Vorlesung-27-11 - User web pages on web

11. Grundlagen der Quantenmechanik
Klassische Mechnik
Teilchen
Punkt im Phasenraum
Quantenmechanik
Wellenfunktion
Komplexwertig
Y(r,t)
Evolutions
gleichung
Mess
grössen
Hamilton Gleichungen
Funktionen von r,p
Schrödingergleichung
Operatoren
Mögliche Messwerte:
Eigenwerte
Komplexwertige Wellenfunktion Y(x,t)
Beispiel: deBroglie Ebene Welle
A(x,t) = A0 cos(kx - t)
Zeitabhängige Schrödingergleichung:
Für zeitunabhängiges Potential
Ansatz:
Imaginärteil
Wiederholung komplexe Zahlen:
x
t
Realteil
Beobachtbar:
Vektorlänge
Unsichtbar:
Rotation mit t
Komplexwertige Wellenfunktion Y(x,t)
Beispiel: deBroglie Ebene Welle
A(x,t) = A0 cos(kx - t)
Zeitabhängige Schrödingergleichung:
Für zeitunabhängiges Potential
Ansatz:
Stationäre Schrödingergleichung
Allgemeiner Ansatz: Y(x)=Aeikx + B e-ikx
Beispiel 1: V(x)=0
löst:
Mit Zeitabhängigkeit:
Darstellung einer Ebenen Welle im Ort
Realteil
Y(x) = eikx = sin(x) + i cos(x)
-> |Y(x)|2 = const. = 1
Imaginärteil
Alternative Darstellung:
Farbkodierung der komplexen Zahlen
|Y(x)|2 = const. = 1
Graphik aus: Bern Thaller Visual Quantum Mechanics
http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/index.html
Aufbau eines Wellenpaketes
Y(x) =  eikx
d.h. die Phasengeschwindigkeit ist Energieabhängig -> Dispersion
Stationäre Schrödingergleichung
Beispiel 2: Unendlicher Potentialkasten
V(x)=
0 für 0·x¸L
1 sonst
Y(x)=Aeikx + B e-ikx
Y(x·0)=Y(x¸L)=0
Randbedingung 1
Y(x=0) = 0 ) A+B=0
) Y(x)=A(eikx - e-ikx)=2iA sin(kx)
Randbedingung 2
Y(x=L) = 2iA sin(kL) = 0
) kL= np (n=1,2,3 ...)
Quantenzahlen n
Mögliche Energieniveaus in der Box:
Stationäre Wellenfunktionen in der Box:
Stationäre Schrödingergleichung
Bemerkungen:
1) Unschärfe Relation Ort/Impuls
k= np/L (n=1,2,3 ...)
2) Nullpunktsenergie
3) Woher kommt die Quantisierung??
4) Zeitentwicklung der Zustände?
hängt von En (n2) ab!
Mögliche Energienivieaus in der Box:
Stationäre Wellenfunktionen in der Box:
Real Imaginärteil
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/en/stationary.html
Stationäre Schrödingergleichung
Bemerkungen:
1) Unschärfe Relation Ort/Impuls
k= np/L (n=1,2,3 ...)
2) Nullpunktsenergie
3) Woher kommt die Quantisierung??
4) Zeitentwicklung der Zustände?
5) Was passiert wenn man
andere Energie, Wellenfunktion
erzwingt?
z.B. Barriere aufziehen?
Mögliche Energienivieaus in der Box:
Stationäre Wellenfunktionen in der Box:
Teilchen in 2 dim Potentialtopf
(kx , ky) = (0.86 , 0.5)
(sx , sy) = (2l , 2l)
http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/potential.htm
Imagine a quantum particle initially described by a Gaussian wave
packet centered at the middle of a square box, with momentum
zero.
WAS PASSIERT??
11.4. Potentialstufe
Bereich (I): V(x)=0 )
(I)
E(x)
Stationäre Schrödingergleichung
(II)
YI(x)=A eikx + B e-ikx
E0
Bereich (II):
a2
YII(x)=C eiax + D e-iax
x
Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )
YI(x=0)=YII(x=0)
)
A+B=C+D
(i)
) ik(A-B)=-a(C-D) (ii)
11.4. Potentialstufe
Bereich (I): V(x)=0 )
(I)
E(x)
Stationäre Schrödingergleichung
(II)
YI(x)=A eikx + B e-ikx
E0
Bereich (II):
a2
YII(x)=C eiax + D e-iax
x
Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )
YI(x=0)=YII(x=0)
)
A+B=C+D
(i)
) ik(A-B)=-a(C-D) (ii)
Fall a) E<E0
a reel ) C=0 weil sonst YII(x!1) divergiert
C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-a (A+B) )
Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen:
ik-a
ik+a
11.4. Potentialstufe
Bereich (I): V(x)=0 )
(I)
E(x)
Stationäre Schrödingergleichung
(II)
YI(x)=A eikx + B e-ikx
E0
Bereich (II):
a2
YII(x)=C eiax + D e-iax
x
1.
