1.1. Natürliche Zahlen, der Zahlenstrahl

Theorie Mathematik
1.1.
Natürliche Zahlen, der Zahlenstrahl
Seite 8
Natürliche Zahlen
Die Zahlen 1, 2, 3, . . . heissen natürliche Zahlen. Für die Menge aller natürlichen
Zahlen schreiben wir N.
Oft nimmt man die Zahl 0 zur Menge der natürlichen Zahlen hinzu, dann schreibt man
N0.
Der Zahlenstrahl
Der Zahlenstrahl ist definiert (bestimmt) durch den 0-Punkt, die Einheitsstrecke
(e) und die Richtung.
Es ist üblich, den Zahlenstrahl von links nach rechts zu zeichnen und für die
Einheitsstrecke e =1 cm zu wählen. Diese kann aber kürzer oder länger gewählt werden, je nach Grösse der Zahlen, welche abgebildet werden müssen.
e
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
e
0
Steht eine natürliche Zahl a auf dem Zahlenstrahl rechts von einer anderen natürlichen Zahl b,
dann gilt:
a > b („a ist grösser als b“)
0
b
a
Steht eine natürliche Zahl x auf dem Zahlenstrahl links von einer anderen natürlichen Zahl y, dann
gilt:
x < y („x ist kleiner als y“)
0
x
y
-1/a-
Theorie Mathematik
1.2.
Term und Variablen
Seite 9
Term
Ein Term ist eine sinnvolle mathematische Zeichenreihe aus Zahlen und/oder
Buchstaben, mit welcher man rechnen kann.
Zahlenterm:
25 + 138 - 46
Buchstabenterm:
a-b+c
Gemischter Term:
2a + 15 - 8b
Variable
Variablen sind Buchstaben in einem Term, welche wir als Stellvertreter oder
Platzhalter für Zahlen betrachten.
Für Variablen verwenden wir normalerweise kleine Buchstaben (a, b, c, . . ), es können aber auch beliebige Zeichen verwendet werden (*, ?, ∆, . . ).
-1/b-
Theorie Mathematik
1.3.
Zahlenfolgen
Seite 10
Eine Reihe von Zahlen heisst Zahlenfolge. Bei einer Zahlenfolge hat jede Zahl einen Vorgänger und einen Nachfolger. Nur die erste Zahl hat keinen Vorgänger
und, wenn es eine letzte Zahl gibt, dann hat diese Zahl keinen Nachfolger.
Eine Zahlenfolge ist definiert durch:
- das Anfangsglied
- das Bildungsgesetz
- 5, 10, 15, 20, 25, . . .
Folge der 5-er Zahlen. 10 ist Vorgänger von 15, 20 ist Nachfolger von 15.
- 1, 2, 3, 4, . . .
Folge der natürlichen Zahlen.
- 1, 3, 5, 7, . . .
Folge der ungeraden Zahlen.
- 10, 20, 30, 40, . . .
Folge der Zehnerzahlen.
- 1, 4, 9, 16, 25, . . .
Folge der Quadratzahlen
Wenn wir in einem Term an Stelle der Variablen nacheinander die natürlichen Zahlen einsetzen, entsteht eine neue Zahlenfolge.
Term:
3·x + 3
Eingesetzte natürliche Zahl:
1
2
3
4
5
Zahlenfolge::
6
9
12
15
18
-1/c-
Theorie Mathematik
1.4.
Stellenwertsystem, Dezimalbrüche und Zahlenvergleich (1.1.)
Seite 11
Stellenwertsystem
Der Stellenwert einer Ziffer wird durch die Stellung der Ziffer innerhalb der Zahl
bestimmt.
Das Zehnersystem ist ein Stellenwertsystem und wir benötigen 10 Ziffern (0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9), um alle Zahlen darstellen zu können.
Andere Stellenwertsysteme:
2-er System:
(101)2
(1110)2
=
=
5 im Zehnersystem
14 im Zehnersystem
5-er System:
(143)5
=
48 im Zehnersystem
16-er System:
(79)16
=
121 im Zehnersystem
Dezimalbrüche
Das Stellenwertsystem der bisher bekannten natürlichen Zahlen kann nach rechts ausgebaut werden. Rechts vom Komma (Nachkommastellen) stehen die Zehntel (z),
Hundertstel (h), Tausendstel (t), . . .
Viertausendfünfhundertsechsunddreissig Komma eins - sieben - acht - zwei
Dezimalbrüche:
0,71 / 3,412 / 101,8
Dezimalzahlen:
4,12 / 27 / 117,0
Dezimalen:
Ziffern rechts vom Komma
Zehnerbrüche:
7
,
10
€
19
100
,
(Zahlen im Zehnersystem)
287
1000
-1/d-
4, 1 2 3
Theorie Mathematik
Sollen Dezimalbrüche auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden, wird die Strecke für ein Ganzes (ein
Zehntel, . . . ) solange in jeweils gleich lange Teile geteilt, bis eine Darstellung möglich ist.
0
3
3
4
10
3,5
3,6
3,5
4
3,57
3,6
Vergleich von Dezimalbrüchen
Der Vergleich von Dezimalbrüchen erfolgt ziffernweise von links nach rechts:
- Von zwei Dezimalbrüchen mit unterschiedlich vielen Vorkommastellen ist derjenige der grössere, welcher mehr Vorkommastellen hat.
- Von zwei Dezimalbrüchen mit gleich vielen Vorkommastellen ist derjenige der
grössere, welcher beim Ziffernvergleich, von links nach rechts, erstmals eine grössere Ziffer besitzt.
