) − βx3 (b)) = γT
=⇒ T 0 = γT > T
Bewegte Uhren messen also ein längeres Zeitintervall!
7.4
Lorentz-Gruppe und Tensoren
Es stellt sich die Frage, welches die allgemeinste Transformation ist, die die Lichtgeschwindigkeit invariant läßt. Bisher haben wir nur Geschwindigkeitsänderungen
in x3 -Richtung betrachtet, sogenannte Lorentz-Boosts. Invarianz der Lichtgeschwindigkeit bedeutet allgemein:
(x0 )2 =~x2
(= (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 )
oder −~x2 + (x0 )2 = invariant = const. unter Lorentz-Transformationen
Insbesondere im Hinblick auf die Allgemeine Relativitätstheorie ist es sinnvoll,
diese Relation mit infinitesimalen Größen auszudrücken:
ds2 = −d~x2 + (dx0 )2 = invariant
ds2 ist das 4-dimensionale Linienelement. Führt man die Metrik 3


+1 0
0
0
 0 −1 0
0

ηµν = ηµν = 
0
0 −1 0 
0
0
0 −1
ein, so folgt
ds2 = ηµν dxµ dxν
(7.3)
(7.4)
µ
Welche Transformationen lassen ds2 nun invariant? Wir suchen Matrizen Λ ν , so
µ
dass dxµ0 = Λ ν dxν und ds2 = ds02 gilt, also
ρ
ηµν = ηρσ Λ µ Λσν
;
¯ T η̄¯ Λ̄
¯
in Matrix-Schreibweise: η̄¯ = Λ̄
(7.5)
3
µν
 Dabei handelt essich um eine Konvention. Auch häufig verwendet wird ηµν = η =
−1 0
0
0
 0 +1 0

0


0
0 +1 0 
0
0
0 +1
90
KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
Matrizen, für welche dies gilt, bilden die Lorentz-Gruppe.
Ein Lorentz-Boost kann natürlich in eine beliebige Richtung durchgeführt
werden. Man beschreibt dies, indem man das räumliche Koordinatensystem in die
Richtung des Boosts dreht, den Boost durchführt und dann wieder zurückdreht.
Die Drehung kann durch eine orthogonale Matrix (d. h. M T = M −1 ) beschrieben
werden. Z. B. dreht


1
0
0
0
0 cos ϑ sin ϑ 0

M=
0 − sin ϑ cos ϑ 0
0
0
0
1
das räumliche System um die x3 -Achse, die Zeit bleibt unverändert.
xν0 = M νλ xλ
Da Drehungen räumliche Entfernungen nicht verändern, gilt (i, j = 1, 2, 3)
d~x02 = dxi0 dxi0 = M i j dx j M ik dxk
= (M T · M) jk dx j dxk = dxk dxk
= d~x2
=⇒ Räumliche Drehungen gehören also zur Lorentz-Gruppe (da ds02 = ds2 ).
Ein Boost kann dann als M −1 Λ(β)M geschrieben werden. Auf die Koordinaten angewandt ergibt dies
γ−1 ~
0
0 ~
~x =~x +
(~x · β) − γx β
β2
h
i
~β = 1~v; ~x = (x1 , x2 , x3 )
x00 = γ −(~x ·~β) + x0
;
c
Die Lorentz-Gruppe der Transformationen, die ds2 invariant lassen,
wird allgemein aus Boosts und Drehungen gebildet. 4
Das infinitesimale Linienelement ds2 ist außerdem invariant unter Raum-ZeitTranslationen
xµ0 = xµ + aµ
;
aµ = const.
Verbindet man diese Translationen mit der Lorentz-Gruppe, so erhält man die
Poincaré-Gruppe.
4 Genau
genommen gehören die Boosts und Drehungen, die wir hier behandelt haben, zur eigentlich orthochronen Lorentz-Gruppe, die eine Untergruppe der vollen Lorentz-Gruppe ist. Letztere besteht aus allen Matrizen, die die Relation (7.5) erfüllen und kann aufgeteilt werden in vier
Unterbereiche, die durch det Λ = ±1 und Λ00 ≥ 1 bzw. Λ00 ≤ −1 gekennzeichnet sind. Die eigentlich orthochrone Lorentz-Gruppe entspricht det Λ = 1 und Λ00 ≥ 1.
91
7.4. LORENTZ-GRUPPE UND TENSOREN
Um zu zeigen, dass die Elektrodynamik invariant unter Lorentz-Transformationen ist, ist es zweckmäßig zunächst den Begriff der Tensoren einzuführen. In
der speziellen Relativitätstheorie wird der Übergang zwischen zwei Inertialsystemen durch die Koordinatentransformation
xµ0 Λ ν xν
µ
µ
bzw. mit Λ
ν=
∂xµ0
∂xν
xµ0 =
∂xµ0 ν
x
∂xν
beschrieben5 . Besonders wichtig ist ein Tensor 0. Stufe, ein Skalar, der sich gemäß
A0 (x0 ) = A(Λ−1 x)
transformiert. Hier hat man keine Indextransformation, die Abhängigkeit von x0
wird (wie bei allen anderen Tensoren auch) durch x0 = Λ−1 x ausgedrückt. Einen
Satz aus vier Objekten Aµ , die sich unter Koordinatentransformationen gemäß
Aµ0 =
∂xµ0 ν
A
∂xν
transformieren, nennt man kontravarianten Tensor 1. Stufe (Index oben) oder kontravarianten Vierer-Vektor. Analog definiert man einen kovarianten Tensor 1. Stufe
(Index unten) durch das Transformationsverhalten
A0µ =
∂xν
Aν
∂xµ0
ein wichtiges Beispiel für einen kovarianten Vierer-Vektor sind die Ableitungen
nach den Koordinaten:
∂xν ∂ f (x)
∂ f (x0 )
=
∂xµ0
∂xµ0 ∂xν
oder
∂0µ =
∂
∂xν
=
∂ν
∂xµ0 ∂xµ0
In der speziellen Relativitätstheorie ist der Unterschied zwischen kovarianten und
kontravarianten Größen nicht sehr groß. Der Übergang zwischen ihnen wird durch
Heben und Senken der Indizes mit der Metrik vollzogen:
Aµ = ηµν Aν
;
Aν = ηνµ Aµ
Beispiel:


