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4. Schaltalgebra, Rechneraufbau
Wiederholung Normalform
Literal: atomare Formel (positives ~) oder Negation einer atomaren
Formel (negatives ~)
konjunktive Normalform (KNF): Eine Formel F ist in KNF falls sie eine
Konjunktion von Disjunktionen von Literalen ist.
disjunktive Normalform (DNF): Eine Formel F ist in DNF falls sie eine
Disjunktion von Konjunktionen von Literalen ist.
G.Heyer
1
Digitale Informationsverarbeitung
Erzeugen einer DNF aus einer Wahrheitstafel
Jede Zeile einer Wahrheitstafel mit Wahrheitswert 1 trägt zu einem
Konjunktionsglied bei.
Die Literale dieser Konjunktion bestimmen sich wie folgt: Falls die
Belegung von Ai in der betreffenden Zeile 1 ist, so wird Ai als Literal
eingesetzt, sonst ¬Ai.
Um eine zu F äquivalente KNF-Formel zu erhalten, vertausche man in
obiger Anleitung die Rollen von 0 und 1, sowie von Konjunktion und
Disjunktion.
G.Heyer
2
Digitale Informationsverarbeitung
Logische Verknüpfungen durch Transistoren
+
+
+
+
+
A
A
A
E
E1
E2
E
A
E A
0 1
1 0
A = ¬E
G.Heyer
E1
E1
E2
E1
0
0
1
1
A
E2
0
1
0
1
A
0
0
0
1
A = E1  E2
3
E2
E1
E2
E1
0
0
1
1
A
E2
0
1
0
1
A
0
1
1
1
A = E1 v E2
Digitale Informationsverarbeitung
Binäres Rechnen
Normalform einer Zahl im Stellenwertsystem: z=m x bn
Z: Zahl
m: Mantisse
b: Basis des Stellenwertsystems
n: Exponent
Eine Dualzahl ist eine Zahl zur Basis 2: z=m x 2n
Stellenwertcodierung: zu jeder natürlichen Zahl n und jeder Basis b
gibt es genau eine Folge xk xk-1 ... x2 x1, so daß xk ≠ 0 und
k
n=
G.Heyer
i
 xi b
i=0
4
Digitale Informationsverarbeitung
Rechnen mit Dualzahlen
0+0=0
1+0=1
0+1=1
1 + 1 = 0 (Ü = 1)
0•0=0
1•0=0
0•1=0
1•1=1
G.Heyer
5
Digitale Informationsverarbeitung
Addierer
Halbaddierer: Berechnet die Summe zweier Dualziffern, ohne
Berücksichtigung des möglicherweise vorhandenen Übertrags einer
vorhergehende Stelle.
G.Heyer
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
S
6
Ü
Digitale Informationsverarbeitung
Addierer / Volladdierer
G.Heyer
Üi
Xi
Yi
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
7
Si
Üi+1
Digitale Informationsverarbeitung
Addierer
Halbaddierer:
x
Volladdierer:
y
x
y
HA
ü
Ü
HA
Ü
z
z
graphische Repräsentation:
x
Ü
graphische Repräsentation:
y
HA
Ü
z
G.Heyer
y
x
VA
ü
z
8
Digitale Informationsverarbeitung
Boolsche Algebra,
Boolsche Algebra: Ein Tripel (M, , ), mit M:= {e1, ..., en} eine
nichtleere, endliche Menge, und , :MxMM zwei auf M
definierte Verknüpfungen. Es gelten die folgenden Axiome:
Kommutativgesetz
Distributivgesetz
Neutrale Elemente e und n
Komplement
Schaltalgebra
Anwendung der Boolschen Algebra auf eine Menge mit nur zwei
verschiedenen Elementen (z.B. "ein" und "aus")
G.Heyer
9
Digitale Informationsverarbeitung
Schaltnetze und Schaltwerke
Schaltnetze sind Zusammensetzungen von logischen Gattern ohne
Speicherverhalten.
Sie realisieren beliebige boolesche Funktionen, d.h. Funktionen der Form
f: {0, 1} ...  {0, 1} -> {0, 1}
Schaltwerke besitzen Speicherverhalten, d.h. der Ausgabewert hängt nicht
nur von der Eingabe, sondern auch vom Zustand des Schaltwerks ab
Flipflop:
S
R
G.Heyer
S
0
1
0
1
U
U
10
R
0
0
1
1
Uneu
Ualt
1
0
verboten
Digitale Informationsverarbeitung
Rechneraufbau
Eingabe
Arbeitsspeicher
Ausgabe
Steuerwerk
Rechenwerk
Prozessor (CPU)
Daten
Steuersignale
G.Heyer
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Digitale Informationsverarbeitung
Komponenten eines Rechners
• Steuerwerk
Laden von Befehlen aus dem Speicher, Decodieren und Interpretieren
der Befehle, Versorgen der beteiligten Funktionseinheiten mit nötigen
Steuersignalen
• Rechenwerk
Ausführen von einfachen arithmetischen (z.B. Addition, Subtraktion)
und logischen (z.B. und, oder, nicht) Verknüpfungen. Heißt deshalb auch
ALU (Arithmetic Logical Unit)
• Speicher
Aufbewahren von Daten und Programmen, so gut wie immer in
Binärcodierung.
