Topologie - Friedrich-Schiller

Topologie
Vorlesung
Konrad Schöbel
Mathematisches Institut, Friedrich-Schiller-Universität Jena
Sommersemester 2015
Plan
Pflicht:
Konstruktion topologischer Räume
Eigenschaften topologischer Räume
Homotopie, Fundamentalgruppe und Überlagerungsräume
Kür:
CW-Komplexe
Topologische Mannigfaltigkeiten
topologische Klassifikation von Flächen
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
Knotentheorie
Einblicke in die Differentialtopologie
Was ist Topologie?
Topologie . . .
. . . ist eines der grundlegendsten Gebiete der Mathematik.
. . . verallgemeinert aus dem Rn bekannte Begriffe
Stetigkeit, zusammenhängend, Rand, Umgebung eines Punktes,
Konvergenz, Kompaktheit, . . .
. . . verleiht „nackten“ Mengen eine Form, indem sie eine Art
Nachbarschaftsbeziehung der Elemente der Menge untereinander
definiert.
. . . ist das Studium derjenigen Eigenschaften solcher Formen, die sich
unter Verformung nicht ändern.
I
I
erlaubt: Strecken und Verbiegen
verboten: Zerreißen oder Kleben
Topologische Klassifikation der Buchstaben
∼
=
1
2
0
D, O
B
1
P
2
0
C, G, I, J, L, M,
N, S, U, V, W, Z
3
E, F, T, Y
4
X
2×2
K, H
# Löcher
A, R, Q
# Beine
grob (bis auf Homotopie): # Löcher
fein (bis auf Homöomorphie): # Löcher & # Beine
Topologie ist „Gummigeometrie“
Das Problem eines Topologen beim Frühstück . . .
Quelle: Wikipedia
Vereinfachung trotz Verallgemeinerung
Definition
Eine Abbildung f : R → R heißt stetig :⇔
∀x0 ∈ R ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R : kx − x0 k < δ ⇒ kf (x ) − f (x0 )k < ε
versus
Definition
Eine Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen heißt stetig,
falls die Urbilder offener Mengen offen sind.
Warum Topologie?
Mathematik ohne Zahlen
Beispiel der immensen Abstraktionsfähigkeit der Mathematik
(ver)steckt in fast allen Gebieten der Mathematik
entfaltet Ihre volle Stärke durch Verquickung mit anderen Disziplinen:
I
I
I
I
I
Gruppentheorie
topologische Gruppen
Algebra
algebraische Topologie
Geometrie
Geometrische Topologie
Analysis
Differentialtopologie, Differentialgeometrie
...
Voraussetzungen
für diese Vorlesung
Rechnen mit Mengen
Mächtigkeit und Abzählbarkeit
(fast) keine Zahlen
später ein wenig Gruppentheorie
Spaß, Neugier und Sinn für mathematische Ästhetik
Teil I
Konstruktion Topologischer
Räume
Gliederung Abschnitt
„Konstruktion Topologischer Räume“
1
Exkurs: Kategorientheorie
2
Topologischer Raum
3
Stetige Abbildungen
4
Teilräume
5
Quotienten
6
Produkte
7
Summen
8
Basen
Exkurs: Kategorientheorie
Gliederung Abschnitt
„Konstruktion Topologischer Räume“
1
Exkurs: Kategorientheorie
2
Topologischer Raum
3
Stetige Abbildungen
4
Teilräume
5
Quotienten
6
Produkte
7
Summen
8
Basen
Exkurs: Kategorientheorie
Klassische Theorien
Mengenlehre
Mengen, Abbildungen, Bijektionen, Teilmengen, Faktormengen,
kartesisches Produkt, . . .
Gruppentheorie
Gruppen, Gruppenhomomorphismen, Gruppenisomorphismen,
Untergruppe, Faktorgruppe, direktes Produkt, . . .
Ringtheorie
Ringe, Ringhomomorphismen, Ringisomorphismen, Unterring,
Faktorring, direkte Summe, . . .
lineare Algebra
Vektorräume, lineare Abbildungen, Isomorphismen, Unterraum,
Faktorraum, kartesisches Produkt, . . .
Exkurs: Kategorientheorie
Kategorientheorie
Offensichtlich ist das immer wieder das selbe . . .
Objekte, Morphismen, Isomorphismen, Unterobjekte, Summenobjekte,
Produktobjekte, Quotientenobjekte, . . .
. . . aber doch immer wieder anders!
Kategorientheorie
I
I
I
versucht, dies zu formalisieren
ist „lediglich“ eine elegante generische Formulierung
verschafft Überblick
Grundidee:
I
I
statt mit „Elementen“
alles mit „Pfeilen“ und kommutativen Diagrammen formulieren
Exkurs: Kategorientheorie
Kategorie
Definition
Definition I.1.1 (informal)
Eine Kategorie C besteht aus
einer Familie Obj(C) von Objekten
einer Familie Mor(C) von Morphismen
Zuordnungen
dom : Mor(C) → Obj(C)
codom : Mor(C) → Obj(C)
Id : Obj(C) → Mor(C) : X 7→ IdX
„Start“
„Ziel“
„Identität“
einer Verknüpfung f ◦ g ∈ Mor(C) von Morphismen f , g ∈ Mor(C)
mit dom f = codom g
mit den Eigenschaften auf der nächsten Folie . . .
Exkurs: Kategorientheorie
Kategorie
Definition (Fortsetzung)
Definition I.1.1 (Fortsetzung)
Eine Kategorie C besteht aus
Obj(C), Mor(C)
dom, codom : Mor(C) → Obj(C)
Id : Obj(C) → Mor(C)
f ◦ g ∈ Mor(C) für f , g ∈ Mor(C) mit dom f = codom g
mit
dom(f ◦ g) = dom g
dom IdX = X = codom IdX
codom(f ◦ g) = codom f
(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)
f ◦ Iddom f = f = Idcodom f ◦f
Exkurs: Kategorientheorie
Kategorien
Bemerkung I.1.2 (Warum „Familie“?)
Wir ignorieren mengentheoretische Probleme, die beim Bilden von Mengen
von Mengen entstehen, da sich diese lösen lassen.
Schreibweise I.1.3
Für f ∈ Mor(C) mit dom f = X und codom f = Y schreiben wir kurz:
f:X →Y
f
X −→ Y
oder
Axiome als kommutative Diagramme:
f
X
IdX
X
/Y
f
f
/Y
/8 W
O
X
IdY
f
h
Y
g
&/
Z
Exkurs: Kategorientheorie
Kategorien
Beispiele
Kategorie
Objekte
Morphismen
Set
Mengen
Abbildungen
Vect
Vektorräume
lineare Abbildungen
Grp
Gruppen
Gruppenhomomorphismen
Rng
Ringe
Ringhomomorphismen
C
Obj(C)
Mor(C)
Ziel dieses Abschnitts
Definition der topologischen Kategorie Top
Obj(Top): topologische Räume
Mor(Top): stetige Abbildungen
Topologischer Raum
Gliederung Abschnitt
„Konstruktion Topologischer Räume“
1
Exkurs: Kategorientheorie
2
Topologischer Raum
3
Stetige Abbildungen
4
Teilräume
5
Quotienten
6
Produkte
7
Summen
8
Basen
Topologischer Raum
Topologischer Raum
Definition
Definition I.2.1
Ein topologischer Raum (X , O) ist eine Menge X versehen mit einem
Teilmengensystem O ⊆ 2X mit folgenden Eigenschaften:
I
I
∅, X ∈ O
Abgeschlossenheit bzgl. endlicher Schnitte:
O1 , . . . , On ∈ O
I
⇒
O1 ∩ · · · ∩ On ∈ O
Abgeschlossenheit bzgl. beliebiger Vereinigungen:
[
∀i ∈ I : Oi ∈ O ⇒
Oi ∈ O
i∈I
O heißt Topologie, ihre Elemente offene Mengen.
Topologischer Raum
Topologischer Raum
Schreibweise
Schreibweise I.2.2
nur „X “ statt (X , O), falls O aus dem Kontext ersichtlich
X , Y , Z sind im Folgenden stets topologische Räume
Topologischer Raum
Abgeschlossene Mengen
Definition I.2.3
Eine Teilmenge A ⊆ X heißt abgeschlossen, falls X \ A offen ist.
Fakt I.2.4
Es sei A ⊆ 2X die Menge der abgeschlossenen Teilmengen von X .
Dann gilt:
∅, X ∈ A
Abgeschlossenheit bzgl. endlicher Vereinigungen:
A1 , . . . , An ∈ A
⇒
A1 ∪ · · · ∪ An ∈ A
Abgeschlossenheit bzgl. beliebiger Schnitte:
∀i ∈ I : Ai ∈ A
⇒
\
i∈I
Ai ∈ A
Topologischer Raum
Abgeschlossene Mengen
Bemerkung I.2.5
Alternativ kann eine Topologie auch über abgeschlossene Mengen und die
Eigenschaften in Fakt I.2.4 definiert werden.
Beweis.
Anwendung der De Morganschen Regeln
(gelten auch für beliebige Schnitte bzw. Vereinigungen)
Topologischer Raum
Topologien
Beispiele
Beispiele I.2.6
Trivialbeispiele:
I
I
Klumpentopologie:
diskrete Topologie:
X , {∅, X }
X , 2X
nichttriviales Beispiel:
X , {∅} ∪ {O ⊆ X : |X \ O| < ∞ }
Weitere Beispiele folgen.
Topologischer Raum
Feinere und gröbere Topologien
Definition I.2.7
Es seien O1 und O2 zwei Topologien auf der selben Menge X .
O1 heißt feiner bzw. gröber als O2 , falls O1 ⊆ O2 bzw. O1 ⊇ O2 .
Beispiele I.2.8
feinste Topologie: diskrete Topologie
gröbste Topologie: Klumpentopologie
Topologischer Raum
Metrische Räume
Definition
Definition I.2.9
Ein metrischer Raum (X , d) ist eine Menge X versehen mit einer
Abbildung d : X × X → R mit folgenden Eigenschaften:
I
I
I
I
Definitheit: ∀x , y ∈ X : d(x , y ) = 0 ⇒ x = y
Positivität: ∀x , y ∈ X : d(x , y ) > 0
Symmetrie: ∀x , y ∈ X : d(y , x ) = d(x , y )
Dreiecksungleichung: ∀x , y , z ∈ X : d(x , y ) + d(y , z) > d(x , z)
d heißt Metrik auf X
Topologischer Raum
Metrische Räume
Beispiele
Beispiele I.2.10
diskrete Metrik auf einer beliebigen Menge:
(
d(x , y ) =
0
1
x =y
x 6= y
Manhattan-Metrik auf Zn
SNCF-Metrik auf Rn :
dSNCF (x , y ) := kx k + ky k
Reisezeit zwischen Städten
Topologischer Raum
Reisezeit-Metrik
Quelle: Wikipedia
Topologischer Raum
Metrische Räume
als topologische Räume
Definition I.2.11
Offene Kugel im metrischen Raum (X , d) um x0 ∈ X mit Radius r > 0:
Br (x0 ) := {x ∈ X : d(x , x0 ) < r }
Fakt I.2.12
Jeder metrische Raum (X , d) wird durch
Od := {O ⊆ X : ∀x0 ∈ O∃r > 0 : Br (x0 ) ⊆ O}
zu einem topologischen Raum (X , Od ).
Definition I.2.13
(X , Od ) heißt die von (X , d) induzierte Topologie.
Topologischer Raum
Metrische Räume
Weitere Beispiele
Beispiele I.2.14
natürliche Metrik auf einem zusammenhängenden Graphen:
minimale Anzahl Kanten eines Pfades zwischen zwei Knoten
lexikographischer Abstand von Wörtern im Duden:
Anzahl der Einträge zwischen zwei Wörtern im Wörterbuch
Levenshtein-Distanz von Wörtern im Duden:
minimale Anzahl an Einfügungen, Löschungen und Substitutionen
von Zeichen zwischen zwei Wörtern
Beispiel I.2.15 (Standardbeispiel)
(Rn , d) mit d(x , y ) := kx − y k
Topologischer Raum
Normierte Räume
Definition
Definition I.2.16
Ein normierter Raum V , k·k ist ein Vektorraum V versehen mit
einer Abbildung k·k : V → R mit folgenden Eigenschaften:
I
I
I
I
Definitheit: ∀v ∈ V : kv k = 0 ⇒ v = 0
Positivität: ∀v ∈ V : kv k > 0
absolute Homogenität: ∀v ∈ V ∀λ ∈ K : kλv k = |λ| · kv k
Dreiecksungleichung: ∀v , w ∈ V : kv + w k 6 kv k + kw k
k·k heißt Norm auf V
Topologischer Raum
Normierte Räume
Beispiele
Beispiele I.2.17
Standardbeispiel: (Rn , k·k)
Funktionenräume aus der Analysis:
lnp
lp
C m (Ω)
Lp (Ω)
B(V , W )
...
Topologischer Raum
Metrische Räume
als normierte Räume
Fakt I.2.18
Jeder normierte Raum wird durch
d(x , y ) := kx − y k
zu einem metrischen und damit auch zu einem topologischen Raum.
normierte Räume
⊂
metrische Räume
⊂
topologische Räume
Topologischer Raum
Topologie als Verallgemeinerung
des Standardbeispiels Rn
Die Topologie verallgemeinert die für das Standardbeispiel (Rn , Od )
bekannten Begriffe auf beliebige topologische Räume:
Inneres, Rand, Abschluss von Teilmengen, Umgebung eines Punktes,
zusammenhängende Teilmengen, Stetigkeit von Abbildungen,
Konvergenz von Folgen, Kompaktheit, . . .
Bemerkung I.2.19
Das Standardbeispiel dient nicht nur als Modell für die Verallgemeinerung,
sonder auch der (unlauteren) Veranschaulichung all dieser Begriffe.
Topologischer Raum
Inneres, Rand und Abschluss
Definition
Definition I.2.20
Sei T ⊆ X eine beliebige Teilmenge eines topologischen Raumes (X , O).