xµ = ηµν xν = 

5 In
+1
  0  0
x
+x
 x1  −x1 
−1
  = 

 x2  −x2 
−1
−1
x3
−x3
der speziellen Relativitätstheorie sieht diese Schreibweise umständlich aus, in der allgemeinen Relativitätstheorie ist sie hingegen notwendig.
92
KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE


+1
−1

ηµν = (η−1 )µν = 




−1
−1
;
ηµν ηνλ = δµλ
In der Speziellen Relativitätstheorie dreht das Heben und Senken der Indizes (in
der hier verwendeten Konvention) also nur die Vorzeichen der Ortskomponenten
um.
Tensoren höherer Stufe werden analog zu Vierer-Vektoren definiert. Ein kontravarianter Tensor 2. Stufe transformiert sich gemäß
T µν0 =
∂xµ0 ∂xν0 αβ
T
∂xα ∂xβ
0
Tµν
=
∂xα ∂xβ
T
∂xµ0 ∂xν0 αβ
µ 0
ν
∂xµ0 ∂xβ α
T
∂xα ∂xν0 β
ein kovarianter gemäß
und ein gemischter gemäß
T
=
Tensoren höherer Stufe können also sowohl kovariante als auch kontravariante
Anteile haben. Jeder Index transformiert sich dabei wie ein entsprechender ViererVektor. Ein Tensor n-ter Stufe transformiert sich gemäß
T α1 ···αn 0 =
∂xαn 0 β1 ···βn
∂xα1 0
·
·
·
T
∂xβ1
∂xβn
Durch Kontraktion eines ko- und eines kontravarianten Index kann die Stufe
eines Tensors verringert werden:
T
αβ
α
=T
0β
1β
2β
3β
0 +T 1 +T 2 +T 3
= T̄ β = Tensor 1. Stufe
Das Produkt zweier Tensoren ist ein Tensor höherer Stufe, z. B.
Aµ Bν = T µν = Tensor 2. Stufe
7.5
Relativistische Formulierung der
Elektrodynamik
Um die Kovarianz der Maxwell-Gleichungen zu zeigen, startet man meistens
von der Kontinuitätsgleichung
ρ̇ + div ~j = 0 = c∂0 ρ + ∂i ji
7.5. RELATIVISTISCHE FORMULIERUNG DER ELEKTRODYNAMIK
93
da {∂µ } = (∂0 , ∂1 , ∂2 , ∂3 ) ein kovarianter Vierer-Vektor ist, ist es naheliegend, dass
der kontravariante Vierer-Vektor jµ = (cρ, ~j) die relativistische Stromdichte ist.
Die Kontinuitätsgleichung wird dann zu
∂µ j µ = 0
was offensichtlich kovariant ist (transformiert wie ein Skalar). In der LorentzEichung waren die Gleichungen für die elektromagnetischen Potentiale gegeben
durch
ρ
φ =
;
~A = µ0~j
∋
0
Der d’Alembert-Operator ist offensichtlich invariant:
1 ∂2
=
− ∆ = ∂20 − ∂i ∂i
c2 ∂t 2
= ηµν ∂µ ∂ν = ∂µ ∂µ
Mit der Vierer-Stromdichte gilt:
= µ0
∋
0
ρ
= c2 µ0 ρ = cµ0 j0
µ
0 0
∋
ρ
Setzt man für das Vierer-Potential
µ
A =
φ ~
,A
c
so folgt in der Lorentz-Eichung
∂ν ∂ν Aµ = µ0 jµ
Aµ ist also kontravariant. Auch die Lorentz-Eichung selbst ist kovariant:
0=
1
∂t φ + div ~A = ∂0 A0 + ∂i Ai = ∂µ Aµ = 0
2
c
Eine Umeichung der Potentiale kann nun in der Form A0µ = Aµ + ∂µ χ geschrieben
werden. Während die Kovarianz der Potentiale von der Eichung abhängt, können
die Felder ~E und ~B immer kovariant geschrieben werden: Der Feldstärke-Tensor
94
KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
ist definiert als
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
F0i = ∂0 Ai − ∂i A0 = −∂0 Ai − ∂i A0
1
1
= − ∂t Ai − ∂i φ
c
c
1 ~˙
=
−A − ∇φ
c
i
1
F0i = Ei
c
Fi j = ∂i A j − ∂ j Ai = −∂i A j + ∂ j Ai
Nun gilt (in nichtrelativistischer Notation: i, j = 1, 2, 3; ~A ⇔ Ai !)
εi jk (rot ~A)k = εi jk εklm ∂l Am
= (δil δ jm − δim δ jl )∂l Am
= ∂i A j − ∂ j A i
=⇒ Fi j = −εi jk Bk

0
+ 1c E1 + 1c E2 + 1c E3
− 1 E 1
0
−B3 +B2 
c

Fµν = 
− 1 E2 +B3
0
−B1 
c
− 1c E3 −B2 +B1
0

Inhomogene Maxwell-Gleichungen:
ρ
∋
(div ~E =
˙
, rot ~B = µ0 (~j + 0 ~E))
0
∋
∂µ F µν = +µ0 jν
Homogene Maxwell-Gleichungen:
∂µ F̃ µν = 0
˙
(div ~B = 0, rot ~E = −~B)
mit
1
F̃ µν = εµνρσ Fρσ
2
und εµνρσ =