- Hinter dem Komma dürfen beliebig viele Nullen angehängt werden, ohne dass
dabei der Wert der Zahl sich ändert.
12345,67 > 1234,567
12345,67 hat fünf, 1234,567 hat nur vier Vorkommastellen.
123,456 > 123,345
Die Zahlen unterscheiden sich erstmals in der ersten Dezimalen ==> 4 > 3 !
175 68 = 175,680000
-1/e-
Theorie Mathematik
1.5.
Grössen
Seite 17
Ausdrücke wie 17,2 m, 24,55 Fr. und 13 kg nennen wir Grössen. Grössen sind das
Produkt einer Masszahl und einer Masseinheit.
Bei Rechnungen mit Grössen müssen diese in der gleichen Masseinheit angegeben werden.
Grösse
=
Masszahl
*
Masseinheit
17,2 m
24,55 Fr
13 kg
=
=
=
17,2
24,55
13
*
*
*
1m
1 Fr
1 kg
2,35 m
2,35 m
+
+
11 cm
0,11 m
=
=
2,46 m
Bezeichnungen
Um sehr grosse und sehr kleine Grössen einfach bezeichnen zu können, wurde folgendes System
geschaffen. Die Beispiele stammen aus der Längenmessung, sie werden aber auch bei anderen Sorten gebraucht.
1‘000‘000‘000
1‘000‘000
1‘000
100
10
m
m
m
m
m
=
=
=
=
=
1
1
1
1
1
1
m
<==> Grundeinheit
0,1
0,01
0,001
0,000‘001
0,000‘000‘001
0,000‘000‘000‘001
m
m
m
m
m
m
=
=
=
=
=
=
1
1
1
1
1
1
€
-1/f-
Gm
Mm
km
hm
dam
dm
cm
mm
µm
nm
pm
(1 GIGAmeter)
(1 MEGAmeter)
(1 KILOmeter)
(1 HEKTOmeter)
(1 DEKAmeter)
(1
(1
(1
(1
(1
(1
DEZImeter)
ZENTImeter)
MILLImeter)
MIKROmeter)
NANOmeter)
PIKOmeter)
Theorie Mathematik
1.6.
Längenmasse
(1.5.)
Seite 17
Bei Längenmassen ergibt das Zehnfache einer Einheit die nächstgrössere Einheit. Wenn ein Längenmass in dezimaler Schreibweise in der nächstgrösseren
(nächst-kleineren) Masseinheit geschrieben wird, muss das Komma um eine Stelle nach links (rechts) verschoben werden.
Die Grundeinheit ist 1 Meter.
mm
cm
dm
m
dam
hm
km
1.7.
Millimeter
Zentimeter
Dezimeter
Meter
Dekameter
Hektometer
Kilometer
Gewichtsmasse
: 10
: 10
: 10
: 10
: 10
: 10
⋅ 10
⋅ 10
⋅ 10
⋅ 10
⋅ 10
⋅ 10
(1.5.)
Bei Gewichtsmassen (Masse wird umgangssprachlich oft als Gewicht bezeichnet) ergibt das Tausendfache einer Einheit die nächstgrössere Einheit.
Wenn ein Gewichtsmass in dezimaler Schreibweise in der nächstgrösseren
(nächstkleineren) Masseinheit geschrieben wird, muss das Komma um drei Stellen nach links (rechts) verschoben werden.
Die Grundeinheit ist 1 Kilogramm.
: 1000
mg
g
kg
t
Milligramm
Gramm
mg
Kilogramm
Tonne (Megagramm)
: 1000
g
⋅ 1000
-1/g-
: 1000
kg
⋅ 1000
t
⋅ 1000
Theorie Mathematik
1.8.
Addition und Subtraktion (Bezeichnungen)
-1/h-
Seite 23
Theorie Mathematik
1.9.
Flussdiagramm
Seite 26
Mit Hilfe von Flussdiagrammen können Rechen- und Programmabläufe systematisch
dargestellt werden. Die Zeichen haben fest definierte Bedeutungen:
Beispiel eines Flussdiagrammes
-1/i-
Theorie Mathematik
1.10. Rechenvorteile und Rechengesetze
Der Wert einer Summe ändert sich nicht, wenn die Reihenfolge der Summanden
vertauscht wird
Vertauschungsgesetz (Kommutativ-Gesetz).
→
a+b = b+a
Die Summe muss nicht von links nach rechts gerechnet werden, man kann die Summanden beliebig zusammenfassen
Verbindungsgesetz (AssoziativGesetz).
→
(a + b) + c = a + (b + c)
Diese Gesetze gelten nicht für die Subtraktion.
Gesucht ist der Wert der Summe 15 + 3 + 85 + 9 + 17.
Vertauschungsgesetz
15 + 3 + 85 + 9 + 17 = 15 + 85 + 3 + 17 + 9
Verbindungsgesetz
(15 + 85) + (3 + 17) + 9 = 100 + 20 + 9 = 129
Gesucht ist die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 14.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 =
Vertauschungsgesetz
1 + 14 + 2 + 13 + 3 + 12 + 4 + 11 + 5 + 10 + 6 + 9 + 7 + 8 =
Verbindungsgesetz
(1 + 14) + (2 + 13) + (3 + 12) + (4 + 11) + (5 + 10) + (6 + 9) + (7 + 8) =
15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 15 · 7 = 105
-1/j-
Seite 27
Theorie Mathematik
1.11. Runden
Seite 33
Entscheidend für das Runden (auf- oder abrunden) ist der Wert der ersten Ziffer, welche rechts neben der zu rundenden Stelle steht!