Das Innere von T ist die größte in T enthaltene offene Menge:
T̊ :=
[
O
O∈O: O⊆T
Der Abschluss von T ist die kleinste T enthaltende abgeschlossene
Menge:
\
T :=
A
A∈A: A⊇T
Rand von T :
∂T := T \ T̊
Topologischer Raum
Inneres, Rand und Abschluss
Beispiele
Beispiele I.2.21
In der feinsten Topologie gilt:
M̊ =M = M
∂M = ∅
In der gröbsten Topologie gilt für ∅ 6= M 6= X :
M̊ = ∅
∂M = M = X
[0, 1[˚ = ]0, 1[
Q̊ = ∅
[0, 1[ = [0, 1]
Q=R
∂[0, 1[ = {0, 1}
∂Q = R
Topologischer Raum
Inneres, Rand und Abschluss
Eigenschaften
˚
∂
∅
˚=∅
∅
∂∅ = ∅
M
M̊ ⊆ M
X
X̊ = X
∂X = ∅
X =X
˚
˚ = M̊
M̊
(∂M)˚ = ∅
˚ = M̊
M
∂
∂ M̊ = ∂M
∂∂M = ∂M
∂M = ∂M
M̊ = M
∂M = ∂M
M=M
⊂
M ⊂ N ⇒ M̊ ⊆ N̊
M ⊂ N ⇒ ∂M ⊆ N
M⊂N⇒M⊆N
∩
(M ∩ N)˚ = M̊ ∩ N̊
∂(M ∩ N) ⊇ ∂M ∩ ∂N
M ∩N ⊆M ∩N
∪
(M ∪ N)˚ ⊇ M̊ ∪ N̊
∂(M ∪ N) ⊆ ∂M ∪ ∂N
M ∪N =M ∪N
∅=∅
M⊆M
Stetige Abbildungen
Gliederung Abschnitt
„Konstruktion Topologischer Räume“
1
Exkurs: Kategorientheorie
2
Topologischer Raum
3
Stetige Abbildungen
4
Teilräume
5
Quotienten
6
Produkte
7
Summen
8
Basen
Stetige Abbildungen
Abbildungen auf Mengen
Definition
Definition I.3.1
Eine Abbildung f : X → Y induziert Abbildungen f : 2X → 2Y und
f −1 : 2Y → 2X , definiert durch
f (M) := {y ∈ Y : ∃x ∈ M : f (x ) = y }
f
−1
(N) := {x ∈ X : ∃y ∈ N : f (x ) = y }
Stetige Abbildungen
Abbildungen auf Mengen
Eigenschaften
f −1
f
◦
M ⊆ f −1 f (M)
f f −1 (N) ⊆ N
⊂
M1 ⊂ M2 ⇒ f (M1 ) ⊆ f (M2 )
N1 ⊂ N2 ⇒ f −1 (N1 ) ⊂ f −1 (N2 )
∩
f (M1 ∩ M2 ) ⊆ f (M1 ) ∩ f (M2 )
f −1 (N1 ∩ N2 ) = f −1 (N1 ) ∩ f −1 (N2 )
∪
f (M1 ∪ M2 ) = f (M1 ) ∪ f (M2 )
f −1 (N1 ∪ N2 ) = f −1 (N1 ) ∪ f −1 (N2 )
c
–
f −1 (M c ) = f −1 (M)c
Fakt I.3.2
Eine Funktion f ist genau dann
injektiv, wenn M = f −1 f (M) .
surjektiv, wenn f f −1 (N) = N.
Stetige Abbildungen
Stetige Abbildungen
Definition
Definition I.3.3
Eine Abbildung f : X → Y zwischen zwei topologischen Räumen (X , OX )
und (Y , OY ) ist stetig, falls die Urbilder offener Mengen offen sind:
∀O ∈ OY : f −1 (O) ∈ OX
Stetige Abbildungen
Stetige Abbildungen
Beispiele
Beispiele I.3.4
Bezüglich der feinsten Topologie auf X
ist jede Abbildung f : X → Y stetig.
Bezüglich der gröbsten Topologie auf Y
ist jede Abbildung f : X → Y stetig.
Weitere Beispiele folgen.
Stetige Abbildungen
Bezug zur klassischen Definition
ε-δ-Stetigkeit
Bemerkung I.3.5
Für eine stetige Funktion f : Rm → Rn führt obige Definition auf die
klassische „ε-δ-Definition“:
∀x0 ∈ Rm ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Rm : kx − x0 k < δ ⇒ kf (x ) − f (x0 )k < ε
„Kleine Änderungen am Original führen zu kleinen Änderungen im Bild.“
Stetige Abbildungen
Initiale und finale Topologie
Definition
Definition I.3.6
Die initiale Topologie auf einer Menge X bezüglich einer Abbildung
f : X → Y in einen topologischen Raum (Y , OY ) ist die gröbste
Topologie auf X , in der f stetig ist:
OX := {f −1 (O) ⊆ X : O ∈ OY }
Die finale Topologie auf einer Menge Y bezüglich einer Abbildung
f : X → Y von einem topologischen Raum (X , OX ) ist die feinste
Topologie auf Y , in der f stetig ist:
OY := {O ⊆ Y : f −1 (O) ∈ OX }
Stetige Abbildungen
Die Kategorie der topologischen Räume
Fakt I.3.7
Topologische Räume und stetige Abbildungen definieren eine Kategorie.
Das heißt Verknüpfungen stetiger Abbildungen sind stetig.
Definition I.3.8
Diese heißt die topologische Kategorie Top.
Stetige Abbildungen
Isomorphismen
in der Kategorientheorie
Definition I.3.9
Ein Morphismus f : X → Y ist ein Isomorphismus, falls ein Morphismus
f −1 : Y → X existiert, welcher folgendes Diagramm kommutativ ergänzt:
X
IdX
f
/Y
f −1
~
X
f
IdY
/Y
Zwei Objekte X und Y einer Kategorie heißen isomorph (X ∼
= Y ) falls ein
Isomorphismus zwischen beiden existiert.
Stetige Abbildungen
Isomorphismen
Beispiele
Kategorie
Isomorphismus
Set
Bijektion
Vect
Vektorraumisomorphismus
Grp
Gruppenisomorphismus
Rng
Ringisomorphismus
Top
Homöomorphismus
Stetige Abbildungen
Homöomorphismen
Definition
Definition I.3.10
Eine bijektive Abbildung f zwischen zwei topologischen Räumen ist
ein Homöomorphismus, falls f und f −1 beide stetig sind.
Zwei topologische Räume X und Y heißen homöomorph (X ∼
= Y ),
falls eine Homöomorphismus zwischen ihnen existiert.
Bemerkung I.3.11
Das „ö“ in Homöomorphismus ist bedeutungstragend!
Beispiel I.3.12
Bezüglich der feinsten Topologie auf dem Start X und der gröbsten
Topologie auf dem Ziel X ist die Identität Id : X → X bijektiv und stetig,
aber für |X | =
6 0, 1 kein Isomorphismus.
Stetige Abbildungen
Topologische Invarianten
Definition I.3.13
Eine topologische Invariante ist eine Eigenschaft eines topologischen
Raumes, die sich unter Homöomorphismen nicht ändert.
Topologie ist das Studium topologischer Invarianten.
oder allgemeiner:
Topologie ist das Studium von Eigenschaften, die unter stetigen
Abbildungen erhalten bleiben.
Teilräume
Gliederung Abschnitt
„Konstruktion Topologischer Räume“
1
Exkurs: Kategorientheorie
2
Topologischer Raum
3
Stetige Abbildungen
4
Teilräume
5
Quotienten
6
Produkte
7
Summen
8
Basen
Teilräume
Teilraum
Definition
Definition I.4.1
Ein Teilraum (X , OX ) eines topologischen Raumes (Y , OY ) ist eine
Teilmenge X ⊆ Y , versehen mit der initialen Topologie der Inklusion
ι : X → Y:
OX := {O ∩ X : O ∈ OY }
Diese heißt Teilraumtopologie.
Teilräume
Teilraum
Beispiele
Beispiele I.4.2
Sphäre: S n = {x ∈ Rn+1 : kx k = 1} ⊂ Rn+1
T = {f (r , θ, ϕ) : 0 6 ϕ < 2π, −π 6 θ 6 +π} ⊂ R3
Torus:








cos ϕ
cos θ cos ϕ



f (r , θ, ϕ) = R 
 sin ϕ  + r  cos θ sin ϕ 
0
0<r <R
sin θ
Zylinder:
Z = {f (r , π2 , ϕ) : 0 6 ϕ < 2π, −1 6 r 6 +1} ⊂ R3
Möbiusband:
M = {f (r , ϕ2 , ϕ) : 0 6 ϕ < 2π, −1 6 r 6 +1} ⊂ R3
Teilräume
Teilraum
Eigenschaften
Fakt I.4.3
Die Einschränkung f |X : X → Z einer stetigen Funktion f : Y → Z auf
einen Teilraum X ⊆ Y ist stetig.
Quotienten
Gliederung Abschnitt
„Konstruktion Topologischer Räume“
1
Exkurs: Kategorientheorie
2
Topologischer Raum
3
Stetige Abbildungen
4
Teilräume
5
Quotienten
6
Produkte
7
Summen
8
Basen
Quotienten
Äquivalenzrelation
Wiederholung
Definition I.5.1
Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge X ist eine Teilmenge R ⊆ X × X
mit folgenden Eigenschaften:
Reflexivität: ∀x ∈ X : (x , x ) ∈ R
Symmetrie: ∀x , y ∈ X : (x , y ) ∈ R ⇒ (y , x ) ∈ R
Transitivität: ∀x , y , z ∈ X : (x , y ) ∈ R ∧ (y , z) ∈ R ⇒ (x , z) ∈ R
Schreibweise: xRy statt (x , y ) ∈ R
Quotienten
Klasseneinteilung
Wiederholung
Definition I.5.2
Eine Klasseneinteilung auf einer Menge X ist eine Teilmenge K ⊆ 2X
mit folgenden Eigenschaften:
∀K ∈ K : K 6= ∅
S
=X
K ∈K
∀K1 , K2 ∈ K : K1 6= K2 ⇒ K1 ∩ K2 = ∅
Quotienten
Äquivalenzrelation & Klasseneinteilung
Wiederholung
Fakt I.5.3
Jede Äquivalenzrelation ∼ auf einer Menge X induziert vermittels
K := {[x ] ⊆ X : x ∈ X }
[x ] := {y ∈ X : y ∼ x }
eine Klasseneinteilung auf X .
Jede Klasseneinteilung K auf X induziert vermittels
x ∼ y :⇔ ∃K ∈ K : x , y ∈ K
eine Äquivalenzrelation auf X .
Quotienten
Quotient
Definition
Definition I.5.4
X /∼ := K Quotient von X bezüglich der Äquivalenzrelation ∼
kanonische Projektion:
π: X
x
→ X /∼
7→ π(x ) := [x ]
Quotienten
Quotientenraum
Definition
Definition I.5.5
Der Quotient (X /∼ , O∼ ) eines topologischen Raumes (X , O) bezüglich
einer Äquivalenzrelation ∼ ist der Quotient X /∼ versehen mit der finalen
Topologie der kanonischen Projektion π : X → X /∼ :
O∼ = {O ⊆ X /∼ : π −1 (O) ∈ OX }
Diese heißt Quotiententopologie.
Quotienten
Quotienten
Beispiele
Beispiel I.5.6
Zusammenziehen einer Teilmenge A ⊂ X auf einen Punkt:
X /A := X /∼
A⊆X
wobei
x ∼y
:⇔
x = y ∨ x, y ∈ A
Quotienten
Quotienten
Beispiele
Beispiele I.5.7
[0, 1]2 ⊂ R2 versehen mit der Teilraumtopologie
Zylinder: Z = [0, 1]2 /∼
(0, y ) ∼ (1, y )
y ∈ [0, 1]
Möbiusband: M = [0, 1]2 /∼
(0, y ) ∼ (1, 1 − y )
y ∈ [0, 1]
Quotienten
Quotienten
Beispiele
Beispiele I.5.8
[0, 1]2 ⊂ R2 versehen mit der Teilraumtopologie
Torus: T = [0, 1]2 /∼
(x , 0) ∼ (x , 1)
(0, y ) ∼ (1, y )
x , y ∈ [0, 1]
Kleinsche Flasche: P = [0, 1]2 /∼
(x , 0) ∼ (x , 1)
(0, y ) ∼ (1, 1 − y )
x , y ∈ [0, 1]
projektiver Raum: P = [0, 1]2 /∼
(x , 0) ∼ (1 − x , 1)
(0, y ) ∼ (1, 1 − y )
x , y ∈ [0, 1]
Quotienten
Quotienten
Eigenschaften
Fakt I.5.9
f : X → Y /∼ stetig ⇔ π ◦ f stetig
Produkte
Gliederung Abschnitt
„Konstruktion Topologischer Räume“
1
Exkurs: Kategorientheorie
2
Topologischer Raum
3
Stetige Abbildungen
4
Teilräume
5
Quotienten
6
Produkte
7
Summen
8
Basen
Produkte
Produkte
in der Kategorientheorie
Definition I.6.1
Zwei Objekte X1 und X2 besitzen ein Objekt X als Produkt, falls es
Morphismen πi : X → Xi gibt, sodass zu jedem Objekt Y und Morphismen
fi : Y → Xi ein eindeutig bestimmter Morphismus f : Y → X existiert,
welcher folgendes Diagramm kommutativ ergänzt:
Y
f1
~
X1 o
π1
f
X
f2
π2
/ X2
Die Morphismen π heißen kanonische Projektionen.
Fakt I.6.2
Ein solches Produkt ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
Produkte
Produkte
in der Kategorientheorie
Schreibweise I.6.3
X =: X1 × X2
f =: f1 × f2
Definition I.6.1bis
Man sagt eine Kategorie besitzt Produkte, wenn je zwei beliebige
Objekte ein Produkt besitzen.
Analog definiert man das Produkt einer beliebigen Familie von
Objekten Xi .
Schreibweise I.6.4
Y
Y
i∈I
i∈I
Xi
fi
Produkte
Produkte
Beispiele
Kategorie
Produkt
Set
kartesisches Produkt
Vect
kartesisches Produkt
Grp
direktes Produkt
Rng
Produktring
Top
Produktraum
M1 × M2 := {(m1 , m2 ) : m1 ∈ M1 , m2 ∈ M2 }
Produkte
Schnitt von Topologien
Fakt I.6.5
Der Schnitt beliebig vieler Topologien auf einer Menge ist wieder eine
Topologie auf dieser Menge.