+1





−1



0
; für µ = 0, ν = 1, ρ = 2, σ = 3
und jede gerade Permutation davon
; für ungerade Permutationen
; wenn zwei Indizes gleich sind
95
7.6. EIGENZEIT, RELATIVISTISCHE MECHANIK
7.6
Eigenzeit, relativistische Mechanik
Die Bewegung eines Teilchens in der vierdimensionalen flachen Raumzeit (MinkowskiRaum) der speziellen Relativitätstheorie wird durch eine Kurve (die sogenannte
Weltlinie) xµ (u) beschrieben (u = Parameter). Da das Linienelement
ds2 = ηµν dxµ dxν = (dx0 )2 − d~x2
R
invariant gegenüber Lorentz-Transformationen ist, hat das Integral cτ = ds in
jedem Inertialsystem denselben Wert. Auf einer zeitartigen (ds2 > 0 ∀u) Kurve
xµ (u) gilt
r
dxµ
dxµ dxν
µ
dx =
du =⇒ ds = ηµν
du
du
du du
wählt man speziell u = x0 (= Zeit im gewählten Inertialsystem), so gilt
τ=
Z
s
Z q
=
τ=
Z
dx0
dx0
2
d~x
−
dx0
1 −~β2 (x0 ) dx0
1
dx0
γ(x0 )
2
dx0
~v
(~β = )
c
1 0
(dτ = dx )
γ
(7.6)
Die Bedeutung von τ wird klar, wenn wir ins Ruhesystem eines inertialen TeilR
chens gehen. Dort ist ~β = 0 und somit τ = dx0 = x0 . τ wird als Eigenzeit6
des Teilchens bezeichnet. Sie stimmt mit der Zeit im Ruhesystem des Teilchens
überein und beschreibt die Zeit, die für das Teilchen tatsächlich abgelaufen ist.
Für bewegte Beobachter ist τ im Allgemeinen kleiner da 1γ < 1. Aus physikalischen Gründen eignet sich die Eigenzeit natürlich besonders, um Weltlinien zu
parametrisieren. Mathematisch auch, denn τ ist Lorentz-invariant. Aus dieser Invarianz folgt: Leitet man einen Tensor nach τ ab, so ist das Resultat auch ein
Tensor. Besonders wichtig ist die Vierer-Geschwindigkeit:
uµ (τ) =
6 Eigentlich: τ0
=
τ
c
= Eigenzeit
dxµ (τ)
dτ
96
KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
Bedeutung:
dx0
=γ
dτ
dxi dx0
dxi
ui =
= 0
= βi γ
dτ
dx dτ
=⇒ uµ uµ = (u0 )2 − ∑(ui )2 = γ2 − γ2~β2
u0 =
i
~2
= γ2 (1 − β ) = 1
uµ ist Einheitsvektor im Vierer-Sinn. Dieser Begriff ist völlig anders als im euklidischen Sinn (3D), da für einen Vierer-Vektor vµ vµ nicht positiv definit ist =⇒
Es gibt also Vierer-Vektoren cµ 6= (0, 0, 0, 0), deren Skalarprodukt cµ cµ = 0 ist. Im
Vierer-Sinn bedeuten:
cµ cµ = 0 Der Vektor ist lichtartig, d. h. er zeigt (in jedem Inertialsystem) entlang des
Lichtkegels. Beispiel: cµ = (1, 0, 0, 1);
cµ cµ > 0 Der Vektor ist zeitartig. Der Name kommt daher, dass es immer ein Inertialsystem gibt, in dem zeitartige Vektoren auf der Zeitachse liegen. Beispiel:
cµ = (1, 0, 0, 0)
cµ cµ < 0 Der Vektor ist raumartig. Der Name kommt daher, dass es immer ein Inertialsystem gibt, in dem der Vektor mit einer der Raumachsen zusammenfällt.
Beispiel: cµ = (0, 0, 0, 1)
Vierer-Beschleunigung:
aµ :=
∂2 xµ duµ
=
=: u̇µ
∂τ2
dτ
wegen uµ uµ = 1 gilt
d µ
d
u uµ = 0 = (ηµν uµ uν )
dτ
dτ
= ηµν (u̇µ uν + uµ u̇ν )
= aν uν + uµ aµ
= 2aµ uµ = 0
=⇒ aµ uµ = 0: Vierer-Beschleunigung steht senkrecht (im Vierer-Sinn) auf uµ .
Was bedeutet das? Im (momentanen) Ruhesystem des Beobachters stimmt uµ
mit dem Richtungsvektor der Zeitachse überein: uµ (β = 0) = (1, 0, 0, 0). aµ ist
dann ein rein räumlicher Vektor, der mit der 3er-Beschleunigung übereinstimmt:
i dvi dβ
µ
i
a = (0,~b) ; b = 0 =
dx
dt
7.6. EIGENZEIT, RELATIVISTISCHE MECHANIK
97
Im Ruhesystem ist Vierer-Orthogonalität also ähnlich wie Dreier-Orthogonalität.
Annahme: aµ = (0, 0, 0, 1) im Ruhesystem (⇐⇒ x3 -Achse). Lorentz-Boost mit
~β = −β~e3 :
uµ0 = Λ ν uν = (γ, 0, 0, +βγ)
aµ0 = (+βγ, 0, 0, γ)
µ
x0
γ
1
uµ
βγ
uµ’
aµ’
βγ
aµ
1
γ
x3
=⇒ Vierer-orthogonale Vektoren liegen symmetrisch um den Lichtkegel und
werden in der Grafik länger mit β.
Dies gilt insbesondere auch für die Koordinatenachsen des R0 -Systems vom
R-System aus gesehen (aµ und uµ stimmen in unserem Beispiel mit den
Koordinatenachsen überein). Oder andersrum ausgedrückt: Die Koordinatenachsen eines Inertialsystems entsprechen vierer-orthogonalen Vektoren.
Um die Dynamik eines relativistischen Teilchens zu beschreiben, muss das
Newtonsche Gesetz
d
~p = ~F
(~p = m~v)
dt
verallgemeinert werden. Es liegt nahe, den Vierer-Impuls durch
pµ (τ) = mcuµ (τ)
zu definieren und als Bewegungsgleichungen
dpµ
= Kµ
dτ
anzusetzen. Dies kann auch durch die Energie- und Impulserhaltung bei Stößen
begründet werden (siehe z. B. [5]). Wegen
dpi dx0 dpi
dpi
=
=
γ
dτ
dτ dx0
dx0
98
KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
und dem nichtrelativistischen Newton-Gesetz
dpi
dpi
= c 0 = Fi
dt
dx
erscheint die Identifikation
γ
Ki = F i
c
sinnvoll. Sie wird durch das Experiment bestätigt. Die 0-Komponente erhält man
aus
~
0 = muµ aµ = uµ Kµ = u0 K 0 −~u · K
γ
= γK 0 − γ~β · ~F
c
γ
=⇒ K 0 = 2~v~F
c
=⇒
dp0
d
d
= mcγ = cγ 0 mγ
dτ
dτ
dx
γd
γ
= c·
mγ = K 0 = 2~v~F
c dt
c
d
dE
=⇒ (mc2 γ) =~v~F = P =
dt
dt
Darin sind P die Leistung und E die Energie, für die sich ergibt
E = mc2 γ
bzw.
p0 =
E
c
