Ubungen zum Integrierten Kurs: Quantenmechanik Blatt 6

Institut für Theoretische Physik
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik
Prof. Dr. J. Repp, Prof. Dr. Klaus Richter
SS 2014
Übungen zum Integrierten Kurs: Quantenmechanik
Blatt 6
Assistants: Gerhard Münnich, Juan-Diego Urbina
Aufgabe 40: Tunneln und α-Zerfall (T)
Das Potential eines α–Teilchens im Atomkern lässt sich näherungsweise durch
−V0 : 0 < r < R
mit V0 ∼ einige 107 eV
Vα (r) =
ZZα e2
:
r
>
R
4πǫ0 r
als Funktion des Abstands r vom Zentrum des Kerns bechreiben. Dabei bezeichnen R den Kernradius und Z die Kernladung des Tochterkerns (Zα = 2). Die Zerfallsrate λ, die die Überlebenswahrscheinlichkeit exp(−λt) des Mutterkerns beschreibt, lässt sich damit über λ = λ0 T bestimmen,
wobei
Z
2 bp
2mα (Vα (r) − E) dr
T = exp −
~ R
mit Vα (b) = E > 0 und mα der Masse des α–Teilchens der in der Vorlesung hergeleitete Transmissionskoeffizient durch die Barriere ist.
a) Skizzieren Sie das Potential Vα (r). Begründen Sie, warum λ0 ≃ v0 /(2R) mit v0 der Geschwindigkeit des α-Teilchens im Kernbereich eine gute Näherung für den Vorfaktor λ0 darstellt.
Z q
p
√
1
b) Zeigen Sie:
−
1
dx
=
x(1 − x) − arccos( x) für 0 < x ≤ 1
x
(Hinweis: Beginnen Sie mit der Substitution x = y 2 .)
c) Berechnen Sie das im Exponenten von T auftretende Integral und entwickeln Sie es im Grenzfall kleiner Energien 0 < E ≪ Vα (R).
d) Wie skaliert ln(λ) mit der Kernladungszahl Z des Tochterkerns und der Energie E (GeigerNuttal-Regel)?
Aufgabe 41: Semiklasische Näherung für Tunnelprozesse (T)
Betrachten Sie die eindimensionale stationäre Schrödinger-Gleichung
−
~2 d 2
ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
in einem klassisch “verbotenen” Bereich x1 ≤ x ≤ x2 , in dem E < V (x) ist.
1
a) Welche Differentialgleichung ergibt sich für σ(x), wenn für die Wellenfunktion der Ansatz
ψ(x) = exp( ~1 σ(x)) gemacht wird?
b) Zeigen Sie, dass im Grenzfall “kleiner” ~ gilt:
σ ′ (x) ≃ ±p̄(x) − ~
p
p̄′ (x)
+ O(~2 ) mit p̄(x) = 2m(V (x) − E)
2p̄(x)
Wo würde diese Näherung zusammenbrechen?
c) Sei nun die Wellenfunktion ψ(x) bei x = x1 durch ψ1 gegeben. Welcher Wert ergibt sich für
ψ(x2 ) bei Verwendung obiger Näherung, wenn in der Gleichung für σ ′ (x) das negative Vorzeichen vor p̄(x) gewählt wird (und V (x1 ) = V (x2 ) angenommen wird)? Wie lässt sich dieses
Ergebnis im Hinblick auf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Quantenteilchen eine Tunnelbarriere
durchdringt, interpretieren?
Aufgabe 42: Harmonischer Ozcillator im elektrischen Feld (T)
Gegeben sei ein Teilchen mit Masse m im eindimensionalen harmonischen Oszillatorpotential. Wie
ändert sich das Eigenwertspektrum der stationären Schrödinger-Gleichung, wenn das Teilchen einer
zusätzlichen, räumlich konstanten Kraft F gemäß
1
V (x) = mω 2 x2 + (V0 − F x)
2
ausgesetzt wird?
Aufgabe 43: Bohr’s atomic model (E)
The semiclassical atomic model of Bohr consists of the assumptions of having the electrons moving
as classical particles in a 1/r potential analogous to planets, while having a quantized total angular
momentum L = n~ with integer n. Assuming circular orbits, derive their radii rn and total energies
En . Compare En and rn with the corresponding quantum mechanical results for the exact energies
hĤi and the expectation value of the radial position hr̂i. What is the kinetic and potential energy
in Bohr’s model?
Aufgabe 44: Linearization of a square sum (E)
Consider the following inequality
(α1 ax + α2 ay + α3 az + βb)2 6= α12 a2x + α22 a2y + α32 a2z + β 2 b2 .
Do you agree that this inequality is true? Now assume that the αn ’s and β are the following matrices







0 0
−1 0 0 0
0 i 0 0
0 −1 0 0
 0 0
 0 1 0 0 
 −i 0 0 0 
 −1 0 0 0 
 , and β = 
,α = 
,α = 
α1 = 
 1 0
 0
0 0 1  2  0 0 0 −i  3  0 0 1 0 
0 0 0 −1
0 0 i 0
0
0 1 0
0 1
Check, whether in this case, the inequality becomes an equality:
(α1 ax + α2 ay + α3 az + βb)2 = α12 a2x + α22 a2y + α32 a2z + β 2 b2 .
(1)
Assume that ~a equals the speed of light times the momentum ~a = c~p and that b is the energy
equivalent of the rest mass b = m0 c2 . What does the right part of equation 1 remind you of?
Following the equation 1, can you identify the total energy? Are you able to set up a differential
equation, first order in time, in analogy to the Schrödinger equation, but for relativistic particles?
Please leave the solution of Ex. 40, as well as any of the experimental exercises in written form in
the box by the stairs, before Mo. 02.06.2014.
2
1
0
0
0

0
1 
.
0 
0