S - Fachbereich Geowissenschaften

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Strömungsmechanik
Wo spielen Strömungen in den Geowissenschaften eine Rolle?
 Meeresströmungen (Klima bzw. Paläoklima und Paläoumwelt)
 Grundwasser (Verfügbarkeit, Verschmutzung)
 Öl-/Gas-Lagerstätten (Reservoir-Bildung und Förderung)
 Geothermie („Förderung“ von Thermalwässern)
 Tektonik (Mantelkonvektionen als Motor von Plattenbewegungen, duktile Deformation)
 Vulkanismus (Magmabewegung)
 Sedimentation (Bildung von Sedimentgesteinen, v.a. fluviatil)
 Magnetfeld der Erde (Konvektionen im flüssigen äusseren Erdkern)
 Bewegung von Tieren im Wasser bzw. Luft (Ausrichtung in Strömung, Bionimetik)
 Pflanzen (Strömung in Blattadern oder an Blattoberflächen etc., z.B. als Klimaindikator)
Strömungsmechanik
Was ist wichtig zur Beschreibung von Strömungen?
 Kontinuitätsgleichung (Erhaltung der Masse)


 / t  (   v )  0
 Hagen-Poiseuille Gleichung (laminare Strömung in Röhren)
 Kapillarwirkung (bei langsamer Strömung wichtig)
 Stokes‘sches Gesetz (Strömung von Partikeln: advektiver Transport)
 Bernoulli Gleichung (bei schneller Strömung wichtig) p  (1 / 2)   v 2  const
Wichtig bei Prozessen in der Erde sind Wärme und Gravitation
(erzeugen Druck- bzw. Dichteunterschiede und Aufttrieb)
Strömungsmechanik
Hagen-Poiseuille Gesetz
p1
p2-p1=Δp
p2
R
v(r)
p
v(r ) 
 (R2  r 2 )
4   l
l
V   p  R 4