• Ein-, Ausgabewerk
Kommunikation mit dem Rechner, Einlesen von Daten und
Programmen, Ausgabe von Ergebnissen
G.Heyer
12
Digitale Informationsverarbeitung
Das Steuerwerk
Speicher
Befehlsregister
Operationsteil
Decodierer
Adreßteil
Steuerwerk
+1
Befehlszählregister
Adreßberechnung
Mikroprogrammeinheit
Rechenwerk
G.Heyer
Ein-/AusgabeSteuerung
13
Speicher
Digitale Informationsverarbeitung
Aufbau des Rechenwerks
Akkumulator
Addierwerk
und
Komplementierer
Register
•
•
•
Register
Kontroll- und
Steuerschaltungen
G.Heyer
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Digitale Informationsverarbeitung
Speicher
Dient zum "Aufbewahren" von Daten und Programmen
Lokalisierung eines Datums erfolgt über Adresse der Speicherzelle
Zugriff kann lesend oder schreibend erfolgen
Zugriffszeit: Zeit zur Lokalisierung und Ansteuerung einer Zelle sowie
Schaltzeit der Speicherelemente (typische Zugriffszeit heutiger Hauptspeicher: 50-500 Nanosekunden, d.h. Millionstel Sek.)
Zugriffsart: RAM (random access memory): wahlfreier Zugriff
ROM (read only memory): nur lesender Zugriff
Speichertyp: Hauptspeicher: immer wahlfreier Zugriff
Externe Speicher (Plattenspeicher, Magnetbänder): langsamer,
aber billiger; für große Datenmengen; Zugriff zyklisch falls Daten nur
periodisch zugänglich, sequentiell falls Zugriffe auf Zelle weitere Zugriffe
erfordert.
Kapazität: wieviele Zellen enthält ein Speicher, gemessen in KByte oder MByte
G.Heyer
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Digitale Informationsverarbeitung
Euklidischer Algorithmus in Maschinencode
Adresse
00
04
08
G.Heyer
Befehl
-
Kommentar
Speicherplatz für p
Speicherplatz für q
Speicherplatz für r
12
16
20
LOAD 00
MODULO 04
STORE 08
lade Akkumulator AC mit p
bilde Rest von AC/q in AC
speichere AC in r
24
28
32
36
40
44
IFZERO 48
LOAD 04
STORE 00
LOAD 08
STORE 04
JUMP 12
wenn AC = 0 gehe nach 48
lade AC mit q
speichere AC nach p
lade AC mit r
speichere AC nach q
springe nach 12
48
STOP
halte an; q enthält ggT von p und q
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Digitale Informationsverarbeitung
Von-Neumann-Prinzipien
• Der Rechner besteht aus fünf Funkionseinheiten: Steuerwerk, Rechenwerk,
Speicher, Eingabewerk und Ausgabewerk.
• Die Struktur des Rechners ist unabhängig vom zu bearbeitenden Problem. Zur
Lösung eines Problems muß Programm im Speicher abgelegt werden.
• Programme, Daten und Ergebnisse werden im selben Speicher abgelegt.
• Der Speicher ist in fortlaufend numerierte Zellen unterteilt. Über die Adresse
einer Speicherzelle kann deren Inhalt abgerufen werden.
• Aufeinanderfolgende Befehle eines Programms werden in aufeinanderfolgenden
Speicherzellen abgelegt.
• Durch Sprungbefehle kann von der Bearbeitung in der gespeicherten Reihenfolge abgewichen werden.
• Es gibt zumindest
- arithmetische Befehle (Addition, Subtraktion, Multiplikation)
- logische Befehle (Vergleiche, nicht, und, oder)
- Transportbefehle, z.B. von Speicher zu Rechenwerk und für Ein-/ Ausgabe
- bedingte Sprünge
• Alle Daten (Befehle, Adressen usw.) werden binär codiert.
G.Heyer
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Digitale Informationsverarbeitung
Rechnernetze
Rechnernetz: Kopplung (Vernetzung) mehrerer Rechner, die in ihrer
Architektur und/oder ihrem Betriebssystem unterschiedlich sein können
und i.a. räumlich getrennt stehen.
Die Vernetzung kann aus folgenden Gründen sinnvoll sein:
• Datenverbund: Nutzung von Datenbeständen, die auf einzelne Rechner
des Netzes verstreut sind.
Beispiel: Kopplung von Bibliotheksrechnern, um die auf den einzelnen
Rechnern gespeicherten Literaturangaben gemeinsam zu nutzen.
• Betriebsmittelverbund: Nutzung teurer Soft- und Hardwarebetriebsmittel, die nicht auf jedem Rechner des Netzes bereitstehen können.
Beispiele: Spezialrechner hoher Rechengeschwindigkeit, Bilderfassungsgeräte, Übersetzer, Spezialsoftware für Informationssysteme usw.
• Lastverbund: Gleichmäßige Verteilung der benötigten Rechenleistung auf
die an das Netz angeschlossenen Rechenanlagen. Fällt ein Rechner aus,
können andere dessen Aufgabe übernehmen.
G.Heyer
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Digitale Informationsverarbeitung
Netztopologien
sternförmig
dezentral
verteilt
hierarchisch
Bus-gekoppelt
G.Heyer
ringförmig
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Digitale Informationsverarbeitung