Semiklassische Lösungen der Newton-Schrödinger

Semiklassische Lösungen der
Newton-Schrödinger-Gleichung
Diplomarbeit von
Daniel Greiner
21. April 2005
Hauptberichter : Prof. Dr. Günter Wunner
Mitberichter : Prof. Dr. Alejandro Muramatsu
1. Institut für Theoretische Physik
Universität Stuttgart
Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart
Ehrenwörtliche Erklärung
Ich erkläre, dass ich diese Arbeit selbständig verfasst und keine anderen
als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.
Stuttgart, den 21. April 2005
Daniel Greiner
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
v
Tabellenverzeichnis
vii
1 Eine kurze Einführung
1
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Die Newton-Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Problemstellung und Ziel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Objektive Zustandsreduktion nach Penrose . . . . . . . . .
2.2 Basiszustände für eine objektive Zustandsreduktion . . . . . . . .
2.2.1 Herleitung der Newton-Schrödinger-Gleichung aus einem
Variationsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Einordnung und Vergleich mit ähnlichen Systemen . . . .
2.3 Die WKB-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Ziele der WKB-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Herleitung der WKB-Wellenfunktionen . . . . . . . . . . .
2.3.3 Einschränkungen und Probleme . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Die uniforme Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Quantenmechanik und Semiklassik . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Ein kurzer Vergleich zwischen Quantenmechanik und Semiklassik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Energieniveaus und Bohr-Sommerfeld-Quantisierung . . .
3
3
3
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18
3 Analytische Eigenschaften der Newton-Schrödinger-Gleichung
3.1 Allgemeine Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Die Standardform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Klassifizierung der Newton-Schrödinger-Gleichung . . . . .
3.1.3 Symmetrie von S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Darstellung in Integralform . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Verschiedene Lösungstypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Partikuläre Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Gebundene Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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22
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i
9
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11
11
12
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15
17
ii
Inhaltsverzeichnis
3.3
3.4
Skalierungsverhalten des Systems . . . . . . .
Asymptotik von Potential und Wellenfunktion
3.4.1 Verhalten für r → ∞ . . . . . . . . . .
3.4.2 Verhalten für r → 0 . . . . . . . . . . .
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25
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4 Numerische Lösung der Newton-Schrödinger-Gleichung
4.1 Die Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Natürliche Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Einige Wellenfunktionen und Potentiale . . . . . . . . . . .
4.4 Energieniveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Genauigkeit der ermittelten Energieeigenwerte . . . . . . .
4.6 Bohr-Sommerfeld-Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Vergleich mit den analytisch bekannten Eigenschaften . . .
4.8 Neue Erkenntnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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45
5 WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
5.1 Vorbemerkungen und verworfene Ansätze . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Der WKB-Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Die Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Klassisch erlaubter Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Klassischer Umkehrpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Klassisch verbotener Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Bestimmung der Integrationskonstanten . . . . . . . . . .
5.5 Höhere Ordnungen der WKB-Näherung . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Beispiel: klassisch erlaubtes Gebiet . . . . . . . . . . . . .
5.6 Die uniforme Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Energieniveaus und Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1 Das Wirkungsintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.2 Quantendefekt und Energieeigenwerte . . . . . . . . . . . .
5.7.3 Wellenfunktionen und Potentiale . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Bisherige Literaturergebnisse und neue Erkenntnisse . . . . . . . .
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6 Vergleich von WKB-Näherung und numerisch exakter Lösung
6.1 Energieeigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Potentiale und Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
67
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7 Zusammenfassung
7.1 Ziele der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Die Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
75
75
77
A Asymptotik für S(r) aus vollständigem U∞
79
Inhaltsverzeichnis
iii
B Parametrisierte Lösung
B.1 WKB-System gekoppelter DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Potentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
81
82
C Wirkungsintegral eines einfachen Modellpotentials
85
Literatur
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iv
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
2.1
2.2
2.3
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
5.1
5.2
Aufbau, der einen Überlagerungszustand eines massiven Objektes
erzeugt (nach [Penrose (1995)]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Überlagerung der Raumzeiten der Einzelzustände einer Masse an
zwei verschiedenen, äquivalenten Positionen . . . . . . . . . . . .
Freies Teilchen in Minkowksi- und allgemeiner Metrik: Selbstwechselwirkung durch Raumkrümmung? . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
9
10
S(r) für verschiedene Genauigkeiten der Startwertbestimmung. . .
Normierte Wellenfunktion und Potential im Grundzustand. . . . .
Zweiter angeregter Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zehnter angeregter Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30. angeregter Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
η, aufgetragen über n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∆η bei Erhöhung von n um 1, aufgetragen über n1 . . . . . . . . .
Bestimmung des asymptotischen Quantendefekts µ und des Energierenormierungsfaktors κ aus den Energieeigenwerten. . . . . . .
Die höheren n aus Abbildung 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Typische Situation in der Atomphysik. . . . . . . . . . . . . . . .
Die kurzreichweitigen Beiträge zum Wirkungsintegral WKr fallen
in guter Näherung linear ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Veränderung von WKr von n nach n + 1. . . . . . . . . . . . . . .
Die Integranden des Wirkungsintegrals für den 5. bis 15. angeregten Zustand der Newton-Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . .
Zum Vergleich: Die Integranden des Coulombschen Wirkungsintegrals zu den in Abbildung 4.13 gezeigten Zuständen . . . . . . . .
Funktion U und angepasster 1r -Abfall exemplarisch für den ersten
angeregten Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U und S zeigen nahe bei r = 0 das erwartete Parabel-Verhalten .
46
46
Das effektive Potential U (r) in WKB-Näherung für den Grundzustand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wie 5.1 für den 30. angeregten Zustand . . . . . . . . . . . . . . .
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43
44
44
vi
Abbildungsverzeichnis
5.3
5.4
5.5
5.6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
7.1
Vergleich von Wellenfunktion S und effektivem Potential U des
normierten dritten angeregten Zustand in WKB- und uniformer
Näherung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wie 5.3, für den 15. angeregten Zustand. . . . . . . . . . . . . . .
Wie 5.3, für den 30. angeregten Zustand. . . . . . . . . . . . . . .
Der Bereich um r = 0 aus Abbildung 5.5. . . . . . . . . . . . . . .
Numerisch exakte und WKB-Wellenfunktion und effektives Potential des 9. angeregter Zustand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numerisch exakte und WKB-Wellenfunktion des normierten ersten
angeregten Zustandes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numerisch exaktes und effektives WKB-Potential des normierten
ersten angeregten Zustandes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wie 6.2 für den normierten 9. angeregten Zustand. . . . . . . . .
Wie 6.3 für den normierten 9. angeregten Zustand. . . . . . . . .
Wie 6.2 für den normierten 19. angeregten Zustand. . . . . . . . .
Wie 6.3 für den normierten 19. angeregten Zustand. . . . . . . . .
Wie 6.2 für den normierten 36. angeregten Zustand; rechts unten
die Divergenz der numerischen Lösung. . . . . . . . . . . . . . . .
Wie 6.3 für den normierten 36. angeregten Zustand. . . . . . . . .
Doppeltlogarithmische Auftragung der numerischen Energieeigenwerte sowie der reskalierten WKB-Energien. . . . . . . . . . . . .
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64
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71
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77
C.1 Einige Zustände des Modellpotentials für σ = 0, 5. . . . . . . . . . 87
C.2 Die Integranden des Wirkungsintegrals einiger Zustände bei σ = 0, 5. 87
C.3 Aus dem Modellpotential resultierender Korrekturfaktor zur
Rydberg-Serie des Coulomb-Potentials. . . . . . . . . . . . . . . . 88
Tabellenverzeichnis
2.1
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
5.1
Lebensdauern ∆T bei Masse m und Abstand“ d . . . . . . . . .
”
Energieeigenwerte: direkte Ausgabe des Programms . . . . . . . .
Vergleich der erhaltenen Energien für verschiedene Genauigkeiten
Energieeigenwerte: gerundet entsprechend der ermittelten Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Test der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung für die ersten 40 Eigenzustände der Newton-Schrödinger-Gleichung. . . . . . . . . . . . .
Kurzreichweitiger Beitrag zum Wirkungsintegrals zusätzlich zum
reinen Coulomb-Fall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energieeigenwerte für die Einteilchen-Newton-SchrödingerGleichung in WKB-Näherung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
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42
62
6.1
Vergleich der Energieeigenwerte aus WKB- und numerischer Lösung 68
7.1
Ausdehnung des klassisch erlaubten Bereichs ∆rerlaubt eines Teilchens der Masse m im Newton-Schrödinger-Grundzustand . . . .
vii
76
viii
Tabellenverzeichnis
Kapitel 1
Eine kurze Einführung
Die Newton-Schrödinger-Gleichung bietet sich als einfacher nichtrelativistischer
Grenzfall einer vollständigen Theorie der Quantengravitation an, anhand dessen
einige der Eigenschaften, die eine solche Theorie aufweisen sollte, genauer betrachtet werden können. Sie wurde von Penrose [Penrose (1995)] explizit konstruiert,
um den als Kollaps der Wellenfunktion“ bezeichneten quantenmechanischen Vor”
gang der Reduktion des Zustandsvektors beim Messprozess auf eine (üblicherweise
vernachlässigte) gravitative (Selbst-)Wechselwirkung zurückzuführen. Damit ist
die Newton-Schrödinger-Gleichung eingebettet in eine sehr prinzipielle Fragestellung und Interpretation der Quantenmechanik.
Die Newton-Schrödinger-Gleichung ist vom Typ einer nichtlinearen
Schrödinger-Gleichung. Die gängigen Lösungsmethoden für eine lineare
Schrödinger-Gleichung können daher nicht unmittelbar übertragen werden. In der
Literatur existiert bereits eine Reihe von analytischen und numerischen Rechnungen für die radialsymmetrische Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung [Jones
(1995); Moroz u. a. (1998); Soni (2002); Harrison u. a. (2003); Epple (2003)], eine
genauere Analyse unter dem Gesichtspunkt der Semiklassik steht allerdings aus.
Das konkrete Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, mit Hilfe der WKBNäherung eine approximative Lösung der radialsymmetrischen EinteilchenNewton-Schrödinger-Gleichung im semiklassischen Limes zu finden, diese Näherung mit den bekannten numerischen und analytischen Ergebnissen zu vergleichen und auf diese Weise ein erweitertes Verständnis der Lösungen der NewtonSchrödinger-Gleichung zu gewinnen. Von besonderem Interesse ist die Frage der
Anwendbarkeit der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung auf nichtlineare SchrödingerGleichungen, da sich in numerischen Arbeiten [Epple (2003)] die Notwendigkeit
einer Renormierung des Planck’schen Wirkungsquantums ~ anzudeuten scheint.
Ein bereits in der Literatur vorliegender WKB-Zugang [Hartmann (1999)] hat
sich nicht mit dieser Frage beschäftigt.
Nach einem Überblick über die Grundlagen der Newton-SchrödingerGleichung und der WKB-Theorie (Kapitel 2) wird das Augenmerk zunächst auf
die bereits bekannten analytischen Eigenschaften von Lösungen gelegt (Kapi1
2
Kapitel 1. Eine kurze Einführung
tel 3). Im weiteren Verlauf wird eine einfache numerische Lösung der EinteilchenNewton-Schrödinger-Gleichung vorgestellte und es werden einige ihrer Eigenschaften diskutiert (Kapitel 4). Dies ermöglicht es, eine in Kapitel 5 neu entwickelte WKB-Lösung mit numerischen und analytischen Ergebnissen zu vergleichen (Kapitel 6).
An dieser Stelle soll noch auf die in der Arbeit verwendeten Konventionen eingegangen werden. Es wurde versucht, eine möglichst eindeutige und konsequente
Schreibweise zu verwenden, ohne auf übliche Definitionen wie G für die Gravitationskonstante oder p für den Impuls zu verzichten. Ausnahmen wurden gemacht,
wenn sich durch Anwendung der unten aufgeführten Regeln eine Doppelbelegung
ergeben hätte. Solche abweichenden Definitionen sind aber aus dem Kontext klar
zu erkennen. Im Folgenden sind die der Nomenklatur zugrundeliegenden Richtlinien angegeben.
• Konstanten werden mit kleinen Buchstaben bezeichnet: a, b, ci , α
• Variablen erhalten ebenfalls Kleinbuchstaben: x, r, t
• Funktionen sind durch Großbuchstaben gekennzeichnet: U , Ψ, A
• Vektoren werden fettgedruckt dargestellt: r
• Beträge werden durch senkrechte Striche symbolisiert: |Ψ|
• n-te Ableitungen nach der Variablen x: ∂xn
Ableitungen beziehen sich immer nur auf den direkt folgenden Term.
• Auswerten von f (x) an x0 : f (x0 ) = f |x0
Auf f angewandte Operatoren sind vor der Auswertung anzuwenden; so ist
z.B. ∂r f |x0 als Ableitung von f nach r an der Stelle x0 zu lesen.
• Einfache Transformationen werden durch Modifikationen der Funktionssymbole ausgedrückt: Ψ, S̃
Mit einer Tilde gekennzeichneten Funktionen beziehen sich immer auf normierte Lösungen.
Kapitel 2
Theoretische Grundlagen
Die folgenden Abschnitte sollen einen knappen Umriss der dieser Arbeit zugrundeliegenden Theorien und Methoden geben. Detailliertere Darstellungen finden
sich in der zitierten Literatur.
2.1
2.1.1
Die Newton-Schrödinger-Gleichung
Problemstellung und Ziel
Die quantenmechanische Beschreibung eines Systems drückt sich in seiner Wellenfunktion aus, deren Betragsquadrat die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür darstellt,
das System bei einer Messung im entsprechenden Zustand zu finden. Die Tatsache, dass bei einer solchen Messung der Zustand des Systems fixiert wird, äußert
sich als Kollaps“ der Wellenfunktion – weitere Messungen finden das System
”
nun immer in dem zuerst festgestellten Zustand. Diese Reduktion des Zustandsvektors weicht von der üblichen Zeitevolution durch unitäre Operatoren ab. Die
Frage, was genau eine Messung“ darstellt und was physikalisch beim Kollaps“
”
”
der Wellenfunktion passiert, stellt sich deshalb schon aus Konsistenzgründen und
ist keinesfalls trivial. Verschiedene Erklärungsmodelle wurden im Laufe der Zeit
entwickelt und verfeinert:
• Die traditionelle Kopenhagener (Wahrscheinlichkeits-)Interpretation der
Quantenmechanik versteht die Wellenfunktion nicht direkt als Ausdruck
der tatsächlichen physikalischen Gegebenheiten, sondern lediglich als das
maximale Wissen“ das uns über den betrachteten Zustand vorliegt. Die
”
Zustandsreduktion geschieht somit nicht als echter Prozess, sondern lediglich in der mathematischen Beschreibung bzw. im Wissen“ des Beobachters
”
(vgl. z.B. [Jammer (1974)]).
• Ein anderer Ansatz geht davon aus, dass beim Messprozess das beobachtete System mit der Umgebung in einer Weise wechselwirkt, die sich – alleine auf das System bezogen – in der Beobachtung einer (scheinbaren)
3
4
Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
Zustandsreduktion äußert. Der tatsächliche Vorgang wird durch die unitäre
Evolution der Gesamtwellenfunktion von System und Messgerät/Umgebung
bestimmt. Durch die sehr große Anzahl quantenmechanischer Freiheitsgrade der Umgebung, die an das System angekoppelt werden, verliert dieses
seine internen Phasenbeziehungen (daher das in diesem Zusammenhang oft
gebrauchte Stichwort Dekohärenz). Es sieht dann für den Beobachter so
aus, als wäre das System beim Messvorgang einem nichtunitären, plötzlichen Kollaps unterworfen. In [Bransden u. Joachain (1989)] und [Schwabl
(1998)] ist dieser Ansatz weiter ausgeführt.
• Eine weitere Alternative ist auch die Viele-Welten-Interpretation“ der
”
Quantenmechanik [Everett III (1957)]. Ausgehend von der Überlegung, dass
Beobachter und beobachtetes System in Kontakt sein müssen und damit ein
Gesamtsystem bilden (wie im vorherigen Erklärungsversuch), ordnet sie jedem möglichen Messergebnis einen Zustand des Beobachters zu. In diesem
Sinne ergibt eine Messung alle möglichen Ergebnisse auf einmal, aber jedes
von ihnen wird nur von dem Beobachter im zugehörigen Zustand wahrgenommen. Es existieren dann viele Parallelwelten“, innerhalb derer eine
”
Zustandsreduktion wahrgenommen wird.
Eine gänzlich andere Interpretation sieht die Quantenmechanik lediglich als
Grenzfall einer komplexeren Theorie, in deren Rahmen das Problem der Zustandsreduktion zu einem physikalisch eindeutig nachzuvollziehenden Prozess werden
sollte. Berücksichtigt man die hervorragende Übereinstimmung aller bisherigen
Experimente mit den Vorhersagen der Quantenmechanik, so ist aber klar, dass
eine Korrektur nur in einer Form auftreten kann, die experimentell (noch) nicht
zugänglich ist. Es ist nun interessant, dass im Rahmen der Arbeit an einer Theorie der Quantengravitation Schwierigkeiten auftreten, die darauf hindeuten, dass
Quantenmechanik oder Allgemeine Relativitätstheorie einer Neuformulierung bedürfen. Da die gravitative Wechselwirkung experimentell nutzbarer quantenmechanischer Systeme nur winzig klein ist, während im makroskopischen Bereich
Quanteneffekte nur unter ganz besonderen Bedingungen beobachtbar sind, liegt
die Idee nahe, einen gravitativen Effekt als Ursache der Zustandsreduktion zu
vermuten.
2.1.2
Objektive Zustandsreduktion nach Penrose
Um die Schwierigkeiten einer Vereinigung von Quantenmechanik und Allgemeiner Relativitätstheorie zu veranschaulichen, betrachtet man als einfaches Beispiel
einen Überlagerungszustand eines massiven Objektes an zwei verschiedenen Positionen.
Penrose [Penrose (1995, 1998)] beschreibt ein der berühmten Schrödinger”
Katze“ ähnliches Gedankenexperiment, das die Instabilität eines solchen Zustandes nahelegt. Ausgangspunkt ist eine Masse m, die mit einer Apparatur so verbun-
5
2.1. Die Newton-Schrödinger-Gleichung
Photonenquelle
einzelnes
Photon
semitransparenter
Spiegel, z.B. 50:50
Detektor
“VerschiebeApparatur”
Position 2
Position 1
Abb. 2.1: Aufbau, der einen Überlagerungszustand eines massiven Objektes erzeugt (nach [Penrose (1995)])
den ist, dass ihre Position P1 oder P2 vom Ergebnis eines quantenmechanischen