Führt man die nicht lorentz-invariante Masse mr (β) = mγ(β) ein, so ergibt sich
E = mr c2
E entwickelt man nun für kleine v, d. h. v c, β 1:
1
3
γ ≈ 1 + β2 + β4 + · · ·
2
5
=⇒
1 2 3 v4
E = mc + mv + m 2 + · · ·
2
8 c
2
Das heißt, jede Masse entspricht einer Ruheenergie von mc2 . Der Term 12 mv2 entspricht der nichtrelativistischen kinetischen Energie, die höheren Terme sind die
relativistischen Korrekturen dazu. Wegen uµ uµ = 1 gilt außerdem
pµ pµ = m2 c2 uµ uµ = m2 c2 =
E2
−~p2
2
c
=⇒ E 2 = ~p2 c2 + m2 c4
99
7.7. PARADOXA
diese Gleichung kann verwendet werden, um eine relativistische Wellengleichung
für quantenmechanische Teilchen herzuleiten. Setzt man
E = i~∂t
;
~p = −i~∇
Quantisierung“,
”
so folgt
−~2 ∂t2 φ = (−~2 ∆c2 + m2 c4 )φ
m2 c2
1 ∂2
−
∆
φ
+
φ=0
c2 ∂t 2
~2
Dies ist die Klein-Gordon-Gleichung. Für m = 0 geht sie in die Wellengleichung
der Elektrodynamik über.
7.7
Paradoxa
Die Spezielle Relativitätstheorie wurde oft durch scheinbare Widersprüche in Frage gestellt. Bei richtiger Interpretation der Ergebnisse lösen sich diese Paradoxa
jedoch auf. Das bekannteste Paradoxon ist das Zwillingsparadoxon.
7.7.1 Zwillingsparadoxon
Zwei Zwillinge stehen bei t0 = 0 am Ursprung. Der eine bleibt dort, der andere
steigt in eine Rakete und fliegt mit v = βc für eine Zeit t los und kehrt dann
p um. Der
bewegte Zwilling II hat wegen der Zeitdilatation die Eigenzeit τII = t 1 − β2 < t.
Er bleibt also jünger als der ruhende Zwilling (τI = t).
Im Bezugssystem von II sieht die Sache genau umgekehrt aus. Demnach müßte
I jünger bleiben!
t
BI
B II
I
t
II
II
I
x
x
Auflösung: Zwilling II wird beschleunigt, so dass es kein Inertialsystem gibt
in dem er ruht. Die paradoxe Situation entsteht daher gar nicht erst. In der Tat kann
für einen beliebigen Beobachter in einem beliebigen Bezugssystem die Eigenzeit
(=invariant) eindeutig berechnet werden (Gleichung (7.6))
100
KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
7.7.2
Maßstab-Paradox
Eine Stange der (Ruhe-)Länge L nähert sich mit β =
geöffneten Garage der Ruhelänge L/2.
β
√
3/2 (⇐⇒ γ = 2) einer
L/ 2
L
Garage
Im Bezugssystem der Garage ist die Stange auf L/γ = L/2 verkürzt und sollte
in die Garage passen. Man sollte also die Garagentür in dem Moment schließen
können, in dem das vordere Ende der Stange die Rückwand der Garage berührt.
Im Bezugssystem der Stange erscheint die Garage jedoch auf L/2 · 1/γ = L/4
verkürzt. Die Tür sollte also nicht geschlossen werden können.
Auflösung: Schließen“ und vorne Anstoßen“ sind nur im Bezugssystem der
”
”
Garage gleichzeitig, weil sie in diesem System ausgeführt werden. Im System der
Stange beginnt der Ablauf des Geschehens damit, dass die Stange vorne anstößt.
Die Information darüber breitet sich (maximal) mit Lichtgeschwindigkeit aus. Bis
zum Ende der Stange hat das Signal die Distanz L zurückgelegt. Von der Garagentür bis zum Ende der Stange hat das Türe schließt sich“-Signal aber nur
”
3/4L zurückzulegen.
In Gleichungen:
Garage
Stange
u
L
v
x
L/ 2
y
Seien R0 das Ruhesystem der Stange und R das der Garage.
=⇒uµ0 = (u00 , 0, 0, 0) ;
xµ = (x0 , 0, 0, x3 ) ;
β=
√
0
vµ0 = (v0 , 0, 0, L)
L
yµ = (y0 , 0, 0, x3 + )
2
3/2, γ = 2, Lorentz-Transformation:
a0 = γa00 + βγa30 ; a3 = γa30 + βγa00
√
√
√
=⇒ uµ = (2u00 , 0, 0 3u00 ) ; vµ = (2v00 + 3L, 0, 0, 2L + 3v00 )
101
7.7. PARADOXA
Event ①: Stange stößt an ⇐⇒ v3 = y3 , v0 = y0
Event ②: Türe zu ⇐⇒ x0 = y0 am Ort x3
√
√
L
① =⇒ 2v00 + 3L = y0 ; 2L + 3v00 = x3 +
2
√
2
3
1
②
L =⇒ y0 = √ x3 = x0
=⇒ v00 = √ x3 −
2
3
3
2
L
2
=⇒ yµ = ( √ x3 , 0, 0, x3 + ) = vµ ; xµ = ( √ x3 , 0, 0, x3 )
2
3
3
Rücktransformation:
√
√ 3
√ 0
1 3
3
3
=⇒y = v = (2y − 3(x + L/2), 0, 0, 2x + L − 3y ) = ( √ x −
L, 0, 0, L)
2
3
1
xµ0 = ( √ x3 , 0, 0, 0)
3
µ0
µ0
0
√
3
früher.
Bis die Türe an xµ0 zuschlägt (Event ②) fliegt die Garage
2 L
√
√
noch um y00 ·β = 23 L· 23 = 34 L weiter. Das ist genau die Länge, um die die Garage
=⇒ y00 ist um
bei Vernachlässigung der Zeitunterschiede zu kurz erscheint.
7.7.3
Wie sieht ein bewegtes Objekt aus?
Auf Grund der Lorentz-Kontraktion würde man erwarten, dass ein bewegtes Objekt für einen ruhenden Beobachter in Bewegungsrichtung gestaucht aussieht.
⇓
⇓
⇓
⇓
Dies ist tatsächlich nicht der Fall. Die Objekte wirken gedreht! Der Grund
ist, dass Licht von weiter entfernten Punkten länger braucht, um das Auge des
Beobachters zu erreichen.
Beispiel: Ein Rechteck bewegt sich mit der Geschwindigkeit v = βc in zRichtung. Der Beobachter ist in x-Richtung so weit entfernt, dass die Lichtstrahlen
als parallel angenommen werden können:
102
KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
z
a
d
La
v
b
Lc
c
x
Im Ruhesystem R0 des Rechtecks gilt
aµ0 = (a00 , 0, 0, La ) ;
bµ0 = (b00 , 0, 0, 0)
cµ0 = (c00 , Lc , 0, 0) ;
d µ0 = (d 00 , Lc , 0, La )
Lorentz-Transformation:
γ