Bemerkung I.6.6
Damit hat es Sinn, von der gröbsten aller derjenigen Topologien auf einer
Menge zu sprechen, die eine gewisse Eigenschaft besitzen: Man schneidet
einfach alle Topologien mit dieser Eigenschaft.
Produkte
Initiale Topologie
Verallgemeinerung
Definition I.6.7
Die initiale Topologie auf einer Menge X bezüglich einer beliebigen Familie
von Abbildungen fi : X → Yi in topologische Räume Yi ist die gröbste
Topologie auf X in der die fi stetig sind.
Bemerkung I.6.8
Wir werden später sehen, wie diese finale Topologie explizit aussieht.
Produkte
Produktraum
Definition
Definition I.6.9
Das Produkt einer beliebigen Familie topologischer Räume Xi ist das
kartesische Produkt
Y
Xi ,
i∈I
versehen mit der initialen Topologie bezüglich der kanonischen
Q
Projektionen πi : Xj → Xi .
Diese heißt Produkttopologie.
Produkte
Produktraum
Beispiele
Beispiele I.6.10
Torus: T = S 1 × S 1
Zylinder: Z = S 1 × [0, 1]
allgemein:
Zylinder über einem topologischen Raum X : X × [0, 1]
Produkte
Produkte & Quotienten
Beispiele
Beispiele I.6.11
CX := (X × [0, 1])/∼ Kegel über X :
(x1 , 0) ∼ (x2 , 0)
SX := (X × [0, 1])/∼ Suspension über X :
(x1 , 0) ∼ (x2 , 0)
(x1 , 1) ∼ (x2 , 1)
X ? Y := (X × Y × [0, 1])/∼ Verbund von X und Y :
(x , y1 , 0) ∼ (x , y2 , 0)
(x1 , y , 1) ∼ (x2 , y , 1)
Produkte
Produktraum
aus kategorientheorischer Sicht
Fakt I.6.12
Der so definierte Produktraum ist ein Produkt in der Kategorie Top.
Das heißt:
πi :
Q
Xj → Xi
fi : Y → Xi
stetig
stetig ⇒
Q
fi : Y →
Q
Mithin besitzt die Kategorie Top Produkte.
Xi
stetig
Summen
Gliederung Abschnitt
„Konstruktion Topologischer Räume“
1
Exkurs: Kategorientheorie
2
Topologischer Raum
3
Stetige Abbildungen
4
Teilräume
5
Quotienten
6
Produkte
7
Summen
8
Basen
Summen
Duale Kategorie
Definition I.7.1
Die zu einer Kategorie C duale Kategorie ist die Kategorie Cop , gegeben
durch:
Obj(Cop ) = Obj(C)
Mor(Cop ) = Mor(C)
domop = codom
codomop = dom
f ◦op g = g ◦ f
Zwei Aussagen P und Q über eine Kategorie sind dual, falls Q = P op .
Summen
Mono- und Epimorphismen
in der Kategorientheorie
Definition I.7.2
Ein Monomorphismus ist ein Morphismus f : Y → Z mit der
Eigenschaft, dass für beliebige Morphismen g1 , g2 : X → Y gilt:
f ◦ g1 = f ◦ g2
⇒
g1 = g2
Ein Epimorphismus ist ein Morphismus f : X → Y mit der
Eigenschaft, dass für beliebige Morphismen g1 , g2 : Y → Z gilt:
g1 ◦ f = g2 ◦ f
⇒
Beispiel I.7.3
Mono- und Epimorphismus sind duale Begriffe.
g1 = g2
Summen
Koprodukte
in der Kategorientheorie
Koprodukt ist der zum Produkt duale Begriff:
Definition I.7.4
Zwei Objekte X1 und X2 besitzen ein Objekt X als Koprodukt, falls es
Morphismen ιi : X → Xi gibt, sodass zu jedem Objekt Y und Morphismen
fi : Xi → Y ein eindeutig bestimmter Morphismus f : X → Y existiert,
welcher folgendes Diagramm kommutativ ergänzt:
> YO `
f1
X1
ι1
f
/X o
ι2
f2
X2
Die Morphismen ι heißen kanonische Injektionen.
Summen
Koprodukte
in der Kategorientheorie
Schreibweise I.7.5
X =: X1
a
X2
f =: f1
a
f2
Definition I.7.4bis
Man sagt eine Kategorie besitzt Koprodukte, wenn je zwei beliebige
Objekte ein Koprodukt besitzen.
Analog definiert man das Koprodukt einer beliebigen Familie von
Objekten Xi .
Schreibweise I.7.6
a
a
i∈I
i∈I
Xi
fi
Summen
Koprodukte
Beispiele
Kategorie
Koprodukt
Set
diskjunkte Vereinigung
Vect
direkte Summe
Grp
freies Produkt
Rng
freies Produkt
Top
Summenraum
M1
a
M2 := (M1 × {0}) ∪ (M2 × {1})
Summen
Finale Topologie
Verallgemeinerung
Definition I.7.7
Die finale Topologie OY auf einer Menge Y bezüglich einer beliebigen
Familie von Abbildungen fi : Xi → Y von topologische Räume (Xi , Oi ) ist
die feinste Topologie auf Y in der die fi stetig sind:
OY = {O ⊆ Y : fi −1 (O) ∈ Oi , i ∈ I}
Summen
Summenraum
Definition
Definition I.7.8
Die Summe einer beliebigen Familie (Xi , Oi ) topologischer Räume Xi
ist die disjunkte Vereinigung
a
Xi ,
i∈I
versehen mit der finalen Topologie bezüglich der kanonischen
`
Injektionen ιi : Xi → Xj :
n
O := O ⊆
a
Xi : ι−1
i (O) ∈ Oi , i ∈ I
o
Diese heißt Summentopologie.
alternative Bezeichnungen: disjunkte Vereinigung, freie Vereinigung,
freie Summe, direkte Summe, topologische Summe, Koprodukt
Summen
Summenraum
aus kategorientheorischer Sicht
Fakt I.7.9
Der so definierte Summenraum ist ein Koprodukt in der Kategorie Top.
Das heißt:
ιi : Xi →
`
fi : Xi → Y
Xj
stetig
stetig ⇒
`
fi :
`
Xi → Y
Mithin besitzt die Kategorie Top Koprodukte.
stetig
Summen
Quotienten, Produkte und Summen
Beispiele
Beispiele I.7.10
Cf := (X × [0, 1])
`
Y /∼ Abbildungskegel von f : X → Y
(x , 1) ∼ f (x )
X
`
f
Y := (X
`
Y )/∼ Verklebung von X und Y entlang f : A → Y
a ∼ f (a)
a∈A⊆X
Basen
Gliederung Abschnitt
„Konstruktion Topologischer Räume“
1
Exkurs: Kategorientheorie
2
Topologischer Raum
3
Stetige Abbildungen
4
Teilräume
5
Quotienten
6
Produkte
7
Summen
8
Basen
Basen
Basis einer Topologie
Definition
Definition I.8.1
Eine Basis einer Topologie O ist eine Teilmenge B ⊆ O, so dass jede
Menge O ∈ O eine Vereinigung (beliebig vieler) Mengen aus B ist.
Basen
Basis einer Topologie
Beispiele
Beispiele I.8.2
triviale Basis für O: O
Basis der feinsten Topologie auf X : {{x } ⊆ X : x ∈ X }
Basis der gröbsten Topologie auf X : {X }
Offene Kugeln für die von einer Metrik induzierte Topologie.
Offene Kugeln in Rn mit rationalem Radius und rationalen
Mittelpunktskoordinaten (abzählbare Basis).
Basis der Produkttopologie auf (X1 , O1 ) × (X2 , O2 ):
B = {O1 × O2 : O1 ∈ O1 , O2 ∈ O2 }
Basen
Subbasis einer Topologie
Definition
Definition I.8.3
Eine Subbasis einer Topologie O ist eine Teilmenge S ⊆ O deren endliche
Schnitte eine Basis bilden.
Bemerkung I.8.4
Wir setzen
\
Bi := X .
i∈∅
Bemerkung I.8.5
Das heißt, die Topologie O besteht aus allen Vereinigungen beliebig vieler
endlicher Schnitte von Mengen in S.
Basen
Subbasis einer Topologie
Eigenschaften
Fakt I.8.6
Sei S Subbasis von O. Dann ist O die gröbste Topologie, die S
enthält.
Umgekehrt gibt es zu jeder Teilmenge S ⊆ 2X eine Topologie O(S)
auf X mit Subbasis S:
(
O(S) =
ni
[\
)
Sij : Sij ∈ S
i∈I j=1
Definition I.8.7
O(S) heißt die von S erzeugte Topologie.
Basen
Subbasis einer Topologie
Beispiele
Beispiele I.8.8
Subbasis von R: S = {(−∞, b) : b ∈ R} ∪ {(a, +∞) : b ∈ R}
Subbasis der initialen Topologie einer (beliebigen) Familie von
Abbildungen fi : X → Xi in topologische Räume (Xi , Oi ):
S = {fi −1 (O) : O ∈ Oi , i ∈ I}
Spezialfall: Subbasis der Produkttopologie auf dem Produkt
(beliebig vieler) topologischer Räume (Xi , Oi ):
S = {πi−1 (O) : O ∈ Oi , i ∈ I}
Dies sind offene Zylinder:
πi−1 (Oi ) = · · · X × X × O × X × X × · · ·
i−1
i
i+1
Basen
Subbasis und Stetigkeit
Eigenschaften
Fakt I.8.9
Eine Funktion f : X → Y ist stetig, wenn die Urbilder der Elemente einer
Subbasis von Y offen sind.
Basen
Offene und abgeschlossene Abbildungen
Definition
Definition I.8.10
Eine Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen heißt offen
(abgeschlossen), falls die Bilder offener (abgeschlossener) Mengen offen
(abgeschlossen) sind.
Fakt I.8.11
Die kanonischen Projektionen πi :
Q
j∈J
Xj → Xi sind offen.
Beispiel I.8.12
π1 : R × R → R nicht abgeschlossen, da
π1 {(x , y ) : xy = 1} = R \ {0}.
Basen
Inneres, Rand und Abschluss
von Quotienten, Produkten und Summen
M
˚
∂
(M
`
∂(M
`
M
`
M ×N
N
N)˚ = M̊
`
N̊
N) = ∂M
`
∂N
`
N=M
`
N
(M × N)˚ = M̊ × N̊
∂(M × N) = (∂M × N) ∪ (M × ∂N)
M ×N =M ×N
Teil II
Eigenschaften Topologischer
Räume
Gliederung Abschnitt
„Eigenschaften Topologischer Räume“
9
Zusammenhang
10
Trennung
11
Kompaktheit
12
Abzählbarkeit
13
Stetige Funktionen auf topologischen Räumen
Zusammenhang
Gliederung Abschnitt
„Eigenschaften Topologischer Räume“
9
Zusammenhang
10
Trennung
11
Kompaktheit
12
Abzählbarkeit
13
Stetige Funktionen auf topologischen Räumen
Zusammenhang
Zusammenhang
Definition
Definition II.1.1
Ein topologischer Raum X heißt zusammenhängend, wenn ∅ und X die
einzigen Teilmengen sind, welche gleichzeitig offen und abgeschlossen sind.
Zusammenhang
Zusammenhang
Beispiele
Beispiele II.1.2
(X , {∅, X }) zusammenhängend
(X , 2X ) zusammenhängend ⇔ |X | = 0, 1,
[0, 1] zusammenhängend
Zusammenhang
Wegzusammenhang
Definition
Definition II.1.3
Ein topologischer Raum X ist wegzusammenhängend, falls zu je zwei
Punkten x0 , x1 ∈ X eine stetige Abbildung f : [0, 1] → X mit f (0) = x0
und f (1) = x1 existiert.
Zusammenhang
Zusammenhang
Eigenschaften
Fakt II.1.4
f stetig, X zusammenhängend ⇒ f (X ) zusammenhängend
`
Xi zusammenhängend ⇔ |I| = 0, 1
(Xi 6= ∅)
i∈I
Q
Xi zusammenhängend ⇔ alle Xi zusammenhängend
(Xi 6= ∅)
X zusammenhängend ⇒ X /∼ zusammenhängend
Insbesondere ist „zusammenhängend“ eine topologische Invariante, d.h.
X∼
=Y
⇒
X zusammenhängend ⇔ Y zusammenhängend
Gleiches gilt für „wegzusammenhängend“.
Zusammenhang
Zusammenhang
Implikationen
Fakt II.1.5
X wegzusammenhängend ⇒ X zusammenhängend
Gegenbeispiel II.1.6
Die „Sinuskurve des Topologen“,
n
(x , sin x1 ) : x ∈ [0, ∞[
o
∪
n
o
(0, 0)
⊂ R2 ,
ist zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend.
Zusammenhang
Die Sinuskurve des Topologen
Quelle: Wikipedia
Zusammenhang
Zusammenhangskomponenten
Definition
Definition II.1.7
Eine (bezüglich der Mengeninklusion) maximale (weg-)zusammenhängende
Teilmenge eines topologischen Raumes heißt
(Weg-)Zusammenhangskomponente.
Zusammenhang
Zusammenhangskomponenten
Beispiele
Beispiele II.1.8
(Weg-)Zusammenhangskomponenten von
(X , 2X ): {x }, x ∈ X
Q ⊂ R: {q}, q ∈ Q (nicht offen!)
Zusammenhang
Zusammenhangskomponenten
als Klasseneinteilung
Fakt II.1.9
Die (Weg-)Zusammenhangskomponenten eines topologischen Raumes X
bilden eine Klasseneinteilung auf X .
Zusammenhang
Lokaler Zusammenhang
Definition
Definition II.1.10
Eine Teilmenge eines topologischen Raumes ist
(weg-)zusammenhängend, falls sie bezüglich der Teilraumtopologie
(weg-)zusammenhängend ist.
Ein topologischer Raum X ist lokal (weg-)zusammenhängend, falls er
eine Basis aus (weg-)zusammenhängenden Mengen besitzt.
Zusammenhang
Lokaler Zusammenhang
Beispiele
Beispiele II.1.11
Dis disjunkte Vereinigung zweier (weg-)zusammenhängender
nichtleerer Räume ist lokal (weg-)zusammenhängend, aber nicht
(weg-)zusammenhängend.