Messprozesses abhängt. In Abbildung 2.1 ist das Schema einer solchen Anordnung
wiedergegeben. Beide Zustände |Ψi i für sich genommen sind selbstverständlich
stationär, des weiteren seien ihre Energien Ei dieselben:
H|Ψ1 i = E|Ψ1 i
H|Ψ2 i = E|Ψ2 i.
(2.1)
(2.2)
Der allgemeinste Gesamtzustand des präparierten Systems ist – ohne irgendwelche Wechselwirkungseffekte –
|Ψi = a1 |Ψ1 i + a2 |Ψ2 i mit H|Ψi = E|Ψi,
(2.3)
also ebenfalls ein stationärer Zustand zur Energie E. Welche Effekte werden nun
zusätzlich durch die Gravitation verursacht?
Gemäß der Allgemeinen Relativitätstheorie erzeugen beide Zustände für sich
eine eigene (hier identische1 ) Geometrie. Die Berücksichtigung der Gravitation
erzwingt also eine Überlagerung zweier verschiedener Raumzeiten (vgl. hierzu
Abbildung 2.2). Damit ist aber die Frage nach der Stabilität des Überlagerungszustandes nicht mehr ohne weiteres zu beantworten.
1
In der Tat gibt es in einem ansonsten leeren Raum keine Möglichkeit, die Zustände zu
unterscheiden. Da aber allein aufgrund der Schwerpunktserhaltung beim Verschieben der Masse
eine (sehr viel größer gedachte) Bezugsmasse (die Erde“) vorhanden sein muß, können die
”
Zustände unterschieden werden. Um die Betrachtungen möglichst einfach zu halten, kann man
sich das Experiment etwa in einer kugelförmigen Höhle im Zentrum der Bezugsmasse vorstellen,
so daß ihr Gravitationsfeld keine Rolle spielt.
6
Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist ein Zustand stationär, wenn ein
zeitartiger Killing-Vektor auf der gegebenen Geometrie existiert. Als Operator
generiert dieser Killing-Vektor infinitesimale Zeittranslationen – er ersetzt den
∂t -Operator der Minkowski-Metrik; Eigenzustände zum Killing-Vektor sind
stationär. In unserem Fall der Überlagerung von Raumzeiten gibt es aber
keine eindeutig definierten Killing-Vektoren mehr, sondern nur Überlagerungen
der Killing-Vektoren der einzelnen Raumzeiten. Im Allgemeinen werden die
Killing-Vektoren der Geometrie von Masse m an der Position P1 von den KillingVektoren der Geometrie von Masse m an der Position P2 abweichen. Dies könnte
eine entsprechende Abweichung der Energien der Eigenwerte implizieren, was
für den Überlagerungszustand als Unsicherheit der Energien der Eigenzustände
interpretiert werden kann. Zustände mit unscharfen Energien sind aber gerade
solche mit begrenzter Lebensdauer – die Überlagerungszustände sind diesen
Überlegungen zufolge instabil. Zwei Fragen drängen sich nun auf: Wie groß ist
die Lebensdauer eines solchen Überlagerungszustandes, und passt die erhaltene
Größenordnung zu den Beobachtungen? Was sind die Grundzustände, nachdem
ja in der Quantenmechanik alle Teilchen nur durch Aufenthaltswahrscheinlichkeiten beschrieben werden können? Um diese Fragen zu klären, beschäftigen wir
uns zunächst mit dem Problem der Größe dieser Energieunschärfe. Dabei folgen
wir der Argumentation von Penrose [Penrose (1995)].
Eine eindeutige Abbildung von Punkten aus beiden Raumzeiten aufeinander ist der Allgemeinen Relativitätstheorie zufolge prinzipiell nicht möglich –
man kann sich jedoch mit einer ungefähren“ Abbildung zufriedengeben. Zu die”
sem Zweck ist es sinnvoll, zunächst nur Newtonsche Gravitation im Sinne der
Newton-Cartan-Raumzeit (siehe z.B. [Misner u. a. (1973)]) zu betrachten (vgl.
auch den folgenden Abschnitt). Damit sind die Zeitkoordinaten beider Raumzeiten absolut und können leicht identifiziert werden. Die Frage, wie groß die
Energieunsicherheit der gegebenen Konfiguration tatsächlich ist, wird innerhalb
der 3D-Raumkoordinaten mit Hilfe einer ungefähren punktweisen Identifikation
auf die lokale Abweichung ihrer Metriken zurückgeführt.
Wir betrachten dazu die Geodäten, die uns in jedem Punkt die Freifallbeschleunigung einer Testmasse angeben. Seien f 1 und f 2 die Kraftvektoren pro
Masseneinheit an einem identifizierten Punkt. Dann ist die skalare Größe
1
(f − f 1 )2
(2.4)
G 2
invariant unter orthogonalen Koordinatentransformation, und als Maß für die
Abweichung der Raumzeiten voneinander kann die Größe
Z
1
∆E =
(f 2 − f 1 )2 d3 x
(2.5)
G
angenommen werden. Mit den Newtonschen Gravitationspotentialen φi gilt
∇φi = −f i ,
(2.6)
7
2.1. Die Newton-Schrödinger-Gleichung
und eingesetzt
Z
1
∆E =
(∇φ2 − ∇φ1 )2 d3 x
G
Z
1
(∇(φ2 − φ1 )) (∇(φ2 − φ1 )) d3 x
=
G
Z
1
=−
(φ2 − φ1 )∇2 (φ2 − φ1 )d3 x.
G
(2.7)
(2.8)
(2.9)
Nimmt man nun noch die Poisson-Gleichung
∇2 φ = 4πGρ
(2.10)
hinzu, so erhält man
∆E = 4π
Z
(φ2 − φ1 )(ρ2 − ρ1 ) d3 x.
Mit der integralen Formulierung der Poisson-Gleichung
Z
ρ(x0 )
dx0
φ(x) = G
|x − x0 |
führt uns das auf die Form
Z Z
(ρ2 (x) − ρ1 (x)) (ρ2 (x0 ) − ρ1 (x0 )) 3 3 0
∆E = 4πG
d xd x ,
|x − x0 |
(2.11)
(2.12)
(2.13)
die gerade der Energie eines Teilchens mit der Differenzmassenverteilung im eigenen Gravitationsfeld entspricht. Diese Energieunschärfe“ ermöglicht eine Ab”
schätzung der Lebensdauer eines solchen Zustandes nach der Heisenbergschen
Unschärferelation
~
∆T =
.
(2.14)
∆E
In Tabelle 2.1 sind Größenordnungen einiger Lebensdauern für Überlagerungszustände gegeben, die gemäß (2.13) und (2.14) berechnet wurden. Dabei wird der
Einfachheit halber eine Überlagerung zweier räumlich getrennter Zustände im
”
Abstand d“ betrachtet, so dass kein Überlapp“ zustandekommt und die Dichte”
funktionen auf Delta-Funktionen reduziert werden können. Die Energiedifferenz
wird damit bis auf einen Zahlenfaktor der Größenordnung 1 zu
Gm2
,
d
(2.15)
~d
.
4πGm2
(2.16)
∆E = 4π
entsprechend gilt für die Lebensdauer
∆T =
8
Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
m [kg]
10−30
10−27
10−18
10−12
d [m]
10−10
10−10
10−7
10−5
∆T [s]
1025
1019
104
10−6
Kommentar
Elektron mit d = aB
Nukleon mit d = aB
Wassertropfen mit r = 10−7 m, berührend
Wassertropfen mit r = 10−5 m, berührend
Tab. 2.1: Lebensdauern ∆T bei Masse m und Abstand“ d
”
Man kann aus Tabelle 2.1 deutlich erkennen, dass die Lebensdauern für die
in der Quantenmechanik üblicherweise betrachteten Teilchen in einem Bereich
liegen, der die beschriebenen Zustandsreduktionen vernachlässigbar erscheinen
lässt. Ortszustände für makroskopische Objekte unterliegen dagegen schnellen
Reduktionen.2
2.2
Basiszustände für eine objektive Zustandsreduktion
Welches sind nun die Basiszustände, aus denen solche Überlagerungszustände
aufgebaut sind, und in die sie also auch zerfallen?
Offensichtlich können dies nicht die üblichen Freie-Teilchen-Zustände der
nichtrelativistischen Quantenmechanik sein. Es ist aber evident, dass die Basiszustände die Rückwirkung der Massen auf die Krümmung der Raumzeit widerspiegeln müssen, wie dies bereits oben bei der Definition der Differenzenergie
der Fall war. Penrose selbst hat in [Penrose (1995, 1998)] vorgeschlagen, diese
Rückwirkung zu inkorporieren, indem als Basiszustände die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung
−
~2
∆Ψ = (E − V )Ψ
2m
(2.17)
∆V = 4πGm2 |Ψ|2
(2.18)
mit dem Potential V aus
gewählt werden.3 Formal ist dies eine nichtlineare Schrödingergleichung, in der
das betrachtete Teilchen ein Potential sieht, wie es sich aus seiner Aufenthaltswahrscheinlichkeit ergibt.
2
Die in der Tabelle betrachteten Wassertröpfchen sind natürlich schon mit einem einfachen
Mikroskop beobachtbar. Um die Newton-Schrödinger-Gleichung experimentell zu überprüfen,
müsste aber jeder äußere Einfluß auf ein solches Tröpfchen unterbunden werden, der ebenfalls
zu einer Zustandsreduktion führen kann.
3
Als Analogie mag die Hartree-Näherung in der Vielteilchentheorie herangezogen werden, bei
der ein herausgegriffenes Teilchen das über die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten aller anderen
Teilchen gemittelte Potential sieht.
2.2. Basiszustände für eine objektive Zustandsreduktion
9
Die Newton-Schrödinger-Gleichung ist damit der in Abbildung 2.3 veranschaulichte Versuch, die Rückwirkung der gemäß der Allgemeinen Relativitätstheorie durch die Masse erzeugten Raumkrümmung auf die quantenmechanischen
Zustände dieser Masse selbst zu beschreiben. Bei Vernachlässigung der Raumkrümmung, also bei Verwendung der Minkowski-Metrik, wird die Wellenfunktion
eines freien Teilchens durch ebene Wellen beschrieben. Berücksichtigt man dagegen eine vom Teilchen selbst verursachte Raumkrümmung, so sollte man eine
nicht konstante Form der Aufenthaltswahrscheinlichkeit erwarten.
2
|Y1| (
2
)
Raumzeit durch
Masse an Position 1
+
|Y2| (
)
Raumzeit durch
Masse an Position 2
=
?
? ? ?
Abb. 2.2: Überlagerung der Raumzeiten der Einzelzustände einer Masse an zwei
verschiedenen, äquivalenten Positionen
2.2.1
Herleitung der Newton-Schrödinger-Gleichung aus
einem Variationsprinzip
Die Newton-Schrödinger-Gleichung kann auch als Grenzfall einer Quantisierung
der Newton-Cartan-Raumzeit mit Hilfe eines Variationsprinzips gewonnen werden. Eine detaillierte Herleitung aus den differentialgeometrischen Zusammenhängen findet sich in [Christian (1997)]. Hier sollen nur die relevanten Ergebnisse
zitiert werden.
Das Wirkungsfunktional I in der quantisierten Newton-Cartan-Raumzeit wird
10
Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
freies Teilchen in
flacher Raumzeit
quantenmechanische Wellenfunktion
= ebene Welle
freies Teilchen erzeugt
gekrümmte Raumzeit
quantenmechanische Wellenfunktion
= lokalisierte Welle
Abb. 2.3: Freies Teilchen in Minkowksi- und allgemeiner Metrik: Selbstwechselwirkung durch Raumkrümmung?
– für eine verschwindende kosmologische Konstante – durch
Z Z 1
~2 ab
~
I=
φ∆φ +
δ ∂a Ψ∂b Ψ + i Ψ∂t Ψ − Ψ∂t Ψ − mΨΨφ dx dt
8πG
2m
2
(2.19)
beschrieben. Aus der Variation dieses Wirkungsfunktionals nach dem skalaren
Potential φ ergibt sich für das Potential φ die Gleichung
∆φ = 4πGmΨΨ∗
und bei Variation nach dem Materiefeld Ψ die Schrödinger-Gleichung
~2
∆ + mφ Ψ
i~∂t Ψ = −
2m
(2.20)
(2.21)
mit einem externen Gravitationspotential. Die beiden gekoppelten Gleichungen
werden in diesem Zusammenhang als Beschreibung eines Teilchens in seinem eigenen Gravitationsfeld im Rahmen der Newton-Cartan-Raumzeit interpretiert.
2.2.2
Einordnung und Vergleich mit ähnlichen Systemen
Drückt man das Potential V nicht durch die differentielle Poisson-Gleichung
(2.18) aus, sondern in integraler Form
Z
−Gm2
V (r) =
|Ψ(r0 )|2 dr0 ,
(2.22)
|r − r 0 |
11
2.3. Die WKB-Theorie
so kann das gesamte System durch Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung (2.17)
als Integro-Differentialgleichung geschrieben werden,
Z
Gm2
~2
∆Ψ = (E +
|Ψ(r 0 )|2 dr 0 )Ψ.
(2.23)
−
2m
|r − r 0 |
Es ist daher ein Element der Klasse allgemeiner nichtlinearer SchrödingerGleichungen
Z
~2
0
0 2
0
−
(2.24)
∆ + K(r, r )|Ψ(r )| dr Ψ(r) = EΨ(r),
2m
mit beliebigem Kern K(r, r0 ). Ein prominentes Beispiel dieser Klasse ist die der
Bose-Einstein-Kondensation zugrundeliegende Gross-Pitaevskii-Gleichung
~2
0 2
−
(2.25)
∆ + g|Ψ(r )| Ψ(r) = EΨ(r),
2m
die durch den Integralkern
K(r, r 0 ) = gδ(r, r 0 )
(2.26)
entsteht. Bose-Einstein-Kondensation in dipolaren Gasen kann durch den Integralkern
n(r − r 0 )
1
0
2
(2.27)
K(r, r ) = 2d P2
0
|r − r |
|r − r 0 |3
beschrieben werden [Santos u. a. (2000)]. Dabei ist P2 das zweiten LegendrePolynom, d die Kopplungsstärke und n der Einheitsvektor, der die Ausrichtung
der Dipole angibt. Vergleicht man die letzte Gleichung mit (2.23), so fällt die
formale Ähnlichkeit mit Monopol- bzw. Dipolterm aus der Elektrodynamik ins
Auge. Das Newton-Schrödinger-System ist somit Teil einer Klasse von physikalisch relevanten nichtlinearen Schrödingergleichungen.
2.3
2.3.1
Die WKB-Theorie
Ziele der WKB-Theorie
Zielsetzung der nach Wenzel, Kramers und Brillouin benannten Methode ist die
Bestimmung näherungsweiser Wellenfunktionen und Energieeigenwerte für ein
(z.B. radialsymmetrisches) eindimensionales quantenmechanisches Problem. Voraussetzung ist, dass das zugehörige Potential V hinreichend langsam mit dem
Ort variiert. Die grundsätzliche Schwierigkeit der Anwendung dieser Methode
auf nichtlineare Schrödinger-Gleichungen liegt in der Zustandsabhängigkeit der
Potentiale.
12
2.3.2
Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
Herleitung der WKB-Wellenfunktionen
Ausgangspunkt ist die zeitunabhängige Schrödingergleichung des eindimensionalen Systems
~2 2
∂ + V Ψ.
(2.28)
EΨ = −
2m x
Man setzt nun die Form
Ψ(x) = A(x) exp
i
B(x)
~
(2.29)
mit den (für E > V reellen) Funktionen A(x) und B(x) (die Amplitude und Phase
beschreiben) an, führt die Ableitungen aus und trennt nach Real- und Imaginärteil. Man erhält dann nach Division durch den Exponentialterm die Gleichungen
1
2m
(E − V )A = −∂x2 A + 2 (∂x B)2 A
2
~
~
0 = 2∂x A∂x B + A∂x2 B.
(2.30)
(2.31)
Die zweite Gleichung kann sofort integriert werden und liefert den Zusammenhang
r c
e1
A=
(2.32)
∂x B
mit einer beliebigen Integrationskonstanten c1 . Einsetzen in die erste Gleichung
ergibt nach kurzer Umformung
3
2m(E − V ) = − ~2
4
∂x2 B
∂x B
2
1 ∂3B
+ ~2 x + (∂x B)2 .
2 ∂x B
(2.33)
Bis hierher wurde noch keine Nährung angewendet! Leider ist die nun vorliegende
nichtlineare Differentialgleichung dritter Ordnung aber keineswegs einfacher zu
lösen als die ursprüngliche. Daher muss eine sinnvolle Näherung gefunden werden,
die das System vereinfacht.
Man entwickelt dazu die Funktion B in eine Potenzreihe von λ = ~2 , das als
Ordnungsparameter angesehen wird (im klassischen Grenzfall wäre ja ~ → 0):
B = B0 + λB1 + λ2 B2 + . . .
(2.34)
Mit Hilfe dieser Entwicklung kann man jetzt Gleichung (2.33) nach Potenzen von
λ ordnen:
1 ∂x3 B0
3 2
2
2
(∂ B0 ) −
− 2(∂x B0 ∂x B1 )
0 =2m(E − V ) − (∂x B0 ) + λ
4 x
2 ∂x B0
+ λ2 (. . .) + . . .
(2.35)
13
2.3. Die WKB-Theorie
Als erste Näherung betrachtet man das System in nullter Ordnung von λ, so dass
2m(E − V ) = (∂x B0 )2
(2.36)
zu lösen bleibt. Für ein gegebenes Potential lässt sich dieses Problem dann meist
einfach integrieren. Man findet allgemein zwei Typen von Lösungen, die sich im
Vorzeichen von E−V unterscheiden. Da in der klassischen Mechanik nur Zustände
möglich sind, für die E > V gilt, spricht man von klassisch erlaubten und klassisch
verbotenen Zuständen.
• Betrachtet man zunächst klassisch erlaubte Zustände, so fällt auf, dass bei
der Lösung von (2.36) in der Form
∂x B0 (r) = ±
p
2m(E − V (x)) = ±p(x)
(2.37)
der klassische Impuls p(x) auftritt. Die Funktion B0 entspricht dann der
Wirkung
Z x
B0 (x) − B0 (a) = ±
p(x0 )dx0
(2.38)
a
gemessen von einem Anfangspunkt a; da B0 (a) = const, vereinfacht sich
dies nun noch zu
Z x
B0 (x) = ±
p(x0 )dx0 + const .
(2.39)
a
Damit wird die allgemeine Wellenfunktion dieser Zustände zu
Z x
Z
i x
i
0
0
0
0
,
C1 exp
p(x )dx + C2 exp −
p(x )dx
~ a
~ a
(2.40)
wobei c1 und der aus der Integrationskonstante resultierende Faktor zu Faktoren Ci zusammengefasst wurden. Es handelt sich also um eine Überlagerung oszillierender Funktionen.
1
Ψ(x) = p
p(x)
• In den klassisch verbotenen Gebieten wird der Impuls p(x) imaginär. Formal
kann die Wellenfunktion in diesem Bereich aber genauso gewonnen werden.
Berücksichtigt man zusätzlich noch die Bedingung der Normierbarkeit, so
fällt der Anteil der Wellenfunktion mit exponentiellem Anstieg weg, und es
verbleibt
Z
1
1 x
0
0
Ψ(x) =
C exp −
|p(x )|dx .
(2.41)
|p(x)|
~ a
14
Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
2.3.3
Einschränkungen und Probleme
• Die WKB-Methode ist nur auf eindimensionale Systeme anwendbar; d.h.,
ein Problem muß zumindest in Radial- und Winkelanteil separierbar sein,
wobei der Winkelanteil auf andere Weise gelöst werden muß. Die Erweiterung der WKB-Theorie auf mehrdimensionale Probleme ist nur für integrable Systeme möglich und als als EBK-Methode (nach Einstein, Brillouin
und Keller) oder unter dem Stichwort Torusquantisierung“ bekannt. Für
”
unsere Zwecke ist die WKB-Methode aber ausreichend.
• Wie bei jeder Näherungsmethode muss die Gültigkeit der WKB-Lösung
eines Systems geprüft werden. Als erster Test kann eine Betrachtung des
zweiten Terms der Entwicklung (2.34) gelten. Er resultiert in einem Korrekturfaktor der Wellenfunktion:
Ψ1 = Ψ0 exp {i~B1 }
(2.42)
Die Indizes der Wellenfunktionen Ψi sollen hier die höchste in die Lösung
einfließende Ordnung der Entwicklung angeben. Man kann nun sofort sagen,
dass die Näherung in nullter Ordnung gültig sein wird, wenn
~B1 1
(2.43)
ist. Aus der nach λ sortierten Gleichung findet man für die Korrekturen
erster Ordnung
!
2
3 ∂x2 B0
1 ∂x3 B0
− 2∂x B0 ∂x B1 = 0.
(2.44)
λ
−
4 ∂x B0
2 ∂x B0
Mit der Abkürzung
`=
~
~
=p
∂ x S0
2m(E − V )
(2.45)
und aufgelöst nach ∂x B1 gilt
~∂x B1 = −
1 (∂x `)2 1 2
+ ∂x `
8 `
4
(2.46)
(∂x `)2
.
`
(2.47)
oder, einmal integriert
1
1
~B1 = ∂x ` −
4
8
Z
Bedingung (2.43) wird dann erfüllt sein, wenn
∂x ` 1
(2.48)
15
2.3. Die WKB-Theorie
gilt; die äquivalente Formulierung mit dem Potential V lautet
~m∂x V
3
(2m(E − V )) 2
1.
(2.49)
Diese Gleichung stellt die quantifizierte Version der erwähnten Forderung
hinreichend langsamer Variation des Potentials dar.
• Wie unschwer aus den oben hergeleiteten WKB-Wellenfunktionen (2.40)
und (2.41) zu erkennen ist, treten an den klassischen Umkehrpunkten, wo
E = V bzw. p = 0 gilt, Singularitäten auf. Dies kann zum einen zu Schwierigkeiten mit der Normierung der Wellenfunktion führen, zum anderen stellt
sich die Frage, wie der Zusammenhang zwischen den Wellenfunktionen im
klassisch erlaubten und verbotenen Bereich ist. Beide Probleme können oft
durch die Methode der uniformen Näherung gelöst werden.
2.3.4
Die uniforme Näherung
Ausgangspunkt der uniformen Näherung ist die Idee, anstelle des gegebenen Problems ein einfacher lösbares mit derselben Struktur – bezogen auf die Umkehrpunkte – zu lösen und die gewonnene Lösung an das ursprüngliche Problem anzupassen. Eine ausführliche Übersicht über die Methode findet sich z.B. in [Berry
u. Mount (1972)]. Wir beschränken uns im Folgenden auf Probleme mit einem
einzigen Umkehrpunkt.
Sei xU die Koordinate des Umkehrpunktes. Für den Impuls p gilt
p2 > 0 für x < xU
(2.50)
p2 < 0 für x > xU .
(2.51)
und
Am Umkehrpunkt selbst ist natürlich p(xU ) = 0. Dies legt die Näherung
p2 ≈ c(xU − x)
(2.52)
c = ∂x p2 x=x
(2.53)
mit der Konstanten
nahe. Die Schrödinger-Gleichung
∂x2
p2
+ 2
~
U
Ψ=0
(2.54)
lässt sich mit dieser Näherung in der Umgebung des Umkehrpunktes schreiben
als
c(xU − x)
2
Ψ = 0.
(2.55)
∂x +
~2
16
Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
Ein Übergang auf die immer reelle Variable
c 13
q=
(xu − x)
~2
(2.56)
(∂q2 + q)ψ = 0,
(2.57)
ψ(q) = Ψ(q(x))
(2.58)
vereinfacht die genäherte Schrödinger-Gleichung zu
wobei
ist. Gleichung (2.57) wird von den Airy-Funktionen Ai(−q) und Bi(−q) gelöst:
ψAiry = αAi(−q) + βBi(−q),
α, β beliebig
Das asymptotische Verhalten der Airy-Funktionen ist bekannt. Es gilt
1 −1
2 3 π
4
2
Ai(−q) ∼ √ q cos
q −
für q → ∞
π
3
4
1
2 3
− 41
∼ √ |q| exp − |q| 2
für q → −∞
2 π
3
(2.59)
(2.60)
(2.61)
und
1 −1
2 3 π
Bi(−q) ∼ √ q 4 sin
q2 −
für q → ∞
π
3
4
1
2 3
− 41
∼ √ |q| exp
für q → −∞.
|q| 2
π
3
Nach Gleichung (2.40) ist die WKB-Lösung von (2.57) aber
Z q
Z
p
1
i
i qp 0
0
0
0
ψ= p
c1 exp
q ~ dq + c2 exp −
q ~ dq
4
~ a
~ a
q~2
(2.62)
(2.63)
(2.64)
im klassisch erlaubten Bereich, und entsprechend im verbotenen. Da wir um xU
entwickelt haben, wird der Umkehrpunkt als Startpunkt der Integration verwendet:
a = xU
(2.65)
Das Integral im Exponenten lässt sich nun auswerten, und man erhält (der Einfachheit halber sei der aus xU resultierende konstante Anteil in den ci ’s absorbiert)
1
2 3
2 3
2
2
ψ= p
c1 exp i q
+ c2 exp −i q
.
(2.66)
4
3
3
q~2
17
2.4. Quantenmechanik und Semiklassik
Der Vergleich mit (2.40) zeigt, dass die WKB-Wellenfunktion Ψ durch
2 14
~q
Ψ̃ =
ψAiry
|p2 |
mit der Definition
1
2 3
q2 =
3
~
Z
(2.67)
x
p(x0 )dx0
(2.68)
xU
im klassisch erlaubten Bereich angenähert werden kann. Im klassisch verbotenen
Bereich muss q < 0 gelten. Deshalb führt man einen zusätzlichen Phasenfaktor
ein und definiert dort
Z
3πi 1 x
2 3
q 2 = exp ±
p(x0 )dx0 .
(2.69)
3
2 ~ xU
Somit ist Gleichung (2.67) eine für alle x gleichermaßen gültige Näherungsschreibweise für Ψ, die die Divergenz am klassischen Umkehrpunkt vermeidet.
