Vorlesung 2

Verteilungen
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
- Binomialverteilung
- Poissonverteilung
- Gaussverteilung
- Cauchy (Breit-Wigner)-Verteilung
- Chiquadrat-Verteilung
- Landauverteilung
- Gleichverteilung
Zentraler Grenzwertsatz
K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05
Verteilungen
Binomialverteilung
Binomialverteilung tritt auf wenn es um Versuche (Trials) geht, die zwei
Möglichkeiten des Ausgangs (Erfolg – Misserfolg, success-failure,
Kopf-Zahl, …) haben.
Ereignis “Erfolg”:
Ereignis “Misserfolg”: A
A
q  (1  p )  P( A )
Wahrscheinlichkeit p  P( A )
Beispiel: Münzen
Wahrscheinlichkeit für “Kopf” (A) = p = 0.5, q=0.5
Wahrscheinlichkeit bei 4 Würfen n-mal “Kopf” (A) zu erhalten?
n=0: P = (1-p)4 = 1/16
n=1: P = (p (1-p)3) mal Anzahl der Permutationen (KZZZ, ZKZZ, ZZKZ, ZZZK) = 4*1/16 = ¼
n=2: P = (p2 (1-p)2) mal (KKZZ, ZKKZ, ZZKK, KZKZ, ZKZK, KZZK) = 6*1/16 = 3/8
n=3: P = (p3 (1-p)) mal (KKKZ, KKZK, KZKK, ZKKK) = 4*1/15 = ¼
n=4: P = p4 = 1/16
P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4) = 1/16+1/4+3/8+1/4+1/16 = 1 gut.
K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05
Verteilungen
Binomialverteilung
Anzahl der Permutationen für k Erfolge bei n Versuchen:
n
n!
k 
k !(n  k )!
Binomialkoeffizient:   
n
Binomialverteilung: f (k;n,p )  p k (1  p ) n  k  
k 
- Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
- Zufallsvariable: k
- Hängt ab von 2 Parametern: n (Anzahl Versuche) und p (Wahrsch. für Erfolg)
- Reihenfolge des Auftretens der k Erfolge spielt keine Rolle
- n Versuche müssen unabhängig sein
K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05
Verteilungen
Binomialverteilung
K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05
Verteilungen
Binomialverteilung
K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05
Verteilungen
Binomialverteilung
Eigenschaften der Binomialverteilung:
n

Normierung:
n
f (k;n,p ) 
k 0
k
nk
k 0
E[ x ]  x 
Erwartungswert:
 p (1  p )
n
n

(p

(1

p
))
1
 
k 
 f (k;n,p )  np
k
n
Beweis:

k p (1  p )
k
k 0
n
 np p
k 1
k !(n  k )!
(1  p )
nk
k 1
n
 n p  p (1  p )
k  0
k
n
n!
n k
n k 
 np kp
k 1
k 1
(1  p )
nk
(n  1)!
k !(n  k )!
(n  1)!
(k  1)!(n  k )!
n!
k  !(n   k  )!
 np
K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05
(m it n   n  1,k   k  1)
Verteilungen
Binomialverteilung
Eigenschaften der Binomialverteilung:
V[x]   
2
Varianz:
 (x  )
2
f (k ; n,p )  np(1  p )
k
Beweis:
n
k (k  1) 

k (k  1)p (1  p )
k
k 0
n
 p n(n  1)  p
2
k2
(1  p )
nk
k 2
n
 p n(n  1)  p (1  p )
2
k
n k 
k  0
n!
nk
k !(n  k )!
(n  2 )!
(k  2 )!(n  k )!
n!
k  !(n   k  )!
 p n(n  1)
2
(m it n   n  2,k   k  2 )
Es gilt aber:
V [k ]  k
2
 k
2
 k k  k  k
2
2
 p n(n  1)  n p  n p  n p (1  p )
2
K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05
2
2
Verteilungen
Binomialverteilung
Beispiel:
K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05
Verteilungen
Binomialverteilung
Beispiel: Anzahl Fehlerbalken in 1-Schranken (p=0.68)
K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05
Verteilungen
Binomialverteilung
Übung - Lottozahlen
K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05