3. Schriftliche Wiederholung aus Physik Donnerstag, 27. Februar 1997

3. Lernzielkontrolle aus Mathematik
5 bk – gruber
Dienstag, 4. März 2014
Gruppe A
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
1.
a)
Der Zufluss in ein Becken verläuft nach einer Funktion, deren
Funktionsgraph an der Stelle 0 eine Dreifachnullstelle
aufweist und ein Einfachnullstelle an der Stelle b hat.
Ermitteln Sie einen algebraischen Ansatz für die Form der
Funktionsgleichung, der diesen Funktionsgraph ergibt und
skizzieren Sie den Funktionsgraph.
f(x) = a x3 (x – b) = a x4 + ab x3
b)
Ermitteln Sie für folgende Daten eine im Sinne der kleinsten
Quadrate möglichst gut passende Funktion der Form:
y = a x4 + b x3
x
1
2
4
6
y
100
900
1.200 800
4
F(a,b) =  ;
; (axi4 + bx3 – yi)2  Min 
i=1
Error! = 0  a Error!xi8 + b Error!xi7 =
4
Error!yi xi4 ∧ Error! = 0  a Error!xi7 + b
4
;
; xi6 =  ;
; yi xi3
i=1
i=1
1 745 409 a + 296 449 b = 1 358 500 ∧ 296 449 a + 50 817 b = 256 900  a = –8,746 b = 56,08
P(t) = 56,075 x3 – 8,746x4
2.
a)
Ermitteln Sie die Bestimmungsgleichungen für den Ansatz: y = ax3 + bx
n
F(a,b) =  ;
; (axi3 + bx – yi)2  Min 
i=1
Error! = 0  a Error!xi6 + b Error!xi4 =
n
Error!yi xi3 ∧ Error! = 0  a Error!xi4 + b
n
;
; xi2 =  ;
; yi xi
i=1
i=1
b)
Die Durchflussmenge durch ein Rohr verhält sich wie: D (x) = k x4. D ist der Durchfluss in L/min und x
ist der Radius in cm.
Es werden folgende Daten ermittelt:
r
in cm
2
3
4
D
in L/min
3
10
26
Ermitteln Sie einen möglichst gut passenden Zusammenhang zwischen D und x.
Berechnen Sie den Radius eines Rohres, dass einen Durchfluss von 65 L/min liefert.
3
F(a) =  ;
; (a xi4 – Di)2  Min 
i=1

a = 0,104 daher D(x) = 0,104x4
65 = 0,104 x4 ⇒ x = 5 cm
Error! = Error!2 (a xi4 – Ri) xi4 = 0  72 353 a = 7 514
A
3.
a)
Der Bremsweg für einen PKW hängt von der Geschwindigkeit v so ab: w = Error!.
v ist die Geschwindigkeit in m/s, a die Bremswirkung (Beschleunigung) in m/s 2 und w der Bremsweg in
Meter.
Berechnen Sie die Bremswirkung a in m/s2 mit der Methode der kleinsten Quadrate aus folgenden Daten:
v
5
10
15
w
4
18
35
w(k) = kv2
3
F(k) =  ;
; (k vi2 – wi)2  Min  Error! = Error!2 (k vi2 – wi) vi2 = 0  61 250 k = 9 775
i=1

v2;6
a = 0,159592 daher w(v) =
a = 3,15 m/s2
3
b)
Ermitteln Sie für den Ansatz: y = ax2 + b für die Daten:
x
1
2
3
y
5
10
23
98a + 14b = 252 ∧
4.
14a + 3b = 38 ⇒
y = 2,29 x2 + 2
a)
Der Zu- und Abfluss in bzw. aus einem Staubecken erfolgt mit z(t) = 6 t2 (15 – t) für 0 ≤ t ≤ 20.
t in Tagen, z in ME/d. Negative Werte von z bedeuten Abfluss.