2.4
Quantenmechanik und Semiklassik
Der Formalismus der Quantenmechanik gestattet die Lösung einer Vielzahl von
Problemstellungen. Dennoch gibt es Systeme, für die Näherungsmethoden zur Lösung notwendig sind – ein Beispiel wäre die bereits beschriebene WKB-Methode
– und solche, bei denen zwar eine quantenmechanische Lösung vorhanden, ihre
anschauliche Deutung aber nicht offensichtlich ist. In solchen Fällen können oft
semiklassische Methoden zu einem tieferen Verständnis des physikalischen Gehalts eines Problems und seiner Lösungen führen. Die Bezeichnung Semiklassik“
”
deutet bereits an, dass hierbei Parallelen zur klassischen Mechanik – insbesondere
zum Lagrange- bzw. Hamiltonformalismus – gezogen werden. Allgemein versteht
man unter Semiklassik – im Sinne des Bohrschen Korrespondenzprinzips – die
Quantenmechanik im Fall großer“ Quantenzahlen.
”
2.4.1
Ein kurzer Vergleich zwischen Quantenmechanik
und Semiklassik
Welche Näherungen werden gegenüber der Quantenmechanik in der Semiklassik
eingeführt?
Im Feynmanschen Pfadintegralformalismus der Quantenmechanik wird die
Propagation eines Teilchens im wesentlichen durch die Aufsummierung der Integration der klassischen Lagrangefunktion L
Z
X Z Endpunkt
i
Ldt
exp
~
Anfangspunkt
alle Pfade
18
Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
entlang aller möglichen Pfade von Anfangs- zu Endort durchgeführt. Im klassischen Grenzfall muss der tatsächliche Pfad das oben auftretende Wirkungsintegral
minimieren. Für hohe Quantenzahlen wird die Exponentialfunktion stark oszillieren, so dass sich Beiträge abseits des minimierenden Pfades schnell wegheben
werden. Aus diesem Grund ist es dann legitim, als erste Näherung für das quantenmechanische System tatsächlich nur den klassischen Pfad zu berücksichtigen.
Sind – wie etwa beim Doppelspaltexperiment – klassisch zwei unterschiedliche
Pfade möglich, dann muss bei diesem Vorgehen aber die Superposition der Wegintegrale entlang dieser beiden Wege als Näherungslösung verwendet werden. In
diesem Sinne ist die Behandlung des Systems immer noch quantenmechanisch“
”
– es werden lediglich die Pfade mit geringerer Wahrscheinlichkeit vernachlässigt.
Man kann bereits hier Analogien zur Bohr-Sommerfeld-Näherung erkennen, die
den stabilen Bahnen“ der Elektronen im Atom Bedingungen hinsichtlich der
”
integrierten Wirkung auferlegt.
2.4.2
Energieniveaus
sierung
und
Bohr-Sommerfeld-Quanti-
Die Energieniveaus eines Systems sind in der Quantenmechanik die Eigenwerte
des Hamiltonoperators. Im semiklassischen Grenzfall können diese auf die periodischen Bahnen des korrespondierenden klassischen Systems zurückgeführt werden
(Bohr-Sommerfeld-Quantisierung). Anschauliche Vorstellung ist, dass zwischen
zwei Umkehrpunkte genau eine ganze Zahl von Halbwellen passen muss, damit
die entsprechende Bahn periodisch ist. Durch die zusätzliche Forderung eines
stetigen Übergangs von oszilliernder Wellenfunktion im klassisch erlaubten Bereich zu exponentiellem Abfall im klassisch verbotenen Bereich kommt noch ein
Maslov-Index“ genannter Term η hinzu, so dass die vollständige Quantisierungs”
bedingung für die Wirkung W (E) zwischen den Umkehrpunkten a und b
Z b
!
W (E) = 2
p(x)dx = h (n + η)
(2.70)
a
gilt. Beim harmonischen Oszillator ist η beispielsweise 21 . Für ein vorgegebenes
Potential V ist dann der Weg zu den Energieeigenwerten vorgezeichnet. Mit dem
Impuls
p
p(x) = 2m (E − V (x))
(2.71)
stellt Gleichung (2.70) eine Bedingung für die zulässigen Energien dar. Betrachtet
man ein Coulomb-Potential,
Ze2
VC = −
(2.72)
x
so führt uns das zu der Bestimmungsgleichung
r
Z xU r
Ze2
m !
2
dx = 2πZe −
E+
= h (n + η)
(2.73)
W (E) = 2
x
2E
0
19
2.4. Quantenmechanik und Semiklassik
mit dem Umkehrpunkt
Ze2
.
E
(2.74)
1 Z 2 e4 m
Z 2 Ry
=
,
2 ~2 (n + η)2
(n + η)2
(2.75)
xU = −
Auflösen nach E ergibt schlussendlich
E=−
wobei Ry die Rydbergenergie darstellt. Ein Vergleich mit den exakten Energien
liefert für das Coulomb-Problem den Maslov-Index η = 0. Die Tatsache, dass
mit dieser Wahl von η die quantenmechanischen Ergebnisse von der Semiklassik
vollständig reproduziert werden, stellt aber eine echte Ausnahme dar.
20
Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
Kapitel 3
Analytische Eigenschaften der
Newton-Schrödinger-Gleichung
Aus dem Newton-Schrödinger-System allein können bereits einige allgemeine Eigenschaften von Lösungen abgeleitet werden. Dies ermöglicht es, gezielt Ansätze
für Näherungslösungen aufzustellen. Neben den allgemeinen Eigenschaften der
Gleichungen wird besonderes Augenmerk auf die zu erwartenden Lösungstypen
und ihre asymptotischen Eigenschaften gelegt.
3.1
3.1.1
Allgemeine Eigenschaften
Die Standardform
Das eigentliche Newton-Schrödinger-System
2m
(E − V (r))Ψ(r)
~2
∆V (r) = 4πGm2 |Ψ(r)|2 .
∆Ψ(r) = −
(3.1)
(3.2)
bestehend aus der Schrödingergleichung der Quantenmechanik und der Poissongleichung der Newtonschen Gravitation, kann insbesondere für die hier relevanten
radialsymmetrischen Probleme auf eine handlichere Form gebracht werden. Mit
der radialsymmetrischen Form des ∆-Operators
2
∆ → ∂r2 + ∂r
r
(3.3)
und der Transformation
2m
(E − V )
~2
√
8πGm3
Ψ
S(r) =
~
U (r) =
21
(3.4)
(3.5)
22
Kapitel 3. Analytische Eigenschaften der Newton-Schrödinger-Gleichung
erhält man ein vereinfachtes System für S und U ,
∆S = −U S
∆U = −|S|2 .
(3.6)
(3.7)
1
Beide Funktionen haben die Dimension (Länge)
2 . Im Folgenden werden die Funktionen U und S der Einfachheit halber als Potential und Wellenfunktion bezeichnet.
3.1.2
Klassifizierung der Newton-Schrödinger-Gleichung
Das Newton-Schrödinger-System besteht aus zwei gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Sie können in eine einzige nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung umgeschrieben werden:
∂r4 S(r) =
S|S|2 2(∂r S)2 ∂r2 S 2∂r3 S (∂r2 S)2 2∂r S∂r2 S 2∂r S∂r3 S
−
−
+
+
+
(3.8)
r2
S2
r
S
rS
S
Ein lineares System vierter Ordnung hätte vier unabhängige Konstanten in seiner Lösung. Wir werden im Zuge der WKB-Näherung sehen, dass das dort entstehende linearisierte Gleichungssystem ebenfalls vier unabhängige Konstanten
aufweisen wird.
3.1.3
Symmetrie von S
Betrachtet man Gleichungen (3.6) und (3.7), so wird unmittelbar klar, dass zu
einer gegebenen Lösung (U, S) auch (U, −S) eine Lösung darstellt. Somit kann
das Vorzeichen von S beliebig gewählt werden. Da lediglich |S|2 physikalische
Bedeutung hat, ist dies nicht weiter überraschend. Im Folgenden wird deshalb
von
S(0) ≥ 0
(3.9)
ausgegangen.
3.1.4
Darstellung in Integralform
Ausgehend von den Gleichungen (3.6) und (3.7) kann man, wie in [Tod u. Moroz
(1999)] gezeigt, eine integrale Form des Systems aufstellen. Man schreibt das
System dazu als
1
∂r (r 2 ∂r S) = −U S
2
r
1
∂r (r 2 ∂r U ) = −S 2 .
2
r
(3.10)
(3.11)
23
3.2. Verschiedene Lösungstypen
Multiplizieren mit r 2 und Integration von 0 bis r liefert
Z
1 r 2
∂r S(r) = − 2
x U (x)S(x)dx
r 0
Z
1 r 2
x S(x)2 dx,
∂r U (r) = − 2
r 0
eine weitere Integration führt zu
Z r
Z r
Z
1 y 2
∂x S(x)dx = S(r) − S(0) = −
x U (x)S(x)dx dy
2
0
0 y
0
Z
Z r
Z r
1 y 2
x S(x)2 dx dy.
∂x U (x)dx = U (r) − U (0) = −
2
y
0
0
0
(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
Das innere Integral kann als Funktion der Variablen y innerhalb des äußeren
Integrals behandelt werden. Eine partielle Integration vereinfacht die Gleichungen
dann zu
Z
Z r
1 r 2
1 2
S(r) − S(0) =
x U (x)S(x)dx −
y U (y)S(y)dy
(3.16)
r 0
0 y
Z r
Z
1 2
1 r 2
2
x S(x) dx −
U (r) − U (0) =
y S(y)2 dy,
(3.17)
r 0
y
0
und schließlich
Z
r
x
x( − 1)U (x)S(x)dx
r
Z0 r
x
U (r) = U (0) +
x( − 1)S(x)2 dx.
r
0
S(r) = S(0) +
3.2
3.2.1
(3.18)
(3.19)
Verschiedene Lösungstypen
Partikuläre Lösungen
Hartmann und Schmidt [Hartmann (1999)] haben darauf hingewiesen, dass partikuläre Lösungen existieren, deren einfachste die triviale
S=0
U = const
(3.20)
(3.21)
ist. Eine weitere Lösung ist das System
±2
r2
−2
U= 2,
r
S=
das für r → 0 quadratisch divergiert und somit nicht mehr normierbar ist.
(3.22)
(3.23)
24
3.2.2
Kapitel 3. Analytische Eigenschaften der Newton-Schrödinger-Gleichung
Gebundene Lösungen
In [Tod u. Moroz (1999)] wurde gezeigt, dass es eine Familie von gebundenen
Lösungen gibt, d.h. Lösungen, die für alle r endlich und normierbar sind. Neben
einem eindeutigen, normierbaren Grundzustand minimaler negativer Energie der
Funktion S ohne Nullstelle gibt es zu jedem n ∈ N normierbare Lösungen höherer Energie mit n Nullstellen, deren Eindeutigkeit aber noch nicht analytisch
bewiesen werden konnte. Für n → ∞ geht die (negative) Energie der zugehörigen
gebundenen Lösungen streng monoton gegen null.
3.3
Skalierungsverhalten des Systems
Das Newton-Schrödinger-System weist eine Skalierungsinvarianz auf, die zur Bestimmung normierter Lösungen von großem Nutzen ist. Seien S(r) und U (r) ein
Paar von Lösungen. Dann liefert die Abbildung
r
Γ : (S, U, r) → (µ2 S, µ2 U, ) =: (S̃, Ũ , r̃)
µ
(3.24)
wiederum ein Paar von Lösungen S̃ und Ũ mit der ebenfalls skalierten Radiusvariablen r̃. Der Beweis dieser Behauptung folgt direkt durch Einsetzen in das
System:
2
S̃
S̃
Ũ S̃
2
∂r2 S + ∂r S = −U S → ∂r2 2 + ∂r 2 = − 4
r
µ
µr̃ µ
µ
2 Ũ
Ũ
S̃ 2
2
∂r2 U + ∂r U = −S 2 → ∂r2 2 + ∂r 2 = − 4 .
r
µ
µr̃ µ
µ
(3.25)
(3.26)
Die Kettenregel liefert beim Übergang auf die skalierte Radiusvariable r̃ dann
1
∂r̃
µ
1
∂r2 = 2 ∂r̃2
µ
∂r =
(3.27)
(3.28)
und somit
2
∂r̃2 S̃ + ∂r̃ S̃ = −Ũ S̃
r̃
2
2
∂r̃ Ũ + ∂r̃ Ũ = −S̃ 2 .
r̃
Ist eine nichtnormierte Lösung des Systems bekannt, gilt also
Z ∞
4π
Ψ2 r 2 dr = N 6= 1,
0
(3.29)
(3.30)
(3.31)
3.4. Asymptotik von Potential und Wellenfunktion
oder mit der Funktion
S(r) =
geschrieben
~2
2Gm3
Z
r
∞
25
8πGm3
Ψ(r)
~2
(3.32)
S 2 r 2 dr = N,
(3.33)
0
dann erhält man eine normierte Lösung als Ergebnis einer Transformation Γ(µ)
mit µ so, dass gilt
Z ∞
~2
S̃ 2 r̃ 2 dr̃ = 1.
(3.34)
2Gm3 0
Einsetzen der Rücktransformation liefert dann für µ
µ=
3.4
1
.
N
(3.35)
Asymptotik von Potential und Wellenfunktion
Aus den Integralgleichungen (3.18) und (3.19) lässt sich das asymptotische Verhalten von Lösungen bestimmen (vgl. auch [Tod u. Moroz (1999)]). Dies ermöglicht eine Prüfung der WKB-Lösung und die Bestimmung einiger auftretender
Integrationskonstanten.
3.4.1
Verhalten für r → ∞
Wir betrachten zunächst die Funktion U (r):
Z
Z r
1 r 2 2
2
x S dx
U (r) = U (0) −
xS dx +
r 0
0
(3.36)
Da die betrachteten Lösungen alle normierbar sein sollen, ist klar, dass das zweite
Integral im Grenzfall r → ∞ einen endlichen Wert annehmen wird. Weil r > 0
gilt und S(0) ebenfalls einen endlichen Wert darstellt, ist unmittelbar einsichtig,
dass auch das erste Integral konvergieren muss. Damit nimmt die Funktion U im
Grenzfall die Form
Q
(3.37)
U∞ = P +
r
mit den Abkürzungen
Z ∞
xS 2 dx
(3.38)
P := U (0) −
0
Z ∞
2Gm3
Q :=
x2 S 2 dx =
N
(3.39)
~2
0
26
Kapitel 3. Analytische Eigenschaften der Newton-Schrödinger-Gleichung
an. Unter Berücksichtigung der Skalierungsinvarianz kann jetzt der Energieeigenwert, der zur normierten Lösung einer – etwa aus der Numerik – gegebenen
Funktion S(r) gehört, bestimmt werden. Dazu verwendet man die Definition der
Funktion Ũ und die Forderung, dass das Potential V im Unendlichen null werden
soll:
2m
(E − V (r))
~2
2m
Ũ∞ = 2 E
~
~2
~2 2
⇒E=
Ũ∞ =
µ U∞
2m
2m
~2 4Gm6
2m5 G2 P
=
P
=
2m ~4 Q2
~2 Q 2
Ũ (r) =
(3.40)
Mit Hilfe dieser Form können später die Integrationskonstanten der WKB-Lösung
und die Energieeigenwerte zu den nichtnormierten numerischen Lösungen bestimmt werden.
Um das Verhalten von S(r) für r → ∞ zu bestimmen, setzt man (3.37) in
die bestimmende Differentialgleichung (3.6) ein. Für unsere Zwecke genügt es
hierbei, U∞ = P = const anzusetzen 1 . Die allgemeine Lösung der resultierenden
Differentialgleichung
2
(3.41)
∂r2 S + ∂r S + P S(r) = 0
r
ergibt
o
n √
1
c2
S(r) = exp − −P r
c1 + √
.
(3.42)
r
2 −P
Ein solcher im wesentlichen exponentieller Abfall ist für die Wellenfunktion im
klassisch verbotenen Bereich auch zu erwarten.
3.4.2
Verhalten für r → 0
Um das Verhalten der Funktionen U (r) und S(r) in der Umgebung von null zu
untersuchen, entwickelt man beide Funktionen formal in eine Taylorreihe. Berücksichtigt man darüber hinaus, dass beide Funktionen aus Symmetriegründen
gerade sein müssen, so erhält man für S(r)
1
1 6 6
1
r ∂r S|0 + O(r 8 ),
S(r) = S(0) + r 2 ∂r2 S|0 + r 4 ∂r4 S|0 +
2
24
720
(3.43)
das Ergebnis für die vollständige Form mit dem r1 -Term findet sich im Anhang A; man
erhält dann Coulomb-Wellenfunktionen. Die für uns wesentlichen Eigenschaften ändern sich
aber nicht.
1
27
3.4. Asymptotik von Potential und Wellenfunktion
ebenso natürlich den Ausdruck für U (r). Bildet man nun die Ableitungen dieser
Terme
1
1 5 6
∂r S = r∂r2 S|0 + r 3 ∂r4 S|0 +
r ∂ S|0 + O(r 7 )
6
120 r
1
1
∂r2 S = ∂r2 S|0 + r 2 ∂r4 S0 + r 4 ∂r6 S|0 + O(r 6 )
2
24
(3.44)
und setzt sie in das Newton-Schrödinger-System ein, dann kann man nach Potenzen von r ordnen. Es ergibt sich aus (3.6)
2
1
1 1
1
2
4
4
6
2
2
∂r S + ∂r S = 3∂r S0 + r
∂r S|0 + r
∂r S|0 + O(r 6 )
+
+
r
3 2
24 60
1 2
= − S0 U0 − r U0 ∂r2 S|0 + S0 ∂r2 U |0
2
1
1
1 2
4
4
4
2
−r
U0 ∂r S|0 + S0 ∂r U |0 + ∂r S|0 ∂r U0 + O(r 6 )
24
24
4
und aus (3.7)
∂r2 U
2
1 4
1 4
2
2
+ ∂r U = 3∂r U0 + r
∂ U |0 + ∂ r U |0
r
3 r
2
1 6
1 6
4
∂ U |0 + ∂r U |0 + O(r 6 )
+r
24 r
60
1
1 2
2
2
2
4
4
2
= − S0 − r S0 ∂r S|0 − r
S0 ∂r S|0 + (∂r S|0 ) + O(r 6 )
12
4
Diese Beziehungen müssen für die verschiedenen Ordnungen von r separat erfüllt
sein. Damit gewinnt man für die höheren Ableitungen bei r = 0 die Relationen
1
∂r2 S|0 = − U (0)S(0)
3
3
∂r4 S|0 = − (U (0)∂r2 S|0 + S(0)∂r2 U |0 )
5
1
1
= S0 U02 + S03
5
5
1
19
∂r6 S|0 = − S0 U03 − S03 U0
7
21
1
∂r2 U |0 = − S(0)2
3
6
∂r4 U |0 = − S(0)∂r2 S|0
5
2 2
= S0 U 0
5
16
2
∂r6 U |0 = − S02 U02 − S04
21
7
(3.45)
unter der Annahme, dass
|S(0)2 + r 2 S(0)∂r2 S|0 + O(r 4 )| = S(0)2 + r 2 S(0)∂r2 S|0 + O(r 4 ).
(3.46)
In einer geeigneten Umgebung von null gilt dies immer, wenn ∂r2 S|0 nicht divergiert und S(0) > 0 erfüllt ist. Die Reihenentwicklungen von U (r) und S(r)
28
Kapitel 3. Analytische Eigenschaften der Newton-Schrödinger-Gleichung
ergeben sich somit zu
1 4
1
r (U (0)2 S(0) + S(0)3 ) + O(r 6 )
S(r) = S(0) − r 2 U (0)S(0) +
6
120
1 4
1 2
2
U (r) = U (0) − r S(0) + r S(0)2 U (0) + O(r 6 ).
6
60
(3.47)
(3.48)
Kapitel 4
Numerische Lösung der
Newton-Schrödinger-Gleichung
Vorgehensweise und Ergebnisse einer numerischen Behandlung des NewtonSchrödinger-Systems sollen in diesem Kapitel vorgestellt werden, um für die
WKB-Ergebnisse Vergleichswerte zur Verfügung zu haben. Außerdem werden einige spezielle Eigenschaften der Lösungen herausgearbeitet und auf ihre physikalischen Konsequenzen untersucht.
4.1
Die Vorgehensweise
In der numerischen Behandlung wurden gebundene Lösungen zum skalierten
System (3.6) und (3.7) gesucht. Dazu wurde ein Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung mit adaptiver Schrittweite verwendet, wie es die GSL-Bibliotheken
für C++ 1 implementieren. Aufgrund der in Abschnitt 3.3 gezeigten Eigenschaften können die Lösungen durch Variation der Anfangswerte U (r0 ) bei festem,
aber beliebigem S(r0 ) und ∂r S|r0 = ∂r U |r0 = 0 (wegen der Radialsymmetrie)
gefunden werden. Der Grenzwert r0 → 0 ist dabei numerisch aufgrund der Divergenz des Laplace-Operators nicht direkt zu realisieren, der durch den verwendeten
Wert r0 = 10−19 in geeignet gewählten Einheiten entstehende Fehler ist aber zu
vernachlässigen.
Unterhalb eines gewissen (positiven) Startwertes U (r0 ) weist die gefundene numerische Lösung für S keine Nullstellen auf und divergiert für endliches r gegen
+∞. Sukzessives Erhöhen von U (r0 ) führt dazu, dass ab einem bestimmten Wert
eine Nullstelle auftritt und S gegen −∞ strebt. Mit Hilfe eines Intervallhalbierungsverfahrens kann dann U (r0 ) möglichst dicht an dem Wert gewählt werden,
an dem die zusätzliche Nullstelle auftritt. Dies sorgt automatisch dafür, dass die
numerische Divergenz erst möglichst spät auftritt. Der theoretische Grenzfall keiner Divergenz für den gebundenen Zustand erfordert unendliche Genauigkeit des
1
siehe http://www.gnu.org/software/gsl/
29
30
Kapitel 4. Numerische Lösung der Newton-Schrödinger-Gleichung
Startwertes und ist praktisch somit unzugänglich. Abbildung 4.1 zeigt anhand
des Grundzustandes, wie sich mit steigender Genauigkeit des Startwertes U (r0 )
der Ort der numerischen Divergenz zu höheren r verschiebt. In derselben Weise
können die höheren gebundenen Zustände durch Suche nach dem Wechsel von n
zu n + 1 Nullstellen bestimmt werden.
2
10-5
10-6
-7
10-10
10-12
10-15
10-19
10
S(n=0) (unskaliert)
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
-2
0
5
10
15
20 25 30
r (unskaliert)
35
40
45
50
Abb. 4.1: S(r) für verschiedene Genauigkeiten der Startwertbestimmung; die numerische Angabe im Diagramm bezieht sich auf die Länge des letzten Intervalls
im Halbierungsverfahren.
4.2
Natürliche Einheiten
Für die numerische Bestimmung werden natürliche Einheiten verwendet. In diesem System ist
~ = G(= c) = 1.
(4.1)
Darüber hinaus soll auch die betrachtete Masse als 1 angesehen werden können.
Mit diesen Festlegungen ist ein neues Einheitensystem eindeutig definiert – alle
Einheiten können als Kombinationen dieser Größen dargestellt werden. Sollen die
Ergebnisse dann in SI-Einheiten umgewandelt werden, ist eine Rückskalierung
31
4.3. Einige Wellenfunktionen und Potentiale
anzuwenden. Es gelten die Relationen
G 2 m5
E
~2
~2
rSI = 3 r.
m G
ESI =
(4.2)
(4.3)
Damit sind die erhaltenen numerischen Werte von der betrachteten Masse unabhängig, da diese in die verwendeten Einheiten eingeht.
4.3
Einige Wellenfunktionen und Potentiale
Die numerisch gewonnenen Funktionen S und U lösen zwar das System, müssen
aber noch umskaliert werden, da S im Allgemeinen noch nicht normiert ist. Nach
Anwendung der Skalierungsgesetze aus 3.3 erhält man normierte Wellenfunktionen und die dazugehörigen Potentiale. Die Abbildungen 4.2 bis 4.5 zeigen einige
der erhaltenen Funktionen.
4.4
Energieniveaus
Die Energien zu den einzelnen Zuständen können entweder aus der Anpassung
von ar + b an das Potential für Werte von r, die größer sind als der klassische
Umkehrpunkt, bestimmt werden, oder aus den nichtskalierten Funktionen unter
Berücksichtigung der Asymptotik.
• Die skalierte Funktion Ũ nimmt im Grenzfall den Wert
Ũ∞ =
2m
E
~2
(4.4)
an, da V natürlich gegen null streben muss. Aus einer Anpassung an die
oben angegebene Funktion folgt dann der Energieeigenwert
E=
~2
b.
2m
(4.5)
Diese Methode hat jedoch den Nachteil, dass neben der zur Bestimmung
des Skalierungsfaktors nötigen numerischen Integration auch noch ein Fit an
die skalierte Funktion vorgenommen werden muss. Aus diesem Grund sollte
aus den nichtskalierten Funktionen ein genauerer Wert gewonnen werden
können:
32
Kapitel 4. Numerische Lösung der Newton-Schrödinger-Gleichung
0,6
U(r)
S(r)
0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
-0,6
0
10
20
30
40
50
60
70
r
Abb. 4.2: Normierte Wellenfunktion und Potential im Grundzustand; die rechts
zu erkennende Divergenz ist numerisch bedingt, die Wellenfunktion kann hier
aber durch ihre asymptotische Form ausgedrückt werden.
0,04
U(r)
S(r)
0,03
0,02
0,01
0
-0,01
-0,02
-0,03
-0,04
0
50
100
150
200
250
r
Abb. 4.3: Zweiter angeregter Zustand
300
350
33
4.4. Energieniveaus
0,0035
U(r)
S(r)
0,003
0,0025
0,002
0,0015
0,001
0,0005
0
-0,0005
-0,001
0
500
1000
1500
2000
2500
r
Abb. 4.4: Zehnter angeregter Zustand
U(r)/10
S(r)
6e-05
4e-05
2e-05
0
-2e-05
-4e-05
-6e-05
0
2000
4000
6000
8000 10000 12000 14000
r
Abb. 4.5: 30. angeregter Zustand
34
Kapitel 4. Numerische Lösung der Newton-Schrödinger-Gleichung
• Bereits im Abschnitt 3.4 wurde in Gleichung (3.40) der Energieeigenwert
auf aus den nichtskalierten Funktionen zugängliche Größen zurückgeführt:
2m5 G2 P
~2 Q 2
Z ∞
xS 2 dx
mit P = U (0) −
E=
0
und Q =
Z
∞
x2 S 2 dx
0
Die Integration kann in Praxi natürlich nicht bis ∞ durchgeführt werden,
da das numerisch bestimmte S wie gezeigt schließlich divergiert. Die Integrale werden deshalb vor der Divergenz abgebrochen. Da S jenseits des
