5. Blatt - Freie Universität Berlin

UNIVERSITÄT POTSDAM
Institut für Physik und Astronomie
Quantenmechanik II
SS 2010
Priv.-Doz. Dr. Axel Pelster
Dr. Thomas Barthel
Blatt 5
15. Streuphasen beim Yukawa-Potential
[3+2+2+2=9 Punkte]
Wir betrachten die Streuung eines Teilchens an einem schwachen Yukawa-Potential
V (r) = V0
a −r/a
e
.
r
(1)
a) Zeigen Sie, dass die Streuamplitude in erster Born’scher Näherung mit |k−k0 |2 = 2k 2 (1−
cos θ) wie folgt lautet.
1
2mV0 a3
(2)
~2
2(ka)2 (1 − cos θ) + 1
Für rotationsinvariante Potentiale kann f über die Streuphasen δ` ausgedrückt werden.
P∞
(3)
f (θ) = k1 `=0 (2` + 1)eiδ` sin δ` P` (cos θ) (Partialwellenentwicklung)
f (1) (k0 , k) = f (1) (θ) = −
Für ein schwaches Potential (wie hier vorausgesetzt) gilt |δ` | 1 und somit eiδ` sin δ` ≈ δ` .
b) Drücken Sie die Streuphasen δ` des schwachen Yukawa-Potentials mittels (2), (3) und
R1
2
der Orthogonalitätsbeziehung −1 dxPn (x)Pm (x) = 2n+1
δn,m der Legendre-Polynome in
R
0
1 1
0 P` (x )
den Legendre-Funktionen zweiter Art Q` (x) = 2 −1 dx x−x0 aus.
Die Legendre-Funktionen zweiter Art können für |x| > 1 wie folgt entwickelt werden
Q` (x) =
∞
X
(` + 2n)!
1
· `+2n+1 .
(2n)!!(2`
+
2n
+
1)!!
x
n=0
(4)
c) Zeigen Sie mittels (4), dass die Streuphasen für ein attraktives (/repulsives) Potential V
positiv (/negativ) sind und bestimmen Sie desweiteren δ` im Limes niedriger Energien
(ka 1). Erklären Sie anschaulich, warum die δ` in diesem Limes schnell mit ` abfallen
(“s-Wellenstreuung”).
R
d) Wie kann man ganz allg. den totalen Wirkungsquerschnitt σtot = dΩ|f (θ)|2 über die
Streuphasen δl aus (3) ausdrücken? Prüfen Sie explizit, dass das optischen Theorem
σtot = 4π
k Im f (θ = 0) das selbe Resultat liefert. Bestimmen Sie mit dem Resultat aus c)
die über a = − limk→0 δ0 /k definierte Streulänge a des Yukawa-Potentials (σtot → 4πa2 ).
16. Eikonal-Näherung
[2+4∗ +4=6+4∗ Punkte]
Die Born’sche Näherung der Streuamplitude setzte voraus, dass das Streupotential V (x)
(a=Reichweite, |V |=Grössenordnung innerhalb der Reichweite) als Störung behandelt wer~2
~2
den kann, d.h. |ψ (1) | |ψ (0) | (⇐ |V | ma
2 falls ka . 1 und |V | ma2 ka falls ka 1).
Hier betrachten wir nun Streuung im s.g. semiklassischen Limes (=
ˆ WKB-Näherung), d.h.
∂
V |/(E − V ) V (x) variiert auf Längenskalen der de Broglie-Wellenlänge nur langsam: | ∂x
p
p/~ = 2m(E − V )/~. P
In diesem Fall ist die Wellenfunktion von der Form hx|ψi = ψ(x) ∝
exp(iΦ(x)) mit Φ(x) = n (~/S0 )n−1 Φ(n) (x), ~/S0 1.
a) Zeigen Sie durch Einsetzen der angegebenen Wellenfunktion in die Eigenwertgleichung
des Hamiltonoperators Ĥ = p̂2 /2m + V (x̂), dass die (klassische) Wirkung S = S0 Φ(0)
∂
der Hamilton-Jakobi-DGL ( ∂x
S)2 = p2 = 2m(E − V ) gehorcht.
1
Abbildung 1 Skizze der Streuung für die Eikonal-Näherung.
2 2
k
= E |V | weiter näheren,
Um diese DGL zu löesen, können wir im Falle hoher Energie ~2m
dass die klassische Trajektorie eine gerade Linie ist x = b+zez (k = kez , Stoßparameter=b,
b⊥ez , siehe Skizze).
b) [Bonus] Lösen Sie unter diesen Voraussetzungen die Hamilton-Jakobi-DGL, wählen Sie
die Integrationskonstante so, dass limV →0 S/~ = kz (warum?) und zeigen Sie unter
Beachtung von E |V | weiter, dass die Wellenfunktion folgende Form hat
ψ(x) ≈
eikz
(2π)3/2
exp{−i ~m
2k
Rz
−∞
dz 0 V (b + z 0 ez )}
(Eikonal-Näherung).
(5)
Mit dieser Wellenfunktion kann man eine Näherung für die Streuamplitude bestimmen. Für
rotationssymm. Potentiale lauten sie (Bessel-fkt. J0 (lθ) ← P` (cos θ) für ` 1, |θ| π)
Z ∞
Z ∞
p
m
f (k0 , k) = −ik
db b · J0 (kbθ) · (e2i∆(b) − 1), ∆(b) = − 2
d zV ( b2 + z 2 ) . (6)
2~ k −∞
0
c) Zeigen Sie mit (3), dass die zugehörigen Streuphasen gerade durch δ` = ∆(b)|b=`/k
2
2
gegeben sind. Wie lauten sie für das Gauss-Potential V (r) = V0 e−r /a und das
Yukawa-Potential V (r) = V0 ar e−r/a in der Eikonal-Näherung? Vergleichen Sie für den
Hochenergie-Limes beim schwachen Yukawa-Potential (graphisch) mit dem Resultat von
Aufgabe 15.b).
17. Streuung mit Übergang zwischen inneren Zuständen
[3+2=5 Punkte]
Streuendes Teilchen und Streuzentrum (z.B. ein e− und ein Atom) sollen nun innere Struktur
haben. D.h. wir erweitern den Hilbert-Raum um die Eigenzustände eines Operators Ĥint ,
Ĥint |ni = En |ni. Das vSkO. sei also z.B. durch {Ĥint , x̂} gegeben.


2
X
p̂
H = span{|x, ni ≡ |xi ⊗ |ni} , Ĥ =
+ Ĥint + V̂  V̂ =
Vn0 ,n (x̂)|n0 ihn|  (7)
2m
0
n ,n
a) Verallgemeinern Sie die Formel für die allg. Lösung der Lippmann-Schwinger-Gl. ohne
innere Freiheitsgrade,
1
eikr
1
2m
xa
0
ikx
hx|ψk i =
e
+
f (k , k) , f (k0 , k) = − (2π)3 2 hk0 |V̂ |ψk i , (8)
3/2
r
4π
~
(2π)
auf obigen Fall mit inneren Freiheitsgraden.
b) Wie groß ist beim Prozess k, n → k0 , n0 der Impuls |k 0 |? Überlegen Sie, wie der zugehörige
Wirkungsquerschnitt dσn0 ,n /dΩ, ausgedrückt über die Streuamplitude, korrekt lautet.
Bem.: Die Herleitung der Bethe-Bloch-Formel startet mit den hier abgeleiteten Formeln und
PZ
e2
(−Z/|x̂| + i=1 1/|x̂ − x̂i |) .
V̂ = V (x̂, {x̂i }) = 4πε
0
2