Arbeit aus Quantenmechanik Nr. 2 Resonante Streuung

Arbeit aus Quantenmechanik Nr. 2
Resonante Streuung
Gruppe Dirac
Geles Faruk, Gruber David, Rotter Thomas, Waxenegger Jürgen
Graz, im Juni 2006
Inhaltsverzeichnis
1 Streuung
2
2 Partialwellenanalyse
2
3 Das Optische Theorem
4
4 Ein Beispiel
4
5 Literatur
5
1
1
Streuung
Die Streuung von Teilchen an Potentialen ist eine Methode um experimentelle
Informationen über quantenmechanische Systeme zu erhalten. Es erweist sich
deshalb als sinnvoll sich mit der Streutheorie zu befassen. Ein wichtiger Fall ist
die Streuung an einem radialsymmetrischen Zentralpotential V |r|. Man kann
den Streuvorgang als eine stationäre Situation betrachten, bei der eine ebene
Welle den einlaufenden Strahl beschreibt, und eine ebenfalls stationäre auslaufende Kugelwelle mit einer von der Richtung abhängigen Amplitude A(k, θ), die
für den Streuzustand steht. Asymptotisch weit vom Streuzentrum entfernt hat
das Wellenfeld folgende Form.
r→∞
2
ψSomm ∼ eikx + A(k, θ)e
ikr
r
(1)
1
|~
p|
h̄
Der differentielle Wirkungsquerschnitt dσ beschreibt das Verhältnis der Zahl
der pro Zeiteinheit gestreuten Teilchen zu der Zahl der pro Zeiteinheit einfallenden Teilchen. Im Gegensatz zur klassischen Situation bestimmt man diese
Zahlen nicht aus den Trajektorien der Teilchen sondern über die Born’sche Interpretation der Stromdichte, die den Fluß der Aufenthaltswahrscheinlichkeit
beschreibt.
~j(t, x) = h̄ ((ψ ∗ 5 ψ − (5ψ ∗ )ψ)
(2)
2mi
Mit Hilfe der einlaufenden jin und der auslaufenden jout Stromdichte kann man
dann den differentiellen Wirkungsquerschnitt angeben.
k=
~jin = h̄k ~e3 = v~e3
m
2
~jout = h̄k |A(k, θ)| ~er
m
r2
~jout~er r2 dΩ
= |(A(k, θ)|2 dΩ
→ dσ =
|~jin |
(3)
Wie man sieht, bestimmt die Streuamplitude den differentiellen Wirkungsquerschnitt. Sie beschreibt also die Winkelabhängigkeit der gestreuten Welle und
gibt an, wie stark die Streuung in eine gegebene Richtung erfolgt. Der totale elastische Wirkungsquerschnitt ist durch das Integral über alle Raumwinkel
gegeben.
Z
σ = dΩ|A(k, θ)|2
(4)
2
Partialwellenanalyse
Die Partialwellenanalyse ist eine Methode um den Wirkungsquerschnitt für kugelsymmetrische Potentiale zu berechnen. Bei nicht kugelsymmetrischen Potentialen, die sich aber nach Kugelflächenfunktionen entwickeln lassen, ist diese
Methode zwar auch möglich jedoch rechnerisch schwierig. Um schließlich den
Wirkungsquerschnitt zu erhalten muß man also erst die Streuamplitude A(k, θ)
2
kennen für welche man eine Entwicklung nach Partialwellenamplituden Al (k)
ansetzen kann.
r
2l + 1
Yl0
Pl (z = cosθ)
4π
X
A(k, θ) =
(2l + 1)Al (k)Pl (cosθ)
(5)
l
Man kann diese Partialwellenamplituden berechnen, indem man für jede Partialwelle Rl Ylm die Radialgleichung löst.
Rl Ylm =
Ul (r)
Ylm
r
h̄2 l(l + 1)
−h̄2 1 d 2 dR(r)
+ V (r))R(r) = ER(r)
(6)
(r
)
+
(
2m r2 dr
dr
2mr2
π
→ ul (r) ∼ sin(kr − ( + δl (k))
2
Die Phase δl (k), die durch diese Gleichung definiert wird, nennt man die Streuphase in der Partialwelle mit Bahndrehimpuls l. Die Streulösung kann man dann
als Linearkombination von Partialwellen ansetzen und diese so wählen, daß die
einlaufende Welle dann enthalten ist und mit derjenigen übereinstimmt die in
der Ausstrahlbedingung ψSomm (x) vorkommt.
ψ(x) =
∞
X
cl ul (r)Yl0 (θ)
l=0
∞
∞
ilπ
ilπ
eikr X l p
−eikr X l p
i 4π(2l + 1)e 2 Yl0 )+
i 4π(2l + 1)e 2 Yl0 +2ikA(k, θ))
(
(
2ikr
2ikr
l=0
l=0
(7)
∞
∞
ikr X
ikr X
−ilπ
ilπ
e
−e
(
cl e−iδl e 2 Yl0 ) +
(
eiδl e 2 Yl0 )
ψ(x) ∼
2ir
2ir
ψSomm (x) ∼
l=0
l=0
il p
4π(2l + 1)eiδl
k
Nun vergleicht man den Term für den Ausdruck der Streuamplitude für den
auslaufenden Anteil mit dem zuerst gemachten Ansatz für die Streuamplitude
um die Partialwellenamplituden zu bestimmen.