klassischen Umkehrpunktes exponentiell abfällt, ist der hierdurch entstehende Fehler ebenfalls exponentiell klein und kann durch Anpassen eines
exponentiellen Abfalls weiter verringert werden.
Tabelle 4.1 listet die gewonnenen Energieeigenwerte bis zur Ordnung n = 39 in
den in Abschnitt 4.2 verwendeten Einheiten auf, wie sie das Programm mit der
höchsten verwendeten Genauigkeit (relative und absolute Fehlervorgabe für die
gsl-Bibliotheken 10−19 ) liefert.
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Energieeigenwert
-0,1628681765212593
-0,03081453138584109
-0,01253301946649722
-0,006750901627533464
-0,004211189161992967
-0,002875302157342785
-0,002087204435908136
-0,001583735262068196
-0,001242666667415746
-0,001000985788600076
-0,0008235207534283319
-0,0006893811761787296
-0,0005855343497201638
-0,00050349859658191
-0,0004375693365156698
-0,000383789077746053
-0,0003393474186479111
-0,0003022009795067046
-0,0002708356646311647
-0,0002441121013688074
n
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
Energieeigenwert
-0,0002211564989511983
-0,0002012930459669876
-0,0001839901493940441
-0,0001688264403084888
-0,0001554626445493706
-0,0001436212029005053
-0,0001330859338060408
-0,0001236690387326328
-0,0001152171624080823
-0,0001076055802739931
-0,0001007187720299662
-0,00009447862359910298
-0,00008879489008692852
-0,00008361163463871026
-0,00007886961882239671
-0,00007451962139554392
-0,00007051982077162128
-0,00006683369747712184
-0,00006342916723486477
-0,00006027831954420342
Tab. 4.1: Energieeigenwerte: direkte Ausgabe des Programms
35
4.5. Genauigkeit der ermittelten Energieeigenwerte
4.5
Genauigkeit der ermittelten Energieeigenwerte
Um die Anzahl der verlässlichen Nachkommastellen zu bestimmen, können mehrere Programmdurchläufe mit niedrigerer Genauigkeit gestartet werden. Ein Vergleich der Ergebnisse zeigt dann, bis zu welchem Grad sich eine Erhöhung der
Genauigkeit auf die erhaltenen Werte auswirkt. Tabelle 4.2 zeigt einige Energieeigenwerte, wie sie bei verschiedenen Genauigkeiten ermittelt wurden. Man sieht
deutlich, dass bestenfalls die ersten drei gültigen Stellen als gesichert angenommen werden können.
n
0
1
2
3
4
5
10
15
20
25
30
35
40
vorgegebene Fehler für die gsl-Bibliotheken
10
10−18
10−17
10−15
-0,1628681
-0,1629246
-0,1630153
-0,1633869
-0,0308145
-0,0308249
-0,0308415
-0,0309095
-0,01253301
-0,01253704
-0,01254348
-0,01256981
-0,006750901
-0,006752981
-0,006756307
-0,006769930
-0,004211189
-0,004212446
-0,004214448
-0,004222717
-0,002875302
-0,002876136
-0,002877478
-0,002882975
-0,000823520
-0,000823741
-0,000824094
-0,000825554
-0,000383789
-0,000383888
-0,000384046
-0,000384697
-0,000221156
-0,000221211
-0,000221300
-0,000221661
-0,0001436212 -0,0001436603 -0,0001437167 -0,0001439464
-0,0001007187 -0,0001007408 -0,0001007785 -0,0001009212
-0,00007451962 -0,00007453566 -0,00007456108 -0,00007466587
-0,00005735654 -0,00005736864 -0,00005738794 -0,00005746711
−19
Tab. 4.2: Vergleich der erhaltenen Energien für verschiedene Genauigkeiten
Damit erhält man als physikalisch sinnvolle Angabe der Energieeigenwerte die
in Tabelle 4.3 aufgeführten Werte.
n
0
1
2
3
4
5
6
7
Energieeigenwert
-0,162(87)
-0,0308(15)
-0,0125(33)
-0,00675(09)
-0,00421(12)
-0,00287(53)
-0,00208(72)
-0,00158(37)
n Energieeigenwert
15
-0,000383(79)
16
-0,000339(35)
17
-0,000302(20)
18
-0,000270(84)
19
-0,000244(11)
20
-0,000221(16)
21
-0,000201(29)
22
-0,000183(99)
n Energieeigenwert
30
-0,000100(72)
31 -0,0000944(79)
32 -0,0000887(95)
33 -0,0000836(12)
34 -0,0000788(70)
35 -0,0000745(20)
36 -0,0000705(20)
37 -0,0000668(34)
36
Kapitel 4. Numerische Lösung der Newton-Schrödinger-Gleichung
n Energieeigenwert
8
-0,00124(27)
9
-0,00100(10)
10
-0,000823(52)
11
-0,000689(38)
12
-0,000585(53)
13
-0,000503(50)
14
-0,000437(57)
n Energieeigenwert
23
-0,000168(83)
24
-0,000155(46)
25
-0,000143(62)
26
-0,000133(09)
27
-0,000123(67)
28
-0,000115(22)
29
-0,000107(61)
n Energieeigenwert
38 -0,0000634(29)
39 -0,0000602(78)
40 -0,0000573(57)
Tab. 4.3: Energieeigenwerte: gerundet entsprechend der
ermittelten Genauigkeit
4.6
Bohr-Sommerfeld-Quantisierung
Man kann nun versuchen, die in Abschnitt 2.4.2 angestellten Überlegungen auf
die vorliegenden numerischen Ergebnisse zu übertragen und zu prüfen, inwiefern
die Bohr-Sommerfeld-Quantisierung auf diese nichtlineare Schrödinger-Gleichung
anwendbar ist. Als erstes kann direkt das Wirkungsintegral
I
Z r̃U
p̃(r̃)dr̃
(4.6)
W = p dq = 2
0
betrachtet werden; der Impuls p̃(r̃) kann dabei aus den normierten Potential- und
Energieeigenwerten Ũ und Ẽ gewonnen werden:
p
p̃ = ~2 Ũ
(4.7)
Dann kann auf die vorliegenden nichtnormierten Größen übergegangen werden:
Z r̃U
Z rU √
1
(4.8)
2
p̃(r̃)dr̃ = 2~
µ U dr
µ
0
0
Ansetzen der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung liefert
Z rU √
1
!
2~
µ U dr = h(n + η)
µ
0
und vereinfacht als Bedingung für das Integral
Z
1 rU √
n+η =
U dr.
π 0
(4.9)
(4.10)
Die rechte Seite dieser Gleichung kann mit den erhaltenen Ergebnissen für das
Potential numerisch ausgewertet werden. In Tabelle 4.4 sind die so berechneten
37
4.6. Bohr-Sommerfeld-Quantisierung
Werte für n + η aufgeführt. Man erkennt deutlich, dass die geforderte Quantisierungsbedingung erfüllt ist mit einem leicht von der Energie abhängenden
Quantendefekt η von etwa η ≈ 0, 74. Aus der Theorie für zustandsunabhängige
Potentiale mit identischem asymptotischen Verhalten folgt unmittelbar, dass η
für große n konvergieren muss (siehe z.B. [Friedrich (1990)]). In Abbildung 4.6
wird deshalb zur Überprüfung η über n1 aufgetragen. Es wird sofort klar, dass η
hier nicht konstant ist. Aus dieser Abbildung wird aber immer noch nicht deutlich, ob η für n → ∞ konvergiert. Erst die Auftragung von ∆η, also der Differenz
zwischen zwei zu aufeinanderfolgenden n gehörenden η, wie sie in Diagramm 4.7
zu sehen ist, zeigt zum einen annähernd lineares Verhalten für n → ∞, so dass ∆η
zumindest gegen einen sehr kleinen Wert streben muss, und zum anderen auch,
dass die Genauigkeit des verwendeten Verfahrens ab etwa n = 25 nachlässt, so
dass die Berechnung noch höherer Zustände wenig sinnvoll erscheint.
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n+η
0,735761
1,733298
2,735047
3,736586
4,737774
5,738705
6,739451
7,740061
8,740486
9,741008
10,74137
n
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
n+η
11,74170
12,74198
13,74225
14,74248
15,74269
16,74287
17,74305
18,74321
19,74335
20,74349
21,74360
n
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
n+η
22,74370
23,74383
24,74402
25,74409
26,74414
27,74415
28,74434
29,74456
30,74461
31,74470
32,74452
n
33
34
35
36
37
38
39
40
n+η
33,74493
34,74493
35,74504
36,74503
37,74522
38,74521
39,74531
40,74530
Tab. 4.4: Test der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung für
die ersten 40 Eigenzustände der Newton-SchrödingerGleichung.
Aus der Quantendefekttheorie ist bekannt (vgl. z.B. [Friedrich (1990)]), dass
für zustandsunabhängige Potentiale, die nur bei kurzen Entfernungen von einem reinen Coulomb-Potential abweichen, die Energieniveaus einem modifizierten
Rydberg-Spektrum
RyG
En = −
, n ∈ N0
(4.11)
(n − µ)2
mit der gravitativen Rydberg-Energie RyG und einem schwach energieabhängigen Quantendefekt µ gehorchen. Eine Analyse der in Tabelle 4.1 aufgezeichneten
Daten liefert aber (vgl. auch Abbildung 4.8)
En = −κ
RyG
(n − µ)2
(4.12)
38
Kapitel 4. Numerische Lösung der Newton-Schrödinger-Gleichung
0,746
η
0,744
0,742
0,74
0,738
0,736
0,734
0,732
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1/n
Abb. 4.6: η, aufgetragen über
0,002
1
n
∆η
0,0015
0,001
0,0005
0
-0,0005
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1/n
Abb. 4.7: ∆η bei Erhöhung von n um 1, aufgetragen über n1 . Man erkennt für
große n ein näherungsweise lineares Verhalten von ∆η. Für n ≥ 25 nehmen die
numerischen Ungenauigkeiten stark zu.
39
4.6. Bohr-Sommerfeld-Quantisierung
En
κ = 0,192(631), µ = 0,769(001)
0,05
0
-0,05
-0,1
-0,15
-0,2
-0,25
-0,3
-0,35
0
5
10
15
20
n
25
30
35
40
Abb. 4.8: Bestimmung des asymptotischen Quantendefekts µ und des Energierenormierungsfaktors κ aus den Energieeigenwerten.
En
κ = 0,192(631), µ = 0,769(001)
0
-0,0002
-0,0004
-0,0006
-0,0008
-0,001
-0,0012
-0,0014
-0,0016
-0,0018
10
15
20
25
n
30
35
Abb. 4.9: Die höheren n aus Abbildung 4.8
40
40
Kapitel 4. Numerische Lösung der Newton-Schrödinger-Gleichung
U
V
r
E1
E2
=
r
E1
E2
“echtes” Potential V(r)
Für das Wirkungsintegral
relevantes Potential U(r)
Abweichung vom
Coulomb-Integral
ist konstant.
Abb. 4.10: Typische Situation in der Atomphysik: Das Potential weicht nur bei
kleinen r vom Coulomb-Potential ab. Der hierdurch verursachte Beitrag zum
Wirkungsintegral WKr ist aber für hinreichend große Quantenzahlen konstant.
mit numerischen Werten
µ = 0, 769001 ≈ 0, 769
κ = 0, 192631 ≈ 0, 193.
(4.13)
(4.14)
Es tritt also wie erwartet eine Rydbergserie mit Quantendefekten auf, allerdings
muss die Energieeinheit reskaliert werden. Um dies zu verstehen, betrachten wir
das Wirkungsintegral genauer.
Im Fall eines Coulomb-förmigen Potentials
VC =
Gm2
r
(4.15)
bzw.
2m
Gm2
(E −
)
(4.16)
~
r
ist das Wirkungsintegral analytisch lösbar, und man erhält mit dem Umkehrpunkt
UC =
Gm2
E
für das Wirkungsintegral WC (vgl. auch (2.73))
Z rU p
2πGm3
.
UC dr = √
WC = 2~
−2mE
0
rU = −
(4.17)
(4.18)
41
4.6. Bohr-Sommerfeld-Quantisierung
Das von der Coloumb-Form abweichende Newton-Schrödinger-Potential kann nun
als Summe eines kurzreichweitigen Störpotentials – ab dem Umkehrpunkt geht es
ja in den 1r -Abfall über – und (4.16) geschrieben werden. In der Wirkung äußert
sich dies durch das Auftreten eines kurzreichweitigen Beitrags zum Wirkungsintegral WKr mit
WKr = W − WC .
(4.19)
Konvergiert dieser Korrekturterm für große n gegen einen festen Wert, so entsteht
in jedem Fall eine Rydbergserie, denn es gilt
2πGm3
W = WC + WKr = √
+ WKr
−2mE
!
= 2π~(n + η)
G 2 m5
⇒E=
2~2 n + η −
G 2 m5
=
2~2 (n + η̃)2
RyG
.
=
(n + η̃)2
(4.20)
(Bohr-Sommerfeld)
(4.21)
(4.22)
WKr 2
~
(4.23)
(4.24)
Eine numerische Berechnung der WKr liefert für die Newton-SchrödingerGleichung aber die in Tabelle 4.5 aufgeführten Werte. Man kann unschwer erkennen (vgl. auch Abbildung 4.11 und 4.12), dass die Korrekturen zur Wirkung
nicht konvergieren, sondern im Rahmen der numerischen Genauigkeit für große
n linear mit der Ordnung der Wellenfunktion anwachsen. Ein solches Verhalten
führt gerade zu einer durch einen konstanten Faktor modifizierten Rydberg-Serie:
WKr = c · (n + 1)
2πGm3
!
⇒W = √
+ c · (n + 1) = 2π~(n + η)
−2mE
1
G 2 m5
⇒E=−
2
2
2~
n 1− c +η− c
h
RyG
=−
2 1 − hc
n+
η− hc
1− hc
RyG
=−
2
1 − hc (n + η̃)2
(4.25)
(4.26)
(4.27)
h
2
(4.28)
(4.29)
Aus den numerischen Daten erhält man als Wert für c
c = −8, 10867 ≈ −8, 11
(4.30)
42
Kapitel 4. Numerische Lösung der Newton-Schrödinger-Gleichung
und somit für den Korrekturfaktor zur Energie
κ=
1
1−
c 2
2π~
≈ 0, 191
(4.31)
in guter Übereinstimmung mit dem aus den Energien erhaltenen Wert.
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
WKr
-6,386
-14,419
-22,501
-30,595
-38,695
-46,798
-54,903
-63,008
-71,115
-79,222
-87,330
n
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
WKr
-95,438
-103,546
-111,655
-119,763
-127,872
-135,982
-144,091
-152,200
-160,309
-168,419
-176,529
n
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
WKr
-184,639
-192,748
-200,858
-208,973
-217,083
-225,194
-233,304
-241,408
-249,526
-257,628
-265,748
n
33
34
35
36
37
38
39
40
WKr
-273,857
-281,967
-290,078
-298,189
-306,299
-314,410
-322,520
-330,631
Tab. 4.5: Kurzreichweitiger Beitrag zum Wirkungsintegrals zusätzlich zum reinen Coulomb-Fall. Auch hier ist
das nahezu lineare Wachstum des Inkrements ablesbar.
In Worten ausgedrückt bedeutet obiger Befund, dass das Wirkungsintegral
der Newton-Schrödinger-Gleichung gegenüber einem Coulomb-Potential zur selben Quantenzahl n keine konstante Abweichung aufweist, sondern eine linear
mit n steigende Abweichung zu kleineren Wirkungen zeigt. Die Linearität der
Abweichung sorgt dafür, dass das n12 -Verhalten der Energieeigenwerte erhalten
bleibt und nur ein konstanter Korrekturfaktor zusätzlich eingeführt werden muss.
Die Abbildungen 4.13 und 4.14 zeigen die Integranden des Wirkungsintegrals
für mehrere Zustände. Man kann deutlich erkennen, dass im Coulomb-Fall die
höheren Zustände immer oberhalb der niedrigeren liegen, während im NewtonSchrödinger-System höhere Zustände niedrigere Werte von U0 aufweisen. Dies
führt dazu, dass für höhere n die Abweichung zum Coulomb-Wirkungsintegral
anwächst. Die Linearität dieser Zunahme kann an dieser Stelle aber noch nicht
begründet werden.2
2
In Anhang C ist eine Herleitung des Korrekturfaktors für ein einfaches Modellpotential aus
der Forderung der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung des Wirkungsintegrals zu finden, bei dem
gerade das beschriebene Verhalten zu beobachten ist.
43
4.6. Bohr-Sommerfeld-Quantisierung
0
WKr
-8,10867⋅n - 6,26203
-50
WKr
-100
-150
-200
-250
-300
-350
0
5
10
15
20
n
25
30
35
40
Abb. 4.11: Die kurzreichweitigen Beiträge zum Wirkungsintegral WKr fallen in
guter Näherung linear ab.
-8,03
Abnahme von WKrvon n nach (n+1)
0,078/x3/2-8,11
-8,04
-8,05
∆WKr
-8,06
-8,07
-8,08
-8,09
-8,1
-8,11
-8,12
5
10
15
20
25
30
35
40
Abb. 4.12: Veränderung von WKr von n nach n + 1: für größere Quantenzahlen
nahezu lineares Verhalten (abgesehen von wenigen numerischen Ausreißern). Die
angefittete Funktion gibt den Verlauf gut wieder.
44
Kapitel 4. Numerische Lösung der Newton-Schrödinger-Gleichung
0,12
n=5
n=6
n=7
n=8
n=9
n=10
n=11
n=12
n=13
n=14
n=15
0,1
U1/2
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
500
1000
1500
r
2000
2500
3000
Abb. 4.13: Die Integranden des Wirkungsintegrals für den 5. bis 15. angeregten
Zustand der Newton-Schrödinger-Gleichung. Man erkennt deutlich die Zustandsabhängigkeit bei kurzen Reichweiten.
0,6
n=5
n=6
n=7
n=8
n=9
n=10
n=11
n=12
n=13
n=14
n=15
0,5
U1/2
C
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
50
100
150
200
250
r
Abb. 4.14: Zum Vergleich: Die Integranden des Coulombschen Wirkungsintegrals
zu den in Abbildung 4.13 gezeigten Zuständen
4.7. Vergleich mit den analytisch bekannten Eigenschaften
4.7
45
Vergleich mit den analytisch bekannten Eigenschaften
Wir haben bereits gesehen, dass das numerische Lösen der Newton-SchrödingerGleichung wie gefordert zu jedem n ∈ N genau eine normierte Wellenfunktion
liefert. Die zugehörigen negativen Energien streben für wachsendes n gegen null.
Von großer Bedeutung für die Auswertung der erhaltenen Funktionen ist ein
korrektes asymptotisches Verhalten. In Abbildung 4.15 wurde an die zum ersten
angeregten Zustand gehörenden Werte für U die Funktion
f (r) =
a
+b
r
(4.32)
angepasst. Es wird deutlich, dass das Verhalten von U bereits ab dem Umkehrpunkt, an dem U ja null wird, vom 1r -Abfall bestimmt wird. Wie gut die Übereinstimmung tatsächlich ist, kann einfach überprüft werden. Dazu vergleicht man
den aus den numerischen Daten zu ermittelnden Umkehrpunkt mit dem aus dem
jeweiligen Energieeigenwert berechneten, für den
rU =
Gm2
E
(4.33)
gilt. Im Grundzustand weichen die so bestimmten rU um etwa 3 Prozent voneinander ab; die prozentuale Abweichung sinkt jedoch schnell – bereits der erste
angeregte Zustand weist nur noch etwa 1 Prozent Abweichung auf, ab dem 10.
angeregten Zustand beträgt die Abweichung unter einem Promille. Da die Genauigkeit der Energieeigenwertbestimmung maximal drei gültige Stellen beträgt,
kann dieser Fehler auch auf numerische Ungenauigkeiten zurückgeführt werden.
Wie in Diagramm 4.16 zu sehen ist, verhalten sich die numerischen Lösungen
U und S für r → 0 wie in 3.4 gefordert parabolisch.
4.8
Neue Erkenntnisse
Neben der Bestätigung der unter anderem in [Harrison u. a. (2003); Epple (2003)]
veröffentlichten Energieeigenwerte und der Bestimmung der Wellenfunktionen
und Potentiale wurde erstmals das aus dem numerisch bestimmten effektiven
Potential zugängliche Wirkungsintegral untersucht. Es konnte gezeigt werden,
dass die bereits in [Epple (2003)] beobachtete Abweichung der Energieeigenwerte
von einer reinen Rydbergserie durch eine (im Rahmen der numerischen Genauigkeit) lineare Abhängigkeit des durch den kurzreichweitigen Beitrag im Potential verursachten Korrekturterms von der Ordnung des Zustandes zurückzuführen ist. Die analytische Bestätigung dieser Eigenschaft der Newton-SchrödingerGleichung steht aber noch aus.
46
Kapitel 4. Numerische Lösung der Newton-Schrödinger-Gleichung
0,1
U(r)
1,983/x - 0,0614
0,05
0
-0,05
-0,1
0
50
100
r
Abb. 4.15: Funktion U und angepasster
angeregten Zustand
150
1
-Abfall
r
1,1
200
exemplarisch für den ersten
S(n=0)
S0 - 1/6 r S0 U0
U(n=0)
U0 - 1/6 r2 S20
2
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0
0,5
1
1,5
r
2
2,5
3
Abb. 4.16: U und S zeigen nahe bei r = 0 das erwartete Parabel-Verhalten
Kapitel 5
WKB-Lösung der EinteilchenNewton-Schrödinger-Gleichung
5.1
Vorbemerkungen und verworfene Ansätze
Die entscheidende Schwierigkeit bei der Bestimmung einer WKB-Lösung zur
Newton-Schrödinger-Gleichung ist die Abhängigkeit des auftretenden Potentials von der Wellenfunktion selbst. Im Gegensatz zur üblichen Situation, in der
ein externes Potential vorgegeben wird, kann deshalb nicht einfach eine WKBWellenfunktion äquivalent zu (2.40) und (2.41) aufgestellt werden. Der in dieser
Arbeit verfolgte Ansatz besteht darin, die Entwicklung der allgemeinen WKBFunktionen mit dem gekoppelten System nachzuvollziehen. Dabei hat sich herausgestellt, dass eine günstige Transformation der Gleichungen vor Beginn der
WKB-Entwicklung zu deutlichen Vereinfachungen im Ergebnis führen kann. Um
dies zu verdeutlichen, wird in Anhang B eine WKB-Lösung der nichttransformierten Newton-Schrödinger-Gleichung vorgestellt, die nur in parametrisierter Form
darstellbar ist.
5.2
Transformationen
Ausgegangen wird vom vereinfachten System (3.6) und (3.7). Eine weitere Vereinfachung wird durch die Transformationen
X(r) = r 2 S(r)
Y (r) = r 2 U (r),
(5.1)
(5.2)
die auf dimensionslose Gleichungen führen, und
r = et
47
(5.3)
48
Kapitel 5. WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
erreicht. Zunächst erhält man
2
2
XY
∂r2 X − ∂r X + 2 X = − 2
r
r
r 2
X 2
2
∂r2 Y − ∂r Y + 2 Y = − ,
r
r
r
(5.4)
(5.5)
der Übergang zur Variablen t ergibt schließlich das autonome System
∂t2 X − 3∂t X + 2X + XY = 0
∂t2 Y − 3∂t Y + 2Y + |X|2 = 0.
5.3
(5.6)
(5.7)
Der WKB-Ansatz
Für die Funktion X(t), die weiterhin im wesentlichen die Wellenfunktion beschreibt, wird wie üblich der Ansatz
X(t) = A(t) exp
i
B(t)
~
(5.8)
mit einer reellen Amplitudenfunktion A(t) und einer Exponentenfunktion B(t)
gewählt. Die Ableitungen
i
i
i
B(t) + A ∂t B exp
B(t)
∂t X = ∂t A exp
~
~
~
i
i
i 2
1
2
2
2
∂t X = ∂t A + 2∂t A ∂t B + A ∂t B − A 2 (∂t B) exp
B(t)
~
~
~
~
(5.9)
(5.10)
eingesetzt in Gleichung (5.6) ergeben
i
i
1
i
∂t2 A+2 ∂t A∂t B + A∂t2 B − 2 A(∂t B)2 −3∂t A−3 A∂t B +2A+Y A = 0, (5.11)
~
~
~
~
während Gleichung (5.7) zu
∂t2 Y
2
− 3∂t Y + 2Y + |A| exp − Im(B)
~
2
=0
(5.12)
wird. Zur Bestimmung der Lösungen der beiden letzten Gleichungen muss nun
zwischen klassisch erlaubtem und verbotenem Bereich unterschieden werden.
49
5.4. Die Lösungen
5.4
Die Lösungen
5.4.1
Klassisch erlaubter Bereich
Im klassisch erlaubten Bereich sind beide Funktionen A und B reell, wir können
deshalb die Gleichung (5.11) in Real- und Imaginärteil trennen:
∂t2 A −
1
A(∂t B)2 − 3∂t A + 2A + Y A = 0
2
~
2∂t A∂t B + A∂t2 B − 3A∂t B = 0.
(5.13)
(5.14)
Weiterhin vereinfacht sich mit denselben Voraussetzungen (5.12) zu
∂t2 Y − 3∂t Y + 2Y + |A|2 = 0.
(5.15)
Aus Gleichung (5.14) wird bei Division durch A und ∂t B
∂t A ∂t2 B
+
−3=0
2
A
∂t B
∂t ln A2 + ∂t ln (∂t B) − ∂t (3t + c1 ) = 0
A2 ∂t B = exp {3t + c1 }
(5.16)
(5.17)
(5.18)
mit der beliebigen Integrationskonstanten c1 . Für die Funktion A(t) und deren
Ableitungen gilt dann
s
exp {3t + c1 }
A=
(5.19)
∂t B
s