Die „Sinuskurve der Topologen“ ist zusammenhängend, aber nicht
lokal zusammenhängend:
n
(x , sin x1 ) : x ∈ [0, ∞[
o
n
o
∪ (0, 0) ⊂ R2
Der „Kamm des Topologen“ ist wegzusammenhängend, aber nicht
lokal wegzusammenhängend:
{0} × [0, 1]
∪
1
n
: n ∈ N \ {0} × [0, 1]
∪
[0, 1] × {0}
Zusammenhang
Der Kamm des Topologen
Quelle: Wikipedia
Zusammenhang
Zusammenhang
Implikationen
Fakt II.1.12
X zusammenhängend und lokal wegzusammenhängend
⇒
X wegzusammenhängend
Zusammenhang
Zusammenhangsbegriffe
Bemerkung II.1.13
Es gibt viel mehr Zusammenhangsbegriffe:
zusammenhängend
wegzusammenhängend
bogenzusammenhängend
hyperzusammenhängend
einfach zusammenhängend
n-fach zusammenhängend
lokale Versionen davon
schwach lokal zusammenhängend
semilokal einfach zusammenhängend
...
Alle diese Eigenschaften sind topologische Invarianten.
Trennung
Gliederung Abschnitt
„Eigenschaften Topologischer Räume“
9
Zusammenhang
10
Trennung
11
Kompaktheit
12
Abzählbarkeit
13
Stetige Funktionen auf topologischen Räumen
Trennung
Umgebungen
Definition
Definition II.2.1
U ⊆ X Umgebung eines Punktes x ∈ X
:⇔
∃O ∈ O : x ∈ O ⊆ U
U(x ) := Menge der Umgebungen von x ∈ X
U ⊆ X Umgebung einer Menge M ⊆ X
:⇔
∃O ∈ O : M ⊆ O ⊆ U
U(M) := Menge der Umgebungen von M ⊆ X
Trennung
Umgebungen
Beispiele
Beispiele II.2.2
(X , {∅, X }): U(x ) = {X }
(X , 2X ): U(x ) = {U ⊆ X : x ∈ U}
Trennung
Folgenkonvergenz
Definition
Definition II.2.3
Eine Folge (xn ) ⊆ X konvergiert gegen ein x ∈ X
:⇔
∀U ∈ U(x ) : ∃N ∈ N : ∀n > N : xn ∈ U
Trennung
Folgenkonvergenz
Beispiele
Beispiel II.2.4
In (X , {∅, X }) kovergiert jede Folge gegen jeden Punkt.
In (X , {∅, X }) kovergiert eine Folge genau dann, wenn sie ab einem
gewissen Glied konstant ist.
Trennung
Hausdorff-Eigenschaft
Definition
Definition II.2.5
Ein topologischer Raum X ist Hausdorff oder separiert, falls zwei
verschiedene Punkte in X stets disjunkte Umgebungen besitzen.
Fakt II.2.6
In einem Hausdorffschen Raum sind Folgengrenzwerte eindeutig
(falls sie existieren).
Trennung
Hausdorff-Eigenschaft
Beispiele
Beispiele II.2.7
(X , {∅, X }) Hausdorff ⇔ |X | = 0, 1
(X , 2X ) Hausdorff
Rn Hausdorff
Trennung
Hausdorff-Eigenschaft
Eigenschaften
Fakt II.2.8
X Hausdorff ⇒ Y ⊆ X Hausdorff
`
Xi Hausdorff ⇔ alle Xi Hausdorff
Q
Xi Hausdorff ⇔ alle Xi Hausdorff
(Xi 6= ∅)
Außerdem ist „Hausdorff“ eine topologische Invariante, d.h.
X∼
=Y
⇒
X Hausdorff ⇔ Y Hausdorff
Trennung
Trennungsaxiome
Definition
Definition II.2.9
Trennungsaxiome für einen topologischen Raum X :
∀x1 , x2 ∈ X ∃U1 ∈ U(x1 ) ∃U2 ∈ U(x2 ) :
(T0 ) x1 6= x2 ⇒ x1 6∈ U2 ∨ x2 6∈ U1
(T1 ) x1 6= x2 ⇒ x1 6∈ U2 ∧ x2 6∈ U1
(T2 ) x1 6= x2 ⇒ U1 ∩ U2 = ∅ (d.h. Hausdorff)
∀x1 ∈ X ∀A2 ∈ A ∃U1 ∈ U(x1 ) ∃U2 ∈ U(A2 ) :
(regulär) x1 6∈ A2 ⇒ U1 ∩ U2 = ∅
(T3 ) :⇔ T0 ∧ regulär
∀A1 , A2 ∈ A ∃U1 ∈ U(A1 ) ∃U2 ∈ U(A2 ) :
(normal) A1 ∩ A2 = ∅ ⇒ U1 ∩ U2 = ∅
(T4 ) :⇔ T1 ∧ normal
Trennung
Trennungsaxiome
Quelle: Wikipedia
Trennung
Trennungsaxiome
Implikationen
Fakt II.2.10
T0
⇐
T1
⇐
T2
⇐
T3
⇐
T4
Aufgabe II.2.11
Zeigen Sie mit Gegenbeispielen, dass die Umkehrungen nicht gelten.
Trennung
Trennungseigenschaft
metrischer Räume
Fakt II.2.12
Jeder metrische Raum ist T4 .
Trennung
Trennungsbegriffe
Bemerkung II.2.13
Es gibt viel mehr Trennungsbegriffe:
Trennungsaxiome:
I
I
I
T0 (Kolmogorov)
R0 (symmetrisch)
T1 (Fréchet)
I
I
I
regulär
normal
vollständige Versionen davon
perfekte Versionen davon
schwache Versionen davon
...
R1 (präregulär)
T2 (Hausdorff)
T 1 (Urysohn)
22
I
T3
T 1 (Tychonoff)
I
T4 , T5 , T6 , . . .
I
32
Trennung
Trennungsaxiome
Ti Trennungsaxiom
R regulär
N normal
C vollständig
P perfekt
• kein spezieller Name
Quelle: Wikipedia
Kompaktheit
Gliederung Abschnitt
„Eigenschaften Topologischer Räume“
9
Zusammenhang
10
Trennung
11
Kompaktheit
12
Abzählbarkeit
13
Stetige Funktionen auf topologischen Räumen
Kompaktheit
Kompaktheit
Definition
Definition II.3.1
C ⊆ OX offene Überdeckung von X
:⇔
S
C =X
C ∈C
Ein topologischen Raum X ist kompakt, falls jede offene Überdeckung
von X eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
Kompaktheit
Kompaktheit
Beispiele
Beispiele II.3.2
(X , {∅, X )) kompakt
(X , 2X ) kompakt ⇔ |X | < ∞
Rn nicht kompakt
[0, 1] kompakt
Kompaktheit
Kompaktheit
Eigenschaften
Fakt II.3.3
X kompakt, f stetig ⇒ f (X ) kompakt
`
Xi kompakt ⇔ |I| < ∞ ∧ alle Xi kompakt
(Xi 6= ∅)
i∈I
X1 × X2 kompakt ⇔ X1 , X2 kompakt
(X1 , X2 6= ∅)
X kompakt ⇒ X /∼ kompakt
Insbesondere ist „kompakt“ eine topologische Invariante, d.h.
X∼
=Y
⇒
X kompakt ⇔ Y kompakt
Bemerkung II.3.4
Wir werden später noch zweigen, dass beliebige (!) Produkte kompakter
Räume kompakt sind (Satz von Tychonoff).
Kompaktheit
Der Satz von Heine-Borel
Fakt II.3.5
Jede abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raumes ist kompakt.
Fakt II.3.6
Jede kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raumes ist abgeschlossen.
Satz II.3.7 (Heine-Borel)
Eine Teilmenge des Rn ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und
abgeschlossen ist.
Kompaktheit
Alexandroff-Kompaktifizierung
Definition
Definition II.3.8
Die Alexandroff-Kompaktifizierung (X̂ , Ô) eines topologischen Raumes
(X , O) ist die Menge
`
X̂ := X {∞}
versehen mit der Topologie
n
Ô := O ∪ O
{∞} : O ⊆ O, X \ O kompakt
`
Fakt II.3.9
(X̂ , Ô) kompakt
Beispiel II.3.10
cn ∼
R
= S n (stereographische Projektion)
o
Kompaktheit
Folgenkompaktheit
Definition II.3.11
Ein topologischer Raum ist folgenkompakt, falls jede Folge eine
konvergente Teilfolge besitzt.
Beispiele II.3.12
Wir werden noch Beispiele für topologische Räume sehen, die
kompakt, aber nicht folgenkompakt
folgenkompakt, aber nicht kompakt
sind.
Satz II.3.13 (Beweis später)
Ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er folgenkompakt ist.
Kompaktheit
Lokale Kompaktheit
Definition II.3.14
Ein topologischer Raum heißt lokal kompakt, falls jeder Punkt eine
kompakte Umgebung besitzt.
Beispiele II.3.15
(X , 2X ) lokal kompakt
Rn lokal kompakt, aber nicht kompakt
Fakt II.3.16
X kompakt ⇒ X lokal kompakt
Kompaktheit
Der Satz von Tychonoff
Satz II.3.17 (Tychonoff)
Q
Xi kompakt ⇔ alle Xi kompakt
(Xi 6= ∅)
Kompaktheit
Der Satz von Tychonoff
widerspricht der Intuition
Kontra-Argumente:
Kompaktheit ist Endlichkeitseigenschaft.
B1 (0) nur in endlichdimensionalen normierten Räumen kompakt.
Eine beliebige Vereinigung kompakter Mengen ist nicht kompakt.
Für Folgenkompaktheit wäre der Satz falsch.
Der Satz von Tychonoff ist äquivalent zum Auswahlaxiom.
Pro-Argumente:
Gestalt der Basis der Produkttopologie
Voraussetzung für weitere wichtige Resultate:
I
I
I
schwache Kompaktheit der Einheitskugel in reflexiven Banachräumen
Kompaktheit des Spektrums einer kommutativen Banach-Algebra
Stone-Čhech-Kompaktifizierung
Rechtfertigung der Definition der Kompaktheit
Kompaktheit
Das Auswahlaxiom
Das Auswahlaxiom
Jedes Produkt nichtleerer Mengen ist nicht leer.
Für endliche Produkte ist das Auswahlaxiom wahr:
Wir können für jeden Faktor eines seiner Elemente hinschreiben.
Für unendliche Produkte müssen wir eine Funktion beschreiben,
die dies tut.
Dafür haben wir nur ein endliches Alphabet.
Wir können also nur abzählbar viele Funktionen beschreiben.
Ein Produkt kann aber beliebig viele Mengen als Faktoren haben.
Das Auswahlaxiom besagt, dass eine solche Funktion auch existiert,
wenn wir sie nicht beschreiben können.
Kompaktheit
Das Auswahlaxiom
anschaulich gemacht
Das Auswahlaxiom ist trivial für . . .
endliche Produkte
Produkte von Teilmengen natürlicher Zahlen
(man wähle in jedem Faktor das kleinste Element)
beliebige Produkte gleicher Faktoren
(man wähle in jedem Faktor ein festes Element)
Es versagt aber bereits bei abzählbaren Produkten zweielementiger
Mengen:
Beispiel II.3.18 (Bertrand Russel)
Das Auswahlaxiom ist nötig, um aus einer unendlichen Anzahl von Paaren
von Socken jeweils einen auszuwählen, nicht aber für Paare von Schuhen.
Kompaktheit
Das Auswahlaxiom
Pro-Argument
Man muss das Auswahlaxiom akzeptieren, um folgende Sätze beweisen zu
können:
Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.
Jeder Hilbertraum hat eine Orthogonalbasis.
Jeder Körper besitzt einen algebraischen Abschluss.
Jeder nichttriviale Ring mit Eins besitzt ein maximales Ideal.
Satz von Hahn-Banach
...
Kompaktheit
Das Auswahlaxiom
Kontra-Argument
Wer an das Auswahlaxiom glaubt, muss auch an das folgende Resultat
glauben:
Satz II.3.19 (Banach-Tarski)
Eine Kugel läßt sich in eine (kleine) endliche Anzahl disjunkter
Teilmengen zerlegen, die anders zusammengesetzt zwei Kugeln
ergeben.
Quelle: Wikipedia
Beide Kugeln haben das gleiche Volumen wie die Ausgangskugel!
Kompaktheit
Totalordnung, Schranken und Extrema
Definition II.3.20
Sei F ⊆ 2X ein Familie von Teilmengen einer Menge X .
F heißt total geordnet, falls
∀F1 , F2 ∈ F :
F1 ⊆ F2 ∨ F2 ⊆ F1 .
F besitzt eine obere Schranke S ⊆ X , falls
∀F ∈ F :
F ⊆ S.
F besitzt ein maximales Element M ∈ F, falls
∀F ∈ F :
M ⊆ F ⇒ F = M.
Kompaktheit
Das Lemma von Zorn
„Zorns Lemma“
Sei F ⊆ 2X ein Familie von Teilmengen einer Menge X .
Hat jede total geordnete Teilmenge von F eine obere Schranke,
so besitzt F ein maximales Element.
Bemerkung II.3.21
Trotz seines Namens ist das Lemma von Zorn ein Axiom!
Es ist äquivalent zum Auswahlaxiom.
Kompaktheit
Der Satz von Tychonoff
Beweisidee
1
Umformung der Kompaktheitseigenschaft zu
∀F ⊆ O : ∀F1 , . . . , Fn ∈ F : F1 ∩ · · · ∩ Fn 6= ∅ ⇒
\
F 6= ∅
F ∈F
2
3
Lemma von Zorn ⇒ F kann maximal gewählt werden
F ist Ultrafilter:
1
2
3
4
4
∅ 6∈ F
∀F1 , . . . , Fn ∈ F : F1 ∩ · · · ∩ Fn ∈ F
∀M ⊆ X ∀F ∈ F : F ⊆ M ⇒ M ∈ F
F maximal bzgl. dieser Eigenschaften
Projektion von F auf die (kompakten) Faktoren ⇒ pi ∈
\
F ∈F
5
Ultrafiltereigenschaften ⇒ p = (pi ) ∈
\
F ∈F
F
πi (F )
Abzählbarkeit
Gliederung Abschnitt
„Eigenschaften Topologischer Räume“
9
Zusammenhang
10
Trennung
11
Kompaktheit
12
Abzählbarkeit
13
Stetige Funktionen auf topologischen Räumen
Abzählbarkeit
Abzählbarkeitsaxiome
Definition
Definition II.4.1
Eine Umgebungsbasis eines Punktes x in einem topologischen Raumes ist
eine Teilmenge B(x ) ⊆ U(x ) der Umgebungen von x mit der Eigenschaft
∀U ∈ U(x ) ∃B ∈ B(x ) : B ⊆ U
Definition II.4.2
Ein topologischer Raum erfüllt das
I. Abzählbarkeitsaxiom, falls jeder Punkt eine abzählbare
Umgebungsbasis besitzt.