0
µ
Λ ν (β) = 
0
βγ

0
1
0
0

0 βγ
0 0

1 0
0 γ
aµ = (γa00 + βγLa , 0, 0, γLa + βγa00 )
bµ = (γb00 , 0, 0, βγb00 )
cµ = (γc00 , Lc , 0, βγc00 )
d µ = (γd 00 + βγLa , Lc , 0, γLa + βγd 00 )
Der Einfachkeit halber wurde hier b00 = 0 gesetzt. Die Punkte a und b haben
denselben Abstand vom Auge, die von ihnen ausgehenden Lichtstrahlen kommen
also gleichzeitig an, wenn sie gleichzeitig ausgesandt werden =⇒ a0 = b0 .
Die Punkte c und d sind um Lc weiter weg. Das Licht muss entsprechend um
∆t = Lc /c früher ausgesandt werden, um gleichzeitig beim Auge anzukommen
=⇒ c0 = d 0 = a0 − Lc .
b0 = γb00 = 0 =⇒ b0 = a0 = 0
c0 = d 0 = −Lc =⇒ γc00 = −Lc
γd 00 = −Lc − βγLa
γa00 = −βγLa
1
=⇒ a3 = γLa − β2 γLa = La
γ
La
d3 =
− βLc
γ
103
7.7. PARADOXA
La
)
γ
bµ = (0, 0, 0, 0)
cµ = (−Lc , Lc , 0, −βLc )
La
d µ = (−Lc , Lc , 0, − βLc )
γ
aµ = (0, 0, 0
Auf die Netzhaut des Beobachters werden die x3 -Koordinaten projiziert:
x3
a
d
La
γ
La
γ
_βL
c
b 0
c _ β Lc
Das ist dasselbe Bild, das sich in der Euklidischen Geometrie von einem
Rechteck ergibt, das um den Winkel α = arcsin(β) gedreht ist:
a
cos α La =
La
La
γ
_ sin α L = _ β L
c
c
d
α
b
Lc
c
104
KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
Kapitel 8
Ein kleiner Ausblick
8.1
Allgemeine Relativitätstheorie
Die Spezielle Relativitätstheorie behandelt die folgende Situation:
• Inertiale Beobachter
• Minkowski-Raum, d. h. keine Gravitation
Die Allgemeine Relativitätstheorie erweitert beide Punkte. Die bedeutendsten
Unterschiede zur Speziellen Relativitätstheorie sind:
• Es gibt keine globalen Bezugssysteme mehr
• Die Raumzeit ist gekrümmt
Die mathematische Grundlage ist die Invarianz unter beliebigen Koordinatentransformationen (d. h. nicht nur Lorentz-Transformationen): der Natur ist es egal,
mit welchen Koordinaten wir sie beschreiben. Der Begriff der Tensoren (Aµ0 =
∂xµ0 ν
2
∂xν A ) kann direkt übernommen werden, ebenso ds und die Eigenzeit.
Beispiel Zylinderkoordinaten:
x0 = x00
,
x3 = x30
,
x1 = r cos ϕ
105
,
x2 = r sin ϕ
106
KAPITEL 8. EIN KLEINER AUSBLICK
Die Koordinaten sind keine kontravarianten Vektoren mehr!
∂xµ ∂xν
ds2 = ηµν α0 β0 dxα0 dxβ0
∂x
0 ∂x
∂x ∂x0
∂xi ∂xi
=
− α0 β0 dxα0 dxβ0
α0
β0
∂x ∂x
∂x ∂x
α0
00
x = (x , r, ϕ, x30 )