Berechnen Sie die Wendepunkte des Graphen von z(t).
Berechnen Sie den maximalen Zufluss.
Error!= 18 t (10 – t)  t1 = 0 und t2 = 10 Max( 10 / 3 000)
Error! = 36 (5 – t) ⇒ t = 5 W (5 / 1 500)
b)
Der Zu- und Abfluss in bzw. aus einem Staubecken erfolgt mit z(t) = 6 t 2 (15 – t) für 0 ≤ t ≤ 20.
t in Tagen, z in ME/d. Negative Werte von z bedeuten Abfluss.
Berechnen Sie eine Gleichung für die Gesamtmenge M im Becken, wenn M(0) = 0 ME war.
Berechnen Sie, ob das Becken leer wird. Wenn ja, berechnen Sie den Zeitpunkt, wenn nein, berechnen
Sie die Restmenge zum Zeitpunkt t = 20.
M(t) = Error! = c – 1,5 t4 – 30 t3 mit M(0) = 0 = C
M(t) = 0 ⇒ t = 20 M(20) = 0 ME
3. Lernzielkontrolle aus Mathematik
5 bk – gruber
Dienstag, 4. März 2014
Gruppe B
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
1.
a)
Der Zufluss in ein Becken verläuft nach einer Funktion, deren
Funktionsgraph an der Stelle 0 eine Dreifachnullstelle
aufweist und ein Einfachnullstelle an der Stelle b hat.
Ermitteln Sie einen algebraischen Ansatz für die Form der
Funktionsgleichung, der diesen Funktionsgraph ergibt und
skizzieren Sie den Funktionsgraph.
f(x) = a x3 (x – b) = a x4 + ab x3
b)
Ermitteln Sie für folgende Daten eine im Sinne der kleinsten
Quadrate möglichst gut passende Funktion der Form:
y = a x4 + b x3
x
1
2
4
6
y
10
90
120
80
4
F(a,b) =  ;
; (axi4 + bx3 – yi)2  Min 
i=1
Error! = 0  a Error!xi8 + b Error!xi7 =
4
Error!yi xi4 ∧ Error! = 0  a Error!xi7 + b
4
;
; xi6 =  ;
; yi xi3
i=1
i=1
1 745 409 a + 296 449 b = 135 850 ∧ 296 449 a + 50 817 b = 25 690  a = –0,8746 b = 5,608
P(t) = 5,6075 x3 – 0,8746x4
2.
a)
Ermitteln Sie die Bestimmungsgleichungen für den Ansatz: y = ax4 + bx
n
F(a,b) =  ;
; (axi4 + bx – yi)2  Min 
i=1
Error! = 0  a Error!xi8 + b Error!xi5 =
n
Error!yi xi4 ∧ Error! = 0  a Error!xi5 + b
n
;
; xi2 =  ;
; yi xi
i=1
i=1
b)
Die Durchflussmenge durch ein Rohr verhält sich wie: D (x) = k x4. D ist der Durchfluss in L/min und x
ist der Radius in cm.
Es werden folgende Daten ermittelt:
r
in cm
2
3
4
D
in L/min
5
10
33
Ermitteln Sie einen möglichst gut passenden Zusammenhang zwischen D und x.
Berechnen Sie den Radius eines Rohres, dass einen Durchfluss von 167 L/min liefert.
3
F(a) =  ;
; (a xi4 – Di)2  Min 
i=1

a = 0,129 daher D(x) = 0,129x4
167 = 0,129 x4 ⇒ x = 6 cm
Error! = Error!2 (a xi4 – Ri) xi4 = 0  72 353 a = 9 338
B
3.
a)
Der Bremsweg für einen PKW hängt von der Geschwindigkeit v so ab: w = Error!.
v ist die Geschwindigkeit in m/s, a die Bremswirkung (Beschleunigung) in m/s 2 und w der Bremsweg in
Meter.