1  exp {3t + c1 }
3∂t B + ∂t2 B 
∂t A =
2∂t B
∂t B

s
1
 exp {3t + c1 } 9(∂t B)2 + 3∂t2 (B 2 ) − 2∂t B 3∂t2 B + ∂t3 B  .
∂t2 A =
2
4(∂t B)
∂t B
In Gleichung (5.13) eingesetzt erhält man wiederum
s
exp {3t + c }
−1
1
~2 (1 − 4Y )(∂t B)2 + 4(∂t B)4
4~2 (∂t B)2
∂t B
− 3~2 (∂t2 B)2 + 2~2 ∂t B∂t3 B = 0.
(5.20)
Diese Gleichung ist erfüllt für
∂t B = ∞
t = −∞ ⇔ r = 0
0 = ~2 (1 − 4Y )(∂t B)2 + 4(∂t B)4 − 3~2 (∂t2 B)2 + 2~2 ∂t B∂t3 B.
(5.21)
(5.22)
(5.23)
50
Kapitel 5. WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
Vernachlässigt man den physikalisch nicht sinnvollen Fall ∂t B = ∞ und den
Grenzfall r → 0, der eine gesonderte Betrachtung (vgl. Abschnitt 3.4) erfordert,
so findet man für Y
2
1 (∂t B)2 3 ∂t2 B
1 ∂t3 B
−
(5.24)
Y = +
+
4
~2
4 ∂t B
2 ∂t B
4(∂t B)4 ∂t2 B
1
2
2
2
3
2 4
∂t Y =
+ 3(∂t B) − 4∂t B∂t B∂t B + (∂t B) ∂t B
2(∂t B)3
~2
2 4
3 2
1
∂t B
4∂t B∂t3 B
∂t B
2
∂t Y =
−9
+
−4
2
2
∂t B
~
∂t B
3
2
4
17∂t B
5∂t B∂t B ∂t5 B 4
+
−
+
,
+ (∂t2 B)2
~2 (∂t B)3
(∂t B)2
∂t B
was nach Einsetzen in Gleichung (5.15) eine Differentialgleichung für B liefert:
0=
1
2~2 (∂
t
B)4
4(∂t B)6 − 9~2 (∂t2 B)4 + (∂t B)4 h2 + 4(∂t2 B)2
+ 4(∂t B)5 −3∂t2 B + ∂t3 B + ~2 ∂t B(∂t2 B)2 −9∂t2 B + 17∂t3 B
2
− ~2 (∂t B)2 3(∂t2 B)2 + 4 ∂t3 B + ∂t2 B −12∂t3 B + 5∂t4 B
!
(5.25)
− ~2 (∂t B)3 −2 exp {3t + c1 } − 2∂t3 B + 3∂t4 B − ∂t5 B
Entwickeln wir B(t) in eine Potenzreihe von λ := ~2 , also
B(t) = B0 (t) + λB1 (t) + λ2 B2 (t) + . . . ,
(5.26)
setzen diese Entwicklung in (5.25) ein und vernachlässigen alle Terme der Ordnung λ oder höher, so finden wir eine stark vereinfachte Differentialgleichung für
B0
(∂t B0 )2 + (∂t2 B0 )2 + ∂t B0 −3∂t2 B0 + ∂t3 B0 = 0.
(5.27)
Setzen wir nun noch Ḃ := ∂t B0 , so erhalten wir eine nichtlineare homogene DGL
2. Ordnung in Ḃ
Ḃ∂t2 Ḃ + (∂t Ḃ)2 − 3Ḃ∂t Ḃ + Ḃ 2 = 0.
(5.28)
Die allgemeine Lösung dieser DGL kann durch eine geeignete Transformation
(z.B. [Kamke (1967)]) gefunden werden. Dazu definiert man eine Funktion Υ(t)
mit
p
(5.29)
Ḃ(t) = Υ(t).
Ableiten und Einsetzen in Gleichung (5.28) liefert eine lineare homogene Differentialgleichung 2. Ordnung
∂t2 Υ − 3∂t Υ + 2Υ = 0,
(5.30)
51
5.4. Die Lösungen
deren Lösung sofort angegeben werden kann:
Υ(t) = c2 et + c3 e2t .
Somit ist
Ḃ(t) =
p
c2 et + c3 e2t .
Die Amplitudenfunktion A(t) kann jetzt nach Gleichung (5.19) als
s
exp {3t + c1 }
A(t) = √ t
c2 e + c3 e2t
(5.31)
(5.32)
(5.33)
geschrieben werden.
Die Exponentenfunktion B(t) wiederum ist durch Integration von Ḃ(t) zu
erhalten. Substituiert man etwa
ν = et ,
(5.34)
dann hat das zu berechnende Integral die Form
Z p
Z r
1
c2 + c 3 ν
c2 ν + c3 ν 2 dν =
dν.
ν
ν
(5.35)
Abhängig von der Form der Parameter ci hat dieses Integral die Lösungen (vgl.
[Bronstein u. a. (2000)])
Z
p
Ḃ(ν)dν = c2 ν + c3 ν 2