Ist die Ziffer eine
0, 1, 2, 3, 4
→
wird abgerundet.
Ist die Ziffer eine
5, 6, 7, 8, 9
→
wird aufgerundet.
Runden auf Zehner
381
=
380
384
=
380
385
=
390
389
=
390
Werden Dezimalbrüche gerundet, so muss die gerundete Dezimale (Stellen
nach dem Komma) geschrieben werden, auch wenn sie 0 ergibt. Diese 0
sagt etwas über die Genauigkeit der gerundeten Zahl aus.
Runden auf Hundertstel
3,415
=
3,42
3,495
=
3,50
3,003
=
3,00
Fehlerspanne bei gerundeten Dezimalbrüchen
unterster Wert
gerundete Zahl oberster Wert
Fehlerspanne
auf Zehntel gerundet
3.55
3.6
3.6499...
0.099...
auf Hundertstel gerundet
3.595
3.60
3.60499...
0.0099...
auf Tausendstel gerundet
3.5995
3.600
3.600499...
0.00099...
auf Zehntausendstel ger.
3.59995
3.6000
3.6000499...
0.000099...
-1/k-
Theorie Mathematik
1.12. Schätzen / Überschlagsberechnung
(1.11.)
Seite 37
Alle Resultate von Berechnungen (ohne / mit Taschenrechner) sollten wenn möglich geschätzt
werden!!
Methode
1.
Im Term wird das grösste „Element“ (Summand, Minuend, . . .) gesucht. Dieses wird auf die 2.-vorderste Stelle gerundet.
2.
Alle anderen „Elemente“ werden auf die gleiche Stelle gerundet.
3.
Die Rechnung wird mit den gerundeten „Elementen“ ausgeführt. Das Resultat
wird nicht gerundet.
Beispiel 1
738 + 4 + 117 =
1.
Der grösste Summand ist 738, wir runden auf die 2.-vorderste Stelle, d.h. wir runden auf
Zehner => 740.
2.
Die andern Summanden werden auch auf Zehner gerundet
3.
Berechnung mit den gerundeten Summanden
4
=>
117 =>
0
120
740 + 0 + 120 = 860
=>
Das Resultat darf nicht weiter gerundet werden!
Beispiel 2
1.
(7433 - 216) - (5716 - 171) =
2.
(7400 - 200) - (5700 - 200) =
3.
7200
-
5500
-1/l-
7433 ist grösstes Element,
wir runden auf Hunderter
= 1700
Theorie Mathematik
1.13. Lösungsplan für Textaufgaben
Seite 38
Textaufgaben enthalten sehr oft viele versteckte Informationen. Man verliert die Übersicht und übersieht wichtige Hinweise.
Das Einhalten eines Schemas erleichtert die Orientierung in der Aufgabe.
Schema
1.
Lies die ganze Aufgabe gründlich durch.
2.
Wovon handelt die Aufgabe? Welcher Sachverhalt wird in der Aufgabe
dargestellt?
3.
Was ist gesucht?
4.
Was ist gegeben?
Welche Angaben im Aufgabentext sind für das Lösen der Aufgabe wichtig (Signalwörter)?
Gibt es in der Aufgabe bestimmte Ausdrücke (Signalwörter), welche auf
eine bestimmte Rechenart hinweisen?
5.
Überlege den Lösungsweg.
Falls du Schwierigkeiten hast, prüfe, ob dich Lösungshilfen weiterbringen:
- zerlege die Aufgabe in Teilaufgaben
- erstelle eine Skizze
- arbeite mit einer Tabelle
- hast du schon ähnliche Aufgaben gelöst
6.
Stelle den Term auf und berechne ihn.
7.
Kontrolliere das Ergebnis.
8.
Schreibe einen Antwortsatz.
Beispiel
Fritz legt mit seinen Freunden während einer 7-tägigen Radtour insgesamt 420 km zurück. Wieviele
Kilometer sind sie am Tag durchschnittlich gefahren?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
lesen
mehrtägige Radtour mit angegebener Fahrleistung
km pro Tag
Gesamtstrecke 420 km / Anzahl Tage = 7 / durchschnittlich =>> teilen
nicht nötig
Gesamtstrecke : Anzahl Tage = durchschnittliche Strecke
420 km : 7 d = 60 km/d
7 * 60 km = 420 km
Sie legen pro Tag durchschnittlich 60 km zurück.
-1/m-
Theorie Mathematik
1.14. Begriffe des Handels
Ak
=
Seite 40
Anschaffungskosten Preis der Ware
(Ankauf)
allenfalls
+ Verpackung
+ Frachtkosten (Transport)
+ Zoll, Versicherung
Gk =
Gemeinkosten
Miete, Löhne, Werbung, Steuern, etc.
_____________________________________________________
Sk
=
Selbstkosten
Alle Kosten, welche ein Verkaufsartikel bis
zum Weiterverkauf verursacht (Ak + Gk).
G
=
Gewinn
Erlös - Selbstkosten
oder
V
=
Verlust
Selbstkosten - Erlös
______________________________________________________________
E
=
Erlös
Preis der beim Verkauf erzielt wird
(Verkaufspreis)
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Beispiel
Ein Elektronikgeschäft kauft in Honkong einen Discman für 24 Fr, für Transport und Zoll kommen
3,50 Fr dazu. Für Werbung und Löhne berechnet der Verkäufer 10 Fr.