Berechnen Sie die Bremswirkung a in m/s2 mit der Methode der kleinsten Quadrate aus folgenden Daten:
v
5
10
15
w
3
18
33
w(k) = kv2
3
F(k) =  ;
; (k vi2 – wi)2  Min  Error! = Error!2 (k vi2 – wi) vi2 = 0  61 250 k = 9 300
i=1

v2;6
a = 0,152 daher w(v) =
a = 3,3 m/s2
6
b)
Ermitteln Sie für den Ansatz: y = ax2 + b für die Daten:
x
1
2
3
y
5
10
33
98a + 14b = 342 ∧
4.
14a + 3b = 48 ⇒
y = 3,61 x2 – 0,86
a)
Der Zu- und Abfluss in bzw. aus einem Staubecken erfolgt mit z(t) = 3 t2 (15 – t) für 0 ≤ t ≤ 20.
t in Tagen, z in ME/d. Negative Werte von z bedeuten Abfluss.
Berechnen Sie die Wendepunkte des Graphen von z(t).
Berechnen Sie den maximalen Zufluss.
Error!= 9 t (10 – t)  t1 = 0 und t2 = 10 Max( 10 / 1 500)
Error! = 18 (5 – t) ⇒ t = 5 W (5 / 750)
b)
Der Zu- und Abfluss in bzw. aus einem Staubecken erfolgt mit z(t) = 3 t2 (15 – t) für 0 ≤ t ≤ 20.
t in Tagen, z in ME/d. Negative Werte von z bedeuten Abfluss.
Berechnen Sie eine Gleichung für die Gesamtmenge M im Becken, wenn M(0) = 0 ME war.
Berechnen Sie, ob das Becken leer wird. Wenn ja, berechnen Sie den Zeitpunkt, wenn nein, berechnen
Sie die Restmenge zum Zeitpunkt t = 20.
M(t) = Error! = c – 0,75 t4 – 15 t3 mit M(0) = 0 = C
M(t) = 0 ⇒ t = 20 M(20) = 0 ME
3. Lernzielkontrolle aus Mathematik
5 bk – gruber
Dienstag, 4. März 2014
Gruppe A
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
1.
2.
a)
Der Zufluss in ein Becken verläuft nach einer Funktion, deren Funktionsgraph an der Stelle 0 eine
Dreifachnullstelle aufweist und ein Einfachnullstelle an der Stelle b hat.
Ermitteln Sie einen algebraischen Ansatz für die Form der Funktionsgleichung, der diesen
Funktionsgraph ergibt und skizzieren Sie den Funktionsgraph.
b)
Ermitteln Sie für folgende Daten eine im Sinne der kleinsten Quadrate möglichst gut passende Funktion
der Form:
y = a x4 + b x3
x
1
2
4
6
y
100
900
1.200 800
a)
Ermitteln Sie die Bestimmungsgleichungen für den Ansatz: y = ax3 + bx
b)
Die Durchflussmenge durch ein Rohr verhält sich wie: D (x) = k x4. D ist der Durchfluss in L/min und x
ist der Radius in cm.
Es werden folgende Daten ermittelt:
r
in cm
2
3
4
D
in L/min
3
10
26
Ermitteln Sie einen möglichst gut passenden Zusammenhang zwischen D und x.
Berechnen Sie den Radius eines Rohres, dass einen Durchfluss von 65 L/min liefert.
3.
4.
a)
Der Bremsweg für einen PKW hängt von der Geschwindigkeit v so ab: w = Error!.
v ist die Geschwindigkeit in m/s, a die Bremswirkung (Beschleunigung) in m/s 2 und w der Bremsweg in
Meter.