Volumenstrom Q =
t
8   l
Strömungsmechanik
Kapillarwirkung
Molekularkräfte zwischen
Flüssigkeitsmolekülen (Kohäsion)
bzw. Wand und Flüssigkeit (Adhäsion)
Wichtig in dünnen Kapillaren (hohes Verhältnis
Oberfläche zu Volumen) für Hydrostatik (z.B. in der
Kapillarzone des Grundwasserspiegels) und für
geringe Strömungsgeschwindigkeiten
Strömungsmechanik
Strömungswiderstand – Stokes‘sches Gesetz
F  6     r  v
Bei laminarer Strömung wird
der Strömungswiderstand durch
eine Reibungskraft auf die Kugel
bedingt
r Radius der Kugel
Strömungsmechanik
Laminare
Strömung durch (innere) Reibung
Turbulente
und
Strömung
dominiert
In turbuenter Strömung gilt:
cw Widerstandsbeiwert
A Querschnittsfläche
ρ Dichte des durchströmten Mediums
Strömung durch Trägheitskräfte
dominiert
1
2
F    cW  A  v
2
Strömungswiderstand
Strömungsmechanik
Ableitung des Strömungswiderstands für turbulente Strömung
Strömendes Objekt mit Querschnittsfläche A und Geschwindigkeit v
Zurückgelegte Strecke des Objekts in Δt:
Δs = v∙Δt
Dabei zur Seite geschobenes Volumen:
entspricht einer Masse:
V = A∙Δs = A∙v∙Δt
m = ρ∙V = ρ∙A∙Δs = ρ∙A∙v∙Δt
Annahme:
Die beiseite geschobenen Teilchen erhalten eine Geschwindigeit von vL~v
Damit erhalten sie eine kinetische Energie:
E = (1/2)∙m∙vL 2 = (1/2)∙ρ∙A∙v∙Δt∙vL2
mit vL2 = cW∙v2 ergibt sich: E = (1/2)∙ cW∙ρ∙A∙Δt∙v3
Diese Energie geht der kinetischen Energie des strömenden Objekt verloren
Mit E = F∙Δs (Kraft∙Weg) und Δs = v∙Δt
ergibt sich die Formel
1
F    cW  A  v 2
2
Strömungsmechanik
Strömung
in Gefäßen
(Rohrleitungen,
Blutgefäße, Blattadern)
Es gibt keine magnetischen Monopole
Luftströmung
!!!
über einem Blatt
kann laminar oder turbulent sein
Blattoberfläche
Strömungsmechanik
Strömung des Grundwassers
wird meistens als laminar betrachtet
Blattoberfläche
Quelle:
http://www.uwsp.edu/cnr/gndwater/Stevens%20Point-Whiting-Plover%20Groundwater%20Management.htm
Strömungsmechanik
Beispiel: Fallschirmspringers (m=80 kg)
1
F    cW  A  v 2
2
Im Gleichgewicht ist F = FG
Je nach Haltung wird eine maximale Geschwindigkeit
von ca. 180 - 320 km/h (ca. 50 - 90 m/s) erreicht
Damit ergibt sich
cW 
2m g
  A  v2
(ρ=1,2 kg/m3 für Luft)
d.h.
FG = m∙g
cw ≈ 0,7 (für 50 m/s) „Bauchsprung“ (A=0,75m2)
cw ≈ 0,6 (für 90 m/s) „Kopfsprung“(A=0,25m2)
Wäre der Fallschirmspringer eine Kugel und die Strömung laminar,
FG = 6∙π∙∙r∙v (Stokes‘sches Gesetz)
Blattoberfläche
daraus ergibt sich v ≈ 107 m/s (für r = 0,25 m für kugelförmigen Fallschirmspringer)
so wäre im Gleichgewicht
Dieser Wert ist natürlich absurd; es zeigt aber den gewaltigen Unterschied zwischen dem
Strömungswiderstand bei laminarer und turbuenter Strömung
Nach dem Öffnen des Schirms (A=40 m2) ergibt sich im Gleichgewicht (bei turbulenter
Strömung) eine Geschwindigkeit von
v ≈ 5 m/s ≈ 20 km/h (bei cW=1)
Strömungsmechanik