Wie teuer muss er das Gerät verkaufen, wenn er pro Gerät 8 Fr Gewinn erzielen will?
Ak
Gerät
Fr 24.00
Transp., Zoll
Gk
Werbung, Löhne
Sk
Fr 3.50
Fr 10.00
Fr 37.50
G
Fr 8.00
E
Fr 45.50
-1/n-
Theorie Mathematik
1.15. Klammern in einem Term
(1.10.)
Seite 43
Wenn in einem Rechenausdruck Klammern vorkommen, werden zuerst die Werte in
den Klammern berechnet.
Beispiel
( 53 - ( 18 +
( 53 -
23
30
5 ))
-
( 18
- 12 )
=
)
-
( 18
- 12 )
=
6
=
-
24
Bei der Darstellung der Aufgabe ist es empfehlenswert, entsprechende Zahlen und Zeichen untereinander zu schreiben. Dies erleichtert die nachträgliche Kontrolle der Aufgabe.
-1/o-
Theorie Mathematik
1.16. Gleichungen und Ungleichungen
Seite 45 / 47
Gleichung
Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, welche durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. „Links“ und „rechts“ des Gleichheitszeichens steht der
gleiche Betrag.
x + 15 = 21
Lösen der Gleichung
Beim Lösen der Gleichung verwenden wir das Operator-Modell und die Tatsache, dass die Umkehr-operation der Addition die Subtraktion (und umgekehrt) ist.
x
+ 15
x ←



→ 21
− 15
+
15
x
x
=
=
=
21
21 6
15
Ungleichungen
Eine Ungleichung besteht aus zwei Termen, welche durch ein Ungleichheitszeichen verbunden sind. „Links“ und „rechts“ des Ungleichheitszeichens stehen ungleiche Beträge.
x + 15 > 21
Lösen der Ungleichung
Ungleichungen werden genau gleich gelöst wie Gleichungen (siehe oben). Dabei bestimme ich die
Grenze der möglichen Zahlen (Lösungsmenge = L). Diese ist abhängig von der Grundmenge G.
Beim Schlussresultat muss ich entscheiden, wie das Ungleichheitzeichen gesetzt werden muss. Dabei setze ich in der Ungleichung für die Variable je eine Zahl ein, welche oberhalb und unterhalb des
Resultates liegt. Anschliessend kann ich entscheiden, wie das Ungleichheitszeichen gesetzt werden
muss.
x + 15 > 21
x
Untere Zahl einsetzen (x < 6):
Obere Zahl einsetzen (x > 6):
Resultat
+
15
x
0 + 15 > 21
8 + 15 > 21
=
=
21
6
Unsinnige Lösung
Sinnvolle Lösung
x>6
Resultat aufschreiben:
G = N (natürliche Zahlen)
oder
G = Dezimalbrüche
-1/p-
L = {7, 8, 9, . . . }
L = {x / x > 6} und x ∈ N
L = {x / x > 6}
Theorie Mathematik
1.17. Gerade Linien
Punkt
Definition:
Beschriftung:
Seite 102
Der Punkt hat keine Ausdehnung.
A, B, C, . . . (immer mit grossen Buchstaben)
Zeichnung:
X P (Punkt P)
Gerade
Definition:
Beschriftung:
Eine Gerade ist eine gerade Linie, welche nach beiden Seiten nicht begrenzt ist (unendlich lang).
g, h, k, l, . . (immer kleine Buchstaben)
AB, PQ, . . . (A und B bzw. P und Q sind zwei Punkte, welche auf der
Geraden liegen)
Zeichnung:
B
g = AB
A
m
Strahl
Definition:
Beschriftung:
Ein Strahl ist eine gerade Linie mit einem Endpunkt (P) auf der einen
Seite. Auf der andern Seite ist sie nicht begrenzt (unendlich lang / Sonnenstrahl, Wasserstrahl).
s, t, . . .
(immer kleine Buchstaben)
Zeichnung:
P
Strecke
Beschriftung:
s
Definition: Eine Strecke ist eine gerade Linie mit zwei Endpunkten.
a, b, c, . . .
immer kleine Buchstaben
AB, PQ, .. . (Angabe der Endpunkte)
a = AB
A
Zeichnung:
B
C
Streckenlänge
b = CD
|AB|
Länge der Strecke AB
|a|
Länge der Strecke a
|b| = 4 cm
-1/q-
D
Theorie Mathematik
Senkrechte / Orthogonale
Definition:
Zwei Geraden, welche sich unter einem Winkel von 90 Grad schneiden,
sind Senkrechten oder Orthoganalen. Sie stehen senkrecht oder
orthogonal zueinander.
g ⊥ h (g ist senkrecht / orthogonal / rechtwinklig zu h)
Beschriftung:
Zeichnung:
h
g
g⊥h
!! Achtung !!
Parallele
horizontal, waagrecht
wie der Horizont, das Wasser, die Waage
vertikal, lotrecht
wie das Lot
Definition:
Zwei Geraden, welche sich nie schneiden, sind Parallelen (sie haben
immer den gleichen Abstand).
g // h (g ist parallel zu h)
Beschriftung:
Zeichnung:
g
g // h
h
-1/r-
Theorie Mathematik
1.18. Gitter, Koordinatensystem
(1.1.)
Die Koordinatenachsen stehen senkrecht zueinander.
Das Koordinatensystem ist definiert durch die Lage des Nullpunktes und durch
die Einheitsstrecken der beiden Achsen. Diese müssen nicht identisch sein.
