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6. Digitale Datendarstellung
• Daten repräsentieren Informationen über die reale Welt im Rechner
• Sie sind die fundamentalen Objekte, die im Rechner gespeichert,
verarbeitet und wieder ausgegeben werden können
• Unterschiedliche Typen von Daten werden in unterschiedlichen
Datenstrukturen repräsentiert:
Einfache Datenstrukturen:
- numerisch: natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, ...
- symbolisch: Zeichenketten (strings),
Zusammengesetzte Datenstrukturen:
- Mengen, Listen, Bäume, ...
- Sammlungen von Datensätzen (Dateien)
G.Heyer
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Digitale Informationsverarbeitung
Codierung
Daten werden als Zeichenketten (Wörter) dargestellt.
Die Menge der in den Zeichenketten vorkommenden Symbole heißt Alphabet.
bekannte Beispiele: {a,b,c,...,A,B,C, ...}, {0,1,...,9}, {0,1}
Sei  ein Alphabet. * bezeichnet die Menge aller endlichen Zeichenketten, die
aus  gebildet werden können (einschließlich der leeren Kette).
Mit k-elementigem Alphabet lassen sich k n Wörter der Länge n erzeugen.
Seien und  Alphabete. Eine Codierung (von in  ist eine injektive
Abbildung c: * --> *.
Eine Binärcodierung ist eine Codierung, bei der || = 2 ist (oft  = {0,1}).
Vorteil: einfache physikalische Realisierungsmöglichkeit (Spannung ja/nein,
Magnetisierung positiv/negativ, Loch ja/nein, ...)
Für analoge Daten Diskretisierung (Rasterung) erforderlich
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Digitale Informationsverarbeitung
Binärcodierung von Texten
Codiert werden Groß-, Kleinbuchstaben, Ziffern, Satzzeichen, Sonderzeichen
Verbreitetster Standard: ASCII (American Standard Code for Information
Interchange) bzw. erweiterter ASCII (8 Bits)
Auszug aus Code-Tabelle:
G.Heyer
Symbol
ASCII
dezimal
0
1
9
A
B
Z
[
a
b
z
00110000
00110001
00111001
01000001
01000010
01011010
01011011
01100001
01100010
01111010
48
49
57
65
66
90
91
97
98
122
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Digitale Informationsverarbeitung
Natürliche Zahlen
Stellenwertcodierung: zu jeder natürlichen Zahl n und jeder Basis b
gibt es genau eine Folge xk xk^-1... x2 x1, so daß xk ≠ 0 und
n=
k
 xi b i
i=0
Bemerkung: falls Ziffern 0,...,9 nicht für Basis ausreichen, weitere Symbole
nötig, üblicherweise A,B,C,...
Beispiele:
114 10 = 1110010 2 = 72 16
2F16 = 47 10 = 101111 2
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Digitale Informationsverarbeitung
Konvertierungen von n in Basis b
Methode 1:
identifiziere größte Potenz b i von b, die kleiner als n ist.
Dividiere n durch b i , den Rest durch b i-1 usw. bis b 0 .
Die Divisionsergebnisse ergeben die gesuchte Ziffernfolge
von links nach rechts.
Methode 2:
dividiere n sowie die jeweils entstehenden Ergebnisse
fortlaufend durch Basis b.
Die dabei entstehenden Reste ergeben die gesuchte Ziffernfolge
von rechts nach links.
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Digitale Informationsverarbeitung
Rechnen mit Dualzahlen
Beispiele
0+0=0
1+0=1
0+1=1
1 + 1 = 0 (Ü = 1)
10110 • 101
1011000
000000
10110
1101110
10110
+ 101
11011
0•0=0
1•0=0
0•1=0
1•1=1
Subtraktion durch stellenweise Komplementbildung und Addition:
1011 - 0101 = 1011 + 1010 + 1 - 10000 = 0101 + 1 = 0110
11 - 5 = 11 + 10 + 1 - 16 = 5 + 1 = 6
Warum funktioniert das?