1
0
0
0
0 cos ϕ −r sin ϕ 0
∂xµ

=⇒ α0 = 
0 sin ϕ r cos ϕ 0
∂x
0
0
0
1
1 2 2 2 !
∂x
∂x
=⇒ ds2 = (dx00 )2 − (dx30 )2 − dr2
+
∂r
∂r
!
1 2 2 2
1 1
∂x
∂x ∂x
∂x2 ∂x2
∂x
2
− dϕ
+
− 2dr dϕ
+
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ ∂r
∂ϕ ∂r
= (dx00 )2 − (dx30 )2 − dr2 cos2 ϕ + sin2 ϕ
− dϕ2 r2 cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ
− 2dr dϕ (−r sin ϕ cos ϕ + r cos ϕ sin ϕ)
= (dx00 )2 − (dx30 )2 − dr2 − r2 dϕ2
= gαβ (xµ0 )dxµ0 dxν0

1 0
0

0 −1 0
gαβ (xµ0 ) = 
0 0 −r2
0 0
0

0
0

0
1
⇐⇒ ηµν wird im Allgemeinen durch einen koordinatenabhängigen Tensor gαβ (x)
(= Metrik) ersetzt!
Die Gravitation wird durch das Äquivalenzprinzip eingeführt:
SRT:
E = mt c2 mt = träge Masse, d. h. die Masse, die in mt~x¨ = ~F vorkommt.
s
ms = schwere Masse, d. h. der Faktor, der im NewNewton: FGrav = −G Mm
r2
tonschen Gravitationsgesetz vorkommt
In der Newtonschen Mechanik gilt zufälligerweise“ ms = mt , in der Allge”
meinen Relativitätstheorie wird dies gefordert. ⇐⇒ Äquivalenz von träger und
schwerer Masse.
Aus E = mc2 folgt, dass auch Energie Gravitation verursacht und somit Teilchenbahnen ändert. Die Idee ist nun, diese Änderung durch eine gekrümmte Raumzeit zu beschreiben:
107
8.2. QUANTENELEKTRODYNAMIK
Minkowski−Raum
gekrümmter Raum
Teilchenbahn
Die Krümmung kann ebenfalls durch die Metrik gαβ (x) beschrieben werden.
Beispiel: Für x00 = r = const. beschreibt obiges ds2 den zweidimensionalen
Raum einer Zylinderoberfläche.
Einstein fand eine Differentialgleichung (Rµν = κTµν ), die beschreibt, wie Energie bzw. Masse den Raum krümmt (sehr kompliziert!). Die Lösungen beschreiben
schwarze Löcher, Big Bang, . . .
Beispiel: gµν = diag(1, −a(t), −a(t), −a(t)) beschreibt die zeitliche Änderung der
räumlichen Maßstäbe ⇐⇒ Big Bang (a → 0 für t → 0).
Bezugssysteme können nicht mehr global definiert werden, da im gekrümmten
Raum im Allgemeinen keine geraden“ Linien mehr existieren.
”
8.2
Quantenelektrodynamik
Die Elektrodynamik war nicht nur die erste Lorentz-invariante Theorie, sie wurde
auch als erste quantisiert: Planck stellte 1900 die Hypothese auf, dass die Strahlung in Quanten der Energie ~ω auftritt.
Viel später (Ende der 20er Jahre) wurde eine Vielteilchen“-Theorie für die”
se Quanten aufgestellt, die Quantenelektrodynamik (QED). Man kann allgemein
zeigen, dass eine quantenmechanische Vielteilchen-Theorie für Bosonen (Teilchen mit ganzzahligem Spin) beschrieben werden kann durch Operatoren âl , die
formal dieselben Kommutator-Relationen erfüllen wie der harmonische Oszillator
in der Quantenmechanik, [âl , â†m ] = δlm (l, m = Satz von Quantenzahlen).
In der Quantenelektrodynamik (QED) wird dann z. B. das elektrische Feld
ersetzt durch den Feldoperator
s
~ωk
~
ˆ x) =
~E(~
∑ ∑ â~k,σ~ε(~k, σ)eik~x 2 0V + h. c.
~ σ=1,2
∋
k
(V = Quantisierungsvolumen). Für die Feldenergie ergibt sich dann der Operator
Z 1
0
ˆ
ˆ
†
2
2
2
3
~E (~x) + c ~B (~x) d x = ∑ ~ωk â â~ +
H=
~k,σ k,σ
2
2
~
∋
k,σ
108
KAPITEL 8. EIN KLEINER AUSBLICK
wie bei einer Summe harmonischer Oszillatoren. H spielt die Rolle des HamiltonOperators für freie Photonen. Bedeutung der Operatoren: â~† erzeugt ein Photon
k,σ
mit Wellenvektor ~k und Polarisation ~ε(~k, σ). Aus dem Feldoperator ~Eˆ kann man
ablesen, dass das Photon die räumliche Modenfunktion
s
~ωk
~
~ε(~k, σ)eik~x
2 0V
∋
hat. Darin ist die Wurzel ein Normierungsfaktor. â~k,σ vernichtet ein solches Photon. Man rechnet damit wie beim harmonischen Oszillator:
Grundzustand=Vakuum=|0i (kein Photon)
(h0|0i = 1, d. h. |0i ist ein normierter Zustand, nicht die Zahl 0)
1-Photon-Zustand: â~† |0i
k,σ
2 Photonen in der selben Mode: â~†2 |0i
k,σ
2 Photonen in verschiedenen Moden: â~†
↠|0i
k1 ,σ1 ~k2 ,σ2
Wie beim harmonischen Oszillator gilt:
â~k,σ |0i = 0
=⇒ Im Vakuum gibt es im Mittel kein E-Feld:
s
~k,σ
~ωk
+ c. c.
2 0V
∋
~
ˆ x)|0i = ε
h0|~E(~
∑ (~k,σ)eik~x h0|â~k,σ|0i
=0
Wohl aber gibt es Quantenfluktuationen:
ˆ
†
2
~
h0|E |0i = h0| ∑ â~k,σ + · · · + â~ + · · ·
~k,σ
k,σ
∑
~k0 ,σ0
â~k0 ,σ0 + · · · + â~†0 0 + · · ·
k ,σ
=∑
∑ · · · h0|â~k,σâ~†k0,σ0 |0i
=∑
∑ · · · h0|â~†k0,σ0 â~k,σ + [â~k,σ, â~†k0,σ0 ] |0i
~k,σ~k0 ,σ0
~k,σ~k0 ,σ0
= ∑ · · · 6= 0
~k,σ
|
{z
δkk0 δσσ0
}
|0i
109
8.2. QUANTENELEKTRODYNAMIK
Das Vakuum hat also nur im Mittel kein elektrisches Feld. Die Quantenmechanik
läßt aber auf Grund der Unschärferelation ∆E∆t ≥ ~ die kurzfristige Erzeugung
von Photonen ”aus dem Nichts” zu. Deshalb verschwindet der Mittelwert von ~Eˆ 2
nicht, das elektrische Feld zeigt Vakuumfluktuationen.
Die Quantenelektrodynamik beschreibt viele verschiedene Prozesse:
• Paarerzeugung von e− und e+ (E = ~ω = 2me c2 )
• Spontane Emission von Atomen (wg. Vakuumfluktuationen)
• Absorption und Emission von Photonen
• Casimir-Kräfte, die aus der Vakuum-Energie herrühren:
h0|Ĥ|0i = ∑ ~ωk
~k,σ
1
2
Verändert man (durch Spiegel, Dielektrika, . . . ) die ωk , so ändert sich dieser
Wert. Da diese Veränderung vom Abstand der Spiegel abhängt, ergibt sich
eine anziehende Kraft zwischen den Spiegeln (= Casimir-Kraft).
• usw. usf.
110
KAPITEL 8. EIN KLEINER AUSBLICK
Kapitel 9
Formelsammlung
9.1
Einige Rechenregeln, insbesondere für die
δ-Distribution
δii
δi j εi jk
εi jk εi jk
εi jk εl jk
εi jk εlmk
Z
=
=
=
=
=
3
0
6
2δil
δil δ jm − δim δ jl
f (x)δ(x − y) dx = f (y)
Z
f (x)
n
dn
nd f
δ(x
−
y)
dx
=
(−1)
dxn
dyn
dΘ(x − y)
= δ(x − y)
dx
δ(x − xn )
δ( f (x)) = ∑ 0
n | f (xn )|
Z ∞
mit f (xn ) = 0, f 0 (xn ) 6= 0
dkeikx = 2πδ(x)
−∞
1
P
= ∓iπδ(x) +
ε→0 x ± iε
x
lim
Z ∞
0
dke±ikx = πδ(x) ± i
mit P = Hauptwert unter einem Integral über x
P
x
Man sollte allgemein nicht vergessen, dass die δ-Distribution eigentlich nur unter
einem Integral definiert ist. Entsprechend sind alle Gleichungen zu lesen (insbesondere solche, in denen der Hauptwert auftaucht).
111
112
9.2
9.2.1
KAPITEL 9. FORMELSAMMLUNG
Nablakalkül
Vektoridentitäten
rot rot ~R = ∇div ~R − ∆~R