-1/s-
Seite 117
Theorie Mathematik
1.19. Kreis
Seite 122
Definitionen:
b3
Q
s
P
r
M
=
Kreismittelpunkt
r
=
Kreisradius
d
=
Kreisdurchmesser
s
=
Sehne
b1
=
Kreisbogen QR
b2
=
Kreisbogen PR
b3
=
Kreisbogen PQ
k
=
Kreislinie
=
Kreisfläche
d
M
b2
b1
R
k
Konzentrische Kreise haben einen gemeinsamen Mittelpunkt
-1/t-
Theorie Mathematik
1.20. Vierecke
(1.17.)
Seite 128
Parallele Geradenpaare bilden einen Streifen. Wenn zwei Streifen sich schneiden, entstehen als
Schnittfiguren spezielle Vierecke.
Gleichbreite Streifen:
Quadrat oder
Raute (Rhombus)
Verschieden breite Streifen
Rechteck oder
Parallelogramm
Eigenschaften im Vergleich
Name der Schnittfigur
Quadrat
Raute
Rechteck
Parallelogramm
Eckenzahl
4
4
4
4
Seitenzahl
4
4
4
4
Verlauf der Gegenseiten
//
//
⊥
//
Verlauf der Nebenseiten
//
⊥
Länge der Gegenseiten
=
=
=
=
Länge der Nebenseiten
=
=
Quadrate sind Spezialfälle der Rechtecke, Rechtecke sind Spezialfälle der Parallelogramme, etc.
Parallelogramm
Rechteck
Quadrat
Raute
-1/u-
Theorie Mathematik
1.21. Abstand
Seite 132
Die Senkrechte zu zwei Parallelen schneidet diese in zwei Punkten (A, B).
Die Strecke AB ist die kürzeste Verbindung und heisst Abstand.
g
A
h
B
AB = Abstan d
Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die kürzeste Verbindung zwischen dem Punkt und der Geraden (Senkrechte). Der Schnittpunkt der Senkrechten mit der Geraden ist der Fusspunkt F.
P
g
F
FP = Abstand
F = Fusspunkt
-1/v-
Theorie Mathematik
1.22. Umfang von Flächen (1.20.)
Seite 134
Die Gesamtlänge der Begrenzungslinien einer Figur heisst Umfang.
Beispiel:
Viereck
C
c
D
b
d
A
a
B
Allgemeines Viereck:
u
=
a+b+c+d
Quadrat:
u
=
4·a
Raute (Rhombus):
u
=
4·a
Rechteck:
u
=
2 · a + 2 · b = 2 · (a + b)
Parallelogramm:
u
=
2 · a + 2 · b = 2 · (a + b)
1.23. Multiplikation (Bezeichnungen)
5
1. Faktor
Multiplikand
mal
Seite 54
9
2. Faktor
Multiplikator
-1/w-
gleich
=
45
Produkt
Theorie Mathematik
1.24. Potenzen
Seite 59
Wir vereinbaren eine Kurzschrift für Produkte mit gleichen Faktoren.
5
·
5
·
5
·
5
=
54
a
·
a
·
a
·
a
=
a4
3
Exponent, Hochzahl
Basis, Grundzahl
a
Quadratzahlen
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100 121
Zehnerpotenzen
100
101
102
103
104
105
=
=
=
=
=
=
11
12
13
14
144
169
196
(Basis = 10)
10
10
10
10
10
·
·
·
·
10
10
10
10
·
·
·
10
10
10
·
·
10
10
·
10
=
=
=
=
=
=
1
10
100
1‘000
10‘000
100‘000
Merke!
0a = 0
05 = 0
1a = 1
15 =
1
a0 = 1
50 =
1
-1/x-
Theorie Mathematik
1.25. Grosse Zahlen
Seite 62
1
1
Million
M illiard
=
=
1‘000‘000
1‘000‘000‘000
=
=
106
109
1
1
Billion
B illiard
=
=
1‘000‘000‘000‘000
1‘000‘000‘000‘000‘000
=
=
1012
1015
1
1
Trillion
Trilliard
=
=
1‘000‘000‘000‘000‘000‘000
1‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000
=
=
1018
1021
1
1
Quadrillion =
Quadrilliard =
1‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000
1‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000
=
=
1024
1027
1
1
Quintillion
Quint illiard
=
=
1‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000
1‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000
=
=
1030
1033
1
1
Sextillion
Sext illiard
=
=
1‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘.... =
1‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘.... =
1036
1039
1
1
Septillion
Sept illiard
=
=
1‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘.... =
1‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘.... =
1042
1045
1
1
Oktillion
Okt illiard
=
=
1‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘.... =
1‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘.... =
1048
1051
1
1
Nonillion
Non illiard
=
=
1‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘.... =
1‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘.... =
1054
1057
1
1
Dekillion
Dek illiard
=
=
1‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘.... =
1‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘000‘.... =
1060
1063
1.26. Division (Bezeichnungen)
Seite 65
dividiert durch
21
Dividend
:
gleich
7
Divisor
-1/y-
=
3
Quotient
Theorie Mathematik
1.27. Rechengesetze (Addition und Subtraktion)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(1.15.)
div. Seiten
Bei einer Summe darf man die Summanden vertauschen.
a+b
=
b+a
3+8
=
8 + 3 = 11
Bei mehrgliederigen Summen darf man einzelne Summanden zu Teilsummen zusammenfassen.
a+b+c
=
(a+b)+c = a+(b+c)
3+7+9
=
( 3 + 7 ) + 9 = 3 + ( 7 + 9 ) = 19
Bei einer Summe darf man den 1. Summanden verkleinern und den 2. Summanden um gleich viel vergrössern oder umgekehrt.