√−1 arcsin 2c3 ν+c2 + c4
c3 < 0, c2 ∈ R
c2
|c2 |
−c3 + ·
p
2  √1 ln 2 c23 ν 2 + c2 c3 ν + 2c3 ν + c2 + c4 , c3 > 0
c3
(5.36)
nach Rücksubstitution also
Z
p
Ḃ(t)dt = c2 et + c3 e2t

t

√−1 arcsin 2c3 e +c2 + c4
c3 < 0, c2 ∈ R
c2
|c2 |
−c3 + ·
p
2  √1 ln 2 c23 e2t + c2 c3 et + 2c3 et + c2 + c4 . c3 > 0
c3
(5.37)
Welche dieser beiden Lösungen die gesuchte ist, kann erst entschieden werden,
wenn mehr über die Parameter c2 und c3 bekannt ist.
In Abschnitt 5.4.4 wird gezeigt, dass die Konstante c3 negativ sein muss, da sie
im wesentlichen die Energie des betrachteten gebundenen Zustandes beschreibt.
B(t) ist somit bestimmt.
52
Kapitel 5. WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
Für die Funktion X(t) finden wir
i
B(t)
X(t) =A(t) exp
~
s
exp {3t + c1 }
= √ t
c2 e + c3 e2t
p
2c3 et + c2
c2
i
t
2t
arcsin
+ c4
.
c2 e + c 3 e − √
· exp
~
2 −c3
|c2 |
Die Rücksubstitution t → ln (r) und Gleichung (5.1) führen dann zur Wellenfunktion
r
ec1
√
S(r) =
r c2 r + c 3 r 2
p
c2
i
2c3 r + c2
2
c2 r + c 3 r − √
+ c4
(5.38)
· exp
arcsin
~
2 −c3
|c2 |
Die Funktion Y (t) kann unabhängig von B(t) nach Gleichung (5.24) bestimmt
werden:
5c22
et
c3 e2t
1
Y (t) = −
+
+
.
(5.39)
+
c
2
2c2 + 2c3 et ~2
~2
16 (c2 + c3 et )2
Die Rücksubstitution t → ln (r) liefert dann die Gleichung
1
r
c3 r 2
5c22
+
c
+
+
Y (r) = −
2
2c2 + 2c3 r ~2
~2
16 (c2 + c3 r)2
und somit schließlich als effektives Potential
5c22
1
c3
1
Y (r)
+ 2 + 2.
+ c2
U (r) = 2 = −
2
2
3
r
2c2 r + 2c3 r
r~
~
16r 2 (c2 + c3 r)
5.4.2
(5.40)
Klassischer Umkehrpunkt
Am klassischen Umkehrpunkt rU gilt E = V , die WKB-Funktion divergiert hier.
Eine einfache Betrachtung des Divergenzverhaltens von (5.38) liefert als Koordinate rU des Umkehrpunktes
−c2
rU =
.
(5.41)
c3
5.4.3
Klassisch verbotener Bereich
Da die Amplitudenfunktion im klassisch verbotenen Bereich imaginär wird, greift
die Argumentation des letzten Abschnittes nicht mehr. Um trotzdem eine Lösung finden zu können, wählen wir anstelle einer beliebigen Funktion A(r) einen
53
5.4. Die Lösungen
Ansatz, der sich mit dem in Kapitel 3.4 aufgezeigten asymptotischen Verhalten
S ∼ 1r exp {−kr} der Wellenfunktion für r → ∞ verträgt. Wir fordern für den
nichtexponentiellen Anteil der Wellenfunktion Sne somit
Sne ∼
1
r
für r → ∞.
(5.42)
Betrachtet man S(r) im klassisch erlaubten Bereich, so stellt man fest, dass der
nichtexponentielle Anteil der Lösung gerade dieser Forderung gehorcht:
Sne
1
=
r
s
1
ec1
c2 ∼
c3 + r
r
für r → ∞
(5.43)
Da die Wellenfunktionen beim Überschreiten des Umkehrpunktes zwar divergiert,
aber trotzdem auf beiden Seiten eine funktionell ähnliche Form aufweisen sollte,
nehmen wir für den nichtexponentiellen Anteil der Wellenfunktion im klassisch
verbotenen Bereich das Verhalten
Sne, verboten
1
=
r
s
ec1
|c3 + cr2 |
(5.44)
an. Unter Berücksichtigung der Transformationen aus Abschnitt 5.2 findet man
dann als sinnvollen Ansatz für ein reelles A(t)
ec1
A(t) = a et p
4
|c3 +
e c1
t
p
=
a
e
c2
4
−c3 −
|
et
c2
et
(5.45)
mit beliebig konstantem a und fordert, dass B(t) im betrachteten Bereich rein
imaginär ist. Ableiten dieses Ansatzes und Einsetzen in Gleichung (5.6) liefert
für Y
1
2
t
2 2t
8i~∂
B
c
+
3c
c
e
+
2c
e
Y (t) =
t
2
3
2
3
8(c2 + c3 et )3 ~2
t 2
2
t
+ 16(c2 + c3 e ) (∂t B) + ~ c2 ~(3c2 + 8c3 e ) − 16i(c2 +
c3 et )2 ∂t2 B
,
(5.46)
was mit der Abkürzung
r
c2
γ = c3 + t
e
(5.47)
54
Kapitel 5. WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
nach zweimaligem Ableiten und Einsetzen in (5.7) auf eine Differentialgleichung
für B(t) führt:
16γ 9 e4t (∂t B)2 + 16γ 9 e4t (∂t2 B)2 − 4iγ 5 ~ e2t ∂t2 B 7c22 + 15c2 c3 et + 10c23 e2t
+ 8γ 3 et ∂t B i~ c32 + 3c22 c3 et + 3c2 c23 e2t + 2c33 e3t − 6γ 6 e3t ∂t2 B + 2γ 6 e3t ∂t3 B
iB 8
3
2
t
2 2t
3 3t
2
γ + 3c2 γ c2 + 4c2 c3 e + 6c2 c3 e + 8c3 e
+ ~ ~ 8a exp c1 + 5t +
~
!
1
+ 4iγ 7 e3t (7c2 + 8c3 et )∂t3 B − 8iγ 9 e4t ∂t4 B
= 0.
(5.48)
3
γ et ~
Entwickelt man hier B(t) in eine Potenzreihe des Parameters1 λ = ~ und betrachtet nur Terme nullter Ordung in λ, so erhält man als vereinfachte Differentialgleichung (Ḃ(t) = ∂t B0 )
Ḃ∂t2 Ḃ + (∂t Ḃ)2 − 3Ḃ∂t Ḃ + Ḃ 2 = 0.
(5.49)
Dies entspricht gerade der Differentialgleichung im klassisch erlaubten Bereich.
In dieser Ordnung sind also beide Bereiche durch dieselbe Funktion Ḃ(t) zu beschreiben. Ableiten und Einsetzen in Gleichung (5.46) liefert für Y (t)
1
16c32 et + 16c33 e4t + 8c2 c3 et (6c3 e2t + ~2 )
Y (t) =
2
t
16~ (c2 + c3 e )
2t
2
2
(5.50)
+ 3c2 (16c3 e + ~ ) ,
und nach Rücksubstitution und Division durch r 2 für das effektive Potential den
Ausdruck
c33
3c2 c23
3c22 c3
2
U (r) =
r
+
r
+
(c2 + c3 r)2 ~2
(c2 + c3 r)2 ~2
(c2 + c3 r)2 ~2
1
1
3c22
c32
c2 c3
+
+
+
.
(5.51)
2
2
2
2
16(c2 + c3 r)
r(c2 + c3 r) ~ r 2(c2 + c3 r) r
A ist fest gewählt – die beliebige Konstante a fällt bei der Näherung heraus,
so dass a in c1 einbezogen werden kann. Alle funktionalen Abhängigkeiten sind
somit bestimmt. Es gilt daher für die Wellenfunktion S(r)
p
c1
2c
r
+
c
1
i
e2
c
3
2
2
arcsin
· exp
c2 r + c 3 r 2 − √
S(r) = p
+ c4
.
r 4 −c3 − cr2
~
2 −c3
|c2 |
(5.52)
Die im Exponenten auftretende Wurzel ist im klassisch verbotenen Bereich offensichtlich imaginär. Der aus dem Arkussinus resultierende reelle Anteil wird durch
geeignete Wahl der Konstanten c4 (vgl (5.64)) kompensiert, so dass letztendlich
eine rein reelle abfallende Exponentialfunktion vorliegt.
1
es treten nun auch ungeradzahlige Potenzen von ~ auf
55
5.4. Die Lösungen
5.4.4
Bestimmung der Integrationskonstanten
Konstante c1 :
c1 wirkt lediglich als multiplikativer Faktor in der Wellenfunktion; mit ihrer Hilfe
lässt sich die Normierung der Wellenfunktion vornehmen.
Konstante c3 :
Betrachtet man den Grenzfall r → ∞ der Gleichung (5.51), so findet man
lim U (r) →
r→∞
c3
~2
(5.53)
Mit der Definition der Funktion U (r), (3.4), findet man für die Konstante c3 einen
direkten Zusammenhang mit der Energie des Systems, wenn man das Potential
V (r) im Unendlichen null setzt. Es gilt
c3 = 2mE.
(5.54)
Da die Energie eines gebundenen Zustandes (solche werden hier ja betrachtet)
negativ ist, ist hiermit auch die Funktion B(r) festgelegt.
Konstante c2 :
Da wir wissen, dass c3 negativ ist, wird unmittelbar klar, dass c2 positiv sein
muss, damit ein klassischer Umkehrpunkt, an dem das WKB-System divergiert,
existiert:
c2 > 0.
(5.55)
Zur Festlegung des Wertes von c2 betrachten wir die in Abschnitt 3.4 aufgezeigten asymptotischen Eigenschaften des Newton-Schrödinger-Systems. In Gleichung (3.37) wurde für U die asymptotische Form
Ur→∞ = U∞ +
1 2Gm3
N
r ~2
(5.56)
bestimmt. Wählen wir c1 so, dass die Wellenfunktion normiert ist, dann gilt N = 1
und ein einfacher Vergleich mit der Laurent-Entwicklung von (5.51) für 1r → 0
U (r → ∞) =
c3
c2
c2
1
+ 2 +
+ O( 4 )
2
3
~
~ r 2c3 r
r
(5.57)
c2 = 2Gm3 .
(5.58)
liefert für die Konstante c2
56
Kapitel 5. WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
Konstante c4 :
Es verbleibt sicherzustellen, dass B(r) im klassisch erlaubten Bereich rein reell,
im klassisch verbotenen Bereich dagegen rein imaginär ist, ansonsten tritt ein
Widerspruch zu den Voraussetzungen auf. Die Konstante c4 kann dazu noch frei
gewählt werden. Wir betrachten der Einfachheit halber die einzelnen Terme in
B(ν):
p
c2
2c3 ν + c2
−1
2
B(ν) = c2 ν + c3 ν + · √
arcsin
+ c4
2
−c3
|c2 |
(5.59)
Der erste Term, die Wurzel, ist im erlaubten Bereich reell und im verbotenen
Bereich rein imaginär. Somit bleibt nur noch zu zeigen, dass der Term mit dem
Arkussinus keinen oder höchstens einen konstanten Imaginär - bzw. Realteil hat.
Im erlaubten Bereich ist dies sofort klar, da das Argument des Arkussinus hier
zwischen 1 und -1 liegt, es also keinen Imaginärteil gibt. Der verbotene Bereich
erfordert eine etwas eingehendere Untersuchung. Dazu betrachtet man die Zerlegung des Arkussinus in Real- und Imaginärteil (vgl. [Abramowitz u. Stegun
(1970)]). Mit den Definitionen
z = x + iy
x, y ∈ R
k∈Z
gilt
√
arcsin (z) = kπ + (−1)k · arcsin (β) + (−1)k · i ln α + α2 − 1
p
1p
(x + 1)2 + y 2 + (x − 1)2 + y 2
mit α =
2
p
1p
und β =
(x + 1)2 + y 2 − (x − 1)2 + y 2 .
2
(5.60)
In unserem Fall ist das Argument des Arkussinus reell, also x = z, y = 0. Damit
vereinfachen sich die Definitionen von α und β zu
1
α = |z + 1| +
2
1
β = |z + 1| −
2
1
|z − 1|
2
1
|z − 1|
2
Wir wissen aus Abschnitt 5.4.4, dass c3 < 0 und c2 > 0 gilt. Das bedeutet, dass
das Argument
2c3 ν + c2
c3
=1+2 ν ≤1
(5.61)
c2
c2
57
5.5. Höhere Ordnungen der WKB-Näherung
sein muss. Imaginäre Werte treten also für z < −1 auf. Mit dieser weiteren
Einschränkung können α und β zu
α = |z|
β = −1
bestimmt werden. Somit ist
p
arcsin (z) = kπ + (−1)k · arcsin (−1) + (−1)k · i ln |z| + |z|2 − 1 ,
(5.62)
und da
−π
= const
(5.63)
2
ist, ist der Realteil von B(r) ebenfalls konstant und kann durch die Wahl
c2 π
c4 = − √
(5.64)
4 −c3
arcsin (−1) =
eliminiert werden.
Damit sind alle in der Lösung auftretenden Konstanten festgelegt.
5.5
Höhere Ordnungen der WKB-Näherung
Eine Verbesserung der Genauigkeit des WKB-Verfahrens lässt sich im Prinzip
durch die Berücksichtigung von Korrekturen höherer Ordnung erreichen. Dabei
wird die Entwicklung (5.26) in (5.25) eingesetzt und die in nullter Ordnung bestimmte Funktion B0 verwendet, um bei Vernachlässigung der Terme zweiter
Ordnung eine Differentialgleichung für B1 zu erhalten. Ein Iterieren dieses Vorgehens erlaubt theoretisch eine beliebig gute Näherung. In der Praxis ist das Lösen
der entstehenden Differentialgleichung oft nicht ohne erheblichen Aufwand – falls
überhaupt – möglich.
5.5.1
Beispiel: klassisch erlaubtes Gebiet
Die beschriebene Methode liefert – angewandt auf Gleichung (5.25) – für B1 (t)
die Differentialgleichung
0 = ∂t B1 24(∂t B0 )5 + 4(∂t2 B0 )2 + 20∂t2 B0 (∂t B0 )4
+ ∂t2 B1 8∂t B0 ∂t2 B0 − 12(∂t B0 )5 + ∂t3 B1 4(∂t B0 )5
− 9(∂t2 B0 )4 + ∂t B0 − 9∂t B0 (∂t2 B0 )3 + 17∂t B0 (∂t2 B0 )2 ∂t3 B0 − 3(∂t B0 )2 (∂t2 B0 )2
− 4(∂t B0 )2 (∂t3 B0 )2 − (∂t B0 )2 ∂t2 B0 −12∂t3 B0 + 5∂t4 B0
− (∂t B0 )3 −2 exp {3t + c1 } − 2∂t3 B0 + 3∂t4 B0 − ∂t5 B0 .
(5.65)
Da sich auch nach dem Einsetzen der bekannten Form für B0 die Gleichung nicht
wesentlich vereinfacht, erscheint ein Lösungsversuch wenig erfolgversprechend.
58
Kapitel 5. WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
5.6
Die uniforme Näherung
Wie in Abschnitt 2.3.4 gezeigt wurde, kann durch die uniforme Näherung eine
Wellenfunktion gefunden werden, die die Divergenz am klassischen Umkehrpunkt
vermeidet und zugleich abseits von ihm in die WKB-Wellenfunktionen übergeht.
Im vorliegenden Fall ist aber eine zusätzliche Schwierigkeit zu überwinden, die
die Anwendung des Verfahrens der uniformen Näherung erschwert. Üblicherweise
interessiert man sich für die Wellenfunktion eines Teilchens in einem vorgegebenen äußeren Potential. Dann divergiert zwar die WKB-Wellenfunktion am Umkehrpunkt rU , das Potential und der daraus zu bestimmende klassische Impuls
p jedoch nicht. Da hier aber S und HU gekoppelt sind, divergiert auch U , was
die Berechung des Wirkungsintegrals p dq unmöglich macht. Um dennoch eine
am Umkehrpunkt reguläre Wellenfunktion zu erhalten, soll deshalb das Potential
(5.40) nochmals genähert werden. Dabei sind folgende Punkte von Interesse:
• Nahe bei 0 weicht das WKB-Potential stark vom eigentlich nicht divergierenden Newton-Schrödinger-Potential ab. Die gesuchte Näherungsfunktion
kann deshalb in diesem Bereich vom WKB-Potential abweichen.
• Die im Potential enthaltenen Terme lassen sich in solche, die den Faktor ~12
enthalten, und solche, bei denen das nicht der Fall ist, aufteilen. Wir haben
bereits bei der WKB-Entwicklung davon Gebrauch gemacht, dass ~2 eine
sehr kleine Größe gegenüber 1 ist. Somit sollten vor allem die Terme mit
dem Faktor ~12 erhalten bleiben.
• In der Umgebung des Umkehrpunktes sind diejenigen Terme, die höhere
Potenzen von 1r enthalten, bereits stark abgeschwächt.
Es liegt somit nahe, als Näherung die Funktion
Uuniform =
c2
c3
+
r~2 ~2
(5.66)
zu betrachten. In den Abbildungen 5.1 und 5.2 sind beide Funktionen aufgetragen.
Es zeigt sich, dass sowohl für Grundzustand als auch höher angeregte Zustände
bereits bei r rU die Funktion Uuniform eine recht gute Näherung darstellt, die
erst bei sehr kleinen r signifikant von U abweicht.
Im radialsymmetrischen Problem enthält die Schrödinger-Gleichung nicht, wie
in (2.54), einfach zweite Ableitungen, sondern den Laplace-Operator. Um dennoch
analog zu Abschnitt 2.3.4 vorgehen zu können, transformiert man deshalb ein
weiteres Mal und betrachtet
S 0 (r) = rS(r).
(5.67)
Es folgt dann
∆S = r∂r2 S 0 .
(5.68)
59
5.6. Die uniforme Näherung
3
UWKB(n=0)
c2/r + c3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
2
4
6
8
10
12
r
Abb. 5.1: Das effektive Potential U (r) (vgl. (5.40) und (5.51)) in WKB-Näherung
für den Grundzustand. Das Potential (5.66) für die uniforme Näherung behebt
die Singularität am klassischen Umkehrpunkt.
0,001
UWKB(n=30)
c2/r + c3
0,0008
0,0006
0,0004
0,0002
0
0
2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
r
Abb. 5.2: Wie 5.1 für den 30. angeregten Zustand
60
Kapitel 5. WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
Nach Division durch r ist die Schrödinger-Gleichung dann auf die Form von (2.54)
gebracht, und man kann eine Näherungslösung für S 0 direkt bestimmen.
Folgen wir der in Abschnitt 2.3.4 dargelegten Vorgehensweise, so finden wir
mit der Abkürzung
FAiry = (αAi(−q) + βBi(−q))
(5.69)
als Näherungswellenfunktion
S0 =
~2 q
|p2 |
41
(5.70)
FAiry
mit den Airy-Funktionen Ai und Bi und der Definition
Z
1 rU
2 3
2
q =
p(r 0 )dr 0
3
~ r
q
p
2
arctan
−1 − cc32r
− r(c2 + c3 r) + √c−c
3
=
(5.71)
~
im klassisch erlaubten Bereich. Einsetzen und Rücksubstitution liefern zuletzt für
S

! 23  14
q
√
c
c
~2 r
61 

1
3

S = FAiry


r
2

−
r(c2 +c3 r)+ √
2
−c3
arctan
h
c2 + c 3 r
−1− c 2r
3



 .


