Satz von Ceva

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1 BEZEICHNUNGEN UND GRUNDPRINZIPIEN
1.7.1
Der Satz von Ceva und seine Umkehrung
Geraden, die ein Dreieck schneiden, heißen Transversalen. Geraden, die eine Dreiecksseite und
den gegenüberliegenden Eckpunkt schneiden, heißen Ecktransversalen.
Zwei willkürlich gewählte Geraden schneiden sich – wenn nicht der Ausnahmefall der Parallelität gegeben ist – in genau einem Punkt. Drei willkürlich gewählte Geraden schneiden sich
im allgemeinen in drei Punkten. Beim Dreieck kommt es aber häufig vor (man hat sogar den
Eindruck, es ist die Regel), daß sich drei Geraden (z.B. drei Ecktransversalen) in einem Punkt
schneiden. Im Falle der Mittelsenkrechten (die keine Ecktransversalen sind) oder der Winkelhalbierenden fällt der Beweis dafür nicht schwer, weil die entsprechenden Punkte (Umkreis–
bzw. Inkreismittelpunkt) besondere waren. Aber schon für die Höhen, deren Schnittpunkt nur
dadurch ausgezeichnet ist, daß sich in ihm die Höhen schneiden, ist so ein Beweis wesentlich
schwieriger. Es gibt aber einen Satz, der den Fall, daß sich drei Ecktransversalen in einem Punkt
schneiden, auszeichnet. Das ist der
Satz von Ceva:
Schneiden sich drei Ecktransversalen eines Dreiecks in einem Punkt, ist das Produkt der Abschnittsverhältnisse der Dreiecksseiten gleich Eins.
Als Formel bedeutet dieser Satz
lr
r
E
l
l
B lYr
r
B
l
X
|AZ|
l B
u
l
B
l
|ZB|
B
l
B
l
lB
r
lBr
r
Dll
C r
B
B
B
·
|BX| |CY |
·
=1
|XC| |Y A|
A
Z
B
Beweis: Die Gerade DE sei zu AB parallel. Dann folgt aus dem Strahlensatz
|AZ|
|CE|
|BX|
|AB|
|CY |
|CD|
=
,
=
,
=
|ZB|
|CD|
|XC|
|CE|
|Y A|
|AB|
Das Produkt dieser drei Gleichungen liefert die Behauptung.
a1 b1 c1 = a2 b2 c2
(5)
Eine Aussage darüber, wann sich drei Ecktransversalen in einem Punkt schneiden, liefert die
Umkehrung des Satzes von Ceva:
Teilen drei Ecktransversalen eines Dreiecks die Dreiecksseiten derart, daß das Produkt der Abschnittsverhältnisse gleich Eins ist, so schneiden sie sich in einem Punkt.
Beweis: Der Beweis wird indirekt geführt. Angenommen, die dritte Ecktransversale (die durch
Punkt C) geht nicht durch den Schnittpunkt der beiden ersten. Dann gibt es eine weitere
Ecktransversale durch Punkt C, die durch den Schnittpunkt der beiden ersten Ecktransversalen
geht und die Seite AB in einem Punkt Z ′ 6= Z schneidet. Für diese gilt nach dem Satz von
Ceva
|AZ ′ | |BX| |CY |
·
·
=1.
|Z ′ B| |XC| |Y A|
1.7 Schnittpunkte dreier Geraden im Dreieck
17
Andererseits ist nach Voraussetzung
|AZ| |BX| |CY |
·
·
=1.
|ZB| |XC| |Y A|
Hieraus folgt
|AZ ′ |
|AZ|
= ′
.
|ZB|
|Z B|
Das heißt, zwei verschiedene Punkte teilen die Strecke AB im gleichen Verhältnis. Das ist aber
nicht möglich.
1.7.2
Analogon des Satzes von Ceva
Interessiert man sich für Senkrechte in den Punkten X, Y und Z, so gilt folgender
Satz: Schneiden sich drei Senkrechte auf den Dreiecksseiten in einem Punkt, so ist die Summe
der Quadrate der Abschnitte gleich.
a21 + b21 + c21 = a22 + b22 + c22
(6)
Beweis: Die drei Vierecke 2AZP Y , 2BXP Z und 2CY P X sind rechtwinklige Sehnenvierecke.
Damit gilt für die Diagonalen e1 , e2 und e3 , die Durchmesser in den jeweiligen Umkreisen sind
e21 = c21 + p23 = b22 + p22
e22 = a21 + p21 = c22 + p23
e23 = b21 + p22 = a22 + p21
Addition dieser Gleichungen liefert die Behauptung.
Umkehrung des Satzes: Gilt für 6 Seitenabschnitte in einem Dreieck Gleichung (6), so
schneiden sich die drei Senkrechten in den Punkten in einem Punkt.
Beweis: Wir nehmen an, daß das nicht der Fall ist und zwar nehmen wir an, daß die Senkrechte
in Z nicht durch den Schnittpunkt P der beiden anderen Senkrechten geht. Es seien Z ′ der Fußpunkt des Lotes von P auf AB und d1 und d2 die beiden von ihm gebildeten Seitenabschnitte.
Nach dem eben bewiesenen Satz gilt
a21 + b21 + d21 = a22 + b22 + d22 .
Nach Voraussetzung gilt aber (6). Subtraktion führt auf c21 − d21 = c22 − d22 oder c21 − c22 = d21 − d22 ,
was äquivalent zu (c1 + c2 )(c1 − c2 ) = (d1 + d2 )(d1 − d2 ) ist. Division durch c = c1 + c2 = d1 + d2
führt auf c1 −c2 = d1 −d2 oder, wenn man c2 = c−c1 und d2 = c−d1 einsetzt auf 2c1 −c = 2d1 −c.
Das bedeutet c1 = d1 . Also ist Z = Z ′ , ein Widerspruch zur Annahme.