a+b
=
(a+ x)+(b- x)
9+6
=
( 9 + 1 ) + ( 6 - 1 ) = 15
a+b
=
(a- x)+(b+ x)
11 + 7
=
( 11 - 1 ) + ( 7 + 1 ) = 18
Bei Differenzen mit mehreren Subtrahenden darf man die Subtrahenden vertauschen.
a-b-c
=
a-c-b
15 - 3 - 5
=
15 - 5 - 3 = 7
Bei Differenzen mit mehreren Subtrahenden darf man einzelne Subtrahenden addieren und ihre Summe
subtrahieren.
a-b-c
=
a-(b+c)
17 - 2 - 5
=
17 - ( 2 + 5 ) = 10
Bei einer Differenz darf man den Minuenden und den Subtrahenden je um gleich viel vergrössern oder je
um gleich viel verkleinern
a-b
=
(a+ x)-(b+ x)
91 - 69
=
( 91 + 9 ) - ( 69 + 9 ) = 22
a-b
=
(a- x)-(b- x)
91 - 16
=
( 91 - 1 ) - ( 16 - 1 ) = 75
Neutrales Element:
a
a
+
-
0
0
-1/z-
=
=
a
a
0
Theorie Mathematik
1.28. Rechengesetze
a)
b)
c)
d)
e)
(Multiplikation und Division)
div. Seiten
Bei Produkten darf man die Reihenfolge der Faktoren vertauschen.
a·b
=
b·a
7·8
=
8 · 7 = 56
Bei Produkten mit mehreren Faktoren darf man einzelne Faktoren zu Teilprodukten zusammenfassen.
a·b·c
=
(a·b)·c = a·(b·c)
2·3·4
=
( 2 · 3 ) · 4 = 2 · ( 3 · 4 ) = 24
Bei einem Produkt darf man einen Faktor mit einer geeigneten Zahl multiplizieren und gleichzeitig einen
anderen Faktor durch die gleiche Zahl dividieren.
a·b
=
(a· x)·(b: x)
25 · 16
=
( 25 · 4 ) · ( 16 : 4 ) = 400
Bei einem Quotienten darf man den Dividenden und den Divisor gleichzeitig mit der gleichen Zahl multiplizieren oder durch die gleiche Zahl dividieren.
a:b
=
(a· x):(b· x)
8 : 50
=
( 8 · 2 ) : ( 50 · 2 ) = 0,16
a:b
=
(a: x):(b: x)
16 + 40
=
( 16 : 4 ) : ( 40 : 4 ) = 0,4
Eine Summe oder eine Differenz darf man gliedweise multiplizieren und gliedweise dividieren.
(a+b)·c
=
(a·c)+(b·c)
(3+5)·5
=
(3·5)+(5·5)
(a-b)·c
=
(a·c)-(b·c)
(a+b):c
=
(a:c)+(b:c)
(a-b):c
=
(a:c)-(b:c)
Neutrales Element:
a
a
•
•
1
1
=
=
- 1 / aa -
a
a
1
Theorie Mathematik
1.29. Teilbarkeitsregeln
(Endstellenregel)
Seite 72
2/5
Eine Zahl ist durch 2 (5) teilbar, wenn ihr 10-er Rest durch 2 (5) teilbar ist.
12 4
4
:
2
=
2
→
teilbar durch 2
1234 5
5
:
5
=
1
→
teilbar durch 5
17
7
:
2
=
3,5
→
nicht teilbar durch 2
14
4
:
5
=
0,8
→
nicht teilbar durch 5
4 / 25
Eine Zahl ist durch 4 (25) teilbar, wenn ihr 100-er Rest durch 4 (25) teilbar ist.
376
76
:
4
=
19
→
teilbar durch 4
174 75
75
:
25
=
3
→
teilbar durch 25
322
22
:
4
=
5,5
→
nicht teilbar durch 4
4515
15
:
25
=
0,6
→
nicht teilbar durch 25
8 / 125
Eine Zahl ist durch 8 (125) teilbar, wenn ihr 1000-er Rest durch 8 (125) teilbar ist.
7984
984
:
8
=
123
→
teilbar durch 8
10875
875
:
125
=
7
→
teilbar durch 125
2804
804
:
8
=
100,5
→
nicht teilbar durch 8
32200
200
:
125
→
1,75
→
nicht teilbar durch 125
- 1 / ab -
Theorie Mathematik
1.30. Teilbarkeitsregeln
(Quersummenregel)
Seite 74
3
Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist.
12342
→
→
→
1
+
12
:
12342 :
2
3
3
+
=
=
3
+
4
4‘115
4
+
2
=
12
9
Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist.
12339
→
→
→
1
+
18
:
12339 :
2
9
9
+
=
=
3
+
2
1‘371
3
+
9
=
18
Kombination von mehreren Regeln
Durch Kombination von zwei oder mehr Regeln kann eine neue Regel hergeleitet
werden, z.B.:
Wenn eine Zahl durch 3 und 5 teilbar ist, dann ist sie auch durch 15 (3•5) teilbar.
Bedingung: Die beiden Teiler müssen „teilerfremd“ sein, d.h. sie dürfen keinen
gemeinsamen Faktor enthalten!!