(5.72)
Im klassisch verbotenen Bereich muss q < 0 gelten. Deshalb führt man einen
zusätzlichen Phasenfaktor ein und definiert dort
Z
2 3
3πi 1 r
q 2 = exp ±
|p(r 0 )|dr 0
3
2 ~ rU
q
p
c2
−r(c2 + c3 r) − √c2 artanh
1
+
c3 r
−c3
3πi
(5.73)
= exp ±
2
~
so dass für die Wellenfunktion dann
1

“q
”!2 4
√
c
c
3
−r(c2 +c3 r)− √ 2 artanh
1+ c 2r
−c3
3

~2 r
61 
~


1
3


S = FAiry
−



r
2
c2 + c 3 r


(5.74)
gilt.
Da die Näherungswellenfunktion ebenfalls normiert sein muss, die Funktion Bi
aber für r > − cc23 divergiert, kann sofort β = 0 gesetzt werden. Die verbleibende
Konstante α wird dann durch die Normierungsbedingung bestimmt.
61
5.7. Energieniveaus und Quantisierung
5.7
5.7.1
Energieniveaus und Quantisierung
Das Wirkungsintegral
Analog zu Abschnitt 2.4.2 sollen hier die stabilen Zustände der genäherten
Newton-Schrödinger-Gleichung mit Hilfe der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung bestimmt werden. Dabei stellen sich in erster Linie dieselben Probleme wie bei der
Anwendung der uniformen Näherung, dass nämlich die Integration des Impulses p von 0 bis rU aufgrund der Form des Näherungspotentials keinen endlichen
Wert liefert. Wir behelfen uns deshalb wiederum mit dem nochmals genäherten
Potential (5.66), und setzen als Quantisierungsbedingung
2~
Z
0
rU
r
c3 !
c2
+ 2 = h(n + η)
2
r~
~
(5.75)
an. Ausführen der Integration und Einsetzen der Integrationskonstanten aus Abschnitt 5.4.4 liefert dann
G 2 m5
,
(5.76)
E=− 2
2~ (n + η)2
oder, mit der gravitativen Rydberg-Energie RyG
G 2 m5
1 2
mc2 =
RyG = αG
2
2~2
(5.77)
geschrieben,
E=−
RyG
.
(n + η)2
(5.78)
αG ist hier die Kopplungskonstante der Gravitation, die analog zur Feinstrukturkonstanten α der Elektrodynamik definiert wird. Das Ergebnis bestätigt natürlich
die Erwartungen, da das verwendete Näherungspotential gerade dem CoulombPotential entspricht.
5.7.2
Quantendefekt und Energieeigenwerte
Die Bestimmung des Quantendefekts η erfolgt im Rahmen der uniformen Näherung durch Anpassung der Wellenfunktionen in den verschiedenen Bereichen
aneinander (siehe z.B. [Liboff (1992)]). Nach [Geldart u. Kiang (1986)] kann auch
direkt aus der Struktur der Umkehrpunkte auf den Quantendefekt geschlossen
werden. Dabei resultiert jeder der in endlicher Entfernung symmetrisch bei rU
und −rU liegenden Umkehrpunkte in einem Beitrag von 14 , so dass in Summe
η=
1
2
(5.79)
62
Kapitel 5. WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
En
-0,8888
-0,1632
-0,06611
-0,03555
-0,02216
-0,01512
-0,01097
-0,008324
-0,006530
-0,005259
-0,004326
-0,003621
-0,003075
-0,002644
n
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
En
-0,002298
-0,002015
-0,001782
-0,001586
-0,001422
-0,001281
-0,001161
-0,001056
-0,0009660
-0,0008864
-0,0008162
-0,0007540
-0,0006987
-0,0006492
n
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
En
-0,0006049
-0,0005649
-0,0005287
-0,0004960
-0,0004661
-0,0004389
-0,0004140
-0,0003912
-0,0003702
-0,0003508
-0,0003329
-0,0003164
-0,0003011
Tab. 5.1: Energieeigenwerte für die Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung in
WKB-Näherung. Ein Vergleich mit den numerischen Werten und die Diskussion
der auftretenden Abweichungen sind in Kapitel 6 zu finden.
gelten muss2 . Im verwendeten Einheitensystem führt dies auf Energieeigenwerte,
wie sie in Tabelle 5.1 dargestellt sind. Ein Vergleich mit Tabelle 4.3 zeigt Abweichungen von den numerisch bestimmten Werten. Diese Abweichungen werden in
Kapitel 6 diskutiert werden.
5.7.3
Wellenfunktionen und Potentiale
Mit den in Tabelle 5.1 aufgeführten Energieeigenwerten lassen sich nun erstmals
Wellenfunktionen und Potentiale grafisch darstellen. In den Abbildungen 5.3 bis
5.6 sind einige ausgewählte Wellenfunktionen nach Gleichung (5.38) bzw. (5.52)
sowie ihre uniformen Näherungen (5.72) und die zugehörigen Potentiale aufgetragen. Um die aus der uniformen Näherung resultierende Wellenfunktion an die gezeichneten Realteile der WKB-Wellenfunktion anzupassen, muss diesen noch ein
konstanter Phasenfaktor von π4 hinzugefügt werden. Dies resultiert aus der Anpassung der WKB-Funktionen an die asymptotische Form der Airy-Funktionen (vgl.
etwa [Liboff (1992)]). Die Normierung der Suniform wurde numerisch durchgeführt,
2
Strenggenommen gilt dies nur für flache Potentiale mit endlichen Steigungen in den Umkehrpunkten. Insbesondere im Fall des Coulomb-Potentials zu ` = 0 liefert eine genauere Analyse (vgl. dazu [Berry u. Mount (1972)]), die die Divergenz des Potentials am Ursprung berücksichtigt, wie erwähnt η = 0. Da wir aber wissen, dass das echte“ Newton-Schrödinger-Potential
”
am Ursprung einen endlichen Wert annimmt, ist (5.79) gerechtfertigt.
5.8. Bisherige Literaturergebnisse und neue Erkenntnisse
63
da das Normierungsintegral
~2
2Gm3
Z
∞
0
2
Suniform
r 2 dr
(5.80)
nicht analytisch gelöst werden konnte. Die WKB-Wellenfunktionen, für die dasselbe gilt, wurden dann an Suniform angepasst. Eine numerische Normierung der
WKB-Wellenfunktion ist für diesen Vergleich nicht sinnvoll, da die Divergenz am
Umkehrpunkt das Ergebnis verfälschen würde und somit die Güte der Näherung
nicht beurteilt werden könnte.
In allen Abbildungen ist zu erkennen, dass die aus dem gegenüber dem
WKB-Potential (5.40) und (5.51) nochmals genäherten Potential (5.66) entwickelten Wellenfunktionen hervorragend mit den WKB-Wellenfunktionen (5.38) und
(5.52) übereinstimmen. Da wir in der uniformen Näherung aber im Prinzip ein reines Coulomb-Potential angesetzt hatten, bedeutet das, dass wir durch die WKBNäherung einen Großteil der speziellen Eigenschaften der Newton-SchrödingerGleichung verloren haben. Im folgenden Kapitel wird dies noch deutlicher werden.
5.8
Bisherige Literaturergebnisse und neue Erkenntnisse
Eine WKB-Analyse der Newton-Schrödinger-Gleichung wurde bereits von Hartmann [Hartmann (1999)] vorgestellt. Die hier durchgeführte Rechnung liefert
aber gegenüber den Literaturergebnissen einige signifikante Fortschritte. So
wurden erstmals Energieeigenwerte aus der Anwendung der Bohr-SommerfeldQuantisierungsbedingung auf die WKB-Potentiale gewonnen. Die bestimmten
WKB-Wellenfunktionen und Potentiale stellen außerdem eine deutliche Vereinfachung gegenüber den bekannten parametrisierten Formen dar. Darüberhinaus
konnten WKB-Wellenfunktionen hergeleitet werden, deren Knotenanzahl eindeutig der zugehörigen Anregungsstufe entspricht, während in [Hartmann (1999)]
jede der erhaltenen Wellenfunktionen unendlich viele Knoten aufwies.
64
Kapitel 5. WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
2
UWKB
SWKB⋅10
Suniform⋅10
4π2(c2/r+c3)/h2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
0
5
10
15
20
r
25
30
35
40
Abb. 5.3: Vergleich von Wellenfunktion S und effektivem Potential U des normierten dritten angeregten Zustand in WKB- und uniformer Näherung.
0,3
UWKB
SWKB⋅100
Suniform⋅100
2
4π (c2/r+c3)/h2
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,3
0
100
200
300
r
400
500
600
Abb. 5.4: Wie 5.3, für den 15. angeregten Zustand.
65
5.8. Bisherige Literaturergebnisse und neue Erkenntnisse
UWKB
SWKB⋅100
Suniform⋅100
4π2(c2/r+c3)/h2
0,04
0,02
0
-0,02
-0,04
0
500
1000
1500
2000
r
Abb. 5.5: Wie 5.3, für den 30. angeregten Zustand.
1
UWKB
SWKB⋅100
Suniform⋅100
4π2(c2/r+c3)/h2
0,5
0
-0,5
-1
0
5
10
15
20
r
25
30
35
40
Abb. 5.6: Der Bereich um r = 0 aus Abbildung 5.5; auch für kleine r ist die
Näherung noch ausgezeichnet.
66
Kapitel 5. WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
Kapitel 6
Vergleich von WKB-Näherung
und numerisch exakter Lösung
In diesem Kapitel soll die Güte der aus der WKB-Näherung gewonnenen Energieeigenwerte und Potential- und Wellenfunktionen durch einen Vergleich mit
den numerisch ermittelten Größen bestimmt werden und einige der auftretenden
signifikanten Abweichungen erklärt werden.
6.1
Energieeigenwerte
Bereits ein flüchtiger Vergleich der numerischen Resultate aus Tabelle 4.1 mit den
aus der WKB-Näherung gewonnenen (Tabelle 5.1) zeigt deutliche Abweichungen
in den Energieeigenwerten. Wie ist dies zu verstehen?
Aus den in Abschnitt 4.6 gewonnenen Erkenntnissen können wir folgern, dass
die aus der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung erhaltenen Energieeigenwerte um
einen konstanten Faktor zu korrigieren sind. Natürlich kann das aus dem verwendeten Potential (5.66) resultierende Wirkungsintegral (5.75) analytisch nach
der Energie aufgelöst werden. Wir vernachlässigen dabei aber, dass die entscheidenden Effekte – nämlich das Verhalten von Potential und Wellenfunktion bei
kleinen Radien r – durch die WKB-Näherung verloren gehen, da die entsprechenden WKB-Funktionen dort (im Falle des Potentials sogar quadratisch) divergieren. Unter diesem Gesichtspunkt ist die WKB-Näherung zur Bestimmung der
Energieeigenwerte ungeeignet. Aus den numerischen Betrachtungen kennen wir
aber den Korrekturfaktor zu den aus dem in der uniformen Näherung verwendeten Coulomb-Potential errechneten Energien. Die Anwendung des in Gleichung
(4.13) definierten Reskalierungsfaktors und des zugehörigen korrigierten Quantendefekts liefert dann die in Tabelle 6.1 aufgeführten korrigierten Energieeigenwerte,
die für größere n gut mit den numerisch ermittelten übereinstimmen. Für niedrige
n liefert die WKB-Näherung im Allgemeinen schlechtere Übereinstimmungen.
67
68
Kapitel 6. Vergleich von WKB-Näherung und numerisch exakter Lösung
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
En (WKB) En (numerisch)
-0,1560
-0,162(87)
-0,03002
-0,0308(15)
-0,01232
-0,0125(33)
-0,006664
-0,00675(09)
-0,004168
-0,00421(12)
-0,002851
-0,00287(53)
-0,002072
-0,00208(72)
-0,001574
-0,00158(37)
-0,001236
-0,00124(27)
-0,0009960 -0,00100(10)
-0,0008198 -0,000823(52)
-0,0006866 -0,000689(38)
-0,0005833 -0,000585(53)
-0,0005018 -0,000503(50)
-0,0004362 -0,000437(57)
-0,0003826 -0,000383(79)
-0,0003384 -0,000339(35)
-0,0003014 -0,000302(20)
-0,0002702 -0,000270(84)
-0,0002435 -0,000244(11)
-0,0002207 -0,000221(16)
n
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
En (WKB)
-0,0002009
-0,0001836
-0,0001685
-0,0001552
-0,0001434
-0,0001329
-0,0001235
-0,0001150
-0,0001074
-0,0001006
-0,00009435
-0,00008868
-0,00008351
-0,00007878
-0,00007443
-0,00007044
-0,00006676
-0,00006336
-0,00006022
-0,00005730
En (numerisch)
-0,000201(29)
-0,000183(99)
-0,000168(83)
-0,000155(46)
-0,000143(62)
-0,000133(09)
-0,000123(67)
-0,000115(22)
-0,000107(61)
-0,000100(72)
-0,0000944(79)
-0,0000887(95)
-0,0000836(12)
-0,0000788(70)
-0,0000745(20)
-0,0000705(20)
-0,0000668(34)
-0,0000634(29)
-0,0000602(78)
-0,0000573(57)
Tab. 6.1: Vergleich der Energieeigenwerte aus WKB- und
numerischer Lösung
6.2
Potentiale und Wellenfunktionen
Da wir aus dem vorhergehenden Abschnitt wissen, dass die aus der WKBNäherung erhaltenen Energieeigenwerte mit einem Korrekturfaktor skaliert werden müssen, um die Newton-Schrödinger-Eigenwerte zu erhalten, ist bereits hier
klar, dass numerische und WKB-Funktionen einander nicht entsprechen werden.
In Abbildung 6.1 ist beispielhaft die normierte numerische und die normierte
WKB-Lösung aufgetragen. Die Frage ist nun, ob analog zu den Energieeigenwerten eine Skalierung gefunden werden kann, die die WKB-Wellenfunktionen
besser an die numerisch ermittelten Lösungen anpasst. Erste Hinweise gibt uns
die Betrachtung des klassischen Umkehrpunktes. Wir wissen, dass das NewtonSchrödinger-Potential sich hier bereits wie das Coulomb-Potential verhält, der
69
6.2. Potentiale und Wellenfunktionen
Umkehrpunkt rU ist somit gegeben durch
rU =
Gm2
.
−E
(6.1)
Die Skalierung der Energieeigenwerte führt also dazu, dass der Umkehrpunkt nach
rU =
1
rU
κ
(6.2)
r
κ
(6.3)
wandert. Dies legt eine Radiusskalierung
r=
nahe.
0,008
Unumerisch
UWKB
Snumerisch
SWKB
0,006
0,004
0,002
0
-0,002
-0,004
0
200
400
600
800
r
1000
1200
1400
Abb. 6.1: Numerisch exakte und WKB-Wellenfunktion und effektives Potential
des 9. angeregter Zustand: Aufgrund des auftretenden Reskalierungsfaktors für
die Energieeigenwerte müssen auch Potential und Wellenfunktion angepasst werden.
Untersucht man nun noch das Verhalten des Potentials U , so findet man, dass
mit
U = κU
das korrekte asymptotische Verhalten sichergestellt ist.
(6.4)
70
Kapitel 6. Vergleich von WKB-Näherung und numerisch exakter Lösung
Die Radiusskalierung beeinflusst natürlich auch die Normierung der Wellenfunktion. Ein Übergang zur Radiusvariablen r führt im Normierungsintegral zum
Auftreten eines Faktors κ3 , so√dass die WKB-Wellenfunktion dann zusätzlich zur
normalen“ Normierung mit κ3 multipliziert werden muss.
”
In den Abbildungen 6.2 bis 6.9 sind Wellenfunktion und Potential von numerischer und WKB-Lösung einander gegenübergestellt. Man erkennt sofort den
Effekt der relativ großen Abweichung der Energieeigenwerte bei niedrigen Quantenzahlen: Die Potentiale liegen auch im klassisch verbotenen Bereich nicht übereinander, sondern sind gegeneinander verschoben. Dies bessert sich natürlich bei
höheren Quantenzahlen. Generell kann man auch feststellen, dass die WKBFunktionen bis auf die Anzahl der Nullstellen keine gute Näherung der NewtonSchrödinger-Wellenfunktionen darstellen.
Unabhängig von der Ordnung des betrachteten Zustandes sind alle Nullstellen
in der WKB-Näherung in Richtung Ursprung verschoben, und zwar umso stärker,
je weiter innen sie liegen. Anschaulich ist das auch sofort klar: Da das WKBPotential im Gegensatz zum numerischen Potential zum Ursprung hin divergiert,
wird das Wirkungsintegral innen weitaus mehr Nullstellen durchlaufen als dies
im echten“ System der Fall ist.
”
Bei den Wellenfunktionen höherer Ordnung kann man erkennen, dass die Einhüllende für größere r durch die WKB-Näherung akzeptabel wiedergegeben wird.
Abschließend läßt sich feststellen, dass die WKB-Näherung das Phasenverhalten der Newton-Schrödinger-Eigenfunktionen nur ansatzweise korrekt beschreiben kann.
71
6.2. Potentiale und Wellenfunktionen
0,2
Snumerisch
SWKB
0,15
0,1
0,05
0
-0,05
-0,1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
r
Abb. 6.2: Numerisch exakte und WKB-Wellenfunktion des normierten ersten angeregten Zustandes.
1
Unumerisch
UWKB
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
r
Abb. 6.3: Numerisch exaktes und effektives WKB-Potential des normierten ersten
angeregten Zustandes.
72
Kapitel 6. Vergleich von WKB-Näherung und numerisch exakter Lösung
0,003
Snumerisch
SWKB
0,0025
0,002
0,0015
0,001
0,0005
0
-0,0005
-0,001
-0,0015
-0,002
0
200
400
600
r
800
1000
1200
Abb. 6.4: Wie 6.2 für den normierten 9. angeregten Zustand.
0,008
Unumerisch
UWKB
0,006
0,004
0,002
0
-0,002
-0,004
0
200
400
600
800
r
1000
1200
1400
Abb. 6.5: Wie 6.3 für den normierten 9. angeregten Zustand.
73
6.2. Potentiale und Wellenfunktionen
0,0001
Snumerisch
SWKB
5e-05
0
-5e-05
-0,0001
0
1000
2000
3000
r
4000
5000
6000
Abb. 6.6: Wie 6.2 für den normierten 19. angeregten Zustand.
0,003
Unumerisch
UWKB
0,0025
0,002
0,0015
0,001
0,0005
0
-0,0005
-0,001
0
1000
2000
3000
r
4000
5000
6000
Abb. 6.7: Wie 6.3 für den normierten 19. angeregten Zustand.
74
Kapitel 6. Vergleich von WKB-Näherung und numerisch exakter Lösung
2e-05
Snumerisch
SWKB
1,5e-05
1e-05
5e-06
0
-5e-06
-1e-05
-1,5e-05
-2e-05
0
5000
10000
r
15000
20000
Abb. 6.8: Wie 6.2 für den normierten 36. angeregten Zustand; rechts unten die
Divergenz der numerischen Lösung.
0,0008
Unumerisch
UWKB
0,0006
0,0004
0,0002
0
-0,0002
0
5000
10000
15000
20000
25000
r
Abb. 6.9: Wie 6.3 für den normierten 36. angeregten Zustand.
Kapitel 7
Zusammenfassung
Im Folgenden soll noch einmal ein Überblick über das Ziel der Arbeit und die
erhaltenen Ergebnisse gegeben werden. Von besonderem Interesse sind dabei die
physikalischen oder systematischen Folgerungen, die die vorliegende Arbeit zulässt.
7.1
Ziele der Arbeit
• Zunächst sollten numerische Lösungen der radialsymmetrischen
Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung gefunden werden, um die
Systematik der Zustände und Energieeigenwerte mit wachsenden Quantenzahlen untersuchen zu können.
• Alternativ sollte eine semiklassische Lösung des Newton-SchrödingerSystems gefunden werden. Die erhaltenen Funktionen sollten dann mit numerisch ermittelten Werten verglichen werden, um die Güte der WKBNäherung sicherzustellen, bevor sie zur Bestimmung der Energieeigenwerte
des Systems eingesetzt wurde. Dadurch sollte das von einer zu erwartenden
Rydberg-Serie abweichende Verhalten der numerisch bestimmten Energieeigenwerte erklärt werden.
7.2
Die Ergebnisse
Die Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung wurde erstmals numerisch bis
zum Anregungszustand n = 40 gelöst. Nach der Bestätigung der BohrSommerfeld-Quantisierung aus den numerischen Potentialen wurde darüber hinaus zum ersten Mal gezeigt, dass im Gegensatz zu bekannten Problemen aus
der Atomphysik die Abweichung des Wirkungsintegrals der Newton-SchrödingerLösungen vom Coulomb-Wirkungsintegral nicht gegen einen festen Wert konvergiert, sondern im Rahmen der numerischen Genauigkeit für höhere n linear
75
76
Kapitel 7. Zusammenfassung
m [kg]
10−30
10−27
10−18
10−12
∆rerlaubt [m]
1030
1021
10−5
10−23
Kommentar
Elektron
Nukleon
Wassertropfen mit r = 10−7 m
Wassertropfen mit r = 10−5 m
Tab. 7.1: Ausdehnung des klassisch erlaubten Bereichs ∆rerlaubt eines Teilchens
der Masse m im Newton-Schrödinger-Grundzustand
mit n anwächst. Dies erklärt unmittelbar die Existenz eines Korrekturfaktors zu
den aus der Rydbergserie bekannten Energieeigenwerten. Anhand eines einfachen
Modellpotentials konnte das Zustandekommen dieses Korrekturfaktors im Prinzip nachvollzogen werden.
Des Weiteren konnte gezeigt werden, dass sich die Methode der WKBNäherung prinzipiell auch auf nichtlineare Probleme anwenden lässt. Es ist gelungen, die bisher besten semiklassischen Wellenfunktionen und Potentiale sowie erstmals Energieeigenwerte (die in Abbildung 7.1 noch einmal wiedergegeben sind) zu berechnen. Dabei wurde ein aus der Numerik bestimmter Reskalierungsfaktor zur systematischen Korrektur der durch die semiklassische Näherung
auftretenden Fehler verwendet. Auf diese Weise konnten auch Wellenfunktionen
und Potentiale bestimmt werden, die wichtige Eigenschaften der numerisch bestimmten Lösungen wiedergeben. Insbesondere soll hierbei die Bestätigung der
1
-Abhängigkeit der Energieeigenwerte, wie sie sich auch aus der Numerik ergibt,
n2
erwähnt werden. Es ist zu erwarten, dass eine weitere quantitative und qualitative Verbesserung der Ergebnisse aufbauend auf den hier dargestellten Ansätzen
erreicht werden kann.
Von grundsätzlichem Interesse ist die Frage nach der experimentellen Verifizierbarkeit der der Newton-Schrödinger-Gleichung zugrundeliegenden Hypothesen. In Tabelle 2.1 wurde bereits die Stabilität eines Überlagerungszustandes
betrachtet. Unter Zuhilfenahme der in dieser Arbeit erhaltenen Ergebnisse lassen sich weitere Aussagen über den Grad der Lokalisierung der Eigenzustände
der radialsymmetrischen Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung treffen. Dazu betrachtet man den klassischen Umkehrpunkt in Abhängigkeit von der Masse
des betreffenden Teilchens. Aus den Gleichungen (4.3) und (5.41) folgen für den
am stärksten lokalisierten Grundzustand die in Tabelle 7.1 aufgeführten Größenordnungen.
Hier wird augenscheinlich, dass Teilchen wie Elektronen oder Nukleonen selbst
im Newton-Schrödinger-Grundzustand quasi delokalisiert sind, während makroskopische Objekte praktisch keine Ortsunschärfe mehr zeigen.1 Somit widerspre1
Problematisch ist hier natürlich, dass der errechnete klassisch erlaubte Bereich für die Wassertropfen kleiner ist als deren Ausdehnung. Das ist einfach darauf zurückzuführen, dass die
77
7.3. Ausblick
1
Enumerisch
κ⋅EWKB
0,1/x2
0,1
0,01
0,001
0,0001
1e-05
1
10
Abb. 7.1: Doppeltlogarithmische Auftragung der numerischen Energieeigenwerte
sowie der reskalierten WKB-Energien.
chen die aus dieser Betrachtung der Newton-Schrödinger-Gleichung zu ziehenden
Folgerungen nicht den bekannten experimentellen Ergebnissen.
7.3
Ausblick
Im Hinblick auf das beobachtete Verhalten der Energieeigenwerte wäre es von besonderem Interesse, aus dem Newton-Schrödinger-System selbst die Abweichung
des Wirkungsintegrals gegenüber dem Coulomb-Integral zu bestimmen, um zu
prüfen, ob in der Tat ein linearer Zusammenhang zwischen Ordnung und Abweichung besteht. Dazu könnte z.B. ein aus einer eingehenderen Untersuchung der
analytischen Eigenschaften des Systems gewonnenes Modellpotential verwendet
werden. Ein weiterer Ansatzpunkt wäre die Anwendung alternativer Näherungsmethoden anstelle der WKB-Näherung, um die Divergenz am Ursprung zu vermeiden und so die Eigenschaften des Systems besser abzubilden. Relativ einfach
sollten Verbesserungen in der numerischen Behandlung des Systems zu erreichen sein. Höhere Genauigkeiten ließen sich beispielsweise durch den Übergang
auf long double-Variablen erreichen, die aber von den in den gsl-Bibliotheken
Newton-Schrödinger-Lösung so nur für Punktteilchen gilt. Als Anhaltspunkt können obige Größenordnungen dennoch verstanden werden.
78
Kapitel 7. Zusammenfassung
implementierten Runge-Kutta-Routinen nicht unterstützt werden. Die iterative
selbstkonsistente Lösung des Systems sollte bei entsprechender Rechenzeit ebenfalls zu einer Erhöhung der Genauigkeit führen. Die numerischen Integrationen
wurden in der vorliegenden Arbeit über eine einfachen Trapezregel durchgeführt,
was weitere Optimierungsmöglichkeiten bietet. Andere Arbeitsgebiete könnten
eine numerische Behandlung von nichtradialsymmetrischen Situationen in Verallgemeinerung bestehender Arbeiten für das Einteilchen- [Harrison u. a. (2003)]
oder Mehrteilchenproblem [Knapp (2005)] sein.
Anhang A
Asymptotik für S(r) aus
vollständigem U∞
Die in diesem Fall zu lösende Differentialgleichung ist
2
Q
∂r2 S + ∂r S + (P + )S(r) = 0,
r
r
(A.1)
also eine radialsymmetrische Schrödinger-Gleichung mit Coulomb-Potential. Die
allgemeine Lösung kann entweder mit Hilfe der Laguerre-Polynome (siehe z.B.
[Schwabl (1998)]) oder über die konfluente hypergeometrische Funktion U (a, b, z)
und die konfluente hypergeometrische Kummer-Funktion M (a, b, z) (siehe z.B.
[Abramowitz u. Stegun (1970)]) ausgedrückt werden. Im letzteren Fall nimmt sie
die Form
n √
o
√
Q
S(r) = exp − −P r αM (1 − √
, 2, 2 −P r)
2 −P
√
Q
+ βU (1 − √
(A.2)
, 2, 2 −P r)
2 −P
√
−P r , so dass eine normierbare
an. M divergiert für große r stärker als exp
Funktion nur für α = 0 existieren kann. In Integralschreibweise ist der übrigbleibende Anteil
o
n √
S(r) = exp − −P r β
1
Γ(1 − 2√Q−P )
Z
∞
0
n
√
exp −2 −P rt
o 1
t
+1
2
√Q
−P
dt.
(A.3)
Reihenentwicklung um r = ∞ liefert hierfür
n √
o 1 1+
S(r) ≈ exp − −P r
r
√
−P Q
2P
β · 2−1−
79
√
−P Q
2P
(−P )−1−
√
−P Q
2P
+ O(
1
).
r2
(A.4)
80
Anhang A. Asymptotik für S(r) aus vollständigem U∞
Da der Exponent des 1r -Terms negativ werden kann – P = 2mE < 0 – und
die Größenverhältnisse von P und Q vom betrachteten Problem abhängen, kann
über den Potenzanteil keine weitere Aussage gemacht werden. Er spielt für die
Normierbarkeit aber keine Rolle, da der exponentiell abfallende Anteil in jedem
Fall dominiert. Die asymptotische Form der Wellenfunktion ist also korrekt durch
einen mit einem Potenzterm modifizierten exponentiellen Abfall wiedergegeben.
Anhang B
Parametrisierte Lösung
Aus den nichttransformierten Newton-Schrödinger-Gleichungen (2.17) und (2.18)
kann eine parametrisierte WKB-Lösung gewonnen werden.
B.1
WKB-System gekoppelter DGL
Der Ansatz für die Wellenfunktion in der WKB-Methode ist
i
Ψ(r) = A(r) exp
B(r)
~
(B.1)
mit einer reellen Amplitudenfunktion A(r) und einer reellen Exponentenfunktion
B(r). Anwenden des Laplace-Operators auf diesen Ansatz liefert
i
i
i
B(r) + 2∇A(r) ∇B(r) exp
B(r)
∆Ψ(r) =∆A(r) exp
~
~
~
i
i
1
i
2
+ A(r) ∆B(r) exp
B(r) − A(r) 2 (∇B(r)) exp
B(r) ,
~
~
~
~
(B.2)
während die Poisson-Gleichung (3.2) übergeht in
∆V = 4πGm2 A(r)2 .
Nun wird die Schrödingergleichung in Real- und Imaginärteil separiert.
erhält man ein System von drei gekoppelten Gleichungen
~2 ∆A(r) + A(r) 2m (E − V (r)) − (∇B(r))2 = 0
2(∇A(r))(∇B(r)) + A(r)∆S(r) = 0
2
2
∆V − 4πGA(r) exp − Im(B(r)) = 0.
~
(B.3)
Somit
(B.4)
(B.5)
(B.6)
Im klassisch erlaubten Bereich wird die Exponentenfunktion reell, somit gilt die
einfachere Gleichung
∆V − 4πGm2 A(r)2 = 0.
(B.7)
81
82
Anhang B. Parametrisierte Lösung
B.2
Potentialgleichung
∂
Wendet man die Ersetzungen ∇ → ∂r
und die radialsymmetrische Form des
Laplace-Operators an, so geht Gleichung (B.5) über in
2
2A0 (r)B 0 (r) + A(r)B 00 (r) + A(r)B 0 (r) = 0.
r
0
Division durch A und B liefert
A0 B 00 2
2 + 0 + = 0,
A
B
r
dies kann geschrieben werden als
2∂r ln (A) + ∂r ln (B 0 ) + 2∂r ln (r) = 0.
(B.8)
(B.9)
(B.10)
Zusammenfassen der Ableitungen und Integrieren ergibt
2 ln (A) + ln (B 0 ) + 2 ln (r) = const .
(B.11)
Als weiteren Schritt kann man noch die Logarithmen zusammenziehen, also
A2 B 0 r 2 = exp {const} =: d.
(B.12)
Auflösen nach B 0 und Einsetzen in Gleichung (B.4) liefert ein System von zwei
gekoppelten Differentialgleichungen, in dem die Funktion B(r) nicht mehr vorkommt. Natürlich wäre es genauso möglich, nach A aufzulösen, so dass das System von B und V anstelle von A und V abhängt. Die resultierenden Gleichungen
werden aber recht unhandlich, da die erste und zweite Ableitung von A benötigt wird. Das erhaltene System ist noch exakt, es wurde bisher keine Näherung
vorgenommen!
2 0
d
2
00
~ A + A + 2m (E − V ) A − 3 4 = 0
(B.13)
r
Ar
2
V 00 + V 0 − 4πm2 GA2 = 0
(B.14)
r
Auflösen der Gleichung (B.7) nach A(r) ergibt
r
∆V (r)
.
A(r) =
4πGm2
(B.15)
Die erste und zweite Ableitung des so bestimmten A(r) sind dann
0
00
− 2V2 + 2Vr + V (3)
√
A = r√
(B.16)
4 πGm2 ∆V
12V 02 − 12r 2 V 002 − r 4 (V (3) )2 + 2r 4 V 00 V (4) + 4r 2 V 0 3V (3) + rV (4)
00
√
√
A =
,
8 πGm2 ∆V (2V 0 + rV 00 )
(B.17)
0
83
B.2. Potentialgleichung
was nach Einsetzen in Gleichung (B.13) eine Differentialgleichung für V (r) liefert,
aus der sowohl B(r) als auch A(r) eliminiert sind. Diese Differentialgleichung ist
nichtlinear und 4. Ordnung, wird aber durch die anschließende WKB-Entwicklung
nach dem kleinen Parameter“ λ = ~2 deutlich vereinfacht. Zunächst einmal die
”
vollständige Differentialgleichung, sortiert nach Ordnungen von ~:
0 = −64d2 G2 π 2 + 32mr 2 (E − V )(V 0 )2
+ 8mr 4 (E − V )(V 00 )2 + 32r 3 m(E − V )V 0 V 00
+ ~2 −64d2 G2 π 2 − 16(V 0 )2 + 32mr 2 (E − V )(V 0 )2 + 8r 2 (V 00 )2
4
00 2
3
00
(3)
3
00
2
0
(3)
+ 8mr (E − V )(V ) + 4r V V + 32mr (E − V )V + 8r V V
+ ~4 −4(V 0 )2 − 4r 2 (V 00 )2 − r 4 (V (3) )2 + 4r 3 V 00 V (3)
!
1
(B.18)
· √
+2r 4 V 00 V (4) + 8rV 0 + 20r 2 V 0 V (3) + 4r 3 V 0 V (4)
r Gm2 ∆V
Wir definieren
λ := ~2
(B.19)
und entwickeln die Gleichung (B.18) nach Ordnungen von λ, wobei wir für V (r)
die Form
∞
X
2
V (r) = V0 (r) + λV1 (r) + λ V2 (r) + . . . =
λn Vn (r)
(B.20)
n=0
ansetzen. Üblicherweise wird diese Entwicklung in der WKB-Methode für die
Exponentenfunktion B(r) angesetzt. In nullter Ordnung von λ erhalten wir
(∆V0 (r))2 =
bzw.
∆V0 (r) =
Mit der Definition
8π 2 d2 G2 m3
r 4 (E − V (r))
√
2πdGm
2m p
.
r 2 E − V (r)
U (r) = E − V0 (r)
(B.21)
(B.22)
(B.23)
und nach Anwendung der Transformation
erhält man dann
U = rU → ∂r2 U = r∆U
(B.24)
c
∂r2 U (r) + √
= 0.
rU
(B.25)
84
Anhang B. Parametrisierte Lösung
Dies ist ein Sonderfall der Emden-Fowler-Differentialgleichungen (vgl. [Polyanin
u. Zaitsev (2002)]), die die Form
∂x2 y(x) = Axn y m
(B.26)
haben. Für n = m = − 12 kann die Lösung in parametrisierter Form angegeben
werden. Mit der Hilfsfunktion Z(τ )
(
c1 J 1 (τ ) + c2 Y 1 (τ )
3
3
Z(τ ) =
(B.27)
c1 I 1 (τ ) + c2 K 1 (τ )
3
3
die die (verallgemeinerten) Bessel-Funktionen (siehe z.B. [Abramowitz u. Stegun
(1970)]) enthält, können r und U (r) als Funktionen von τ geschrieben werden:
2
r = τ 3 Z(τ )2
2
√
2
1
3
−
U (r) = ∓9c2 τ 3 τ ∂τ Z(τ ) + Z(τ )
3
(B.28)
(B.29)
Die Bestimmung des korrekten Vorzeichens sowie der zu verwendenen Definition von Z und anschließende Rücktransformation liefert dann als parametrisierte
Darstellung des Potentials V0 (r)
√
2
3
V (τ ) = E − 9c2 τ − 3
c1 J− 2 (τ ) + c2 Y− 2 (τ )
3
3
c1 J 1 (τ ) + c2 Y 1 (τ )
3
3
!2
.
(B.30)
Mit Hilfe von V0 können hieraus die Funktionen A und B und daraus dann die
WKB-Wellenfunktion in parametrisierter Form gewonnen werden.
Anhang C
Wirkungsintegral eines einfachen
Modellpotentials
Wir wissen aus den Betrachtungen zur Asymptotik des Newton-SchrödingerSystems, dass Lösungen nahe am Ursprung parabelförmig werden, während sie
für große r wie 1r abfallen. Aus den numerischen Lösungen konnten wir erkennen, dass dieses Verhalten bereits am Umkehrpunkt dominant ist. Es liegt daher
nahe, als erstes Modellpotential eine stetige und differentierbare abschnittweise
definierte Funktion der Form
U (r) =
(
c+
c+
3d
2rK
d
r
−
d
2
3 r
2rK
für r < rK
für r > rK
(C.1)
mit konstanten Koeffizienten c und d anzunehmen. Der Verbindungspunkt rK
muss dabei natürlich zwischen Ursprung und Umkehrpunkt liegen:
0 < r K ≤ rU
(C.2)
Setzt man nun den Verbindungspunkt proportional zum Umkehrpunkt
rK = σrU
mit 0 < σ ≤ 1
(C.3)
so kann das Wirkungsintegral berechnet und die Bohr-Sommerfeld-Quantisierung
angewandt werden. Die so definierten Potentiale und die zugehörigen Wirkungsintegrale sind für einen Wert von σ = 0, 5 in den Abbildungen C.1 bzw. C.2
dargestellt. Interessant ist der Vergleich mit den Abbildungen 4.13 und 4.14, in
denen dieselbe Größe für das Newton-Schrödinger- und das Coulomb-Potential
85
86
Anhang C. Wirkungsintegral eines einfachen Modellpotentials
aufgezeichnet ist. Für das Wirkungsintegral gilt dann
Z rU √
Z σrU s
Z rU r
3d
d
d
2
U dr =
c+
c + dr
− 3 3 r dr +
2σrU
2σ rU
r
0
0
σrU
s
r
d
d 2cσ 3 rU3
d2 2
1
2 r2 +
−σ
+
3σ
σ
=
U
2 2σ 3 rU3
c
d
c2