rot grad φ = 0
div rot ~B = 0
9.2.2
Gaußscher Satz
Z
div ~R d 3 x =
ZZ
∂V
V
9.3.2
~Rd~s
(9.5)
Satz von Stokes
Z
rot ~R d~s =
I
∂A
A
9.3.3
(9.4)
Integralsätze
0
9.3.1
(9.3)
Laplaceoperator in Kugelkoordinaten
1 ∂
1
∂
∂
1
∂2
2 ∂
∆= 2
r
+ 2
sin ϑ
+ 2 2
r ∂r
∂r
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ2
9.3
(9.1)
(9.2)
~Rd~x
(9.6)
Greensche Integralsätze
Erste Greensche Identität
Z
V
(φ̃∆Ψ̃ + ∇φ̃ · ∇Ψ̃) d x =
3
I
∂V
φ̃∇Ψ̃ d~s
(9.7)
Zweite Greensche Identität
Z
V
(φ∆Ψ − Ψ∆φ) d x =
3
I
∂V
(φ~n∇Ψ − Ψ~n∇φ) ds
(9.8)
Literaturverzeichnis
[1] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1968. Signatur: mat 3.90/ a17.
[2] Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, and Gilbert Grynberg. Atomphoton interactions: basic processes and applications. John Wiley & Sons,
Inc., 1998. Signatur: phy 214/ c64c.
[3] Eugene Hecht. Optik. Addison Wesley Publishing Company, 1989, Nachdruck 1994. Signatur: phy 214/ c64c.
[4] Claude Itzykson and Jean-Bernard Zuber. Quantum field theory. McGrawHill, New York, 1980. Signatur: phy 212/i98.
[5] John David Jackson. Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons, Inc., 2
edition, 1975. Signaturen: lbs 780/j12(2) und phy 182/ j12(2).
[6] John David Jackson. Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons, Inc., 3
edition, 1999. Signaturen: lbs 780/j12(3).
[7] J.D. Bjorken und S.D. Drell. Relativistische Quantenfeldtheorie. B.I. Hochschultaschenbücher Band 101, 1967. Abschnitt 14.5, Signatur: phy 212/ b76.
113
Index
Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Doppelbrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Symbole
δ-Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 17
Äquivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Optische Aktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
E
Eichtransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
eigentlich orthochronen Lorentz-Gruppe
94
Eigenzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Eikonalgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 75, 76
Einfallswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Einsteinsche Summenkonvention . . . 1, 91
Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
elliptisches Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
A
Äther . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 88
Äthertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Aktivität
optische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Allgemeine Relativitätstheorie . . . . . . . 109
Außerordentliche Wellen . . . . . . . . . . . . . 72
Außerordentlicher Stahl . . . . . . . . . . . . . . 72
Ausfallswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
F
Fadenströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Feldgleichungen
der Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . 23
Feldstärke-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Fermatsches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Flächenladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Forminvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Fresnelsche Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Fundamentalkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Funktionalableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
B
Besselfunktionen
sphärische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Bezugsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Biot-Savart
Gesetz von. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
Brechungsindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 69
Brewster-Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
C
Clausius-Mosotti-Gleichung . . . . . . . . . . 60
Coulomb-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
G
Galilei-Transformationen . . . . . . . . . . . . . 87
Gaußscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 116
geometrische Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Green-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 40
avancierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen
21
retardierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Greensche Identität
erste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 116
zweite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 116
Greenscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
D
d’Alembert-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
diamagnetisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
dielektrische Verschiebungsdichte . . . . . 46
Differentialgleichungen
lineare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
nichtlineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Dipolkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Dipolmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Dirichlet-Randbedingung . . . . . . . . . . . . . 18
Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
114
INDEX
H
Hamilton-Operator
für freie Photonen . . . . . . . . . . . . . . 112
Hamiltondichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Hankelfunktionen
sphärische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
harte Ferromagneten . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Helles Soliton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Helmholtz-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
inhomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Hermite-Gauß-Strahlen . . . . . . . . . . . . . . 80
Hohlraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Hysterese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
I
Impuls
kanonisch konjugierter . . . . . . . . . . . . 8
kinetischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Impulsdichte
kanonische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Indizes
Heben und Senken der . . . . . . . . . . . 95
Inertialsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