II. Abzählbarkeitsaxiom, falls er eine abzählbare Basis besitzt.
Abzählbarkeit
Abzählbarkeitsaxiome
Beispiele
Beispiele II.4.3
(X , {∅, X }) erfüllt beide Abzählbarkeitsaxiome
(X , 2X ) erfüllt das
I
I
I. Abzählbarkeitsaxiom
II. Abzählbarkeitsaxiom ⇔ X abzählbar
Rn erfüllt beide Abzählbarkeitsaxiome
metrische Räume erfüllen das I. Abzählbarkeitsaxiom
Abzählbarkeit
Folgenstetigkeit
Definition
Definition II.4.4
Eine Abbildung f : X → Y zwischen zwei topologischen Räumen ist
folgenstetig, falls
∀(xn ) ⊆ X ∀x ∈ X :
xn → x ⇒ f (xn ) → f (x )
Abzählbarkeit
Stetigkeitsbegriffe
Implikationen
Fakt II.4.5
stetig ⇒ folgenstetig
Fakt II.4.6
Erfüllt X das I. Abzählbarkeitsaxiom, so ist eine Abbildung f : X → Y
genau dann stetig, wenn sie folgenstetig ist.
Abzählbarkeit
Folgenkompaktheit
und I. Abzählbarkeitsaxiom
Fakt II.4.7
Ein kompakter topologischer Raum, der das I. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt
ist folgenkompakt.
Folgerung II.4.8
Metrische Räume sind genau dann kompakt, wenn sie folgenkompakt sind.
Abzählbarkeit
II. Abzählbarkeitsaxiom
Motivation
Metrisierbarkeitssatz von Urysohn (ohne Beweis)
Ein T3 -Raum, der das II. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt ist metrisierbar.
Bemerkung II.4.9
Das II. Abzählbarkeitsaxiom fordert man meist in der Definition einer
Mannigfaltigkeit, um die Existenz einer Zerlegung der Eins zu sichern.
Stetige Funktionen auf topologischen Räumen
Gliederung Abschnitt
„Eigenschaften Topologischer Räume“
9
Zusammenhang
10
Trennung
11
Kompaktheit
12
Abzählbarkeit
13
Stetige Funktionen auf topologischen Räumen
Stetige Funktionen auf topologischen Räumen
Das Lemma von Urysohn
Satz II.5.1 (Lemma von Urysohn)
In einem T4 -Raum X gibt es zu zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen
A und B stets eine stetige Funktion
f : X → [0, 1]
mit
f |A ≡ 0
f |B ≡ 1.
Stetige Funktionen auf topologischen Räumen
Das Erweiterungslemma von Tietze
Satz II.5.2 (Erweiterungslemma von Tietze)
Jede auf einer abgeschlossenen Menge C ⊆ X eines T4 -Raumes X
definierte stetige Funktion
f : C → [−1, +1]
läßt sich zu einer stetigen Funktion
fˆ : X → [−1, +1]
fortsetzen, d.h.
fˆ|C = f .
Folgerung II.5.3
Das Erweiterungslemma von Tietze bleibt auch für Abbildungen nach R
gültig.
Stetige Funktionen auf topologischen Räumen
Zerlegung der Eins
Definition
Definition II.5.4
Eine Familie von stetigen Funktionen fi : X → [0, 1], i ∈ I, auf einem
topologischen Raum X ist eine Zerlegung der Eins, falls sie
lokal endlich ist, d.h. jeder Punkt x ∈ X eine Umgebung besitzt, auf
der nur endlich viele der Funktionen fi von Null verschieden sind.
P
fi = 1
i∈I
Sie heißt zu einer offenen Überdeckung C ⊆ OX untergeordnet, falls der
Träger
supp fi := {x ∈ X : fi (x ) 6= 0}
jeder Funktion ganz in einer Überdeckungsmenge enthalten ist:
∀i ∈ I ∃O ∈ C : supp fi ⊆ O
Stetige Funktionen auf topologischen Räumen
Zerlegung der Eins
Quelle: Wikipedia
Stetige Funktionen auf topologischen Räumen
Zerlegung der Eins
Motivation
Bemerkung II.5.5
Eine Zerlegung der Eins ist vor allem nützlich, um ein globales Objekt
aus lokal konstruierten „Flicken“ „zusammenzukleben“:
I
I
Riemannsche Metrik auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
Schnitte in Vektorbündeln
Man konstruiert diese lokal für jede Menge einer offenen
Überdeckung, multipliziert sie mit den Funktionen einer dieser
Überdeckung untergeordneten Zerlegung der Eins und addiert alle
Ergebnisse auf.
Umgekehrt hilft sie auch, um ein globales Objekt in lokale zu
zerlegen:
I
I
jede lokal verschwindende Distribution verschwindet global
Integration auf einer Mannigfaltigkeit
Stetige Funktionen auf topologischen Räumen
Parakompaktheit
Definition
Definition II.5.6
Ein topologischer Raum X ist parakompakt, falls zu jeder offenen
Überdeckung C ⊆ OX eine lokal endliche Verfeinerung C 0 ⊆ OX existiert.
Dabei heißt
Verfeinerung:
∀O 0 ∈ C 0 ∃O ∈ C : O 0 ⊆ O
lokal endlich: Zu jedem x ∈ X gibt es eine Umgebung, die nur endlich
viele Mengen aus C 0 schneidet.
Stetige Funktionen auf topologischen Räumen
Parakompaktheit
und Zerlegung der Eins
Satz II.5.7
Ein Hausdorff-Raum ist genau dann parakompakt, wenn er zu jeder
offenen Überdeckung eine subordinierte Zerlegung der Eins besitzt.
Bemerkung II.5.8
Aus diesem Grund wird eine Mannigfaltigkeit meist von vornherein als
Hausdorff und parakompakt definiert.
Satz von Stone (ohne Beweis)
Metrische Räume sind parakompakt.
Teil III
Aus dem Kuriositätenkabinett
topologischer Räume
Partialordnung
Definition
Definition III.0.9
Eine Relation 6 auf einer Menge X ist
1
reflexiv :⇔
∀x ∈ X :
2
antisymmetrisch :⇔
∀x , y ∈ X :
3
x 6x
x 6y
∧
y 6x
⇒
x =y
transitiv :⇔
∀x , y , z ∈ X :
x 6y
∧
y 6z
⇒
x 6z
Ein Relation mit diesen Eigenschaften heißt Partialordnung auf X .
Partialordnung
Beispiele
Schreibweise III.0.10
(X , 6)
Beispiele III.0.11
(R, 6) – daher die Bezeichnung „Ordnung“
(2X , ⊆)
(N, |)
Kleinste & größte Elemente
Definition
Definition III.0.12
(X , 6) Partialordnung, Y ⊆ X
m ∈ Y minimales Element in Y
:⇔ ∀y ∈ Y : y 6 m ⇒ y = m
m ∈ Y kleinstes Element von Y
:⇔ ∀y ∈ Y : m 6 y
s ∈ X untere Schranke von Y
s ∈ X Infimum von Y
:⇔ ∀y ∈ Y : s 6 y
:⇔ s ist größte untere Schranke von Y
Analog definiert man maximale Elemente, größte Elemente, obere
Schranken und das Supremum.
Total- und Wohlordnung
Definition & Beispiele
Definition III.0.13
1
Eine Partialordnung heißt Totalordnung, falls
∀x , y ∈ X :
2
x 6y
∨
y 6x
Eine Totalordnung heißt Wohlordnung, falls jede Teilmenge ein
kleinstes Element besitzt.
Beispiele III.0.14
(N, 6) Wohlordnung
(R, 6) Totalordnung, aber keine Wohlordnung
(2X , ⊆) Totalordnung ⇔ |X | = 0, 1
(N, |) keine Totalordnung
Partialordnung, Totalordnung
minimale & kleinste Elemente
Wohlordnungssatz
Folgender Satz ist äquivalent zum Auswahlaxiom:
Satz III.0.15 (Wohlordnungssatz)
Jede Menge läßt sich wohlordnen.
Das Dilemma eines Mathematikers:
„Das Auswahlaxiom ist offensichtlich wahr,
der Wohlordnungssatz offensichtlich falsch
und was kann man schon über Zorns Lemma sagen?“
Ordinale
Definition nach von Neumann
0
= {}
1 = {0}
= {{}}
2 = {0, 1}
= {{}, {{}}}
3 = {0, 1, 2}
= {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
4 = {0, 1, 2, 3} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{}, {{}}}}}
..
..
.
.
n + 1 = n ∪ {n}
Definition III.0.16
Eine Menge ist ein Ordinal genau dann, wenn sie bezüglich ∈
wohlgeordnet ist und jedes ihrer Elemente als Teilmenge besitzt.
Ordinale
Eigenschaften
α1 ∈ α2 ⇔ α1 ⊂ α2
Die Elemente eines Ordinals sind genau die kleineren Ordinale.
Jede Menge von Ordinalen ist wohlgeordnet bzgl ⊆.
Jede Menge von Ordinalen hat ein Supremum
(nämlich deren Vereinigung).
Jede Wohlordnung ist isomorph zu einem Ordinal.
Alle Ordinale bilden keine Menge.
Ordnialzahlen
0, 1, 2, 3, . . . , ω
ω + 1, ω + 2, ω + 3, . . . , ω · 2
ω, ω · 2, ω · 3, . . . , ω 2
ω, ω 2 , ω 3 , . . . , ω ω
ω
ω, ω ω , ω ω , . . . , ε0
εi (i-tes Ordinal α mit ω α = α)
ε1 , ε2 , ε3 , . . . , εω
...
ω1CK Church-Kleene-Ordinal
(kleinstes nicht rekursiv beschreibbares Ordinal)
ω1 (kleinstes nicht abzählbares Ordinal)
ωi (i-tes nicht abzählbares Ordinal)
...
Ordnialarithmetik
Nachfolger: α + 1 := α ∪ {α}
Jedes Ordinal ist entweder
I
I
I
0
ein Nachfolger-Ordinal, d.h. von der Form α + 1 = α ∪ {α}
ein Grenzwert-Ordinal, d.h. nicht von dieser Form
Arithmetik:
I
I
I
Addition (nicht kommutativ!),
Multiplikation (nicht kommutativ!),
Potenz
Ordnungstopologie
Definition
Definition III.0.17
Jede total geordnete Menge X wird mit der Ordnungstopologie O6 ,
gegeben durch
B(O6 ) :=
n
]a, b[ : a, b ∈ X
zu einem topologischen Raum.
o
]a, b[ := {x ∈ X : a < x < b}
Ordnungstopologie
Beispiele
Beispiele III.0.18
Standard-Topologie auf R
(X , 2X ) für |X | < ∞
jedes Ordinal: α = [0, α[
Das Ordinal ω 2
als topologischer Raum
Ordnungstopologie
auf Ordinalen
Eigenschaften III.0.19
α Ordinal
Häufungspunkte = Grenzwert-Ordinale
Zusammenhangskomponenten = Einpunktmengen
α diskret ⇔ α 6 ω
α ist T4
α kompakt ⇔ α = 0 oder α Nachfolger-Ordinal
Ordnungstopologie
auf ω1 und ω1 + 1
Eigenschaften III.0.20
ω1 = [0, ω1 [
ω1 folgenkompakt, aber weder kompakt noch parakompakt
ω1 erfüllt das I. aber nicht das II. Abzählbarkeitskriterium.
ω1 + 1 = [0, ω1 ]
ω1 Häufungspunkt von ω1 ⊂ ω1 + 1
Keine Folge in ω1 ⊂ ω1 + 1 konvergiert gegen ω1 ∈ ω1 + 1.
ω1 + 1 kompakt
ω1 + 1 erfüllt weder das I. noch das II. Abzählbarkeitskriterium.
Lexikographische Ordnung
Definition
Definition III.0.21
Die lexikographische Ordnung auf einem Produkt
X1 × X2
zweier totalgeordneter Mengen ist definiert durch
(x1 , x2 ) < (y1 , y2 )
:⇔
x1 < y1 ∨ (x1 = y1 ∧ x2 < y2 )
Die lange Gerade
Definition
Beispiel III.0.22 (Die „kurze Gerade“)
Die Halbgerade [0, ∞[ versehen mit der Standardtopologie ist
homöomorph zur Menge N × [0, 1[ versehen mit der lexikographischen
Ordnungstopologie.
Definition III.0.23
Die abgeschlossene lange Halbgerade ist die Menge H = ω1 × [0, 1[
versehen mit der lexikographischen Ordnungstopologie.
Die offene lange Halbgerade ist H := H \ {(0, 0)}.
Die lange Gerade ist G := H op H, versehen mit der
Ordnungstopologie, wobei H op für H mit > statt 6 steht.
`
Die lange Gerade
Eigenschaften
Eigenschaften III.0.24
H und G
lokal homöomorph zu R
Jede wachsende Folge konvergiert.
nicht metrisierbar
wegzusammenhängend und lokal wegzusammenhängend
T4
lokal kompakt und folgenkompakt
weder kompakt noch parakompakt
erfüllen das I. aber nicht das II. Abzählbarkeitskriterium
Die Gerade mit zwei Ursprüngen
Definition
Definition III.0.25
Die Gerade mit zwei Ursprüngen ist der topologische Raum
R × {+1, −1} /∼
mit (x , +1) ∼ (x , −1) für x 6= 0.
Eigenschaften III.0.26
lokal homöomorph zu R
nicht Hausdorff
Bemerkung III.0.27
Die lange Gerade und die Gerade mit zwei Ursprüngen sind die Arten von
Beispielen, die man für Mannigfaltigkeiten ausschließen möchte. Aus
diesem Grund wird eine Mannigfaltigkeit meist von vornherein als
Hausdorff und parakompakt definiert.