Weg x, Geschwindigkeit v=dx/dt, Beschleunigung a=d2x/dt2
(während des Falls vor den Öffnen
desReibung
Schirms)
Fall mit
Es gilt die Bewegungsgleichung
1
F    cW  A  v 2
2
Ft = m∙a
60,0
d 2x
1
dx
m  2  m  g     cw  A  ( ) 2
2
dt
50,0 dt
40,0
30,0
FG = m∙g
a in m/s2
v(t) in m/s
x(t) in m
20,0
10,0
Die geringere Endgeschwindigkeit
von 38 m/s ≈ 140 km/h ergibt sich
aufgrund der etwas größer
angenommen Werte für cw und A
t in s
0,0
0
5
10
15
20
Strömungsmechanik
Laminare Strömung
Turbulente Strömung
bei niederer Reynolds-Zahl
Re < ca. 2000
bei hoher Reynolds-Zahl
Re > ca. 4000
Bei höheren Reynolds-Zahlen wird die Strömung anfälliger für Störungen
 Dichte
Reynolds-Zahl v Strömungsgeschwindigeit
Re =  v d / d charakteristische Länge
 Viskosität
Re ist ein Maß
für das Verhältnis
von Trägheitskraft
zu Reibungskraft
Strömungsmechanik
Beispiele Rohrströmung
Bei höherer Strömungsgeschwindigkeit
wird die Strömung turbulent
(bei Rohrströmung gilt als Grenzwert ~2300
Unebenheiten erzeugen zusätzlich
Turbulenzen (Strömung durch ein
glattes Rohr bleibt eher laminar)
Zwei miteinander strömende
Flüssigkeiten erzeugen ebenfalls
zusätzlich Turbulenzen
Quelle:
Fachbereich Physik
Univ. Kaiserslauten
Download Video:
http://pen-physik.de/medien/MM_Videos/index.html?/medien/MM_Videos/reynolds/farbfaden-web-ger.htm
Strömungsmechanik
Beispiele für Reynolds-Zahlen:
Wasserströmung im Rohr ≈6000
(0,1 l/s, Durchmesser 2 cm)
Luftströmung ≈108 (für d= 100 m)
(10 m/s = 36 km/h, ρ= 1,2 kg/m3)
Flugzeug ≈107
Blut in Aorta ≈1000 (Kontraktionsphase)
Viskosität  (in Ns/m2 = Pa∙s = 10 Poise):
Luft 1,8x10-5, Wasser (20°C) 10-3, Olivenöl 10-1, Honig 10, Steinsalz 1010-1015,
Erdmantel 1018-1022, basaltisches Magma 10-103, äußerer Erdkern ähnlich wie Wasser (??)
Will man z.B. den Erdmagnetfeld-Dynamo im Experiment simulieren muss man eine
realistische Reynolds-Zahl erzeugen, d.h. v∙d muss dem äußeren Erdkern entsprechen.
Da d im Experiment viel kleiner ist als im Erdkern, müsste v sehr groß werden (~100 m/s) !!
(Konvektionsgeschwindigkeiten im äußeren Erdkern im MIttel einige km/Jahr )
Strömungsmechanik
Beispiel Basaltschlot:
Viskosität 30 Pas
Durchmesser 200 m (zylindrischer Querschnitt)
Vertikaler Druckgradient Δp/Δz = 0,3 kbar/km (1 kbar=108 N/m2)
Damit ergibt sich:
Q ≈4∙1010 m3/s ≈3,5∙106 km3/Tag
aus Hagen-Poiseuille Gesetz mit Δp/l = Δp/Δz
d.h. Fließgeschwindigkeit v wäre ≈106 m/s, ein absolut unsinniger Wert
Wo liegt der Fehler?
1) Druckgradient: nur Dichteunterschied Festgestein zu Magma ist für Δp/Δz relevant
Δp/Δz ca. um Faktor 10 geringer => Q und v um Faktor 10 geringer
2) Schlotdurchmesser
bei d=20 m => Q ≈4∙105 m3/s und v ≈ 103 m/s
unrealistisch:
bei d=2 m => Q ≈40 m3/s und v ≈10 m/s ; Re ≈2000
Spalte (Dyke) statt zylindrischer Schlot:
Es git:
dV b  d 3  p