Sei x n-stellig. Zu berechnen x - y. Sei y das Komplement von y.
y + y = 1...1 = 2 n - 1. Also:
x - y = x - [2 n - 1 - y] = x + y + 1 - 2 n
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Digitale Informationsverarbeitung
Darstellung ganzer Zahlen (Datentyp Integer)
positive und negative Zahlen durch Vorzeichenbit unterschieden (0 = +, 1 = -)
darstellbar: - (2 n-1 ) + 1 bis 2 n-1 - 1.
Beispiel: n = 4
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
0011 = +3
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
1011 = -3
0100 = +4
0101 = +5
0110 = +6
0111 = +7
1100 = -4
1101 = -5
1110 = -6
1111 = -7
Nachteile: 0 zweimal repräsentiert, Rechenoperationen komplizierter
==> (Zweier-) Komplementdarstellung
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Digitale Informationsverarbeitung
Komplementdarstellung
-z repräsentiert durch 2 n - z (entspricht Stellenkomplement + 1).
Vorzeichen durch erstes Bit bestimmt.
Binäre Ziffernfolge xn-1 xn-2 ... x1 x0 repräsentiert:
xn-1 • (- 2
n-1
) + xn-2 • 2
n-2
+ ... + x1 • 2 + x0
darstellbar: - (2n-1 ) bis 2n-1 - 1.
Beispiel: n = 4
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
0011 = +3
0100 = +4
0101 = +5
0110 = +6
0111 = +7
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Vorteil: Addition negativer Zahlen wie für natürliche Zahlen
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Digitale Informationsverarbeitung
Rationale Zahlen
Mit n Bits nur 2 n Werte exakt darstellbar, daher müssen alle anderen
rationalen Zahlen durch benachbarten Wert approximiert werden.
Jede nichtnegative rationale Zahl kann eindeutig in einen ganzzahligen
Anteil z1  1 und gebrochenen Anteil 0  z2 < 1 zerlegt werden,
so daß z = z1 + z2.
Festpunktdarstellung für z im Stellenwertsystem mit n = k + m Stellen und
Basis b:
xk-1 xk-2 ... x1 x0.y1 ... ym steht für
k-1
z =  xi bi +
i=0
m
yi b -i
i=1
Konversion analog zu ganzen Zahlen:
1.1011 2 = 1 + 1/2 + 1/8 + 1/16
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Digitale Informationsverarbeitung
Gleit- oder Fließpunktdarstellung: Datentyp REAL
Halblogarithmische Zahlendarstellung sinnvoll vor allem bei sehr großen
und sehr kleinen Zahlen.
Gleitpunktzahl besteht aus Mantisse und Exponent
Darstellung im IEEE-Standard (Short Real):
1
v
8
c
23
m
c-127
x = (-1) v • 2
• 1.m
Darstellung der 0: c = 0, m = 0
kleinste positive Zahl: 2 -126 (ca. 1.2 • 10 -38 )
-23
38
größte positive Zahl: (2 - 2
) • 2 128 (ca. 3.4 • 10 )
Genauigkeit etwa 7 Dezimalstellen
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Digitale Informationsverarbeitung
Ein Beispiel
0100 0010 1000 1100 1110 1001 1111 1100
Exponent:
133 - 127 = 6
1+
+
Mantisse:
2 -4+ 2 -5+ 2 -8 + 2 -9+ 2 -10 + 2 -12 + 2 -15 +
2 -18+ 2 -19 + 2 -20+ 2 -21 = 1.1008906
2 -16 + 2 -17
Vorzeichen 0: positive Zahl
Wert der Gleitkommazahl in Dezimaldarstellung:
+1.1008906 • 64 = 70.457
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Digitale Informationsverarbeitung
Bemerkungen
Es ist einer Bitfolge nicht anzusehen, ob sie ASCII-Zeichen, ganze Zahl,
Gleitpunktzahl, Programmbefehl oder etwas anderes ist
Interpretation abhängig vom Kontext
Auch Graphiken, Bilder, Filme, Töne etc. lassen sich digitalisieren
Dazu meist Diskretisierung analoger Daten erforderlich.
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
Rasterung für Praxis wohl etwas zu grob :-)
G.Heyer
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Digitale Informationsverarbeitung