Berechnen Sie die Bremswirkung a in m/s2 mit der Methode der kleinsten Quadrate aus folgenden Daten:
v
5
10
15
w
4
18
35
b)
Ermitteln Sie für den Ansatz: y = ax2 + b für die Daten:
x
1
2
3
y
5
10
23
a)
Der Zu- und Abfluss in bzw. aus einem Staubecken erfolgt mit z(t) = 6 t 2 (15 – t) für 0 ≤ t ≤ 20.
t in Tagen, z in ME/d. Negative Werte von z bedeuten Abfluss.
Berechnen Sie die Wendepunkte des Graphen von z(t).
Berechnen Sie den maximalen Zufluss.
b)
Der Zu- und Abfluss in bzw. aus einem Staubecken erfolgt mit z(t) = 6 t 2 (15 – t) für 0 ≤ t ≤ 20.
t in Tagen, z in ME/d. Negative Werte von z bedeuten Abfluss.
Berechnen Sie eine Gleichung für die Gesamtmenge M im Becken, wenn M(0) = 0 ME war.
Berechnen Sie, ob das Becken leer wird. Wenn ja, berechnen Sie den Zeitpunkt, wenn nein, berechnen
Sie die Restmenge zum Zeitpunkt t = 20.
3. Lernzielkontrolle aus Mathematik
5 bk – gruber
Dienstag, 4. März 2014
Gruppe B
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
1.
2.
a)
Der Zufluss in ein Becken verläuft nach einer Funktion, deren Funktionsgraph an der Stelle 0 eine
Dreifachnullstelle aufweist und ein Einfachnullstelle an der Stelle b hat.
Ermitteln Sie einen algebraischen Ansatz für die Form der Funktionsgleichung, der diesen
Funktionsgraph ergibt und skizzieren Sie den Funktionsgraph.
b)
Ermitteln Sie für folgende Daten eine im Sinne der kleinsten Quadrate möglichst gut passende Funktion
der Form:
y = a x4 + b x3
x
1
2
4
6
y
10
90
120
80
a)
Ermitteln Sie die Bestimmungsgleichungen für den Ansatz: y = ax4 + bx
b)
Die Durchflussmenge durch ein Rohr verhält sich wie: D (x) = k x4. D ist der Durchfluss in L/min und x
ist der Radius in cm.
Es werden folgende Daten ermittelt:
r
in cm
2
3
4
D
in L/min
5
10
33
Ermitteln Sie einen möglichst gut passenden Zusammenhang zwischen D und x.
Berechnen Sie den Radius eines Rohres, dass einen Durchfluss von 167 L/min liefert.
3.
4.
a)
Der Bremsweg für einen PKW hängt von der Geschwindigkeit v so ab: w = Error!.
v ist die Geschwindigkeit in m/s, a die Bremswirkung (Beschleunigung) in m/s 2 und w der Bremsweg in
Meter.
Berechnen Sie die Bremswirkung a in m/s2 mit der Methode der kleinsten Quadrate aus folgenden Daten:
v
5
10
15
w
3
18
33
b)
Ermitteln Sie für den Ansatz: y = ax2 + b für die Daten:
x
1
2
3
y
5
10
33
a)
Der Zu- und Abfluss in bzw. aus einem Staubecken erfolgt mit z(t) = 3 t 2 (15 – t) für 0 ≤ t ≤ 20.
t in Tagen, z in ME/d. Negative Werte von z bedeuten Abfluss.
Berechnen Sie die Wendepunkte des Graphen von z(t).
Berechnen Sie den maximalen Zufluss.
b)
Der Zu- und Abfluss in bzw. aus einem Staubecken erfolgt mit z(t) = 3 t 2 (15 – t) für 0 ≤ t ≤ 20.
t in Tagen, z in ME/d. Negative Werte von z bedeuten Abfluss.
Berechnen Sie eine Gleichung für die Gesamtmenge M im Becken, wenn M(0) = 0 ME war.
Berechnen Sie, ob das Becken leer wird. Wenn ja, berechnen Sie den Zeitpunkt, wenn nein, berechnen
Sie die Restmenge zum Zeitpunkt t = 20.