K
kanonische Quantisierung . . . . . . . . . . . . . 9
Kerr-Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . 103
Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Kontraktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96
Kreisströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Kugelflächenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 20
Orthogonalitätsrelation . . . . . . . . . . 21
Vollständigkeitsrelation . . . . . . . . . . 21
L
Längenkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Ladungserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Lagrange-Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Laplace-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Laplaceoperator
in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . 116
Lasermoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Laserstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Legendre-Polynome
assoziierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Levi-Civita-Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
lichtartig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Lichtgeschwindigkeit
115
Invarianz der . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Lichtstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Lorentz-Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Lorentz-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Lorentz-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Lorentz-Lorenz-Gleichung. . . . . . . . . . . .60
Lorentz-Transformationen . . . . . . . . 89, 91
M
Maßstab-Paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
magnetische Monopole . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Magnetische Quadrupolfalle . . . . . . . . . . 27
makroskopische Felder . . . . . . . . . . . . . . . 45
makroskopische Maxwell-Gleichungen 45
Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Kovarianz der . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93, 110
minimale Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Minkowski-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Modenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
für Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Multipolmoment
sphärisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
N
Neumann-Randbedingung . . . . . . . . . . . . 18
Nichtlineare Optik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
Noether-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
O
Optik
geometrische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Ordentliche Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Ordentlicher Stahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
P
paramagnetisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 112
Hamilton-Operator für freie . . . . 112
Poincaré-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
positiv definit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Potential
skalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Vektor- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Prinzip
Fermatsches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
116
INDEX
Punktdipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Q
Quadrupolfalle
magnetische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Quantenelektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . 5
Quantenfluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . 112
R
raumartig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Rayleigh-Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Relativitätstheorie
allgemeine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
S
Satz
Greenscher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Skalare Multipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Skalarpotential
magnetisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Snelliussche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Soliton
Helles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Solitonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Spiegelladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Stokes
Satz von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Strahl
außerordentlicher . . . . . . . . . . . . . . . 72
ordentlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Stromdichte
relativistische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Suszeptibilität
makroskopische . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
T
TE-Felder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
kontravarianter . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
kovarianter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
TM-Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
V
Vector spherical harmonics . . . . . . . . . . . 44
Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Vierer-Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . 100
Vierer-Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 99
Vierer-Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Vierer-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Vierer-Sinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Vierer-Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Vierer-Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
virtual cavity model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
W
Wellen
außerordentliche . . . . . . . . . . . . . . . . 72
ordentliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Wellenfronten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Wellengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Weltlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Wirbelfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Z
zeitartig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Zwillingsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . 103