→ cl =
A(k, θ) =
∞
1 X e2iδl −1
(2l + 1)Pl (cosθ)
k
2i
l=0
A(k, θ) =
X
(2l + 1)Al (k)Pl (cosθ)
(8)
l
1 2iδl
1
(e
− 1) = eiδl (k) sinδl (k)
2ik
k
Man könnte auch über die Born’sche Reihe die Streuamplitude berechnen. Interessierte seien auf die entsprechende Fachliteratur (z.B. Sakurai) verwiesen.
→ Al (k) =
3
3
Das Optische Theorem
Berechnet man den Imaginärteil der elastischem Streuamplitude in Vorwärtsrichtung θ = 0, Pl (z = 1) = 1, ImA(k, 0) und den integrierten Wirkungsquerschnitt σ(k) und vergleicht die Ergebnisse so folgt eine Relation die man das
optische Theorem nennt. Die Gültigkeit dieses Theorems kann man auch zeigen
wenn man das Ergebniss für die Streuamplitude von der Born’schen Näherung
verwendet. Dieser Beweis ist ebenfalls in Modern Quantum Mechanics von Sakurai zu finden.
∞
1X
(2l + 1)sin2 δl (k)
ImA(k, 0) =
k
l=0
σ(k) =
4π
k2
∞
X
(2l + 1)|Al (k)|2 =
l=0
∞
4π X
(2l + 1)sin2 δl (k)
k2
(9)
l=0
4π
ImA(k, 0)
k
Der totale Wirkungsquerschnitt ist die Summe der Partialwellenbeiträge σl . Der
maximale Wert von σl wird bei δl = π(n + 1/2) erreicht.
→σ=
σl =
4π
(2l + 1)sin2 δl
k2
σ=
∞
X
σl
(10)
l=0
4
Ein Beispiel
Wir werden nun die Streuphase und den Partialwellen-Wirkungsquerschnitt im
Falle folgender Parametrisierung untersuchen.
Al (k) =
k2
αk 2l
− β − αik 2l+1
(11)
Die Streuphase gibt die Änderung der Welle durch die Streuung an und ist durch
das Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für die Partialwellenstreuamplituden zu
erhalten.
αk 2l
1 2iδl
=
(e
− 1)
2
k − β − αik 2l+1
2ik
→ δl (k) =
1
2ik
ln( 2
+ 1)
2i
k − β − αik 2l+1
(12)
Der Partialwellen-Wirkungsquerschnitt ergibt sich dann mit der Streuamplitude.
∞
1 X e2iδl − 1
A(k, θ) =
(2l + 1)Pl (cosθ)
k
2i
l=0
Z
σ = dΩ|A(k, θ)|2
(13)
→σ=
X
l
π2(2l + 1)
α2 k 4l
k 4 − 2βk 2 + β 2 + α2 k 4l+1
4
Bei der Berechnung haben wir die Orthogonalität der Legrende-Polynome ausgenutzt. Man könnte den Partialwellen-Wirkungsquerschnitt auch mit Hilfe des
optischen Theorems berechnen. Der totale Wirkungsquerschnitt für k = 0 ist 0.
Es gibt keine Streuung.
1
k = |~
p| = 0
h̄
Z
σ = dΩ|A(0, θ|2
(14)
→σ=0
Für die Halbwertsbreite Γ setzen wir an:
Al (k) =
→
Γ
1
αk 2l
2
=
·
k 2 − β − αik 2l+1
k E − (En − i Γ2 )
Γ
1
−1
(−αk 2l+1 )
2
=
· 2
·
k k − β − αik 2l+1
k E − (En − i Γ2 )
−αk 2l+1
→
k 2 − β − αik 2l+1 =
1
k
·
Γ
2
E−En +i Γ
2
Daraus sieht man, dass offenbar:
E = k2
(15)
En = β
(16)
Wir errechnen daher die zeitliche Halbwertsbreite zu
Γ = −2αk 2l+1
also
Γ = 2α∗ k 2l+1
(17)
Die Halbwertsbreite ist indirekt proportional zur Lebensdauer und ist ein Maß
für die Schärfe des Maximums im Wirkungsquerschnitt.
5
Literatur
1. Greiner, Walter: Quantum Mechanics, an Introduction, Springer, Berlin,
2001
2. Sakurai, Jun John und Tuan, San Fu Modern Quantum Mechanics, AddisonWesley, Reading Mass., 1994
3. Scheck, Florian A.: Theoretische Physik 2, Nichtrelativistische Quantentheorie - vom Wasserstoffatom zu den Vielteilchensystemen, Springer, Berlin, 2006
5