Y(x)Potentialwall
soll stetig differentierbar
reflektiert vollständig
auch bei x=0 sein (Randbedingung) )
2. Wellenfunktion dringt in den klassisch verbotenen Bereich ein
YI(x=0)=YII(x=0)
) A+B=C+D
(i)
Energieerhaltung???
D
EDt>~
) ik(A-B)=-a(C-D)
(ii)
Fall a) E<E0
a reel ) C=0 weil sonst YII(x!1) divergiert
C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-a (A+B) )
Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen:
ik-a
ik+a
11.4. Potentialstufe
Bereich (I): V(x)=0 )
(I)
E(x)
Stationäre Schrödingergleichung
(II)
YI(x)=A eikx + B e-ikx
E0
Bereich (II):
a2
YII(x)=C eiax + D e-iax
x
Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )
YI(x=0)=YII(x=0)
)
A+B=C+D
(i)
) ik(A-B)=-a(C-D) (ii)
Fall b) E>E0
klassisch: Teilchen fliegt mit verminderter Geschwindigkeit weiter
11.4. Potentialstufe
Bereich (I): V(x)=0 )
(I)
E(x)
Stationäre Schrödingergleichung
(II)
YI(x)=A eikx + B e-ikx
E0
Bereich (II):
a2
YII(x)=C eiax + D e-iax
x
Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )
YI(x=0)=YII(x=0)
)
A+B=C+D
(i)
) ik(A-B)=-a(C-D) (ii)
Fall b) E>E0
YII(x)=C e-ik‘x + D eik‘x
C=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen
C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k‘ (A+B) )
11.4. Potentialstufe
Bereich (I): V(x)=0 )
E(x)
Stationäre Schrödingergleichung
(I)
YI(x)=A eikx + B e-ikx
|A|2
Bereich (II):
a2
E0
(II)
|D|2
|B|2
YII(x)=C eiax + D e-iax
x
1. Auch wenn E>E0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_0)
2. Wellenfunktion
YI(x=0)=YII(x=0)
) A+B=C+D
(i)
) ik(A-B)=-a(C-D) (ii)
Fall b) E>E0
YII(x)=C e-ik‘x + D eik‘x
C=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen
C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k‘ (A+B) )
11.4. Potentialstufe
Bereich (I): V(x)=0 )
E(x)
Stationäre Schrödingergleichung
(I)
YI(x)=A eikx + B e-ikx
|A|2
Bereich (II):
a2
YII(x)=C eiax + D e-iax
E0
(II)
|D|2
|B|2
x
1.Y(x)
Auch
E>E0 wird ein Teil
der
reflektiert!
(Je mehr, je )höher E_0)
sollwenn
stetig differentierbar
auch
beiWelle
x=0 sein
(Randbedingung)
2. Wellenfunktion
YI(x=0)=YII(x=0)
) A+B=C+D
(i)
) ik(A-B)=-a(C-D) (ii)
Wellenpaket, Potentialstufe
Klassisches Teilchen würde mit 1/2Ekin weiterlaufen!
Ort
E = ½ Ekin
Impuls
+ auf Stufe zu
- reflektiert
Wellenpaket, Potentialstufe
BERGAB!
Klassisches Teilchen würde beschleunigt weiterlaufen!
Potentialstufe in 2 Dimensionen
Farbcode:
Farbe: Phase
Sättigung: Amplitude
Stationäre Schrödingergleichung
(I)
E(x)
11.5. Tunneleffekt
(II)
E0
x
Idee: kann man die Welle “freisetzen”??
Stationäre Schrödingergleichung
(I)
11.5. Tunneleffekt
(II)
(III)
YI(x)=A eikx + B e-ikx
E0
YII(x)=C eiax + D e-iax
YIII(x)=A‘ eikx
0
x
a
Randbedingungen:
YI(0)=YII(0)
,
YII(a)=YIII(a)
Höhe 0.3eV, Breite 1nm
100
10-1
T
Transmissionskoeffizient (E<E0)
10-2
10-3
für aa >>1
(dicke Barriere)
10-4
0
0.05
0.1
0.15
ENERGY (eV)
0.2
0.25
0.3
Transmission hängt ab von:
1. Barrierenhöhe (Exponentiell)
2. Barrierenbreite
3. Masse
Makroskopisch irrelevant
Ekin<E
Fragen:
1. Energieerhaltung ???
2. Wie lange braucht das Teilchen?
Wellenfunktion und Transmission als Funktion der Barrierenhöhe
(I)
(II)
(III)
E0
0
a
x
Tunneln eines Wellenpaketes
Überhöht
V = 2E, d = l
http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/tunnel.htm#Potential%20barrier
Tunnels eines Gauss Wellenpaketes im Ortsraum
Mittlere Energie
des Wellenpaketes
Orts und Impulsraum:
Mittlere Energie nahe an Schwellenhöhe
Durch Mehrfachreflexionen
wird ein Teil der Wellenfunktion
für einige Zeit unter der Barriere
gefangen