Die Sorgenfrey-Gerade
Definition
Definition III.0.28
Die Sorgenfrey-Gerade ist die Menge R versehen mit der
Sorgenfrey-Topologie, definiert durch
n
o
B(O) := [a, b [: a, b ∈ R
Die Sorgenfrey-Ebene ist das Produkt zweier Sorgenfrey-Geraden.
Die Sorgenfrey-Gerade
Eigenschaften
Eigenschaften III.0.29
Sorgenfrey-Gerade
feiner als Standardtopologie auf R
T4
Kompakte Teilmengen sind abzählbar.
parakompakt, aber nicht lokal kompakt
erfüllt I. aber nicht II. Abzählbarkeitskriterium
Sorgenfrey-Ebene
Produkt von T4 -Räumen, aber nicht T4 :
A = {(x , −x ) : x ∈ Q}
B = {(x , −x ) : x 6∈ Q}
Die Cantor-Menge
Definition
Definition III.0.30
Die Cantor-Menge ist die Teilmenge aller Zahlen in [0, 1] ohne die Ziffer 2
in der Zahlendarstellung zur Basis 3, versehen mit der Teilraumtopologie:
∞
nX
k=1
Eigenschaften III.0.31
∼ {0, 1}N
=
metrisierbar
Hausdorff
kompakt
o
ak 3−k : ak = 0 oder 2 .
Die Cantor-Menge
Quelle: Wikipedia
Satz III.0.32 (Darstellungssatz für metrische Räume)
Jeder kompakte metrische Raum ist stetiges Bild einer Cantor-Menge.
Der Hilbert-Würfel
Definition
Definition III.0.33
Der Hilbert-Würfel ist der topologische Raum
[0, 1]N .
Eigenschaften III.0.34
metrisierbar
kompakt und folgenkompakt
T4
II. Abzählbarkeitsaxiom
Eigenschaften III.0.35 (ohne Beweis)
Jeder metrisierbare T4 -Raum, der das II. Abzählbarkeitskriterium erfüllt,
ist homöomorph zu einer Teilmenge des Hilbert-Würfels.
Die Hilbert-Kurve
Definition
Definition III.0.36
Die Hilbert-Kurve ist eine surjektive (aber nicht injektive) stetige
Abbildung f : [0, 1] → [0, 1]2 , definiert als Grenzkurve iterativ definierter
stetiger Kurven:
Spezielle Topologien
auf einer beliebigen Menge
Definition III.0.37
X Menge, p ∈ X
Klumpentopologie: O = {∅, X }
diskrete Topologie: O = 2X
Topologie mit speziellem Punkt: O = {∅} ∪ {O ⊆ X : p ∈ O}
Topologie ohne speziellen Punkt: O = {O ⊆ X : p 6∈ O} ∪ X
kofinite Topologie: O = {O ⊆ X : X \ O endlich}
koabzählbare Topologie: O = {O ⊆ X : X \ O abzählbar}
Literatur
zu Beispielen & Gegenbeispielen
Lynn Arthur Steen & J. Arthur Seebach, Jr.:
„Counterexamples in Topology“
Springer-Verlag 1970
Teil IV
Homotopie, Fundamentalgruppe &
Überlagerungen
Gliederung Abschnitt „Homotopie,
Fundamentalgruppe & Überlagerungen“
14
Homotopie
15
Exkurs: Funktoren
16
Fundamentalgruppe
17
Überlagerungen
18
Klassifikation von Überlagerungen
Homotopie
Gliederung Abschnitt „Homotopie,
Fundamentalgruppe & Überlagerungen“
14
Homotopie
15
Exkurs: Funktoren
16
Fundamentalgruppe
17
Überlagerungen
18
Klassifikation von Überlagerungen
Homotopie
Homotopie
Definition
Homotopien beschreiben stetige Verformungen von Abbildungen.
Definition IV.1.1
Zwei stetige Abbildungen f0 , f1 : X → Y zwischen zwei topologischen
Räumen X und Y sind homotop (f0 ' f1 ), falls eine stetige Abbildung
f : [0, 1] × X → Y mit f0 = f |{0}×X und f1 = f |{1}×X existiert. Das heißt
für alle x ∈ X ist
f (0, x ) = f0 (x )
f (1, x ) = f1 (x ).
anschaulich: t = Zeit
Schreibweise IV.1.2
ft : X
x
→ Y
t ∈ [0, 1]
7→ ft (x ) := f (t, x )
f
f0 ' f1
Homotopie
Homotopie
als Äquivalenzrelation
Fakt IV.1.3
Homotopie ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der stetigen
Abbildungen zwischen zwei topologischen Räumen.
Definition IV.1.4
Die Äquivalenzklassen [f ] homotoper Abbildungen f : X → Y heißen
Homotopieklassen.
[X , Y ] := Menge der Homotopieklassen von Abbildungen X → Y .
Homotopie
Die Homotopie-Kategorie HTop
Definition
Fakt IV.1.5
Die Verkettung von Homotopieklassen,
[f ] ◦ [g] := [f ◦ g],
ist wohldefiniert. Das heißt
f0 ' f1 ∧ g0 ' g1
⇒
f0 ◦ g0 ' f1 ◦ g1 .
Folgerung IV.1.6
Topologische Räume mit Homotopieklassen homotoper Abbildungen bilden
eine Kategorie.
Definition IV.1.7
Diese Kategorie heißt Homotopiekategorie HTop.
Homotopie
Homotopieäquivalenz
Definition
Homotopieäquivalenzen sind die Isomorphismen der Homotopiekategorie:
Definition IV.1.8
Eine stetige Abbildung f : X → Y ist eine Homotopieäquivalenz, falls
es eine stetige Abbildung g : Y → X gibt mit
[f ] ◦ [g] = [IdY ]
d.h.
f ◦ g ' IdY
[g] ◦ [f ] = [IdX ]
d.h.
g ◦ f ' IdX .
Zwei topologische Räume X und Y sind homotopieäquivalent
(X ' Y ), falls es eine Homotopieäquivalenz zwischen ihnen gibt.
Ein topologischer Raum ist zusammenziehbar, falls er zu einem Punkt
(= einelementiger topologischer Raum) homotopieäquivalent ist.
Homotopie
Homotopien
Beispiele
Beispiele IV.1.9
Buchstaben:
I
I
I
Rn
C ' E ' F ' ... ' N ' S ' T ' ... ' Z
A ' D ' O ' ... ' R
B
' {0}
Rn+1 \ {0} ' S n
CX ' {0}
Homotopie
Homotopiekategorie
Eigenschaften
Fakt IV.1.10
Das Produkt von Homotopieklassen,
[f ] × [g] := [f × g],
ist wohldefiniert. Das heißt:
f0 ' f1 ∧ g0 ' g1
⇒
f0 × f1 ' g0 × g1 .
(analog für beliebige Produkte und Koprodukte)
Folgerung IV.1.11
Die Kategorie HTop besitzt Produkte und Koprodukte.
Exkurs: Funktoren
Gliederung Abschnitt „Homotopie,
Fundamentalgruppe & Überlagerungen“
14
Homotopie
15
Exkurs: Funktoren
16
Fundamentalgruppe
17
Überlagerungen
18
Klassifikation von Überlagerungen
Exkurs: Funktoren
Kovariante Funktoren
Definition
Kovariante Funktoren sind Morphismen von Kategorien:
Definition IV.2.1
Ein kovarianter Funktor F : C1 → C2 zwischen zwei Kategorien C1 und C2
besteht aus zwei Abbildungen
F : Obj(C1 ) → Obj(C2 )
F : Mor(C1 ) → Mor(C2 )
mit den Eigenschaften
dom F (f ) = F (dom f )
F (IdX ) = IdF (X )
codom F (f ) = F (codom f )
F (f ◦ g) = F (f ) ◦ F (g)
Schreibweise IV.2.2
F (f : X → Y ) = F (f ) : F (X ) → F (Y )
Exkurs: Funktoren
Kovariante Funktoren
Beispiele
Beispiele IV.2.3
Identitätsfunktor IdC : C → C
konstanter Funktor F : C1 → C2 für C ∈ C2 fest:
F (f : X → Y ) := (IdC : C → C )
Vergißfunktoren: Rng → Set, Vect → Set, Grp → Set, Top → Set
F : Top → HTop: F (f : X → Y ) = ([f ] : X → Y )
Potenzmenge 2− : Set → Set:
2f :X →Y = (f : 2X → 2Y )
(links: f auf Elementen, rechts: f auf Teilmengen)
Exkurs: Funktoren
Konkrete Kategorien
Warum HTop interessant ist
Definition IV.2.4
Ein Funktor ist treu, falls er injektiv auf der Menge der Morphismen
mit selbem Start und Ziel ist.
Eine Kategorie C ist konkret, falls es einen treuen Funktor C → Set
gibt.
Beispiele IV.2.5
Set, Vect, Grp, Rng, Top konkret
HTop nicht konkret
Exkurs: Funktoren
Kontravariante Funktoren
Definition
Definition IV.2.6
Ein kontravarianter Funktor F : C1 → C2 zwischen zwei Kategorien C1
und C2 besteht aus zwei Abbildungen
F : Obj(C1 ) → Obj(C2 )
F : Mor(C1 ) → Mor(C2 )
mit den Eigenschaften
dom F (f ) = F (codom f )
F (IdX ) = IdF (X )
F (f ◦ g) = F (g) ◦ F (f )
codom F (f ) = F (dom f )
Schreibweise IV.2.7
F (f : X → Y ) = F (f ) : F (Y ) → F (X )
Exkurs: Funktoren
Kontravariante Funktoren
Beispiele
Beispiele IV.2.8
Identitätsfunktor IdC : C → C
konstanter Funktor F : C1 → C2 für C ∈ C2 fest:
F (f : X → Y ) := (IdC : C → C )
Potenzmenge 2− : Set → Set:
2f :X →Y = (f −1 : 2Y → 2X )
dualer Vektorraum: (−)∗ : Vect → Vect
(f : X → Y )∗ = (f ∗ : Y ∗ → X ∗ )
Exkurs: Funktoren
Funktoren
auf der Homotopiekategorie
Beispiele IV.2.9
Für einen festen topologischen Raum X definieren wir einen
kovarianten Funktor F = [X , −] : HTop → Set durch
F [f ] : Y1 → Y2 := [f ] ◦ − : [X , Y1 ] → [X , Y2 ]) .
Für einen festen topologischen Raum Y definieren wir einen
kontravarianten Funktor F = [−, Y ] : HTop → Set durch
F [f ] : X1 → X2 := − ◦ [f ] : [X1 , Y ] → [X2 , Y ])
Exkurs: Funktoren
Wozu Funktoren?
(in der Topologie)
Funktoren . . .
. . . helfen, nicht-homöomorphe topologische Räume zu unterscheiden:
X∼
=Y
⇒
F (X ) ∼
= F (Y )
. . . liefern Indizien für eine mögliche Homöomorphie.
. . . ermöglichen es, topologische Probleme in Probleme in anderen
Kategorien zu übersetzen.
Die Algebraische Topologie zum Beispiel ist die Suche nach und das
Studium von Funktoren von der topologischen Kategorie Top in
algebraische Kategorien, wie Grp, Rng oder Vect.
. . . helfen somit auch, mit topologischen Eigenschaften zu „rechnen“.
Fundamentalgruppe
Gliederung Abschnitt „Homotopie,
Fundamentalgruppe & Überlagerungen“
14
Homotopie
15
Exkurs: Funktoren
16
Fundamentalgruppe
17
Überlagerungen
18
Klassifikation von Überlagerungen
Fundamentalgruppe
Die punktierten Kategorien Top∗ und HTop∗
Definition
Definition IV.3.1
Die Kategorie punktierter topologischer Räume Top∗ ist gegeben durch
Objekte: punktierte topologische Räume (X , x0 ):
I
I
X topologischer Raum
x0 ∈ X ausgezeichneter Punkt (Basispunkt)
Morphismen: punktierte stetige Abbildungen f : (X , x0 ) → (Y , y0 ):
I
I
stetige Abbildungen f : X → Y
f (x0 ) = y0
Analog definiert man die punktierte Homotopiekategorie HTop∗ .
Objekte: punktierte topologische Räume (X , x0 )
Morphismen: punktierte Homotopieklassen [(X , x0 ), (Y , y0 )],
wobei punktierte Homotopien auf dem Basispunkt x0 konstant y0 sind.
Fundamentalgruppe
Fundamentalgruppe
Definition
Fakt IV.3.2
Für jeden punktierten topologischen Raum (X , x0 ) ist die punktierte
Homotopieklasse [(S 1 , 1), (X , x0 )] eine Gruppe bezüglich der Verkettung
[g] · [h] := [g · h]
wobei
(
g · h(ϕ) :=
g(2ϕ) ϕ ∈ [0, π]
h(2ϕ) ϕ ∈ [π, 2π].
Definition IV.3.3
Diese Gruppe ist die Fundamentalgruppe π1 (X , x0 ) des punktierten
topologischen Raumes (X , x0 ).
Fundamentalgruppe
Die Fundamentalgruppe
als Funktor
Fakt IV.3.4
Die Fundamentalgruppe definiert einen kovarianten Funktor
π1 : Top∗ → Grp,
gegeben durch
π1 f : (X , x0 ) → (Y , y0 ) = f∗ : π1 (X , x0 ) → π1 (Y , y0 )
wobei
f∗ (h) := f ◦ h.
Das heißt
Id∗ = Id
(f ◦ g)∗ = f∗ ◦ g∗ .
Fundamentalgruppe
Abhängigkeit der Fundamentalgruppe
vom Basispunkt
Fakt IV.3.5
X wegzusammenhängend
⇒
π1 (X , x0 ) ∼
= π1 (X , x1 )
Bemerkung IV.3.6
Der Isomorphismus ist nicht kanonisch, da er von der Wahl eines Weges
von x0 nach x1 abhängt.
Definition IV.3.7
Die Fundamentalgruppe π1 (X ) eines (nicht punktierten)
wegzusammenhängenden topologischen Raumes X ist die Isomorphieklasse
einer Fundamentalgruppe π1 (X , x0 ) mit beliebigem Basispunkt x0 .