dt
12   l
(parallele Platten mit Länge l, Breite b, Abstand d)
und damit
Q ≈104 m3/s und v ≈50 m/s (Fluss entlang l, b=100 m, d=2 m, Δp/l = Δp/Δz = 30 bar/km)
Re ≈104
Strömungsmechanik
Poiseuille Strömung zwischen parallelen Platten
p1
p2-p1=Δp
p2
Parallele Platten
d
v(r)
v(r ) 
l
dV b  d 3  p

Volumenstrom Q =
dt
12   l
p
2   l
 (d 2  r 2 )
Strömungsmechanik
Porenraumverteilung in Lehmböden
Strömungsmechanik
Grundwasserströmung durch Porenraum
Aus dem Hagen-Poiseuille Gesetz folgt:
Röhrenmodell
l
r
L
dV   p  r 4   p  r 4 L   r 4 p


 

dt
8   l
8   l
L 8   T L
dV 2
  r 4 p
u
/L 
 3
Strömungsdichte
dt
8   T L
k p
k
u



Darcy Gesetz
Hydraulische

L
(Empirisches Gesetz)
Permeabilität
L
l/L Tortuosität
Φ=π
r2 l
/
L3
= πT
(r/L)2
Porosität (0<Φ<1)
Spor = 2π r l / π r2 l = 2/r
Innere Oberfläche pro Porenvolumen
(Stirnflächen vernachlässigt)
Ein Vergleich der Gleichungen liefert:
k
r 4
2
8TL

r 2
8T
2


2 S 2por T 2
k kann damit auf geometrische Parameter der
Porenräume zurückgeführt werden
Magnetismus
Eine stromdurchflossene Spule
erzeugt ein Magnetfeld
Magnetfeld
eines Permanentmagneten
Es gibt keine magnetischen Monopole !!!
Ampère‘sches Gesetz
 
 H  ds  I
H: Magnetfeld
S: geschlossener Integrationspfad
I: Strom durch von S eingeschlossene Fläche
Ursache ???
Magnetfeld der Erde
GEODYNAMO
Wie kann ein Magnetfeld selbsterzeugend und selbsterhaltend sein?
Der Scheibendynamo benötigt:
•rotierende Scheibe
•leifähigen Ring („Spule“)
•Startfeld (B-Feld)
Ein Zweischeibendynamo kann auch unregelmäßige
Umkehrungen erklären
Durch die Lorentzkraft kommt es zum Stromfluss
in der Spule, welcher wiederum ein Magnetfeld
parallel zum Startfeld erzeugt
(das Startfeld kann dann entfallen und das B-Feld
bleibt erhalten, solange die Scheibe rotiert)
Magnetismus
Woher kommt der Festkörpermagnetismus ?
Antwort:
Spin der Elektronen = atomarer Ringstrom
Jedes Elektron erzeugt
ein atomares magnetisches Moment
der Stärke 9,274078∙10-24 Am2
(Bohrsches Magneton)
Zum Vergleich:
Magnetisches Moment der Erde ca. 8∙1022 Am2
Ströme erzeugen immer geschlossene B-Feldlinien,
d.h.
es gibt Plus-Minus (bzw. N-S) Pole nur in Kombination
Formen des Magnetismus
Spin des
Elektrons
Diamagnetismus:
Magnetfeld
Spinachse (=magnetisches Moment) des Elektrons
beschreibt in einem Magnetfeld eine
Kreiselbewegung (Präzession) um die
Magnetfeldrichtung.
Die Kreiselbewegung stellt einen zusätzlichen
Ringstrom dar; das hier entstehende magnetische
Moment ist dem Magnetfeld entgegengerichtet.
Diamagnetismus
ist eine Eigenschaft aller Stoffe.
Diamagnetismus ist grundsätzlich sehr schwach.
Formen des Magnetismus
Paramagnetismus:
Stoffe mit unkompensierten Spinmomenten von
Atomen bzw. Ionen sind paramagnetisch.
Die Spinmomente benachbarter Atome / Ionen sind
aber statistisch verteilt.
In einem äußernen Magnetfeld werden die
Spinmomente ausgerichtet und der Stoff wird
magnetisch (magnetisches Moment in
Magnetfeldrichtung). Nimmt man das Magnetfeld
weg, so ist die Magnetisierung wieder null
(statistische Ausrichtung wieder hergestellt).
Paramagnetismus ist relativ schwach.
Formen des Magnetismus
Ferromagnetismus:
Stoffe mit unkompensierten Spinmomenten
(wie beim Paramagnetismus), aber mit
Wechselwirkung benachbarter Spins.
Diese Wechselwirkung führt zur Parallelstellung der
Spinmomente.
Ferromagnetismus ist stark.
Ferromagnetische Stoffe können permanent
magnetisch sein.
Fe, Co, Ni und seltene Erden
sind bei Zimmertemperatur ferromagnetisch.
Oberhalb der Curie-Temperatur (Tc) werden
ferromagnetische Stoffe paramagnetisch
Formen des Magnetismus
Ferromagnetismus:
Sättigungmagnetisierung
Hysteresekurve
M: Magnetisierung H: Magnetfeld (B = μo∙H in Luft)
[M] = Am-1
[H] = Am-1
[B] = Tesla = Vsm-2
Ferromagnetismus
Wie kann ein ferromagnetisches
Teilchen unmagnetisch sein?
Antwort:
Aufteilung in magnetische Domänen, die durch Domänenwände getrennt sind
Magnetismus der Gesteine
Domänenstrukturen
bei Hämatit
In zwei verschiedenen äußeren
Magnetfeldern
Hämatit
10
10
mm
mm
Remanenter Magnetismus der Gesteine
Die Ozeanbasalte haben eine starke permanente
Magnetisierung, welche durch das Erdmagnetfeld
entstanden ist (getragen durch Minerale mit
ferromagnetischen Eigenschaften).
Streifenmuster (antiparallele Magnetisierung)
entstehen durch Umkehrungen des Erdmagnetfeldes
während des Seafloor-Spreadings.
Ferromagnetismus
Was führt
zu remanenter Magnetisierung?
Antwort:
(1) Magnetische Momente haben Vorzugsrichtungen
im Kristallgitter. Um von einer Richtung in die andere
umzuklappen bedarf es hoher Energie (Mr/Ms, Hc sind
daher groß, d.h. das Material hat ein gutes
magnetisches „Gedächtnis“).
(2) Domänenwände werden durch
unmagnetische Einschlüße (z.B. Poren) und
unregelmäßige Berandung, Gitterfehlstellen sowie
innere Spannungen „festgehalten“
(Mr/Ms und Hc relativ kleiner, wenn Domänenwände
existieren)
Domänenwände exisitieren erst oberhalb einer
kritischen Korngröße (diese ist hängt vom Material ab).
S S
N N
Ferromagnetismus
Magnetisches Moment m
und Magnetisierung M
H
Halbiert man den Magneten, dann halbiert sich
m, aber M (M=m/Volumen) bleibt gleich
B-Feld und H-Feld
N N
In einem schmalen Querschlitz entsteht durch die freien Nund S-Pole ein weiteres Feld =N∙M (= M, da für schmalen
Schlitz ist N=1); dieses addiert sich zum äußeren Feld H.
B = μo ( H + M )
S
N
S
N
S
N
S
N
S
N
S
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N
S
N
S
N
S
N
Kernphysik
(schwarz)
Stabile isotope
_
(blau) β -Strahler
A
Z
~
X  Y     
A
Z 1

