Blatt 4. Stoß und Streuung - Fakultät für Physik

Fakultät für Physik der LMU München
Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov
Übungen zu Klassischer Mechanik (T1) im SoSe 2011
Blatt 4. Stoß und Streuung
Abgabe bis 30.5.2011, 10:00 Uhr
Aufgabe 4.1. Stoß
Zwei Kugeln der gleichen Masse m mit den Geschwindigkeiten v und −5v stoßen elastisch aneinander. Der
Ablenkwinkel in Schwerpunktsystem sei θ. Was ist der Winkel α im Laborsystem (siehe Abbildung)?
v
α
−5v
θ
θ
Abbildung 1: Zwei Kugeln gleicher Masse stoßen aneinander. Links: Im Laborsystem, die Anfangsgeschwindigkeiten sind gegeben. Rechts: Im Schwerpunktsystem, der Ablenkungswinkel θ ist
gegeben.
Aufgabe 4.2. Streuung an Zylinder
Ein homogener Strahl punktförmiger Teilchen wird an einem ideal reflektierenden Zylinder (Durchmesser
d, Länge h) gestreut. Die Einfallsrichtung der Teilchenstrahlen sei senkrecht zur Zylinderachse. Die Lage
des Zylinders sei im Raum fixiert. Berechnen Sie den differentiellen Wirkungsquerschnitt dσ/dθ und den
totalen Wirkungsquerschnitt σtot . Geben Sie eine anschauliche Erklärung für den Wert von σtot .
Aufgabe 4.3. Meteore
Nehmen wir an, dass viele gleichartige Meteore mit der ungefähr gleichen Geschwindigkeit V weit von
der Erde stetig einen Strahl bilden, der sich in der Richtung Erde bewegt. Die Dichte des Strahles sei n
(Meteore pro Volumen), der Erdradius ist R und die Erdmasse ist M. Finden Sie die Anzahl der Meteore,
die auf die Erdoberfläche binnen der Zeit τ fallen.
Meteore
Erde
Abbildung 2: Meteore auf dem Weg zur Erde.
Aufgabe 4.4. Streuung an Kugel
Betrachten Sie die elastische Streuung von kugelförmigen Teilchen mit dem Radius R an einer stationären
Kugel mit dem Radius R0 . Berechnen Sie den differentiellen Streuungsquerschnitt dσ/dθ und den totalen
Querschnitt σtot . Vergleichen Sie diese Querschnitte mit dem Fall R R0 (siehe Aufgabe 4.3.). Was
passiert mit σtot in dem anderen Limes R R0 ?
Aufgabe 4.5. Variationsprinzip
Ein Teilchen der Masse m gleite aus der Ruhe reibungslos in der x-z-Ebene im homogenen Schwerefeld
(F = −mgez ) entlang einer Kurve z(x) vom Punkt P1 = (0, 0) bis P2 = (x2 , z2 ) (z2 ≤ 0).
a) Zeigen Sie, dass sich die Zeit T [z(x)], die das Teilchen für den Weg von P1 nach P2 benötigt, als
das folgende Funktional der Kurve z(x)
Z x2
(1)
T [z(x)] =
G(z(x), z0 (x), x) dx
0
mit G(z, z0 , x) =
q
1+(z0 )2
−2gz
darstellen lässt.
b) Finden Sie die Euler-Lagrange-Gleichung für die Kurve z(x), die dem schnellsten Weg enspricht.
c) Da G = G(z, z0 ) nicht explizit von x abhängt, kann das Problem auf eine Differentialgleichung erster
Ordnung reduziert werden. Machen Sie dies analog zur Energieerhaltung im Lagrangeformalismus.
Zeigen Sie, dass die Lösung dieser Gleichung der Parameterdarstellung einer Zykloide
x = R(ξ − sin ξ),
z = −R(1 − cos ξ)
genügt.
2
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