6.2.4 Widerstände parallel oder in Serie ****** 1 Motivation 2
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V060204 Widerstände parallel oder in Serie 6.2.4 Widerstände parallel oder in Serie ****** 1 Motivation Experimentelle Bestimmung des Gesamtwiderstands zweier gleicher Widerstände in Serie- und in Parallelschaltung. 2 Experiment Abbildung 1: Widerstände parallel oder in Serie Der experimentelle Aufbau für die Parallelschaltung ist in Abbn. 1 und 2 wiedergegeben. Man stellt die Spannung U0 derart ein, dass der Strom mit zwei parallelen Widerständen I0 = 80 mA beträgt. Der Gesamtwiderstand beträgt in diesem Fall Rp = R 2 (1) Bei der Serieschaltung beträgt der Gesamtwiderstand RS = 2R (2) Bei vorgegebener Spannung U0 geht der Strom bei dieser Schaltung auf 1/4 zurück: IS = I0 4 Die beiden Schaltungen sind in Abb. 3 wiedergegeben. Physikdepartement ETH Zürich 1 (3) V060204 Widerstände parallel oder in Serie 1 2I 1 2I I I U Abbildung 2: Widerstände parallel I I R + + U − − R R U R Abbildung 3: Linkes Bild: Widerstände in Serie. Rechtes Bild: Widerstände parallel. Physikdepartement ETH Zürich 2 V060204 Widerstände parallel oder in Serie E v + - + + - ` Abbildung 4: In einem Leiter wandern die Elektronen entgegengesetzt zur Richtung des elektrischen Feldes. 3 Theorie 3.1 Stromleitung, Ohmsches Gesetz Wir betrachten einen Leiter der Länge ` und des (konstanten) Querschnitts A, an welchen wir eine Spannung U anlegen. Das elektrische Feld E führt zu einer Kraft auf die Ladungen q mit der Masse m. Falls wir zusätzlich eine geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft annehmen, erhalten wir folgende Differentialgleichung für die Bewegung der Ladungen : m r̈ = q E − 6π η a v (4) Dabei bedeuten η die Viskosität des Mediums und a den Radius der bewegten Ladung. Man beachte, dass sich negative Ladungen (Elektronen) entgegengesetzt zur Feldrichtung bewegen (siehe Abb. 4), so dass sich bei beiden Termen auf der rechten Seite der Gl. (4) das Vorzeichen umkehrt. Da die elektrische Kraft konstant ist, die Reibungskraft aber mit der Geschwindigkeit zunimmt, stellt sich nach einer Anlaufphase eine konstante Geschwindigkeit v ∞ der Ladungsträger ein: q v∞ = E. (5) 6π η a Mit der Teilchenladungsdichte q · d3 n/dV erhalten wir schliesslich die Stromdichte: j= d3 n q2 · E = σE dV 6π η a (6) σ wird als Leitfähigkeit, der Kehrwert ρ = 1/σ als spezifischer Widerstand bezeichnet. Für den gesamten Leiter ergibt sich: I = A·j U j `ρ = `·E =` = I σ A Physikdepartement ETH Zürich 3 (7) V060204 Widerstände parallel oder in Serie bzw. das Ohmsche Gesetz: (8) U = RI Die Grösse R wird als (elektrischer) Widerstand bezeichnet (Einheit: 1 Ohm = 1 Ω = 1 V/A) . R= `ρ A (9) In Tabelle 1 sind einige typische Werte für die Leitfähigkeit angegeben. Zu beachten ist aber, dass sich σ (oder ρ) i.a. stark mit der Temperatur ändert. Tabelle 1: Elektrische Leitfähigkeit verschiedener Materialien Material ρ/(Ω·m) Ag 16 · 10−9 Cu 17 · 10−9 Al 25 · 10−9 Pb 192 · 10−9 Konstantan 500 · 10−9 AgNO3 (1n) - Ge 10−1 Si 101 Porzellan 1010 - 1012 Glas 109 - 1012 Quarz 1012 - 1016 Luft - Bemerkungen Metalle, typische Elektronenleiter Ionenleiter, Elektrolyt; je nach Konzentration Halbleiter, Dotierung Temperatur wichtig ! und Isolatoren, praktisch freien Ladungsträger keine Je nach Ionisationsgrad 3.2 Die Kirchhoffschen Gesetze Häufig müssen in einem komplizierteren Netzwerk die Ströme, Spannungen, Leistungen berechnet werden. Dazu werden die Kirchhoffschen Gesetze verwendet: A) Die Summe aller Ströme eines Stromknotens ist 0: n X Ii = 0 (10) i=1 Hierbei werden zufliessende Ströme positiv und abfliessende Ströme negativ gerechnet (Ladungserhaltung). Physikdepartement ETH Zürich 4 V060204 Widerstände parallel oder in Serie B) In einem geschlossenen Kreis ist die Summe der an den einzelnen Elementen liegenden Spannungen gleich gross wie die Summe der Batteriespannungen . Bei komplizierteren Problemen liefert das folgende Verfahren ein Minimum an Gleichungen (und damit an Rechenarbeit !): a) Man führe als Unbekannte die Spannungen Ui bezüglich eines Fixpunktes ( = Spannungen gegen Erde) in den Knoten ein. b) Man schreibe die Stromerhaltung für die Netzwerkknoten auf, wobei die Ströme durch die unbekannten Spannungen und die Widerstandswerte auszudrücken sind. c) Die Lösung dieses (linearen !) Gleichungssystems liefert die Unbekannten Ui . Aus diesen können alle andern Grössen leicht berechnet werden. Für n Widerstände Ri , i = 1, ..., n) in Serie gilt für den resultierenden Gesamtwiderstand R: R= n X Ri (11) i=1 Bei Parallelschaltung dieser Widerstände gilt dagegen: n X 1 1 = R Ri i=1 5 (12)