n  p + Elektron + Antineutrino
(rot) β+-Strahler
A
Z
X Z A1Y      
p  n + Positron + Neutrino
(gelb) α-Strahler
A
Z
X ZA42Y  24  
http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph12/umwelt_technik/11nuklidkarte/nuklidkarte.htm
α-Teilchen haben diskrete Energie, β-Teilchen nicht da hier die Energie in verschiedener
Weise auf das β-Teilchen und das Neutrino bzw. Antineutrino verteilt wird.
Nach dem α- bzw. β-Zerfall befindet sich der Atomkern in einem angeregten Zustand, was
zur Emission eines γ-Quants mit diskreter Energie führt.
Kernphysik
Zerfallsreihen
nucleon number
max. energy of -radiaton of element X [MeV]
type of disintegration
half life time
element symbol
Die natürlichen Zerfallsreihen
Thorium-232 und Uran-238
sowie K-Zerfall (β-Zerfall zu Ca)
Die Zerfallsreihen 238U und 232Th
sind im radioaktiven Gleichgewicht,
d.h. Die Aktivität A aller Zwischenprodukte sowie des Anfangsisotops
ist gleich:
A
dN (t ) d
 ( N o  e  t )    N (t )  const
dt
dt
N: Teilchenzahl, λ: Zerfallskonstante
Daraus folgt, dass Zwischenprodukte mit hohem λ (= geringe Halbwertszeit) in relativ geringerer Konzentration
vorliegen (z.B. Radon-Gas mit einer Halbwertszeit von ca. 4 Tagen; Anm.: Ra ist ein α-Strahler, kann als Gas
durch Klüfte leicht aufsteigen, in den Körper eindringen und ist somit ein natürlicher „Umweltverschmutzer“).
Kernphysik
Wichtige Wechselwirkungen der Kernbausteine
Zwischen den Kernbausteinen (p,n) wirkt die „starke Wechselwirkung“. Sie hat im Atomkern eine sehr
geringe Reichweite und führt dazu, dass Protonen nicht durch die elektrische Abstossung auseinander fliegen.
Protonen sind stabil, d.h. Sie zerfallen nicht (zumindest ist dies bisher nicht beobachtet worden); im Atomkern
kann aber ein p in ein n umgewandelt werden.
Freie Neutronen sind nicht stabil, sie zerfallen in Proton+Elektron+Antineutrino (mittlere Lebenszeit ≈ ¼ h).
Protonen wechselwirken aufgrund ihrer Ladung stark mit Materie (durch die Coulombkräfte).
Neutronen dagegen wechselwirken mit Materie sehr viel schwächer (da sie keine Ladung haben wirken keine
Coulombkräfte).
Die Wechselwirkung beruht vorwiegend auf direkten Stössen, wobei praktisch nur Kollisionen mit Atomkernen
von Bedeutung sind: bei hoher n-Energie rein elastische Stösse (wie Billiardkugeln), bei niedrigerer n-Energie
inelastische Stösse (mit Erzeugung eines γ-Quants oder n-Einfang in den Atomkern).
In den Geowissenschaften ist dies von Bedeutung bei der Erzeugung kosmogener Nukleide in Gesteinen (n
werden in der Atmosphäre durch hochenergetische kosmische Strahlung gebildet) sowie zur Bestimmung von
Wasser- bzw. Kohlenwasserstoffgehalt in der Hydrogeologie bzw. Öl/Gas-Exploration (elastische Stösse mit
besonders hohem Energieübertrag bei Kollision mit dem etwa gleich schweren H-Kern).
Da Protonen geladen sind und einen Spin besitzen, präzidieren (=kreiseln)
sie in einem Magnetfeld B um die B-Feldrichtung mit der Lamorfrquenz fL
Dieser Effekt ist z.B. wichtig als Messprinzip für Magnetfelfdmessungen
und für Kernspinresonanz (Messung des Wassergehalts).
γ: gyromagnetisches Vehältnis
fL 