Beispiele
„teilerfremd“
- 3 und 4 haben keinen gemeinsamen Teiler
- 4 und 6 haben die 2 als gemeinsamen Teiler
→
→
teilerfremd
nicht teilerfremd
Zahlenbeispiele
- 12 ist teilbar durch 3 und 4 (teilerfremd)
- 12 ist teilbar durch 2 und 4, aber nicht durch 8 (nicht teilerfremd)
Kombinationen
Wenn die Zahl durch 2 und 3 teilbar ist, dann ist sie auch durch 6 teilbar.
Wenn die Zahl durch 2 und 5 teilbar ist, dann ist sie auch durch 10 teilbar.
Wenn die Zahl durch 2 und 9 teilbar ist, dann ist sie auch durch 18 teilbar.
Wenn die Zahl durch 3 und 4 teilbar ist, dann ist sie auch durch 12 teilbar.
Wenn die Zahl durch 3 und 5 teilbar ist, dann ist sie auch durch 15 teilbar.
Wenn die Zahl durch 3 und 8 teilbar ist, dann ist sie auch durch 24 teilbar.
- 1 / ac -
Theorie Mathematik
1.31. Primzahlen
Seite 76
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei Teilern, 1 und die Zahl
selbst. 1 ist keine Primzahl.
Zahlen mit mehr als zwei Teilern sind zerlegbare Zahlen.
Beispiele:
Primzahlen
13
13
13
:
:
1
13
=
=
13
1
6
6
6
6
:
:
:
:
1
2
3
6
=
=
=
=
6
3
2
1
Zerlegbare Zahlen
6
- 1 / ad -
Theorie Mathematik
1.32. Dezimalbrüche in Divisionsaufgaben (1.26.)
Seite 78
Dezimalbruch : ganze Zahl
Die Division eines Dezimalbruches durch eine ganze Zahl erfolgt gleich wie jene von
zwei ganzen Zahlen, mit dem Unterschied, dass im Quotienten das Komma gesetzt
wird, wenn im Dividenden die erste Ziffer nach dem Komma „nach unten“ genommen wird.
1 0 , 9 6 : 4 =2 , 7 4
2 9
16
0
0 ,1 96 2 : 6 = 0, 03 27
0 19
16
42
0
Dezimalbruch : Dezimalbruch
Ein Dezimalbruch wird durch einen Dezimalbruch dividiert, indem man:
1. beim Dividenden und Divisor das Komma um gleichviele Stellen nach rechts
schiebt, bis der Divisor eine ganze Zahl ist.
2. die Division wie oben beschrieben durchführt.
42,379 : 2,83 =
1.33. Runden von Quotienten
4237,9 : 283 =
(1.11.)
Bei der Mehrzahl aller Divisionen entstehen Quotienten (Dezimalbrüche), welche
viele (eventuell unendlich viele) Stellen nach dem Komma aufweisen. Solche Resultate sind nicht sinnvoll!
Vereinbarung:
- Grössen werden auf die nächstkleinere Sorte gerundet.
- Resultate ohne Sorten werden auf Hundertstel gerundet.
- 1 / ae -
Seite 82
Theorie Mathematik
1.34. Multiplikation von Dezimalbrüchen
Seite 85
Dezimalbrüche werden zunächst wie natürliche Zahlen multipliziert, wobei das Komma unberücksichtigt bleibt. Im Ergebnis werden durch ein Komma so viele Dezimalstellen abgetrennt, wie beide Faktoren zusammen besitzen.
23 , 04 •
92 16
6 91 2
99 07 2
4, 3
2 + 1 Stellen
99,072
1.35. Verbindung der vier Grundoperationen, Rechengesetz (1.27./1.28.)
Operationen der höheren Stufe binden stärker.
- Operation der III. Stufe:
- Operation der II. Stufe:
- Operation der I. Stufe:
Potenzieren und Radizieren
Multiplikation und Division
Addition und Subtraktion
„Punkt vor Strich“
2 2 • 5 + 14 : 2 =
4 • 5 + 14 : 2 =
20
+
7
- 1 / af -
= 27
Seite 90
Theorie Mathematik
1.36. Zweisatz – Dreisatz, Darstellung
Seite 95, div.
Grundsätzliche Bemerkungen:
– In der Darstellung steht die gesuchte Grösse rechts, die gegebene Grösse links.
– Die Pfeile bedeuten: „entsprechen“
– Die einzelnen Rechenschritte werden nur einmal, in der ersten Zeile, aufgeschrieben (zur Wahrung der Übersicht)
Zweisatz – von der „Einheit“ zur „Vielheit“
Bei der Berechnung einer „Vielheit“ wird multipliziert.
Beispiele:
1 kg Äpfel kosten 3 Fr. Wieviel kosten 2,5 kg (0,4 kg)?
mult.
1 kg
2,5 kg
3 Fr. · 2,5 = 7,5 Fr.
mult.
1 kg
0,4 kg
3 Fr. · 0,4 = 1,2 Fr.
Zweisatz – von der „Vielheit“ zur „Einheit“
Bei der Berechnung der „Einheit“ wird dividiert.
Beispiele:
4 kg (0,6 kg) Äpfel kosten 12 Fr. (1,8 Fr.). Wieviel kostet 1 kg?
div.
4 kg
1 kg
12 Fr. : 4 = 3 Fr.
div.
0,6 kg
1 kg
1,8 Fr. : 0,6 = 3 Fr.
- 1 / ag -
Theorie Mathematik
Dreisatz – von der „Vielheit“ zur „Vielheit“
Wenn wir aus einer Mengenangabe eine andere Menge berechnen müssen, berechnen wir zuerst die „Einheit“ und anschliessend die „Vielheit“. Wir
kombinieren die beiden Zweisätze zu einem Dreisatz.