Fundamentalgruppe
Fundamentalgruppe
Eigenschaften & weitere Beispiele
Fakt IV.3.8
π1 (X × Y ) ∼
= π1 (X ) × π1 (Y )
X zusammenziehbar ⇒ π1 (X ) = {e}.
Beispiele IV.3.9
π1 (Rn ) ∼
= {e}
n
π1 (S ) ∼
= {e} für n > 2
Fundamentalgruppe
Fundamentalgruppe
Anwendung: Der Fixpunktsatz von Brouwer
Fakt IV.3.10 (zeigen wir später)
π1 (S 1 ) ∼
=Z
Satz IV.3.11 (Fixpunktsatz von Brouwer)
Jede stetige Abbildung f : D 2 → D 2 der (abgeschlossenen) Kreisscheibe
D 2 = {x ∈ R2 : kx k 6 1} auf sich selbst besitzt einen Fixpunkt.
Fundamentalgruppe
Der Fixpunktsatz von Brouwer
anschaulich
Breitet man die Karte eines Landes in diesem Land aus, so gibt
es immer einen „Du bist hier“-Punkt.
oder
Rührt man den Kaffee in der Tasse um, so gibt es immer einen
Punkt, der in momentaner Ruhe ist.
Fundamentalgruppe
Der Fixpunktsatz von Brouwer
anschaulich
„Mathematiker sind Maschinen, die Kaffee in Theoreme
umwandeln.“
– Paul Erdős
Quelle: Wikipedia
Beim Brouwerschen Fixpunktsatz wird der Kaffee selbst zum
Theorem.
Fundamentalgruppe
Der Fixpunktsatz von Brouwer
Verallgemeinerung
Der Fixpunktsatz von Brouwer gilt auch in höheren Dimensionen.
Der Beweis ist analog.
Allerdings ist die Fundamentalgruppe zu schwach, um D n ∼
= Rn und
n−1
S
für n > 3 zu unterscheiden:
π1 (Rn ) ∼
= π1 (S n−1 ) ∼
= {e}
n>3
Man kann „höhere Fundamentalgruppen“ analog definieren, die
sogenannten Homotopiegruppen:
πn (X , x0 ) := [(S n , N), (X , x0 )].
Für diese gilt:
πk (Rn ) ∼
= {e}
πn (S n ) ∼
= Z.
Homotopiegruppen sind jedoch schwer zu berechnen. Statt dessen
bedient man sich der einfacher zu berechnenden Homologiegruppen.
Fundamentalgruppe
Einfacher Zusammenhang
Definition IV.3.12
Ein wegzusammenhängender topologischer Raum ist
einfach zusammenhängend, falls er eine triviale Fundamentalgruppe
besitzt.
lokal einfach zusammenhängend, falls jede Umgebung eines Punktes
eine einfach zusammenhängende Umgebung enthält.
semilokal einfach zusammenhängend, falls jeder Punkt eine
Umgebung besitzt, in der jede Schleife nullhomotop ist.
Bemerkung IV.3.13
Der Unterschied bei semilokal ist, dass die Homotopie auch über die
Umgebung hinausgehen kann.
Fundamentalgruppe
Einfacher Zusammenhang
Beispiele
Beispiele IV.3.14
Rn einfach zusammenhängend
S n einfach zusammenhängend für n > 2
S 1 nicht einfach aber lokal einfach zusammenhängend
Die Hawaiianischen Ohrringe
[
n∈N∗
∂B 1 ( n1 , 0)
n
sind nicht lokal einfach zusammenhängend.
Der Kegel über den Hawaiianischen Ohrringen ist semilokal aber nicht
lokal einfach zusammenhängend.
Fundamentalgruppe
Die Hawaiischen Ohrringe
als topologischer Raum
Quelle: Wikipedia
Überlagerungen
Gliederung Abschnitt „Homotopie,
Fundamentalgruppe & Überlagerungen“
14
Homotopie
15
Exkurs: Funktoren
16
Fundamentalgruppe
17
Überlagerungen
18
Klassifikation von Überlagerungen
Überlagerungen
Überlagerung
Definition
Definition IV.4.1
Eine surjektive stetige Abbildung π : X̂ → X ist eine Überlagerung, falls
sie
lokal trivial ist, d.h. zu jedem x ∈ X gibt es eine Umgebung U und
einen Homöomorphismus
∼
=
h : π −1 (U) −−−−→ U × π −1 (x )
mit
πU ◦ h = π
diskrete Fasern besitzt, d.h. π −1 (x ) für alle x ∈ X diskret ist
Nomenklatur: X̂ Totalraum, X Basis, π −1 (x ) Faser über x ∈ X
Überlagerungen
Überlagerung
Beispiele
Bemerkung IV.4.2
Die Anzahl #π −1 (x ) ist lokal konstant. Für eine zusammenhängende Basis
X ist sie sogar global konstant und heißt Blätterzahl der Überlagerung.
Beispiele IV.4.3
IdX : X → X
S1
→
S1
trivial
: z 7→ z n n-blättrig
C∗ → C∗ : z 7→ z n n-blättrig
R → S 1 : x 7→ e 2πix ∞-blättrig
Überlagerungen
Lokale Homöomorphie
von Überlagerungen
Definition IV.4.4
Eine stetige Abbildung f : X → Y ist ein lokaler Homöomorphismus, falls
zu jedem x ∈ X eine offene Umgebung U existiert sodass f (U) offen in Y
und f |U : U → f (U) ein Homöomorphismus ist.
Fakt IV.4.5
Eine Überlagerung ist ein lokaler Homöomorphismus.
Überlagerungen
Hochheben von Wegen
Definition IV.4.6
Es seien
π : X̂ → X Überlagerung
f : [0, 1] → X stetige Abbildung (Weg)
x0 ∈ X
x̂0 ∈ π −1 (x0 )
Dann ist eine stetige Abbildung fˆ : [0, 1] → X̂ eine Hochhebung von f
zum Anfangspunkt x̂0 , falls
fˆ(0) = x̂0
π ◦ fˆ = f .
Fakt IV.4.7
Hochhebungen mit gegebenem Anfangspunkt existieren und sind eindeutig
bestimmt.
Überlagerungen
Hochheben von Homotopien
Fakt IV.4.8
Es sei:
π : X̂ → X Überlagerung
f : [0, 1] × Y → X stetig
fy : [0, 1]
→ X definiert durch fy (t) := f (y , t) für y ∈ Y
fˆ0 :
Y → X̂ stetig
fˆ : [0, 1] × Y → X̂ definiert durch fˆ(t, y ) := c
fy (t) mit c
fy (0) := fˆ0 (y )
Dann ist fˆ stetig.
{0} × Y
_
fˆ0
;
fˆ
[0, 1] × Y
/ X̂
π
f
/X
Überlagerungen
Das Monodromielemma
Folgerung IV.4.9 (Monodromielemma)
Für eine Homotopie von Wegen mit festem Anfangs- und Endpunkt gilt:
Besitzen ihre Hochhebungen den gleichen Anfangspunkt, so sind auch
deren Endpunkte gleich:
f0 ' f1
∧
∧
ft (0) = f0 (0)
fˆ1 (0) = fˆ0 (0)
Folgerung IV.4.10
π1 (S 1 ) ∼
=Z
∧
⇒
ft (1) = f0 (1)
fˆ1 (1) = fˆ0 (1)
Überlagerungen
Charakteristische Untergruppe
einer Überlagerung
Folgerung IV.4.11
π:
⇒
π∗ :
(X̂ , x̂0 ) →
(X , x0 )
π1 (X̂ , x̂0 ) → π1 (X , x0 )
Überlagerung
injektiv.
Definition IV.4.12
Die Untegruppe π∗ π1 (X̂ , x0 ) ⊆ π1 (X , x0 ) heißt charakteristische
Untergruppe einer Überlagerung π : (X̂ , x̂0 ) → (X , x0 ).
Überlagerungen
Hochhebung von Abbildungen
Fakt IV.4.13
Es sei:
π : (X̂ , x̂0 ) → (X , x0 ) Überlagerung
(Y , y0 ) weg- und lokal wegzusammenhängend
f : (Y , y0 ) → (X , x0 ) stetig
Dann existiert ein fˆ : (Y , y0 ) → (X̂ , x̂0 ) mit π ◦ fˆ = f genau dann, wenn
f∗ π1 (Y , y0 ) ⊆ π∗ π1 (X̂ , x̂0 ) .
π1 (X̂ , x̂0 )
(X̂ , x̂0 )
fˆ
:
(Y , y0 )
fˆ ist eindeutig.
f
π
/ (X , x0 )
fˆ∗
⇔
8
π1 (Y , y0 )
f∗
π∗
/ π1 (X , x0 )
Klassifikation von Überlagerungen
Gliederung Abschnitt „Homotopie,
Fundamentalgruppe & Überlagerungen“
14
Homotopie
15
Exkurs: Funktoren
16
Fundamentalgruppe
17
Überlagerungen
18
Klassifikation von Überlagerungen
Klassifikation von Überlagerungen
Morphismen von Überlagerungen
Definition
Definition IV.5.1
Ein Morphismus (fˆ, f ) zwischen zwei Überlagerungen π1 : X̂1 → X1 und
π2 : X̂2 → X2 besteht aus stetigen Abbildungen fˆ : X̂1 → X̂2 und
f : X1 → X2 mit:
X̂1
π1
fˆ
X1
/ X̂2
f
f ◦ π1 = π2 ◦ fˆ
π2
/ X2
Analog definiert man Morphismen zwischen punktierten Überlagerungen.
Fakt IV.5.2
(Punktierte) Überlagerlagerungen bilden eine Kategorie.
Klassifikation von Überlagerungen
Klassifikation von Überlagerungen
Definition IV.5.3
Ein Morphismus (fˆ, f ) von Überlagerungen ist ein Isomorphismus von
Überlagerungen, falls fˆ und f beides Homöomorphismen sind. Analog für
punktierte Isomorphismen.
Satz IV.5.4
Es sei X ein wegzusammenhängender, lokal wegzusammenhängender und
semilokal einfach zusammenhängender topologischer Raum. Dann gibt es
zu jeder Untergruppe G ⊆ π1 (X , x0 ) bis auf Isomorphie genau eine
wegzusammenhängende und lokal wegzusammenhängende Überlagerung
π : (X̂ , x̂0 ) → (X , x0 ) mit charakteristischer Untergruppe
π∗ π1 (X̂ , x̂0 ) = G.
Klassifikation von Überlagerungen
Universelle Überlagerung
Folgerung IV.5.5
Jeder wegzusammenhängende, lokal wegzusammenhängende und semilokal
einfach zusammenhängende Raum besitzt eine bis auf Isomorphie
eindeutig bestimmte einfach zusammenhängende Überlagerung.
Definition IV.5.6
Eine einfach zusammenhängende Überdeckung heißt universelle
Überlagerung.
Teil V
Mannigfaltigkeiten
Gliederung Abschnitt „Mannigfaltigkeiten“
19
Topologische Mannigfaltigkeiten
20
Klassifikation von Flächen
21
Glatte Mannigfaltigkeiten
Topologische Mannigfaltigkeiten
Gliederung Abschnitt „Mannigfaltigkeiten“
19
Topologische Mannigfaltigkeiten
20
Klassifikation von Flächen
21
Glatte Mannigfaltigkeiten
Topologische Mannigfaltigkeiten
Lokal euklidische Räume
Definition
Definition V.1.1
Ein topologischer Raum M ist lokal euklidisch der Dimension n ∈ N, falls
jeder Punkt x ∈ M eine Umgebung besitzt, die homöomorph zu einer
zusammenhängenden offenen Teilmenge des Rn ist.
Beispiele V.1.2
Rn
Sn
die Gerade mit zwei Ursprüngen
die lange Gerade
Topologische Mannigfaltigkeiten
Topologische Mannigfaltigkeiten
Definition
Definition V.1.3
Eine topologische Mannigfaltigkeit ist ein lokal euklidischer topologischer
Raum mit folgenden Eigenschaften:
1
Hausdorff
2
II. Abzählbarkeitskriterium
Bemerkung V.1.4
die Forderungen (1) und (2) sind üblich, aber nicht zwingend
(1) schließt (pathologische) Beipiele wie die Gerade mit zwei
Ursprüngen aus.
(2) schließt (pathologische) Beispiele wie die lange Gerade aus.
Topologische Mannigfaltigkeiten
Topologische Mannigfaltigkeiten
lokale Eigenschaften
Bemerkung V.1.5
Als lokal Euklidische Räume erben Mannigfaltigkeiten alle lokalen
Eigenschaften des Rn :
lokal wegzusammenhängend
lokal einfach zusammenhängend
lokal kompakt
I. Abzählbarkeitskriterium
Topologische Mannigfaltigkeiten
Topologische Mannigfaltigkeiten
Parakompaktheit
Fakt V.1.6
Jeder lokal kompakte Hausdorff-Raum, der das II. Abzählbarkeitskriterium
erfüllt, ist parakompakt.
Folgerung V.1.7
Mannigfaltigkeiten sind parakompakt.
Bemerkung V.1.8
Manchmal wird in der Definition einer Mannigfaltigkeit nur die
Parakompaktheit statt des II. Abzählbarkeitskriteriums gefordert.
Klassifikation von Flächen
Gliederung Abschnitt „Mannigfaltigkeiten“
19
Topologische Mannigfaltigkeiten
20
Klassifikation von Flächen
21
Glatte Mannigfaltigkeiten
Klassifikation von Flächen
Flächen
Definition
Definition V.2.1
Als Fläche bezeichnen wir (hier) eine 2-dimensionale, zusammenhängende,
kompakte topologische Mannigfaltigkeit.
Beispiele V.2.2
S = Sphäre
T = Torus
P = projektiver Raum
K = Kleinsche Flasche
Offenbar lassen sich all diese Beispiele als Polygone mit identifizierten
Kanten schreiben.
Klassifikation von Flächen
Flächen
Triangulierung
Definition V.2.3
Eine Triangulierung einer Fläche F ist eine endliche Überdeckung von F
mit abgeschlossenen Mengen Di mit folgender Eigenschaft:
Jedes Di ist homöomorph zu einem Dreieck in R2 .
Zwei solche Dreiecke Di und Dj . . .
I
I
I
sind disjunkt oder
besitzen genau eine gemeinsame Ecke oder
besitzen genau eine gemeinsame Kante
Satz V.2.4 (von Radó, ohne Beweis)
Jede Fläche besitzt eine Triangulierung.