B
2
B
Spin
Kernphysik
Prinzip des Massenspektrometers
zum Nachweis von Isotopen
Ionisierte Teilchen
treffen an
verschiedenen Stellen
auf den Detektor
Ablenkung im
elektrischen Feld
Ionisiertes
Teilchen
Ablenkung im
magnetischen Feld
Kernphysik
Prinzip des Massenspektrometers
zum Nachweis von Isotopen
v  a  t
l
=>
ma  e E
c
vo
E-Feld
vo
y
v┴
tan  
l
vo
=>
v 
v
e
l
 E 2
vo m
vo
e
l
E
m
vo
y  c  tan  
e
l c
E 2
m
vo
durch E-Feld
α
E-Feld und B-Feld parallel
=> Ablenkung x und y in aufeinander senkrechten Richtungen
r
y
l
vo
e
 E t
m
Trägheitskraft = Coulombkraft; e: Elementarladung
t 
α
v 
++++++++
++++++++
++++++++
+ + + + + +α+ +
++++++++
B-Feld
x
α
m E
 x2
2
e B l c
Alle Isotope mit e/m=const
liegen auf dieser Parabelkurve
m  vo
m   r 
 e  vo  B
r
2
=>
2
c
Zentrifugalkraft

1 e B
 
r m vo
= Lorentzkraft
ds l
  tan 
r r
bei kleinem α
x  c  tan  
l c e B
  l c
r
m vo
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