Beispiele:
3 kg Äpfel kosten 9 Fr. Wieviel kosten 5 kg?
3 kg
1 kg
5 kg
div.
mult.
9 Fr. : 3 · 5 = 15 Fr.
0,9 kg Äpfel kosten 2,7 Fr. Wieviel kosten 1,7 kg?
0,9 kg
1 kg
1,7 kg
div.
mult.
2,7 Fr. : 0,9 · 1,7 = 5,1 Fr.
9⋅5
Fr .
3
Später wird der Berechnungsterm als Bruch dargestellt:
1.37. Einheiten der Fläche
bzw
2,7 ⋅ 1,7
Fr .
0,9
(1.6.)
Seite 139
Bei Flächenmassen ergibt das Hundertfache einer Einheit die nächstgrössere
Einheit. Wenn ein Flächenmass in dezimaler Schreibweise in der nächstgrösseren
(nächstkleineren) Masseinheit geschrieben wird, muss das Komma um zwei Stellen nach links (rechts) verschoben werden.
: 100
: 100
: 100
: 100
: 100
: 100
· 100
· 100
· 100
· 100
· 100
· 100
mm2
cm2
dm2
m2
Quadratmillimeter
Quadratzentimeter
Quadratdezimeter
Quadratmeter
a
ha
km2
- 1 / ah -
Are
Hektare
Quadratkilometer
Theorie Mathematik
1.38. Flächeninhalt von Rechtecken (1.20./1.23./1.37)
Seite 144
A
b
a
Der Flächeninhalt der Rechtecke wird berechnet als Produkt der beiden Seiten a
und b.
Fläche
A = a·b
Umfang
u = 2 · (a + b)
Achtung: Die Längeneinheiten für a und b müssen gleich sein, z.B. m · m = m2
Spezialfall
Im Quadrat sind die Seiten gleich lang. Darum wird die Berechnung einfacher!
Fläche
Umfang
Beispiel
a · a = a2 (Quadratzahl!!)
4·a
A =
u =
Wie gross ist der Flächeninhalt eines Rechteckes mit den Seiten 2 cm und 3 cm?
2 cm
1 cm2
3 cm
A = 2 cm · 3 cm = 6 cm2
(dies sind 6 Einheitsquadrate mit der Fläche 1 cm2)
- 1 / ai -
Theorie Mathematik
1.39. Quader und Würfel (1.38.)
Seite 157
Dieser geometrische Körper heisst Quader.
Ein Quader…
- hat 8 Ecken.
- wird aus 6 rechteckigen Flächen gebildet, wobei jeweils 2 gleich gross sind.
- hat 12 Kanten, davon sind jeweils 4 gleich lang.
- hat nur rechte Winkel (= 90°).
Bei einem Quader mit den Seiten a, b und c gelten folgende Formel:
Kantensumme
= 4 · a + 4 · b + 4 · c = 4 · (a + b + c)
Oberfläche
= 2 · ab + 2 · ac + 2 · bc = 2 · (ab + ac + bc)
Der Würfel — ein Spezialfall des Quaders
Alle oben genannten Eigenschaften des Quaders gelten auch für den Würfel, allerdings mit folgenden Vereinfachungen!
- Alle 6 Flächen sind Quadrate.
- Alle 12 Kanten sind gleich lang.
- Kantensumme = 12 · a
- Oberfläche = 6 · a2
- 1 / aj -
Theorie Mathematik
1.40. Schrägbild
Seite 158
Körper (3-dimensional) können auf dem Zeichenblatt (2-dimensional) nicht real dargestellt werden. Körper werden mit Hilfe des Schrägbildes abgebildet.
H
G
E
F
D
C
45°
A
B
Zeichenregeln
—
—
—
—
Strecken, welche parallel zur Bildebene verlaufen, behalten ihre wirkliche Länge.
Strecken, welche senkrecht zur Bildebene verlaufen, werden um 45° gegen die Waagrechte geneigt und um die Hälfte gekürzt.
Sichtbare Strecken werden ausgezogen.
Unsichtbare Strecken werden gestrichelt gezeichnet.
Beschriftung von Körpern
—
—
Die Standfläche (Grundfläche) wird im Gegenuhrzeigersinn mit den Buchstaben A, B, C und D
bezeichnet. A liegt „vorne links“.
Die Deckfläche wird mit den Buchstaben E, F, G und H bezeichnet. E liegt über A.
1.41. Netz eines Körpers (Abwicklung)
Wird ein Körper aufgeschnitten und werden alle Flächen auf die Zeichenebene geklappt, so erhalten wir eine ebene Figur, das Netz (oder Abwicklung). Alle
Strecken werden real abgebildet.
- 1 / ak -
Seite 160
Theorie Mathematik
1.42. Raummass und Hohlmass (1.37.)
Raummass
Seite 165
Hohlmass
mm3
· 1000
: 1000
ml
cm3
· 10
· 1000
: 1000
· 1000
· 10
· 10
dm3
: 1000
: 10
cl
dl
l
· 100
: 10
: 10
: 100
hl
m3
Vergleich zwischen Längen-, Flächen- und Volumeneinheiten
- 1 / al -
Theorie Mathematik
1.43. Rauminhalt von Quadern und Würfeln (1.39.)
Seite 175
c
b
a
Volumen des Quaders:
V = a · b · c
a
a
a
Volumen des Würfel:
V = a · a · a = a3
Beachte: Bei der Berechnung muss auf gleiche Masseinheiten geachtet werden!!
z.B.
m · m · m = m3
- 1 / am -