!
v
u
d
d
2cσ 3 rU3


u

+ 3σ 2 rU2 · arsinh −σ t
+
d
c 2σ 3 r 3 c + 3d
U
2σrU
r
d2 2
πd
d
−
(σ − σ) + √
+ √ arcsin (1 − 2σ)
(C.4)
c
4 −c 2 −c
und nach
2~
und mit den Definitionen
c=
Z
2mE
~2
rU
√
!
U dr = 2π~(n + η)
(C.5)
0
d=
2Gm3
~2
rU = −
d
c
(C.6)
zur Anpassung an das Newton-Schrödinger-Potential erhält man
E=−
p
G 2 m5
π
− 4(σ − σ 2 ) + + arcsin (1 − 2σ)
2
2
2
2~ π (n + η)
2
!!
r
r
r
2
σ
4 − 4σ
2
1
−
+
(3 − 2σ) arcsin −
.
2
σ
σ
3 − 2σ
(C.7)
Im Grenzfall σ → 0 reduziert sich dies erwartungsgemäß auf die Rydberg-Serie
des gravitativen Coulomb-Problems. Für alle anderen Werte von σ erhält man
aber einen nur von σ abhängigen Korrekturfaktor für die Energieeigenwerte. In
Abbildung C.3 sind diese über σ aufgetragen.
87
0,5
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
0,4
0,3
U(r)
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,3
0
10
20
30
40
50
60
70
r
Abb. C.1: Einige Zustände des Modellpotentials für σ = 0, 5.
1
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
n=8
0,8
U
1/2
0,6
0,4
0,2
0
0
20
40
60
80
100
120
140
r
Abb. C.2: Die Integranden des Wirkungsintegrals einiger Zustände bei σ = 0, 5.
88
Anhang C. Wirkungsintegral eines einfachen Modellpotentials
1
0,9
0,8
0,7
κ
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
σ
Abb. C.3: Aus dem Modellpotential resultierender Korrekturfaktor zur RydbergSerie des Coulomb-Potentials.
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Danksagung
Diese Arbeit wäre nicht möglich gewesen ohne die Unterstützung zahlreicher Kollegen und Freunde, die mir über die gesamte Zeit mit Rat und Tat zu Seite
standen.
• An erster Stelle möchte ich hier ganz besonders meinem Hauptberichter
Herrn Professor Wunner danken, der mir ein überaus spannendes Thema
zur Verfügung gestellt hat und mir das Jahr hindurch in vielen Gesprächen
über auftretende Schwierigkeiten hinweggeholfen hat.
• Als zweites möchte ich meinen Kollegen, Frau Sabine Latzel, Herrn Holger Cartarius, Herrn Markus Knapp, Herrn Ralf Peter und Herrn Ulrich
Raitzsch nennen, die mich durch das Studium begleitet haben und ohne
die viel Physik und fast aller Spass an mir vorbeigegangen wäre. Holger, an
dieser Stelle nochmals ein extra- Dankeschön“ für die unzähligen LaTex”
GnuPlot- und sonstigen Erfahrungsschätze (wie funktioniert ein Dienstreiseantrag?), die Du mit Markus und mir geteilt hast! Und – wie könnte es
anders sein – natürlich darf ich noch einmal ausdrücklich meinem NewtonSchrödinger-Arbeitsgruppen- und Bürokollegen Markus danken, der immer
ein offenes Ohr für Probleme hatte und mit dem ich so manche anregende und wertvolle Diskussion (neben einigen anderen...) führen konnte. Das
wäre ein langweiliges Jahr geworden ohne dich, Markus!
• Zum dritten ist es mir wichtig, mich bei den bisher nicht genannten Institutsmitgliedern, allen voran der Arbeitsgruppe von Herrn Dr. Main, für
die freundliche Integration zu bedanken. Namentlich erwähnt seien an dieser
Stelle auch Herr Steffen Bücheler und Herr Dirk Engel, die als Systemadministratoren Hard- und Softwareproblemen keine Chance gaben.
• Schlussendlich möchte ich noch meinem Mitberichter Herrn Professor Muramatsu meinen Dank aussprechen, ohne dessen durchaus auch kritische
Anmerkungen diese Arbeit sicher nicht den jetzigen Stand erreicht hätte.