Bemerkung V.2.5
Für Dimensionen > 5 ist die analoge Aussage falsch.
Klassifikation von Flächen
Flächen
als Polygone mit Kantenidentifizierungen
Folgerung V.2.6
Jede Fläche ist homöomorph zu einem Polygon mit paarweise
identifizierten Kanten.
Schreibweise V.2.7
Wir orientieren die (identifizierten) Kanten und bezeichnen sie mit
Buchstaben a, b, c, . . .. Dann können wir jedes Polygon mit paarweise
identifizierten Kanten (und damit jede Fläche) darstellen als Folge von
orientierten Kanten a, a−1 , b, b −1 , c, c −1 , . . ., wobei a−1 die Kante a in
umgekehrter Orientierung bezeichnet. Offenbar bezeichnen zyklische
Permutationen einer Kantenfolge die selbe Fläche.
Klassifikation von Flächen
Flächen
weitere Beispiele
Beispiele V.2.8
Quadrat mit gegenüberliegenden Kanten identifiziert.
T = aba−1 b −1
P = abab
K = abab −1
Klassifikation von Flächen
Flächen
weitere Beispiele
Klassifikation von Flächen
Flächen
weitere Beispiele
Beispiele V.2.9
Quadrat mit benachbarten Kanten identifiziert.
S = abb −1 a−1
? = aabb
? = abba−1
Klassifikation von Flächen
Flächen
weitere Beispiele
Klassifikation von Flächen
Flächen
weitere Beispiele
Klassifikation von Flächen
Zusammenhängende Summe
Wohldefiniertheit
Fakt V.2.10 (ohne Beweis)
Es seien
F1 , F2 Flächen
D = {x ∈ R2 : kx k = 1} Kreisscheibe
fi : D → fi (D) ⊂ Fi Homöomorphismen
`
X := F1 \ f1 (D̊)
F2 \ f2 (D̊)
∼ Äquivalenzrelation auf X mit
f1 (z) ∼ f2 (z)
z ∈ ∂D.
Dann ist
F1 #F2 := X /∼
eine Fläche und unabhängig von der Wahl von f1 und f2 .
Klassifikation von Flächen
Zusammenhängende Summe
Beispiele
Definition V.2.11
F1 #F2 heißt die zusammenhängende Summe der Flächen F1 und F2 .
Bemerkung V.2.12
Für Polygone mit paarweise identifizierten Kanten erhält man die
zusammenhängende Summe, indem man an jedem Polygon jeweils eine
Ecke abschneidet und die entstandenen Kanten identifiziert. Man schreibt
also die entsprechenden Kantenfolgen einfach hintereinander.
Schreibweise V.2.13
nF := F #F # . . . #F (n Summanden)
Klassifikation von Flächen
Kleinsche Flasche
als Summe zweier projektiver Räume
Beispiele V.2.14
nT = n-Torus = Sphäre mit n „Henkeln“
nP = Sphäre mit n „Klein-Henkeln“ = Sphäre mit n „Augen“
∼ P#P
K=
T #P ∼
= P#P#P
Klassifikation von Flächen
Flächen als Halbgruppe
bzgl. zusammenhängender Summe
Fakt V.2.15
Die Homöomorphieklassen von Flächen bilden eine kommutative
Halbgruppe mit Eins (= S) bzgl. der zusammenhängenden Summe.
Beispiel V.2.16
#
S
T
P
S
S
T
P
T
T
2T
3P
P
P
3P
2P
Offenbar lassen sich alle bekannten Beispiele als zusammenhängende
Summen von P oder T schreiben.
Klassifikation von Flächen
Klassifikation von Flächen I
Satz V.2.17
Jede Fläche ist homöomorph zu einer der folgenden:
S Sphäre
nT zusammenhängende Summe von n Tori
nP zusammenhängende Summe von n projektiven Räumen
Bemerkung V.2.18
Wir haben noch nicht gezeigt, dass obige Flächen nicht homöomorph
zueinander sind. Dazu benötigen wir geeignete topologische Invarianten.
Klassifikation von Flächen
Die Euler-Charakteristik
einer Fläche
Definition V.2.19
Die Euler-Charakteristik einer triangulierten Fläche F ist die ganze Zahl
χ(F ) := #Ecken − #Kanten + #Flächen
Fakt V.2.20 (ohne Beweis)
Die Euler-Charakteristik hängt nicht von der Wahl der Triangulierung ab.
Insbesondere ist sie eine topologische Invariante:
F1 ∼
= F2
⇒
χ(F1 ) = χ(F2 )
Beispiele V.2.21
S, T und P sind nicht homöomorph, da:
χ(S) = 2
χ(T ) = 0
χ(P) = 1
Klassifikation von Flächen
Die Euler-Charakteristik
unter zusammenhängenden Summen
Fakt V.2.22
χ(F1 #F2 ) = χ(F1 ) + χ(F2 ) − 2
Folgerung V.2.23
χ(nT ) = 2 − 2n
χ(nP) = 2 − n
Bemerkung V.2.24
Die Euler-Charakteristik kann nicht alle Flächen unterscheiden. Zum
Beispiel ist χ(T ) = χ(2P).
Klassifikation von Flächen
Orientierbarkeit
einer Fläche
Definition V.2.25
Eine Fläche ist orientierbar, falls sie keine zu einem Möbius-Band
homöomorphe Teilmenge enthält.
Fakt V.2.26
Orientierbarkeit ist eine topologische Invariante.
Beispiele V.2.27
S, nT orientierbar
nP nicht orientierbar
Klassifikation von Flächen
Klassifikation von Flächen II
Topologische Invarianten
Satz V.2.28
Euler-Charakteristik und Orientierbarkeit bilden ein vollständiges Set
topologischer Invarianten. D.h. zwei Flächen sind genau dann
homöomorph, wenn sie die selbe Euler-Charakteristik besitzten und
entweder beide orientierbar oder beide nicht orientierbar sind.
Klassifikation von Flächen
Fundamentalgruppen von Flächen
Fakt V.2.29 (ohne Beweis)
π1 (S) = {e}
π1 (nT ) = ha1 , b1 , . . . , an , bn | a1 b1 a1−1 b1−1 · · · an bn an−1 bn−1 = ei
π1 (nP) = ha1 , . . . , an | a12 · · · an2 = ei
Diese Gruppen sind nicht isomorph.
Folgerung V.2.30
Zwei Flächen sind genau dann homotop, wenn sie homöomorph sind.
Klassifikation von Flächen
Klassifikation topologischer Mannigfaltigkeiten
Dimension = n, zusammenhängend, kompakt
n = 0 Punkt
n = 1 Kreis
n = 2 S, kT , kP
n = 3 Grigori Perelman und die Fields-Medaille
n > 4 unmöglich, da äquivalent zum Wort-Problem
Klassifikation von Flächen
Grigori Perelmann
Quelle: Wikipedia
Klassifikation von Flächen
Klassifikation topologischer Mannigfaltigkeiten
und das Wort-Problem
Fakt V.2.31 (ohne Beweis)
Jede endlich erzeugte Gruppe läßt sich als Fundamentalgruppe einer
4-dimensionalen Mannigfaltigkeit realisieren.
Das Wort-Problem
Man entscheide, ob zwei Gruppen, gegeben durch Erzeuger und
Relationen, isomorph sind.
Dieses Problem ist nicht entscheidbar, d.h. es gibt keinen Algorithmus, der
das leistet.
Glatte Mannigfaltigkeiten
Gliederung Abschnitt „Mannigfaltigkeiten“
19
Topologische Mannigfaltigkeiten
20
Klassifikation von Flächen
21
Glatte Mannigfaltigkeiten
Glatte Mannigfaltigkeiten
Karten und Übergangsfunktionen
Definition
Definition V.3.1
M eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit
Eine Karte auf M ist ein Paar (U, ϕ) bestehend aus einer offenen
Menge U ⊆ M und einem Homöomorphismus ϕ : U → ϕ(U) ⊆ Rn .
Die Übergangsfunktion zwischen zwei Karten (Uα , ϕα ) und (Uβ , ϕβ )
ist
ϕαβ := ϕβ ◦ ϕ−1
α : ϕα (Uα ∩ Uβ ) → ϕβ (Uα ∩ Uβ ).
Beispiel V.3.2
Karten auf S n : (S n \ Nordpol, ϕN ), (S n \ Südpol, ϕS )
ϕN , ϕS stereographische Projektion vom Nord- bzw. Südpol
Übergangsfunktion ϕNS : Rn \ {0} → Rn \ {0} ist Inversion
Glatte Mannigfaltigkeiten
Karten einer Mannigfaltigkeit
Quelle: Wikipedia
Glatte Mannigfaltigkeiten
Atlanten
Definition
Definition V.3.3
M eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit
Ein Atlas auf M ist eine Menge {(Uα , ϕα )} von Karten, die M
überdecken:
[
M = Uα .
Ein Atlas ist glatt, falls alle Übergangsfunktionen glatt sind.
Zwei glatte Atlanten sind kompatibel, falls ihre Vereinigung ein glatter
Atlas ist.
Beispiel V.3.4
inkompatible glatte Atlanten auf R:
{(R, Id)}
{(R, ϕ)} mit ϕ(x ) = x 3
Glatte Mannigfaltigkeiten
Glatte Mannigfaltigkeiten
Definition
Fakt V.3.5
Die Kompatibilität von Atlanten ist eine Äquivalenzrelation.
Jeder glatte Atlas ist in einem (bzgl. ⊆) maximalen glatten Atlas
enthalten, nämlich der Vereinigung aller mit diesem kompatiblen
glatten Atlanten.
Definition V.3.6
Eine glatte Mannigfaltigkeit ist eine topologische Mannigfaltigkeit versehen
mit einem maximalen glatten Atlas.
Bemerkung V.3.7
Für die Angabe einer glatten Mannigfaltigkeit genügt ein beliebiger (nicht
notwendigerweise maximaler) glatter Atlas.
Glatte Mannigfaltigkeiten
Weitere Klassen von Mannigfaltigkeiten
Beispiele V.3.8
Rn
Sn
Flächen: S, nT , nP
Bemerkung V.3.9
Auf gleiche Art und Weise definiert man, je nach Klasse der
Übergangsfunktionen, folgende Klassen von Mannigfaltigkeiten:
stückweise linear (PL)
Lipschiz
k-fach differenzierbar (C k )
glatt (C ∞ )
analytisch (C ω )
C 0 -Mannigfaltigkeiten sind einfach topologische Mannigfaltigkeiten.
Glatte Mannigfaltigkeiten
Glatte Abbildungen
zwischen glatten Mannigfaltigkeiten
Glatte Abbildungen zwischen glatten Mannigfaltigkeiten sind Abbildungen,
die in allen Karten glatt sind:
Definition V.3.10
Eine Abbildung f : M1 → M2 zwischen zwei Mannigfaltigkeiten ist glatt,
falls für jede Karte (U1 , ϕ1 ) von M1 und jede Karte (U1 , ϕ2 ) von M2
folgende Abbildung glatt ist:
−1
ϕ2 ◦ f ◦ ϕ−1
(U2 )) → ϕ2 (f (U1 ) ∩ U2 )
1 : ϕ1 (U1 ∩ f
Fakt V.3.11
Glatte Mannigfaltigkeiten zusammen mit glatten Abbildungen zwischen
diesen bilden eine Kategorie.
Glatte Mannigfaltigkeiten
Diffeomorphismen
Die Isomorphismen in der Kategorie glatter Mannigfaltigkeiten heißen
Diffeomorphismen:
Definition V.3.12
Ein Diffeomorphismus zwischen zwei glatten Mannigfaltigkeiten M1
und M2 ist eine bijektive glatte Abbildung f : M1 → M2 für die
f −1 : M2 → M1 auch glatt ist.
Zwei glatte Mannigfaltigkeiten sind diffeomorph, falls zwischen ihnen
ein Diffeomorphismus existiert.
Beispiel V.3.13
M1 = R mit Atlas {(R, ϕ1 )}, wobei ϕ1 (x ) = x
M2 = R mit Atlas {(R, ϕ2 )}, wobei ϕ2 (x ) = x 3
Diffeomorphismus f : M1 → M2 , gegeben durch f (x ) =
ϕ2 ◦ f ◦ ϕ1 = Id
√
3
x
Glatte Mannigfaltigkeiten
Differentialtopologie
typische Fragestellungen
Definition V.3.14
Eine differenzierbare Struktur auf einer topologischen Mannigfaltigkeit M
ist eine Isomorphieklasse glatter Mannigfaltigkeiten, die homöomorph zu
M sind.
Die Differentialtopologie untersucht
Existenz
Klassifikation
Invarianten
von differenzierbaren Strukturen auf einer gegebenen topologischen
Mannigfaltigkeit.
Glatte Mannigfaltigkeiten
Differentialtopologie
einige Antworten
Es gibt topologische Mannigfaltigkeiten, die keine differenzierbare
Struktur besitzen.
Jede topologische Mannigfaltigkeit der Dimension 6 3 bestitzt genau
eine differenzierbare Struktur.
Rn besitzt für n 6= 4 genau eine differenzierbare Struktur.
Es gibt topologische Mannigfaltigkeiten, die mehr als eine
differenzierbare Struktur besitzen – sogenannte exotische Strukturen:
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Sn
1
1
1
?
1
1
28
2
8
6
992
1
3
2
16256
R4 besitzt überabzählbar unendlich viele differenzierbare Strukturen.
Glatte Mannigfaltigkeiten
Klausur
Mittwoch, 29. Juli 2015, ab 8 Uhr, Hörsaal 1 Abbeanum
Beherrschen von Definitionen
Kreuzchentest über einfache Sachverhalte, z.B.
I
I
Eigenschaft A impliziert Eigenschaft B
Eigenschaft A bleibt unter Konstruktion B erhalten
Umgang mit konkreter Topologie, z.B. durch (Sub-)Basis gegeben
I
I
I
Eigenschaften der Topologie
Eigenschaften von Teilmengen
Inneres, Rand und Abschluss berechnen
Überblickswissen: Erläutern von Konzepten und Zusammenhängen
Nachvollziehen von Beweisen: ein Beweis aus der Vorlesung
I
I
nicht zu lang
nicht „straightforward“
Beweisaufgabe
keine Ordinale, aber die lange Gerade